初中数学冀教版八年级下册第二十二章 四边形综合与测试精品课后作业题

八年级数学下册第二十二章四边形综合练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（　　）

A．AO＝CO B．AD∥BC C．AD＝BC D．∠DAC＝∠ACD

2、如图，在正方形ABCD中，，点E在对角线AC上，若，则CDE的面积为（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

3、下列命题错误的是（       ）

A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形

B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形

C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

D．对角线互相平分的四边形是平行四边形

4、如图，在中，，于E，DE交AC于点F，M为AF的中点，连接DM，若，则的大小为（       ）．

A．112° B．108° C．104° D．98°

5、如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A、B两点，C为线段OB上一点，过点C作轴交l于点D，若的顶点E恰好落在直线上，则点C的坐标为（       ）

A． B． C． D．

6、如图，矩形中，，如果将该矩形沿对角线折叠，那么图中阴影部分的面积是22.5，则（       ）

A．8 B．10 C．12 D．14

7、如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，若，，则的度数为（       ）

A．157° B．147° C．137° D．127°

8、如图，点A，B，C在同一直线上，且，点D，E分别是AB，BC的中点．分别以AB，DE，BC为边，在AC同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作，，，若，则等于（       ）

A． B． C． D．

9、在锐角△ABC中，∠BAC＝60°，BN、CM为高，P为BC的中点，连接MN、MP、NP，则结论：①NP＝MP；②AN：AB＝AM：AC；③BN＝2AN；④当∠ABC＝60°时，MN∥BC，一定正确的有（       ）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①④

10、下列命题中是真命题的是（       ）．A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形

C．对角线相等的四边形是矩形 D．有一个角为直角的四边形是矩形

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，则线段长的最小值为__．

2、如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，且顶点B的坐标是（1，2），如果以O为圆心，OB长为半径画弧交x轴的正半轴于点P，那么点P的坐标是_______．

3、如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（12，13），则点C的坐标是___．

4、如图，矩形纸片，，．如果点在边上，将纸片沿折叠，使点落在点处，如果直线经过点，那么线段的长是_______．

5、如图，在平行四边形ABCD中，

（1）若∠A＝130°，则∠B＝______ 、∠C＝______ 、∠D＝______．

（2）若∠A＋ ∠C＝ 200°，则∠A＝______ 、∠B＝______；

（3）若∠A：∠B＝ 5：4，则∠C＝______ 、∠D＝______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在矩形ABCD中，

(1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作对角线BD的垂直平分线EF分别交AD、BC于E、F点，交BD于O点．

(2)在（1）的条件下，求证：AE=CF．

2、已知正多边形的内角和比外角和大720°，求该正多边形所有对角线的条数．

3、如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，求证：DC＝CF．

4、如图，在中，于点E，延长BC至点F，使，连接AF，DE，DF．

(1)求证：四边形AEFD为矩形；

(2)若，，，求DF的长．

5、（1）【探究一】如图1，我们可以用不同的算法来计算图形的面积．

①方法1：如果把图1看成一个大正方形，那么它的面积为      ；

②方法2：如果把图1看成是由2个大小不同的正方形和2个大小相同的小长方形组成的图形，那么它的面积为      ；（写成关于a、b的两次三项式）用两种不同的算法计算同一个图形的面积，可以得到等式      ．

（2）【探究二】如图2，从一个顶点处引n条射线，请你数一数共有多少个锐角呢?

①方法1：一路往下数，不回头数．

以OA1为边的锐角有∠A1OA2、∠A1OA3、∠A1OA4、…、∠A1OAn，共有（n－1）个；

以OA2为边的锐角有∠A2OA3、∠A2OA4、…、∠A2OAn，共有（n－2）个；

以OA3为边的锐角有∠A3OA4、…、∠A3OAn，共有（n－3）个；

以OAn－1为边的锐角有∠An－1OAn，共有1个；

则图中锐角的总个数是      ；

②方法2：每一条边都能和除它以外的（n－1）条边形成锐角，共有n条边，可形成n（n－1）个锐角，但所有锐角都数了两遍，所以锐角的总个数是      ；

用两种不同的方法数锐角个数，可以得到等式      ．

（3）【应用】分别利用【探究一】中得到的等式和【探究二】中运用的思想解决问题．

①计算：19782＋20222；

②多边形中连接任意两个不相邻顶点的线段叫做对角线，如五边形共有5条对角线，则十七边形共有      条对角线，n边形共有      条对角线．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【解析】

