高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第7章　立体几何7.6(教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第7章　立体几何7.6(教师版)，共13页。

一、选择题
1．已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝eq \(OA,\s\up16(→))＋eq \(OB,\s\up16(→))＋eq \(OC,\s\up16(→))，向量b＝eq \(OA,\s\up16(→))＋eq \(OB,\s\up16(→))－eq \(OC,\s\up16(→))，则与a，b不能构成空间基底的向量是( )
A.eq \(OA,\s\up16(→)) B.eq \(OB,\s\up16(→))
C.eq \(OC,\s\up16(→)) D.eq \(OA,\s\up16(→))或eq \(OB,\s\up16(→))
答案 C
解析 根据题意得eq \(OC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(a－b)，所以eq \(OC,\s\up16(→))，a，b共面．故选C.
2．有4个命题：
①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；
②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb；
③若eq \(MP,\s\up16(→))＝xeq \(MA,\s\up16(→))＋yeq \(MB,\s\up16(→))，则P，M，A，B共面；
④若P，M，A，B共面，则eq \(MP,\s\up16(→))＝xeq \(MA,\s\up16(→))＋yeq \(MB,\s\up16(→)).
其中真命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
解析 ①正确；②中，若a，b共线，p与a不共线，则p＝xa＋yb就不成立；③正确；④中，若M，A，B共线，点P不在此直线上，则eq \(MP,\s\up16(→))＝xeq \(MA,\s\up16(→))＋yeq \(MB,\s\up16(→))不正确．故选B.
3．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，若eq \(AC′,\s\up16(→))＝xeq \(AB,\s\up16(→))＋2yeq \(BC,\s\up16(→))－3zeq \(CC′,\s\up16(→))，则x＋y＋z＝( )
A．1 B.eq \f(7,6)
C.eq \f(5,6) D.eq \f(2,3)
答案 B
解析 ∵eq \(AC′,\s\up16(→))＝eq \(AC,\s\up16(→))＋eq \(CC′,\s\up16(→))＝eq \(AD,\s\up16(→))＋eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(CC′,\s\up16(→))＝eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \(CC′,\s\up16(→))
＝xeq \(AB,\s\up16(→))＋2yeq \(BC,\s\up16(→))－3zeq \(CC′,\s\up16(→))，∴x＝1，y＝eq \f(1,2)，z＝－eq \f(1,3)，
∴x＋y＋z＝1＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＝eq \f(7,6).故选B.
4．已知四边形ABCD满足eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(BC,\s\up16(→))>0，eq \(BC,\s\up16(→))·eq \(CD,\s\up16(→))>0，eq \(CD,\s\up16(→))·eq \(DA,\s\up16(→))>0，eq \(DA,\s\up16(→))·eq \(AB,\s\up16(→))>0，则该四边形为( )
A．平行四边形 B．梯形
C．平面四边形 D．空间四边形
答案 D
解析 由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中任一四边形的外角和都是360°，这与已知条件矛盾，所以该四边形是一个空间四边形．故选D.
5. 如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则|eq \(PC,\s\up16(→))|等于( )
A．6eq \r(2) B．6
C．12 D．144
答案 C
解析 ∵eq \(PC,\s\up16(→))＝eq \(PA,\s\up16(→))＋eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(BC,\s\up16(→))，∴eq \(PC,\s\up16(→))2＝eq \(PA,\s\up16(→))2＋eq \(AB,\s\up16(→))2＋eq \(BC,\s\up16(→))2＋2eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(BC,\s\up16(→))，
∴|eq \(PC,\s\up16(→))|2＝36＋36＋36＋2×36cs60°＝144，∴|eq \(PC,\s\up16(→))|＝12.故选C.
6．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量eq \(AB,\s\up16(→))，eq \(AD,\s\up16(→))，eq \(AA1,\s\up16(→))两两的夹角均为60°，且|eq \(AB,\s\up16(→))|＝1，|eq \(AD,\s\up16(→))|＝2，|eq \(AA1,\s\up16(→))|＝3，则|eq \(AC1,\s\up16(→))|等于( )
A．5 B．6
C．4 D．8
答案 A
解析 设eq \(AB,\s\up16(→))＝a，eq \(AD,\s\up16(→))＝b，eq \(AA1,\s\up16(→))＝c，则eq \(AC1,\s\up16(→))＝a＋b＋c，
|eq \(AC1,\s\up16(→))|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝25，因此|eq \(AC1,\s\up16(→))|＝5.故选A.
