2021学年第二十二章 四边形综合与测试精品巩固练习

八年级数学下册第二十二章四边形同步测试

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，△ABC的周长为a，以它的各边的中点为顶点作△A1B1C1，再以△AB1C1各边的中点为顶点作△A2B2C2，再以△AB2C2各边的中点为顶点作△A3B3C3，…如此下去，则△AnBnCn的周长为（　　）

A．a B．a C．a D．a

2、在下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（            ）

A．AB∥CD，AD∥BC B．AB＝CD，AD＝BC

C．AB ∥CD，AB＝CD D．AB∥CD，AD＝BC

3、一个多边形的每个内角均为150°，则这个多边形是（       ）

A．九边形 B．十边形 C．十一边形 D．十二边形

4、如图，四边形中，，对角线，相交于点，于点，于点，连接，，若，则下列结论：

①；

②；

③四边形是平行四边形；

④图中共有四对全等三角形．

其中正确结论的个数是（       ）

A．4 B．3 C．2 D．1

5、如图，菱形OABC的边OA在平面直角坐标系中的x轴上，，，则点C的坐标为（       ）

A． B． C． D．

6、如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③；④的最小值为；⑤；⑥．其中正确结论有几个（     ）

A．3 B．4 C．5 D．6

7、在平行四边形ABCD中，∠A ∶∠ B ∶∠ C ∶∠ D的值可以是（       ）

A．1∶2∶3∶4 B．1∶2∶2∶1 C．2∶2∶1∶1 D．1∶2∶1∶2

8、如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上，且BE=AD，则∠ACE的度数为（　　　）

A．22.5° B．27.5° C．30° D．35°

9、如图，正方形的边长为，对角线、相交于点．为上的一点，且，连接并延长交于点．过点作于点，交于点，则的长为（     ）

A． B． C． D．

10、如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、BC上的点，且，AF、BE相交于点G，下列结论中正确的是（       ）

①；②；③；④．

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、两组对边分别________的四边形叫做平行四边形．

平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的________．

如图所示的四边形ABCD是平行四边形．

记作：________，读作：平行四边形ABCD

线段________、________就是平行四边形ABCD的对角线．

平行四边形相对的边，称为 ________，相对的角称为________．

对边：AB与CD；BC与DA．

对角：∠ABC与∠CDA；∠BAD与∠DCB．

2、在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，如图所示依次作正方形、正方形、…、正方形，使得点、、、…在直线1上，点、、、…在y轴正半轴上，则点的坐标是________．

3、如图，在长方形中，，，、分别在边、上，且．现将四边形沿折叠，点，的对应点分别为点，，当点恰好落在边上时，则的长为______．

4、如图所示，是长方形地面，长，宽，中间竖有一堵砖墙高．一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走______的路程．

5、如图，AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，连接EB，ED，当时，的度数为______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，平行四边形ABCD中，∠ADB＝90°．

(1)求作：AB的垂直平分线MN，交AB于点M，交BD延长线于点N（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）

(2)在（1）的条件下，设直线MN交AD于E，且∠C＝22.5°，求证：NE＝AB．

2、如图，在平行四边形中，、分别是边、上的点，且，，求证：四边形是矩形

3、已知：在平行四边形ABCD中，分别延长BA，DC到点E，H，使得BE＝2AB，DH＝2CD．连接EH，分别交AD，BC于点F，G．

(1)求证：AF＝CG；

(2)连接BD交EH于点O，若EH⊥BD，则当线段AB与线段AD满足什么数量关系时，四边形BEDH是正方形？

4、【问题情境】如图1，在中，，垂足为D，我们可以得到如下正确结论：①；②；③，这些结论是由古希酷著名数学家欧几里得在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理”．

(1)请证明“射影定理”中的结论③．

(2)【结论运用】如图2，正方形的边长为6，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接．

①求证：．

②若，求的长．

5、如图，在中，，，E、F分别为AB、CD边上两点，FB平分．

(1)如图1，若，，求CD的长；

(2)如图2，若G为EF上一点，且，求证：．

-参考答案-

一、单选题

1、A

【解析】

【分析】

根据三角形中位线的性质可知的周长的周长，的周长的周长，以此类推找出规律，写出代数式，再整理即可选择．

【详解】

解：∵以△ABC的各边的中点为顶点作，

∴的周长的周长．

∵以各边的中点为顶点作，

∴的周长的周长，

…，

∴的周长

故选：A．

【点睛】

本题主要考查三角形中位线的性质，根据三角形中位线的性质求出前2个三角形的面积总结出规律是解答本题的关键．

2、D

【解析】

略

3、D

【解析】

【分析】

先求出多边形的外角度数，然后即可求出边数．

【详解】

解：∵多边形的每个内角都等于150°，

∴多边形的每个外角都等于180°-150°=30°，

∴边数n=360°÷30°=12，

故选：D．

【点睛】

本题考查多边形的内角和、外角来求多边形的边数，属于基础题，熟练掌握多边形中内角和定理公式是解决本类题的关键．

4、B

【解析】

【分析】

由DE=BF以及DF=BE，可证明Rt△DCF≌Rt△BAE，由FC=EA，以及双垂直可证，四边形CFAE是平行四边形由此可证明②③正确．

【详解】

解：，

，

在和中，

，

，

，（故①正确）；

于点，于点，

，

，

四边形是平行四边形，

，（故②正确）；

，

，

，

，

四边形是平行四边形，（故③正确）；

由以上可得出：，，，

，，，等．（故④错误），

故正确的有3个，

故选：．

【点评】

此题主要考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质等知识，得出是解题关键．

5、A

【解析】

【分析】

如图：过C作CE⊥OA，垂足为E，然后求得∠OCE=30°，再根据含30°角直角三角形的性质求得OE，最后运用勾股定理求得CE即可解答.

【详解】

解：如图：过C作CE⊥OA，垂足为E，

∵菱形OABC，

∴OC=OA=4

∵，

∴∠OCE=30°

∵OC=4

∴OE=2

∴CE=

∴点C的坐标为.

故选A.

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质、含30°直角三角形的性质、勾股定理等知识点，作出辅助线、求出OE、CE的长度是解答本题的关键.

6、D

【解析】

【分析】

如图，过点作于点，连接，可说明四边形为矩形，，，是等腰直角三角形，；①中，可得为等腰直角三角形，进而求，由于四边形是平行四边形，，故可知；②，四边形为矩形，进而可求矩形的周长；③证明，由全等可知，进而可说明；④，当最小时，最小，即时，最小，计算即可；⑤在和中，勾股定理求得，将线段等量替换求解即可；⑥如图1，延长与交于点，证明，得，，，进而可说明．

【详解】

解：如图，过点作于点，连接，

由题意知

∴四边形为平行四边形

∵

∴四边形为矩形

∴

∵

∴

∵

∴

∴是等腰直角三角形

∴

①∵，

∴为等腰直角三角形

∴

，

∴

∴四边形是平行四边形

∴

∴

故①正确；

②∵

∴四边形为矩形

∴四边形的周长

故②正确；

③四边形为矩形

∵在和中

∵

∴

∴

∴

故③正确；

④∵

当最小时，最小

∴当时，即时，的最小值等于

故④正确；

⑤在和中，，

∴

故⑤正确；

⑥如图1，延长与交于点

∵在和中

∵

∴

∴

∵

∴

∴

故⑥正确；

综上，①②③④⑤⑥正确，

故选：．

【点睛】

本题考查了正方形，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形全等．解题的关键在于对知识的灵活综合运用．