【分析】

根据平行四边形的性质解答．

【详解】

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO＝OC，故A正确；

∴，故B正确；

∴AD＝BC，故C正确；

故选：D．

【点睛】

此题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．

2、A

【解析】

【分析】

根据正方形的性质，全等三角形的性质和三角形的面积公式解答即可．

【详解】

∵正方形ABCD，

∴AB=AD，∠BAC=DAC，

∵AE=AE，∴△ABE≌△ADE，

∴=5，同理△CBE≌△CDE，

∴，

∵，

∴CDE的面积为： =3，

故选A．

【点睛】

本题考查了正方形的性质，关键是根据全等三角形的性质和三角形的面积公式解答．

3、C

【解析】

【分析】

根据平行四边形的判定逐项分析即可得．

【详解】

解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确，则此项不符合题意；

B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，则此项不符合题意；

C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，此项符合题意；

D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，则此项不符合题意，

故选：C．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定是解题关键．

4、C

【解析】

【分析】

根据平行四边形及垂直的性质可得为直角三角形，再由直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得，由等边对等角及三角形外角的性质得出，根据三角形内角和定理即可得出．

【详解】

解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴，

∵，

∴，

∴为直角三角形，

∵M为AF的中点，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

故选：C．

【点睛】

题目主要考查平行四边形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角及三角形外角的性质和三角形内角和定理，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．

5、D

【解析】

【分析】

设点 ，根据轴，可得点 ，再根据平行四边形的性质可得点轴， ，则， ，即可求解．

【详解】

解：设点 ，

∵轴，

∴点 ，

∵四边形是平行四边形，

∴轴， ，

∴点 ，

∴ ，

∵直线分别交y轴于B两点，

∴当 时， ，

∴点 ，

∴ ，

∴，解得： ，

∴ ，

∴点 ．

故选：D

【点睛】

本题主要考查了一次函数的图形和性质，平行四边形的性质，熟练掌握一次函数的图形和性质，平行四边形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．

6、C

【解析】

【分析】

根据折叠和矩形的性质，可得∠DBE =∠CBD，AD∥BC，AD=BC，AB⊥AD，从而得到∠BDE=∠DBE，进而得到BE=DE，再由的面积是22.5，可得，然后根据勾股定理，即可求解．

【详解】

解：根据题意得： ∠DBE =∠CBD，AD∥BC，AD=BC，AB⊥AD，

∴∠BDE=∠CBD，

∴∠BDE=∠DBE，

∴BE=DE，

∵的面积是22.5，，

∴ ，解得： ，

∴，

在 中，由勾股定理得：

   ，

∴ ．

故选：C

【点睛】

本题主要考查了折叠和矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠和矩形的性质，勾股定理是解题的关键．

7、C

【解析】

【分析】

根据平行四边形的性质推出AO=AB，求出∠AOB的度数，即可得到的度数．

【详解】

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AC=2AO，

∵，

∴AO=AB，

∵，

∴，

∴=，

故选：C．

【点睛】

此题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和，利用邻补角求角度，正确掌握平行四边形的性质是解题的关键．

8、B

【解析】

【分析】

设BE＝x，根据正方形的性质、平行四边形的面积公式分别表示出S1，S2，S3，根据题意计算即可．

【详解】

∵，

∴AB＝2BC，

又∵点D，E分别是AB，BC的中点，

∴设BE＝x，则EC＝x，AD＝BD＝2x，

∵四边形ABGF是正方形，

∴∠ABF＝45°，

∴△BDH是等腰直角三角形，

∴BD＝DH＝2x，

∴S1＝DH•AD＝，即2x•2x＝，

∴x2＝，

∵BD＝2x，BE＝x，

∴S2＝MH•BD＝（3x−2x）•2x＝2x2，

S3＝EN•BE＝x•x＝x2，

∴S2＋S3＝2x2＋x2＝3x2＝，

故选：B．

【点睛】

本题考查的是正方形的性质、平行四边形的性质，掌握正方形的四条边相等、四个角都是90°是解题的关键．

9、C

【解析】

【分析】

利用直角三角形斜边上的中线的性质即可判定①正确；利用含30度角的直角三角形的性质即可判定②正确，由勾股定理即可判定③错误；由等边三角形的判定及性质、三角形中位线定理即可判定④正确．

