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江苏专用2022版高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式第三节简单的逻辑联结词全称量词与存在量词练习含解析
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这是一份江苏专用2022版高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式第三节简单的逻辑联结词全称量词与存在量词练习含解析，共13页。试卷主要包含了理解全称量词与存在量词的意义，含有一个量词的命题的否定，已知命题p，命题p，下列有关命题的说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
学习要求:1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.
2.理解全称量词与存在量词的意义.
3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
1.简单的逻辑联结词
(1)命题中的① 或 、且、非叫做逻辑联结词.
(2)命题p∧q、p∨q、¬p的真假判断:
p
q
p∧q
p∨q
¬p
真
真
② 真
真
假
真
假
③ 假
真
假
假
真
假
真
④ 真
假
假
假
⑤ 假
⑥ 真
▶提醒 逻辑联结词与集合的关系:“或、且、非”三个逻辑联结词对应着集合运算中的“并、交、补”,因此,常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个逻辑联结词构成的命题问题.
2.全称量词与存在量词
量词名称
常见短语
符号表示
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
⑦ ∀
存在量词
存在一个、至少一个、有些、某些等
⑧ ∃
3.全称命题和特称命题
名称
形式
全称命题
特称命题
结构
对M中的任意一个x,有p(x)成立
存在M中的一个x0,使p(x0)成立
简记
⑨ ∀x∈M,p(x)
⑩ ∃x0∈M,p(x0)
4.含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M,p(x)
∃x0∈M,¬p(x0)
∃x0∈M,p(x0)
∀x∈M,¬p(x)
▶提醒 含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词,否结论”.
知识拓展
1.记忆口诀:(1)“p或q”,有真则真;(2)“p且q”,有假则假;(3)“¬p”,真假相反.
2.命题p∧q的否定是(¬p)∨(¬q);命题p∨q的否定是(¬p)∧(¬q).
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).
(1)命题“5>6或5>2”是假命题. ( )
(2)p∧q为真的充要条件是p为真或q为真. ( )
(3)“长方形的对角线相等”是特称命题. ( )
(4)命题“菱形的对角线相等”的否定是“菱形的对角线不相等”.( )
(5)若命题p,q中至少有一个是真命题,则p∨q是真命题. ( )
(6)若命题¬(p∧q)是假命题,则命题p,q中至多有一个是真命题. ( )
答案 (1)✕ (2)✕ (3)✕ (4)✕ (5)√ (6)✕
2.(人教A版必修第一册P30例4改编)命题“对任意的x∈R,3x3-2x2+4<0”的否定是( )
A.不存在x∈R,3x3-2x2+4≥0
B.存在x∉R,3x3-2x3+4≥0
C.存在x∈R,3x3-2x2+4≥0
D.存在x∈R,3x3-2x2+4<0
答案 C
3.命题“∃x0∈R,x0+1<0或x02-x0>0”的否定是 ( )
A.∃x0∈R,x0+1≥0或x02-x0≤0
B.∀x∈R,x+1≥0或x2-x≤0
C.∃x0∈R,x0+1≥0且x02-x0≤0
D.∀x∈R,x+1≥0且x2-x≤0
答案 D
4.若命题“∃x0∈[-1,1],x02+3x0+a>0”为假命题,则实数a的取值范围是 .
答案 (-∞,-4]
解析 由题意,命题“∃x0∈[-1,1],x02+3x0+a>0”为假命题,
可知“∀x∈[-1,1],x2+3x+a≤0”为真命题,
令g(x)=x2+3x+a,则∀x∈[-1,1],g(x)≤0恒成立,
因为g(x)=x2+3x+a图象的对称轴为直线x=-32,
所以g(x)在x∈[-1,1]上单调递增,
所以只需g(1)≤0即可,即4+a≤0,解得a≤-4,即a∈(-∞,-4].