7．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，下列命题：
①(eq \(A1A,\s\up16(→))＋eq \(A1D1,\s\up16(→))＋eq \(A1B1,\s\up16(→)))2＝3eq \(A1B1,\s\up16(→))2；
②eq \(A1C,\s\up16(→))·(eq \(A1B1,\s\up16(→))－eq \(A1A,\s\up16(→)))＝0；
③向量eq \(AD1,\s\up16(→))与向量eq \(A1B,\s\up16(→))的夹角为60°；
④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(AA1,\s\up16(→))·eq \(AD,\s\up16(→))|，
其中正确命题的序号是( )
A．①② B．①②③
C．①④ D．①②④
答案 A
解析 设正方体边长为单位长为1，建立空间直角坐标系，如图．
eq \(A1A,\s\up16(→))＝(0,0,1)，eq \(A1D1,\s\up16(→))＝(1,0,0)，eq \(A1B1,\s\up16(→))＝(0,1,0)，eq \(A1C,\s\up16(→))＝(1,1,1)，
eq \(AD1,\s\up16(→))＝(1,0，－1)，所以对于①，
(eq \(A1A,\s\up16(→))＋eq \(A1D1,\s\up16(→))＋eq \(A1B1,\s\up16(→)))2＝(1,1,1)·(1,1,1)＝3＝3eq \(A1B1,\s\up16(→))2，故①正确；
对于②，eq \(A1C,\s\up16(→))·(eq \(A1B1,\s\up16(→))－eq \(A1A,\s\up16(→)))＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0，故②正确；
对于③，因为eq \(AD1,\s\up16(→))·eq \(A1B,\s\up16(→))＝(1,0，－1)·(0,1,1)＝－1，
向量eq \(AD1,\s\up16(→))与向量eq \(A1B,\s\up16(→))的夹角为120°，故③错误；
④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|eq \(AB,\s\up16(→))||eq \(AA1,\s\up16(→))|·|eq \(AD,\s\up16(→))|，
但是|eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(AA1,\s\up16(→))·eq \(AD,\s\up16(→))|＝0，故④错误．故选A.
8．对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，且有eq \(OP,\s\up16(→))＝xeq \(OA,\s\up16(→))＋yeq \(OB,\s\up16(→))＋zeq \(OC,\s\up16(→))(x，y，z∈R)，则x＝2，y＝－3，z＝2是P，A，B，C四点共面的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案 B
解析 当x＝2，y＝－3，z＝2时，即eq \(OP,\s\up16(→))＝2eq \(OA,\s\up16(→))－3eq \(OB,\s\up16(→))＋2eq \(OC,\s\up16(→))，
则eq \(AP,\s\up16(→))－eq \(AO,\s\up16(→))＝2eq \(OA,\s\up16(→))－3(eq \(AB,\s\up16(→))－eq \(AO,\s\up16(→)))＋2(eq \(AC,\s\up16(→))－eq \(AO,\s\up16(→)))，即
eq \(AP,\s\up16(→))＝－3eq \(AB,\s\up16(→))＋2eq \(AC,\s\up16(→))，根据共面向量定理，知P，A，B，C四点共面；反之，当P，A，B，C四点共面时，
根据共面向量定理eq \(AP,\s\up16(→))＝meq \(AB,\s\up16(→))＋neq \(AC,\s\up16(→))，
即eq \(OP,\s\up16(→))－eq \(OA,\s\up16(→))＝m(eq \(OB,\s\up16(→))－eq \(OA,\s\up16(→)))＋n(eq \(OC,\s\up16(→))－eq \(OA,\s\up16(→)))，
即eq \(OP,\s\up16(→))＝(1－m－n)eq \(OA,\s\up16(→))＋meq \(OB,\s\up16(→))＋neq \(OC,\s\up16(→))，
即x＝1－m－n，y＝m，z＝n，这组数显然不止2，－3,2.
故是充分不必要条件．故选B.
9．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且eq \(AM,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)eq \(MC1,\s\up16(→))，N为B1B的中点，则|eq \(MN,\s\up16(→))|为( )
A.eq \f(\r(21),6)a B.eq \f(\r(6),6)a
C.eq \f(\r(15),6)a D.eq \f(\r(15),3)a
答案 A
解析 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，a，\f(a,2))).设M(x，y，z)，
∵点M在AC1上且Aeq \(M,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)eq \(MC1,\s\up16(→))，
∴(x－a，y，z)＝eq \f(1,2)(－x，a－y，a－z)，∴x＝eq \f(2,3)a，y＝eq \f(a,3)，z＝eq \f(a,3).
∴Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a,3)，\f(a,3)，\f(a,3)))，
∴|eq \(MN,\s\up16(→))|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(2,3)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(a,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)－\f(a,3)))2)＝eq \f(\r(21),6)a.故选A.
10．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝eq \r(2)，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
答案 B
解析 如图所示，在图1中，易知AE＝CF＝eq \f(\r(6),3)，BE＝EF＝FD＝eq \f(\r(3),3).
在图2中，设eq \(AE,\s\up16(→))＝a，eq \(EF,\s\up16(→))＝b，eq \(FC,\s\up16(→))＝c，
则〈a，b〉＝〈b，c〉＝90°，设〈a，c〉＝θ，
则eq \(AC,\s\up16(→))＝a＋b＋c，eq \(BD,\s\up16(→))＝3b，故eq \(AC,\s\up16(→))·eq \(BD,\s\up16(→))＝3b2＝1≠0，
故AC与BD不垂直，A不正确；
eq \(AB,\s\up16(→))＝eq \(AE,\s\up16(→))＋eq \(EB,\s\up16(→))＝a－b，eq \(CD,\s\up16(→))＝eq \(CF,\s\up16(→))＋eq \(FD,\s\up16(→))＝b－c，
所以eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(CD,\s\up16(→))＝－a·c－b2＝－eq \f(2,3)csθ－eq \f(1,3).
当csθ＝－eq \f(1,2)，即θ＝eq \f(2π,3)时，eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(CD,\s\up16(→))＝0，故B正确，D不正确；
eq \(AD,\s\up16(→))＝eq \(AE,\s\up16(→))＋eq \(ED,\s\up16(→))＝a＋2b，eq \(BC,\s\up16(→))＝eq \(BF,\s\up16(→))＋eq \(FC,\s\up16(→))＝2b＋c，
所以eq \(AD,\s\up16(→))·eq \(BC,\s\up16(→))＝a·c＋4b2＝eq \f(2,3)csθ＋eq \f(4,3)＝eq \f(2,3)(csθ＋2)，
故无论θ为何值，eq \(AD,\s\up16(→))·eq \(BC,\s\up16(→))≠0，故C不正确．故选B.
二、填空题
11．已知点A(1,2,1)，B(－1,3,4)，D(1,1,1)，若eq \(AP,\s\up16(→))＝2eq \(PB,\s\up16(→))，则|eq \(PD,\s\up16(→))|的值是________．
答案 eq \f(\r(77),3)
解析 设P(x，y，z)，∴eq \(AP,\s\up16(→))＝(x－1，y－2，z－1)．
eq \(PB,\s\up16(→))＝(－1－x，3－y，4－z)，由eq \(AP,\s\up16(→))＝2eq \(PB,\s\up16(→))，
得点P坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(8,3)，3))，又D(1,1,1)，∴|eq \(PD,\s\up16(→))|＝eq \f(\r(77),3).
12．如图，已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中点，若eq \(PA,\s\up16(→))＝xeq \(PO,\s\up16(→))＋yeq \(PQ,\s\up16(→))＋eq \(PD,\s\up16(→))，则x＋y＝________.
答案 0
解析 eq \(PA,\s\up16(→))－eq \(PD,\s\up16(→))＝eq \(DA,\s\up16(→))＝eq \(OA,\s\up16(→))－eq \(OD,\s\up16(→))＝－eq \(OC,\s\up16(→))－eq \(OD,\s\up16(→))＝－(eq \(OC,\s\up16(→))＋eq \(OD,\s\up16(→)))
＝－2eq \(OQ,\s\up16(→))＝－2(eq \(PQ,\s\up16(→))－eq \(PO,\s\up16(→)))＝2eq \(PO,\s\up16(→))－2eq \(PQ,\s\up16(→)).
∵eq \(PA,\s\up16(→))＝xeq \(PO,\s\up16(→))＋yeq \(PQ,\s\up16(→))＋eq \(PD,\s\up16(→))，∴eq \(PA,\s\up16(→))－eq \(PD,\s\up16(→))＝xeq \(PO,\s\up16(→))＋yeq \(PQ,\s\up16(→))，
∴2eq \(PO,\s\up16(→))－2eq \(PQ,\s\up16(→))＝xeq \(PO,\s\up16(→))＋yeq \(PQ,\s\up16(→)).
∵eq \(PQ,\s\up16(→))与eq \(PO,\s\up16(→))不共线，∴x＝2，y＝－2，∴x＋y＝0.
13．已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当eq \(QA,\s\up16(→))·eq \(QB,\s\up16(→))取最小值时，点Q的坐标是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3)))
解析 由题意，设eq \(OQ,\s\up16(→))＝λeq \(OP,\s\up16(→))，即eq \(OQ,\s\up16(→))＝(λ，λ，2λ)，
则eq \(QA,\s\up16(→))＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，eq \(QB,\s\up16(→))＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
∴eq \(QA,\s\up16(→))·eq \(QB,\s\up16(→))＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)·(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－\f(4,3)))2－eq \f(2,3)，当λ＝eq \f(4,3)时有最小值，此时Q点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3))).
14．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为θ，则csθ的最大值为________．
答案 eq \f(2,5)
解析 以A为坐标原点，射线AB，AD，AQ分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设正方形ABCD和ADPQ的边长为2，则E(1,0,0)，F(2,1,0)，M(0，y,2)(0≤y≤2)．所以eq \(AF,\s\up16(→))＝(2,1,0)，eq \(EM,\s\up16(→))＝(－1，y,2)．
所以eq \(AF,\s\up16(→))·eq \(EM,\s\up16(→))＝－2＋y，|eq \(AF,\s\up16(→))|＝eq \r(5)，|eq \(EM,\s\up16(→))|＝eq \r(5＋y2).
所以csθ＝eq \f(|\(AF,\s\up16(→))·\(EM,\s\up16(→))|,|\(AF,\s\up16(→))||\(EM,\s\up16(→))|)＝eq \f(|－2＋y|,\r(5)·\r(5＋y2))＝eq \f(2－y,\r(5)·\r(5＋y2)).
令2－y＝t，则y＝2－t，且t∈[0,2]．
所以csθ＝eq \f(t,\r(5)·\r(5＋2－t2))＝eq \f(t,\r(5)·\r(9－4t＋t2)).当t＝0时，csθ＝0.
当t≠0时，csθ＝eq \f(1,\r(5)·\r(\f(9,t2)－\f(4,t)＋1))＝eq \f(1,\r(5)·\r(9\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)－\f(2,9)))2＋\f(5,9)))，
由t∈(0,2]，得eq \f(1,t)∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))，
所以 eq \r(9\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)－\f(2,9)))2＋\f(5,9))≥ eq \r(9×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(2,9)))2＋\f(5,9))＝eq \f(\r(5),2).
所以0三、解答题
15．已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝eq \(AB,\s\up16(→))，b＝eq \(AC,\s\up16(→)).
(1)求a和b夹角的余弦值；
(2)设|c|＝3，c∥eq \(BC,\s\up16(→))，求c的坐标．
解 (1)因为Aeq \(B,\s\up16(→))＝(1,1,0)，eq \(AC,\s\up16(→))＝(－1,0,2)，所以a·b＝－1＋0＋0＝－1，|a|＝eq \r(2)，|b|＝eq \r(5).
所以cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－1,\r(2)×\r(5))＝eq \f(－\r(10),10).
(2)eq \(BC,\s\up16(→))＝(－2，－1,2)，设c＝(x，y，z)，
因为|c|＝3，c∥eq \(BC,\s\up16(→))，所以eq \r(x2＋y2＋z2)＝3，存在实数λ使得c＝λeq \(BC,\s\up16(→))，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2λ，,y＝－λ，,z＝2λ，))联立解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝－1，,z＝2，,λ＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1，,z＝－2，,λ＝－1，))
所以c＝±(－2，－1,2)．
16．已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.
(1)求线段AC1的长；
(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；
(3)证明：AA1⊥BD.
解 (1)如图所示，设eq \(AB,\s\up16(→))＝a，eq \(AD,\s\up16(→))＝b，eq \(AA1,\s\up16(→))＝c，
则|a|＝|b|＝1，|c|＝2.a·b＝0，a·c＝b·c＝2×1×cs120°＝－1.
∵eq \(AC1,\s\up16(→))＝eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \(CC1,\s\up16(→))＝a＋b＋c，
∴|eq \(AC1,\s\up16(→))|2＝(a＋b＋c)2
＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝1＋1＋22－2－2＝2.
∴|eq \(AC1,\s\up16(→))|＝eq \r(2).即AC1长为eq \r(2).
(2)∵eq \(AC1,\s\up16(→))＝a＋b＋c，eq \(A1D,\s\up16(→))＝b－c，
∴eq \(AC1,\s\up16(→))·eq \(A1D,\s\up16(→))＝(a＋b＋c)·(b－c)
＝a·b－a·c＋b2－b·c＋b·c－c2＝1＋12－22＝－2.
又|eq \(A1D,\s\up16(→))|2＝(b－c)2＝b2＋c2－2b·c＝1＋4＋2＝7，
∴|eq \(A1D,\s\up16(→))|＝eq \r(7).∴cs〈eq \(AC1,\s\up16(→))，eq \(A1D,\s\up16(→))〉＝eq \f(\(AC1,\s\up16(→))·\(A1D,\s\up16(→)),|\(AC1,\s\up16(→))||\(A1D,\s\up16(→))|)＝eq \f(－2,\r(2)×\r(7))＝eq \f(－\r(14),7).
∴异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为eq \f(\r(14),7).
(3)证明：∵eq \(AA1,\s\up16(→))＝c，eq \(BD,\s\up16(→))＝b－a，
∴eq \(AA1,\s\up16(→))·eq \(BD,\s\up16(→))＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝－1－(－1)＝0.
∴eq \(AA1,\s\up16(→))⊥eq \(BD,\s\up16(→))，即AA1⊥BD.