【详解】

∵CM、BN分别是高

∴△CMB、△BNC均是直角三角形

∵点P是BC的中点

∴PM、PN分别是两个直角三角形斜边BC上的中线

∴

故①正确

∵∠BAC=60゜

∴∠ABN=∠ACM=90゜−∠BAC=30゜

∴AB=2AN，AC=2AM

∴AN：AB=AM：AC=1：2

即②正确

在Rt△ABN中，由勾股定理得：

故③错误

当∠ABC=60゜时，△ABC是等边三角形

∵CM⊥AB，BN⊥AC

∴M、N分别是AB、AC的中点

∴MN是△ABC的中位线

∴MN∥BC

故④正确

即正确的结论有①②④

故选：C

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，掌握这些知识并正确运用是解题的关键．

10、A

【解析】

【分析】

根据平行线四边形的性质得到对边相等，加上一组邻边相等，可得到四边都相等，根据菱形的定义对A、B进行判断；根据矩形的判定方法对C、D进行判断．

【详解】

解：A、平行四边形的对边相等，若有一组邻边相等，则四边都相等，所以该选项正确；

B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，所以该选项不正确；

C、对角线互相平分且相等的四边形为矩形，所以该选项不正确；

D、有三个角是直角的四边形是矩形，所以该选项不正确．

故选：A．

【点睛】

本题考查了命题与定理：判断事情的语句叫命题；正确的命题叫真命题；经过证明其正确性的命题称为定理．也考查了平行四边形、矩形和菱形的判定与性质．

二、填空题

1、

【解析】

【分析】

在上取一点，使得，连接，，作直线交于，过点作于．证明，推出点在射线上运动，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，求出即可．

【详解】

解：在上取一点，使得，连接，，作直线交于，过点作于．

，，

是等边三角形，

，，

，，

是等边三角形，

，，

，

，

在和中，

，

，

，

，

点在射线上运动，

根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，

，，

，，

，

∴GT//AB

∵BG//AT

四边形是平行四边形，

，，

∴

在中，

∴

，

的最小值为，

故答案为：．

【点睛】

本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

2、（，0）

【解析】

【分析】

利用勾股定理求出OB的长度，同圆的半径相等即可求解．

【详解】

由题意可得：OP＝OB，OC＝AB＝2，BC＝OA＝1，

∵OB＝＝＝，

∴OP＝，

∴点P的坐标为（，0）．

故答案为：（，0）．

【点睛】

本题考查勾股定理的应用，在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方．

3、（0，-5）

【解析】

【分析】

在Rt△ODC中，利用勾股定理求出OC即可解决问题．

【详解】

解：∵A（12，13），

∴OD=12，AD=13，

∵四边形ABCD是菱形，

∴CD=AD=13，

在Rt△ODC中，，

∴C（0，-5）．

故答案为：（0，-5）

【点睛】

本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

4、

【解析】

【分析】

根据题意可知∠AFD=90°，利用勾股定理得DF=，再证明AD=DE，即可得出EF的长，从而解决问题．

【详解】

如图，∵将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，

∴AB=AF=3，∠B=∠AFE=90°，∠AEB=∠AED，

∵AD∥BC，

∴∠DAE=∠AED，

∴∠DAE=∠AED，

∴AD=DE=4，

在Rt△ADF中，由勾股定理得：，

∴EF=DE-DF=，

∴BE=EF=，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了翻折变换，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，证明AD=DE是解题的关键．

5、     50°     130°     50°     100°     80°     100°     80°

【解析】

略

三、解答题

1、 (1)见解析

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）利用尺规作出图形即可．

（2）利用全等三角形的性质证明即可．

(1)

解：如图，直线EF即为所求作．

．

(2)

证明：在矩形ABCD中，AD=BC，∠ADB=∠DBC，

∵EF为BD的垂直平分线，

∴∠EOD=∠FOB=90°，OB=OD，

在△EOD与△FOB中，

，

∴△EOD≌△FOB（ASA），

∴ED=BF，

∴AD-ED=BC-BF，即AE=CF．

【点睛】

本题考查了作图-复杂作图，线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

2、20条

【解析】

【分析】

多边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，外角和是固定的360°，根据正多边形内角和与外角和的差等于720°，列方程求出正多边形的边数．然后根据n边形共有条对角线，得出此正多边形的所有对角线的条数．

【详解】

解：设此正多边形为正n边形．

由题意得：，

解得n＝8，

∴此正多边形所有的对角线条数为：＝20．

答：这个正多边形的所有对角线有20条．

【点睛】

此题考查多边形的边数与对角线条数,一元一次方程，解题关键在于掌握多边形内角和公式和外角和，以及对角线条数计算公式.．

3、见解析

【解析】

【分析】

根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB＝CD，根据平行线的性质可得∠BAE＝∠CFE，根据中点的定义可得EB＝EC，利用AAS可证明△ABE≌△FCE，可得AB＝CF，进而可得结论．

【详解】

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∴∠BAE＝∠CFE；

∵E为BC中点，

∴EB＝EC，

在△ABE与△FCE中，

，

∴△ABE≌△FCE（AAS），

∴AB＝CF，

∴DC＝CF．

【点睛】

本题考查平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．

4、 (1)见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据线段的和差关系可得BC＝EF，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，即可得出AD＝EF，可证明四边形AEFD为平行四边形，根据AE⊥BC即可得结论；

（2）根据矩形的性质可得AF＝DE，可得△BAF为直角三角形，利用“面积法”可求出AE的长，即可得答案．

(1)

∵BE＝CF，

∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝EF，

∵ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∴AD＝EF，

∵AD∥EF，

∴四边形AEFD为平行四边形，

∵AE⊥BC，

∴∠AEF＝90°，

∴四边形AEFD为矩形．

(2)

∵四边形AEFD为矩形，

∴AF＝DE＝4，DF=AE，

∵，，，

∴AB2+AF2＝BF2，

∴△BAF为直角三角形，∠BAF＝90°，

∴，

∴AE=，

∴．

【点睛】

本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．

5、（1）①；②；=；（2）①（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1；②；（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1=；（3）①8000968；②119，n(n-3)

【解析】

【分析】

（1）①根据边长为(a+b)的正方形面积公式求解即可；

②利用矩形和正方形的面积公式求解即可；

（2）①根据题中的数据求和即可；

②根据题意求解即可；

（3）①利用（1）的规律求解即可；

②根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线．从n个顶点出发引出（n-3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为n(n-3)（n≥3，且n为整数）可得答案．

【详解】

解：（1）①大正方形的面积为；

②由2个大小不同的正方形和2个大小相同的小长方形组成的图形的面积为；

可以得到等式：=；

故答案为：①；②；=；

（2）①图中锐角的总个数是：（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1；

②锐角的总个数是n（n－1）；

可以得到等式为（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1=n（n－1）；

故答案为：①（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1；②n（n－1）；（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1=n（n－1）；

（3）①19782＋20222＝[2000＋（－22）]2＋（2000＋22）2

＝20002＋（－22）2＋2×2000×（－22）＋20002＋222＋2×2000×22

＝2×（20002＋222）

＝2×[4000000＋（20＋2）2]

＝2×[4000000＋（202＋22＋2×20×2）]＝8000968；

②一个四边形共有2条对角线，即×4×(4-3)=2；

一个五边形共有5条对角线，即×5×(5-3)=5；

一个六边形共有9条对角线，即×6×(6-3)=9；

……，

一个十七边形共有×17×(17-3)=119条对角线；

一个n边形共有n(n-3)（n≥3，且n为整数）条对角线．

故答案为：119，n(n-3)．

【点睛】

本题考查了图形的变化规律，完全平方公式，多边形的对角线，对于这种图形的变化规律的问题，读懂题目信息，找到变化规律是解题的关键．