5.已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若1x>1y,则x
全称命题与特称命题
角度一 全称命题与特称命题的否定
1.命题“∀x∈R,f(x)g(x)≠0”的否定是 ( )
A.∀x∈R,f(x)=0且g(x)=0
B.∀x∈R,f(x)=0或g(x)=0
C.∃x0∈R,f(x0)=0且g(x0)=0
D.∃x0∈R,f(x0)=0或g(x0)=0
答案 D
2.命题“所有实数的平方是非负实数”的否定是 ( )
A.所有实数的平方是负实数
B.不存在一个实数,它的平方是负实数
C.存在一个实数,它的平方是负实数
D.不存在一个实数,它的平方是非负实数
答案 C
3.命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是 ( )
A.全等三角形的面积不一定都相等
B.不全等三角形的面积不一定都相等
C.存在两个不全等三角形,其面积相等
D.存在两个全等三角形,其面积不相等
答案 D
角度二 全称命题与特称命题的真假判断
4.(多选题)关于下列命题,真命题是 ( )
A.∀x∈R,ex>x2 B.∃x0∈R,lgx0=0
C.∀x∈0,π2,x>sinx D.∃x0∈R,sinx0+cosx0=3
答案 BC
5.下列命题为真命题的是 ( )
A.∃x0∈R,x02≤x0-2
B.∀x∈R,2x>2-x2
C.函数f(x)=1x是定义域上的减函数
D.能“被2整除的整数都是偶数”的否定是“至少存在一个能被2整除的整数不是偶数”
答案 D
6.已知a>0,函数f(x)=ax2+bx+c,若x1满足关于x的方程2ax+b=0,则下列选项中的命题为假命题的是 ( )
A.∃x0∈R,f(x0)≤f(x1)
B.∃x0∈R,f(x0)≥f(x1)
C.∀x∈R,f(x)≤f(x1)
D.∀x∈R,f(x)≥f(x1)
答案 C
7.命题p:∃x0∈R,2x0≤0,命题q:∀x∈(0,+∞),x>sinx,其中真命题是 ;命题p的否定是 .
答案 q;∀x∈R,2x>0
方法技巧
1.对全称命题与特称命题进行否定的方法
(1)改变量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行改变.
(2)否定结论:对原命题的结论进行否定.
2.全称命题与特称命题的真假判断的方法
(1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;要判断全称命题是假命题,只要能找出集合M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).
(2)要判断一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,至少能找到一个x=x0,使p(x0)成立,否则,这一特称命题就是假命题.
▶提醒 因为命题p与¬p的真假性相反.因此无论是全称命题,还是特称命题,当其真假性不容易正面判断时,可先判断其否定的真假.
含逻辑联结词的命题的真假判断
典例1 (1)已知命题p:∀x∈R,2x<3x;命题q:∃x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是( )
A.p∧q B.(¬p)∧q
C.p∧(¬q) D.(¬p)∧(¬q)
(2)若命题p:对任意x∈R,总有2x>0;命题q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件,则在下列命题中为真命题的是 ( )
A.p∧(¬q) B.(¬p)∧(¬q)
C.(¬p)∧q D.p∧q
答案 (1)B (2)A
解析 (1)容易判断当x≤0时,2x≥3x,故命题p为假命题,分别作出函数y=x3,y=1-x2的图象,易知命题q为真命题.根据真值表易判断(¬p)∧q为真命题.
(2)由指数函数的性质可知,命题p是真命题,则命题¬p是假命题;显然,“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,即命题q是假命题,命题¬q是真命题.所以命题p∧(¬q)是真命题.
规律总结
1.判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键及步骤
(1)判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义.
(2)判断命题真假的步骤:
确定命题的
构成形式⇨判断简单命
题的真假⇨判断复合命
题的真假
2.含有逻辑联结词的命题的真假的等价关系
(1)p∨q真⇔p,q至少一个真⇔(¬p)∧(¬q)假.
(2)p∨q假⇔p,q均假⇔(¬p)∧(¬q)真.
(3)p∧q真⇔p,q均真⇔(¬p)∨(¬q)假.
(4)p∧q假⇔p,q至少一个假⇔(¬p)∨(¬q)真.
(5)¬p真⇔p假;¬p假⇔p真.
1.已知命题p:∀x>0,ln(x+1)>0;命题q:若a>b,则a2>b2.下列命题为真命题的是 ( )
A.p∧q B.p∧(¬q)
C.(¬p)∧q D.(¬p)∧(¬q)
答案 B 当x>0时,x+1>1,因此ln(x+1)>0,即p为真命题;取a=1,b=-2,这时满足a>b,但显然a2>b2不成立,因此q为假命题.由复合命题的真假性可知选B.
2.“p或q为真命题”是“p且q为真命题”的 条件.
答案 必要不充分
解析 p或q为真命题⇒/p且q为真命题,p且q为真命题⇒p或q为真命题.
由命题的真假确定参数的取值范围
典例2 (1)已知命题“∃x∈R,使2x2+(a-1)x+12≤0”是假命题,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-1) B.(-1,3)
C.(-3,+∞) D.(-3,1)
(2)已知a>0,且a≠1,命题p:函数y=loga(x+1)在x∈(0,+∞)内单调递减,命题q:曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点.若“p∨q”为假,则a的取值范围是 ( )
A.1,52 B.-∞,12∪1,52
C.12,52 D.12,1∪52,+∞
答案 (1)B (2)A
解析 (1)因为命题“∃x∈R,使2x2+(a-1)x+12≤0”是假命题,所以2x2+(a-1)x+12>0恒成立,所以Δ=(a-1)2-4×2×12<0,解得-11时,函数y=loga(x+1)在(0,+∞)内不是单调递减的.若p为假,则a>1.曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点等价于(2a-3)2-4>0,即a<12或a>52.若q为假,则a∈12,52.若使“p∨q”为假,则a∈(1,+∞)∩12,52,即a∈1,52.
名师点评
根据命题的真假求参数取值范围的策略
(1)全称命题可转化为恒成立问题,特称命题可转化为存在性问题.
(2)含有逻辑联结词的问题:
①求出每个命题是真命题时的参数的取值范围;
②根据题意确定每个命题的真假;
③由各个命题的真假列出关于参数的不等式(组)并求解.
1.若命题“∃x0∈R,2x02-3ax0+9<0”为真命题,则实数a的取值范围是 .
答案 (-∞,-22)∪(22,+∞)
2.由命题“存在x∈R,使x2+2x+m≤0”是假命题,求得实数m的取值范围是(a,+∞),则实数a的值是 .
答案 1
解析 ∵原命题是假命题,
∴其否定为真命题,即“∀x∈R,都有x2+2x+m>0”,
∴Δ=4-4m<0,∴m>1,∴m的取值范围为(1,+∞),则a=1.
A组 基础达标
1.(2020辽宁沈阳郊联体期末)命题p:∀x≥0,都有ex≥-x+1,则命题p的否定为 ( )
A.∀x≥0,都有ex<-x+1
B.∀x<0,都有ex≥-x+1
C.∃x0≥0,ex0<-x0+1
D.∃x0<0,ex0<-x0+1
答案 C
2.(多选题)已知命题p:∀a∈R,且a>0,a+1a≥2,命题q:∃x0∈R,sinx0+cosx0=3,则 ( )
A.p是假命题 B.p∨q是真命题
C.p∧(¬q)是真命题 D.(¬p)∧q是真命题
答案 BC
3.已知命题p:∀m∈[0,1],x+1x≥2m,则¬p为 ( )
A.∀m∈[0,1],x+12<2m
B.∃m0∈[0,1],x+1x≥2m0
C.∃m0∈(-∞,0)∪(1,+∞),x+1x≥2m0
D.∃m0∈[0,1],x+1x<2m0
答案 D
4.“p∨q为真”是“¬p为假”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
5.若命题p:对任意的x∈R,都有x3-x2+1<0,则¬p为 ( )
A.不存在x0∈R,使得x03-x02+1<0
B.存在x0∈R,使得x03-x02+1<0
C.对任意的x∈R,都有x3-x2+1≥0
D.存在x0∈R,使得x03-x02+1≥0
答案 D
6.(多选题)已知命题p:若a>|b|,则a2>b2;命题q:若x2=4,则x=2.下列说法正确的是 ( )
A.“p∨q”为真命题
B.“p∧q”为真命题
C.“¬p”为真命题
D.“¬q”为真命题
答案 AD
7.命题“函数y=f(x)(x∈M)是偶函数”的否定为 ( )
A.∃x0∈M,f(-x0)≠f(x0)
B.∀x∈M,f(-x)≠f(x)
C.∀x∈M,f(-x)=f(x)
D.∃x0∈M,f(-x0)=f(x0)
答案 A
8.(2020黑龙江哈尔滨师范大学附属中学高三上学期开学考)已知命题p:∃α∈R,sinα+cosα=54,命题q:正数的对数都是正数,则下列命题中为真命题的是 ( )
A.(¬p)∨q B.p∧q
C.(¬p)∧(¬q) D.(¬p)∨(¬q)
答案 D sinα+cosα=2sinα+π4≤2,
∵2>54,
∴∃α∈R,sinα+cosα=54,
故命题p为真命题;
命题q:因为当x=1时,对数值为0,所以命题q是假命题.
∴¬p为假,¬q为真,
∴(¬p)∨(¬q)为真命题.
故选D.
9.(2020吉林长春第二实验中学期末)若命题“∃x0∈R,x02+2mx0+m+2<0”为假命题,则m的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1]∪[2,+∞) B.(-∞,-1)∪(2,+∞)
C.[-1,2] D.(-1,2)
答案 C 若命题“∃x0∈R,x02+2mx0+m+2<0”为假命题,则命题等价于x2+2mx+m+2≥0恒成立,故只需要Δ=4m2-4(m+2)≤0⇒-1≤m≤2.
10.(2020安徽安庆七中高三模拟)(多选题)下列有关命题的说法正确的是 ( )
A.若“p∨q”为假命题,则p与q均为假命题
B.△ABC中,∃B>C,cosB>cosC
C.若命题p:∃x0∈R,x02≥0,则命题¬p:∀x∈R,x2<0
D.“sinx=12”的必要不充分条件是“x=π6”
答案 AC
B组 能力拔高
11.(2020安徽淮南寿县第一中学高三检测)设命题p:若x,y∈R,则“x>y>0”是“x2>y2”的必要不充分条件;命题q:“∀x>0,2x>1”的否定是“∃x≤0,2x≤1”,则下列命题为真命题的是 ( )
A.p∧q B.(¬p)∧(¬q)
C.p∨q D.p∧(¬q)
答案 B 根据不等式的性质,若x>y>0,则x2>y2;
反之,若x2>y2,则x2-y2>0,即(x+y)(x-y)>0,因为x,y的正负不确定,所以不能推出x>y>0,
因此“x>y>0”是“x2>y2”的充分不必要条件,即命题p为假命题,所以¬p为真命题;
命题q:“∀x>0,2x>1”的否定是“∃x>0,2x≤1”,故命题q为假命题,所以¬q为真命题,
所以p∧q为假,p∨q为假,p∧(¬q)为假,(¬p)∧(¬q)为真.故选B.
12.(2020黑龙江牡丹江第一高级中学高三上学期开学考)已知命题p:“∀x∈[1,e],a>lnx”,命题q:“∃x∈R,x2-4x+a=0”,若“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是 ( )
A.(1,4] B.(0,1]
C.[-1,1] D.(4,+∞)
答案 A 若命题p:“∀x∈[1,e],a>lnx”为真命题,则a>lne=1,
若命题q:“∃x∈R,x2-4x+a=0”为真命题,
则Δ=16-4a≥0,解得a≤4,
若命题“p∧q”为真命题,
则p,q都是真命题,
则a>1,a≤4,
解得1
故选A.
13.(2020安徽“皖江名校”高三模拟)已知命题p:∀x∈0,π2,x-sinx≥0,则¬p为 .
答案 ∃x0∈0,π2,x0-sinx0<0
14.命题p的否定是“对所有正数x,x>x+1”,则命题p为 .