7、D

【解析】

略

8、A

【解析】

【分析】

利用正方形的性质证明∠DBC=45°和BE=BC，进而证明∠BEC=67.5°．

【详解】

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=AD，∠DBC=45°，

∵BE=AD，

∴BE=BC，

∴∠BEC=∠BCE=（180°﹣45°）÷2=67.5°，

∵AC⊥BD，

∴∠COE=90°，

∴∠ACE=90°﹣∠BEC=90°﹣67.5°=22.5°，

故选：A．

【点睛】

本题考查正方形的性质，以及等腰三角形的性质，掌握正方形的性质并加以利用是解决本题的关键．

9、C

【解析】

【分析】

根据正方形的性质以及已知条件求得的长，进而证明，即可求得，勾股定理即可求得的长

【详解】

解：如图，设的交点为，

四边形是正方形

，,

，，

，,

在与中

在中，

故选C

【点睛】

本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握正方形的性质是解题的关键．

10、B

【解析】

【分析】

根据正方形的性质及全等三角形的判定定理和性质、垂直的判定依次进行判断即可得．

【详解】

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴，，

在与中，

，

∴，

∴，①正确；

∵，

，

∴，

∴，

∴，②正确；

∵GF与BG的数量关系不清楚，

∴无法得AG与GE的数量关系，③错误；

∵，

∴，

∴，

即，④正确；

综上可得：①②④正确，

故选：B．

【点睛】

题目主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，垂直的判定等，理解题意，综合运用全等三角形全等的判定和性质是解题关键．

二、填空题

1、     平行     对角线          AC     BD     对边     对角

【解析】

略

2、

【解析】

【分析】

根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点A1、B1的坐标，同理可得出A2、A3、A4、A5、…及B2、B3、B4、B5、…的坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律“Bn（2n-1，2n-1）（n为正整数）”，依此规律即可得出结论．

【详解】

解：当y=0时，有x-1=0，

解得：x=1，

∴点A1的坐标为（1，0）．

∵四边形A1B1C1O为正方形，

∴点B1的坐标为（1，1）．

同理，可得出：A2（2，1），A3（4，3），A4（8，7），A5（16，15），…，

∴B2（2，3），B3（4，7），B4（8，15），B5（16，31），…，

∴Bn（2n-1，2n-1）（n为正整数），

故答案为：

【点睛】

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律“Bn（2n-1，2n-1）（n为正整数）”是解题的关键．

3、4

【解析】

【分析】

由勾股定理求出F，得到D，过点作H⊥AB于H，连接BF，则四边形是矩形，求出HE，过点F作FG⊥AB于G，则四边形BCFG是矩形，利用勾股定理求出的长．

【详解】

解：在长方形中，，，

由折叠得5，

∴，

∴13=2，

过点作H⊥AB于H，连接BF，则四边形是矩形，

∴AH=D=2，

∵∠EF=∠BEF，∠FE=∠BEF，

∴∠EF=∠FE，

∴E=F=13，

∴=5，

过点F作FG⊥AB于G，则四边形BCFG是矩形，

∴BG=FC=5，

∴EG=13-5=8，

∴=4

故答案为4．

【点睛】

此题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，正确引出辅助线利用推理论证进行求解是解题的关键．

4、

【解析】

【分析】

根据题意，将长方形底面和中间墙展开为平面图，并连接BD，根据两点之间直线段最短和勾股定理的性质计算，即可得到答案．

【详解】

将长方形底面和中间墙展开后的平面图如下，并连接BD

根据题意，展开平面图中的

∴一只蚂蚱从点爬到点，最短路径长度为展开平面图中BD长度

∵是长方形地面

∴

∴

故答案为：．

【点睛】

本题考查了立体图形展开图、矩形、两点之间直线段最短、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握立体图形展开图、勾股定理的知识，从而完成求解．

5、18°##18度

【解析】

【分析】

由“SAS”可证△DCE≌△BCE，可得∠CED=∠CEB=∠BED=63°，由三角形的外角的性质可求解．

【详解】

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=CD=BC=AB，∠DAE=∠BAE=∠DCA=∠BCA=45°，

在△DCE和△BCE中，

，

∴△DCE≌△BCE（SAS），

∴∠CED=∠CEB=∠BED=63°，

∵∠CED=∠CAD+∠ADE，

∴∠ADE=63°-45°=18°，

故答案为：18°．

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明△DCE≌△BCE是本题的关键．

三、解答题

1、 (1)见解析

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）根据题意作AB的垂直平分线MN，交AB于点M，交BD延长线于点N

（2）连接，根据平行四边形的性质求得，进而根据垂直平分线的性质以及导角可求得 是等腰直角三角形，进而证明即可得证NE＝AB．

(1)

如图，AB的垂直平分线MN，交AB于点M，交BD延长线于点N

(2)

如图，连接

四边形是平行四边形

，

，

则

是的垂直平分线

又

在与中，

【点睛】

本题考查了作垂直平分线，平行四边形的性质，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形全等的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．

2、证明见解析

【解析】

【分析】

平行四边形，可知；由于 ，可得，，知四边形为平行四边形，由可知四边形是矩形．

【详解】

证明：∵四边形 是平行四边形

∴

∵

∴

∵

∴四边形为平行四边形

又∵

∴四边形是矩形．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定等知识．解题的关键在于灵活掌握矩形的判定．

3、 (1)见解析

(2)当AD=AB时，四边形BEDH是正方形

【解析】

【分析】

（1）要证明AF=CG，只要证明△EAF≌△HCG即可；

（2）利用已知可得四边形BEDH是菱形，所以当AE2+DE2=AD2时，∠BED=90°，四边形BEDH是正方形．

(1)

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD，∠BAD=∠BCD，

∴∠AEF=∠CHG，

∵BE=2AB，DH=2CD，

∴BE=DH，

∴BE-AB=DH-DC，

∴AE=CH，

∴∠BAD+∠EAF=180°，∠BCD+∠GCH=180°，

∴∠EAF=∠GCH，

∴△EAF≌△HCG(ASA)，

∴AF=CG；

(2)

解：当AD=AB时，四边形BEDH是正方形；

理由：∵BE∥DH，BE=DH，

∴四边形EBHD是平行四边形，

∵EH⊥BD，

∴四边形EBHD是菱形，

∴ED=EB=2AB，

当AE2+DE2=AD2时，则∠BED=90°，

∴四边形BEDH是正方形，即AB2+(2AB)2=AD2，

∴AD=AB，

∴当AD=AB时，四边形BEDH是正方形．

．

【点睛】

本题考查了正方形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，结合图形分析并熟练掌握正方形的判定，平行四边形的性质，是解题的关键．

4、 (1)见解析；

(2)①见解析；②．

【解析】

【分析】

（1）由AA证明，再由相似三角形对应边称比例得到，继而解题；

（2）①由“射影定理”分别解得，，整理出，再结合即可证明；

②由勾股定理解得，再根据得到，代入数值解题即可．

(1)

证明：

(2)

①四边形ABCD是正方形

②在中，

在，

．

【点睛】

本题考查相似三角形的综合题，涉及勾股定理、正方形等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．

5、 (1)7

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）根据平行四边形的性质，可得AB∥CD，AB=CD，可得∠EBF=∠CFB，再由∵FB平分，可得∠EFB=∠EBF，从而得到BE=EF=5，即可求解；

（2）再CF上截取FN=FG，可得，从而得到∠BGF=∠BNF，再由∠GBF=∠EFD，可得到∠BFD=∠BNC，再根据BC⊥BD，∠BCD=45°，可得BC=BD，从而证得△BDF≌△BCN，进而得到NC=FD，即可求证．

(1)

解：在中，AB∥CD，AB=CD，

∴∠EBF=∠CFB，

∵FB平分，

∴∠EFB=∠CFB，

∴∠EFB=∠EBF，

∴BE=EF=5，

∵AE=2，

∴CD=AB=AE+BE=7；

(2)

证明：如图，再CF上截取FN=FG，

∵，

∴ ，

∴∠BGF=∠BNF，

∵ ，∠BFG+∠BGF+∠GBF=180°，∠GBF=∠EFD，

∴∠BGF=∠BFN，

∴∠BFN=∠BNF，

∴∠BFD=∠BNC，

∵BC⊥BD，

∴∠CBD=90°，

∵∠BCD=45°，

∴∠BDC=∠BCD=45°，

∴BC=BD，

∴△BDF≌△BCN（AAS），

∴NC=FD，

∴CD=DF+FN+CN=2FD+FG，

∵AB=CD，

∴FG+2FD=AB．

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．