2022届高考数学理一轮复习新人教版课件：第七章立体几何第五节空间向量及其应用

这是一份2022届高考数学理一轮复习新人教版课件：第七章立体几何第五节空间向量及其应用，共60页。PPT课件主要包含了单位长度，横坐标，纵坐标，竖坐标，平行或重合，同一个平面，a＝λb，xa＋yb，a·b＝0，n1＝λn2等内容，欢迎下载使用。

1．空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系：
(2)空间一点M的坐标：空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的______，y叫做点M的______，z叫做点M的______．
2．空间向量的有关概念
3.数量积及坐标运算(1)两个向量的数量积：a·b＝|a||b|cs 〈a，b〉；a⊥b⇔ __________(a，b为非零向量)；|a|2＝______．
(2)向量的坐标运算：
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
a1b1＋a2b2＋a3b3
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
4.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l____或____，则称此向量a为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的____向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
5．空间位置关系的向量表示
6.异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
7.直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cs θ|＝________．
8．二面角的求法(1)如图①，AB，CD是二面角αlβ两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝__________．
(2)如图②③，n1，n2分别是二面角αlβ的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cs θ＝_______________或__________________．
－cs 〈n1，n2〉
2．(基本方法：判断空间中两直线位置关系)在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　)A．垂直 B．平行C．异面 D．相交但不垂直
3．(基本方法：空间向量与线面关系)设μ，ν分别是平面α，β的法向量，μ＝(－2，2，5)，当ν＝(3，－2，2)时，α与β的位置关系为________；当ν＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________．答案：α⊥β　α∥β
4.(基本应用：二面角大小与法向量夹角的大小关系)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC，则二面角C-PB-D的大小为________．答案：60°
5．(基本能力：异面直线所成角的大小与方向向量的关系)在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AB＝BB1，D是CC1的中点，则CA1与BD所成角的大小是________．
方法总结 用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形．(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．　　
解析：法一：令M为AC的中点，连接MB，MA1，由题意知△ABC是等边三角形，所以BM⊥AC，同理，A1M⊥AC.因为平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，BM⊂平面ABC，所以BM⊥平面A1ACC1.因为A1M⊂平面A1ACC1，所以BM⊥A1M，
法二：如图所示，在平面ABC，平面A1B1C1中分别取点D，D1，连接BD，CD，B1D1，C1D1，使得四边形ABDC，A1B1D1C1为平行四边形，连接DD1，BD1，则AB＝C1D1，且AB∥C1D1，所以AC1∥BD1，故∠A1BD1或其补角为异面直线AC1与A1B所成的角．连接A1D1，过点A1作A1M⊥AC于点M，连接BM，
类型 2　求线面角[例2]　(2020·高考山东卷节选)如图，四棱锥P­ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
类型 3　求二面角[例3]　(2019·高考全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，求二面角B­EC­C1的正弦值．
解析：(1)证明：由已知得，B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，所以BE⊥平面EB1C1.
方法总结利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小是锐角还是钝角．(2)定义法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．　　
解析：因为M，N分别为BC，B1C1的中点，所以MN∥CC1.又由已知得AA1∥CC1，故AA1∥MN.因为△A1B1C1是正三角形，所以B1C1⊥A1N.又B1C1⊥MN，所以B1C1⊥平面A1AMN.所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F.
连接NP，则四边形AONP为平行四边形，
解析：依题意，以点A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).由E为棱PC的中点，得E(1，1，1).
解析：(1)证明：四边形ADD1A1为正方形，连接A1B，D1E，AD1，A1D∩AD1＝F，则F是AD1的中点．又因为点E为AB的中点，连接EF，则EF为△ABD1的中位线，所以EF∥BD1.
又因为BD1⊄平面A1DE，EF⊂平面A1DE，所以BD1∥平面A1DE.(2)根据题意得DD1⊥DA，D1D⊥DC，AD⊥DC，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，D1(0，0，1)，C(0，2，0).
设满足条件的点E存在，令E(1，y0，0)(0≤y0≤2)，
方法总结对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件．若满足，则肯定假设；若得出矛盾的结论，则否定假设．　　
[对点训练] (2020·湖南郴州模拟)如图所示，在三棱锥P­ABC中，底面是边长为4的正三角形，PA＝2，PA⊥底面ABC，点E，F分别为AC，PC的中点．
解析：(1)证明：∵AB＝BC，E为AC的中点，∴BE⊥AC.又PA⊥平面ABC，BE⊂平面ABC，∴PA⊥BE.∵PA∩AC＝A，∴BE⊥平面PAC.∵BE⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAC.