江西省南昌市八一中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学文科试题（含答案）

2020~2021学年度第二学期南昌市八一中学高二文科数学期末考试试卷

一、单选题(共60分)

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．复数(i是虚数单位)，则z的共轭复数（    ）

A．-1 B．-i C．1 D．i

3．已知p：恒成立，q：有解，则下列命题中正确的是

A． B． C． D．

4．将函数的图像向左平移个最小正周期后，所得图像对应的函数为（    ）

A． B．

C． D．

5．已知实数x，y满足则的最小值是（    ）

A． B． C． D．9

6．若在中，角的对边分别为，则（    ）

A． B． C．或 D．以上都不对

7．从圆x2+y2=1内任取一点P，则P到直线x+y=1的距离小于的概率是（    ）

A． B． C． D．

8．若，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

9．下面四个函数中既为奇函数，又在定义域上单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

10．正方体中，下列命题中正确的是（    ）.

A．与是相交直线且垂直 B．与是异面直线且垂直

C．与是相交直线且垂直 D．与是异面直线且垂直

11．已知是椭圆的左，右焦点，点A是椭圆上的一个动点，则的内切圆的半径的最大值是（    ）

A．1 B． C． D．

12．已知函数有两个不同的极值点，则满足条件的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题(共20分)

13．已知向量，，若与垂直，则的值为______.

14．已知双曲线上的点P到点的距离为9，则点P到点的距离为______．

15．已知△中，，满足，则△的面积为___________.

16．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为____________

三、解答题(共60分)

17．甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?

（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?

附：

18．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点.

（1）求证：BD⊥平面PAC；

（2）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；

19．已知正项等差数列的前项和为，若构成等比数列.

（1）求数列的通项公式.

（2）设数列的前项和为，求证:

20．已知抛物线C的方程为，它的焦点F到点M 的距离为.

（1）求抛物线C的方程；

（2）A､B､D是抛物线C上不同三点，且△ABD是以B为直角顶点的等腰直角三角形，求的最小.

21．已知（且）．

（1）若是函数的极值点，求实数的值，并求此时在上的最小值；

（2）当时，求证：．

四、选考题(共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。)

22．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出Р的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点．

23．已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若时，不等式成立，求实数的取值范围．

高二文科数学参考答案

1--12： A  B  B  A  B  A  D  A  D  D  D  D

13．2  14．17  15．  16．

17.（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为,

乙机床生产的产品中的一级品的频率为.

（2）,

故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.

18．（1）证明：因为平面,所以；

因为底面是菱形，所以;因为,平面,

所以平面.

（2）证明：因为底面是菱形且，所以为正三角形，所以,因为,所以；因为平面，平面,所以；因为所以平面，

平面,所以平面平面.

19．（1）由为等差数列，得，则

又构成等比数列，所以，

即解得或(舍)，

所以;

（2）因为，

所以

20．（1）由焦点F，距离公式可得，

解得或者（舍），

所以抛物线方程为，

（2）设，，

由△ABD是以B为直角顶点的等腰直角三角形，如图，分别作垂直和平行于轴的直线相交于，过分别作垂直和平行于轴的直线相交于则

，所以，所以，

所以（*），

由，可得，

整理可得，由互不相等，所以，即，带入（*）式可得：

，

当时，△ABD的面积最小，此时.

21．（1）函数的定义域为，，，

所以（经验证满足题意）所以

在上，单调递减，在上，单调递增，

所以时取最小值为所以在的最小值为2；

（2）当时，令，

，令，因为恒成立，

所以在上单调递增，，

由零点存在性定理可得存在，使得，即，

当时，单调递减，当时，单调递增，

所以，，

由二次函数性质可得，所以，即得证．

22．（1）由曲线C的极坐标方程可得，

将代入可得，即，

即曲线C的直角坐标方程为；

（2）设，设

，

，

则，即，

故P的轨迹的参数方程为（为参数）

曲线C的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为2，

则圆心距为，，两圆内含，故曲线C与没有公共点.

23．（1）当时，.

当时，，解得，此时；

当时，，此时；

当时，，解得，此时.

综上所述，当时，不等式的解集为；

（2）若，则，

由，可得，即，解得，

对任意的时，不等式成立，则，

所以，，此不等式组无解.

故实数的取值范围为.