答案 ∃x0∈(0,+∞),x0≤x0+1
C组 思维拓展
15.(2020湖北黄冈高二月考)已知m∈R,命题p:对任意实数x,不等式x2-2x-1≥m2-3m恒成立,若¬p为真命题,则m的取值范围是 .
答案 (-∞,1)∪(2,+∞)
解析 y=x2-2x-1=(x-1)2-2≥-2,
对任意实数x,不等式x2-2x-1≥m2-3m恒成立,
所以(x2-2x-1)min≥m2-3m,即m2-3m≤-2,
解得1≤m≤2,因为¬p为真命题,所以p为假命题,所以m<1或m>2.
16.已知命题p:x2+4x+3≥0,q:x∈Z,且“p∧q”与“¬q”同时为假命题,则x= .
答案 -2
解析 若p为真,则x≥-1或x≤-3,因为“?q”为假,所以q为真,即x∈Z,
又因为“p∧q”为假,所以p为假,故-3
解析 当p为真命题时,
Δ=m2-4>0,x1+x2=-m<0,x1·x2=1>0,
解得m>2,
当q为真命题时,
Δ=16(m-2)2-16<0,解得1
当p为真,q为假时,
m>2,m≤1或m≥3,
所以m≥3;
当p为假,q为真时,m≤2,1
第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
学习要求:1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.
2.理解全称量词与存在量词的意义.
3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
1.简单的逻辑联结词
(1)命题中的① 或 、且、非叫做逻辑联结词.
(2)命题p∧q、p∨q、¬p的真假判断:
p
q
p∧q
p∨q
¬p
真
真
② 真
真
假
真
假
③ 假
真
假
假
真
假
真
④ 真
假
假
假
⑤ 假
⑥ 真
▶提醒 逻辑联结词与集合的关系:“或、且、非”三个逻辑联结词对应着集合运算中的“并、交、补”,因此,常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个逻辑联结词构成的命题问题.
2.全称量词与存在量词
量词名称
常见短语
符号表示
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
⑦ ∀
存在量词
存在一个、至少一个、有些、某些等
⑧ ∃
3.全称命题和特称命题
名称
形式
全称命题
特称命题
结构
对M中的任意一个x,有p(x)成立
存在M中的一个x0,使p(x0)成立
简记
⑨ ∀x∈M,p(x)
⑩ ∃x0∈M,p(x0)
4.含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M,p(x)
∃x0∈M,¬p(x0)
∃x0∈M,p(x0)
∀x∈M,¬p(x)
▶提醒 含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词,否结论”.
知识拓展
1.记忆口诀:(1)“p或q”,有真则真;(2)“p且q”,有假则假;(3)“¬p”,真假相反.
2.命题p∧q的否定是(¬p)∨(¬q);命题p∨q的否定是(¬p)∧(¬q).
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).
(1)命题“5>6或5>2”是假命题. ( )
(2)p∧q为真的充要条件是p为真或q为真. ( )
(3)“长方形的对角线相等”是特称命题. ( )
(4)命题“菱形的对角线相等”的否定是“菱形的对角线不相等”.( )
(5)若命题p,q中至少有一个是真命题,则p∨q是真命题. ( )
(6)若命题¬(p∧q)是假命题,则命题p,q中至多有一个是真命题. ( )
答案 (1)✕ (2)✕ (3)✕ (4)✕ (5)√ (6)✕
2.(人教A版必修第一册P30例4改编)命题“对任意的x∈R,3x3-2x2+4<0”的否定是( )
A.不存在x∈R,3x3-2x2+4≥0
B.存在x∉R,3x3-2x3+4≥0
C.存在x∈R,3x3-2x2+4≥0
D.存在x∈R,3x3-2x2+4<0
答案 C
3.命题“∃x0∈R,x0+1<0或x02-x0>0”的否定是 ( )
A.∃x0∈R,x0+1≥0或x02-x0≤0
B.∀x∈R,x+1≥0或x2-x≤0
C.∃x0∈R,x0+1≥0且x02-x0≤0
D.∀x∈R,x+1≥0且x2-x≤0
答案 D
4.若命题“∃x0∈[-1,1],x02+3x0+a>0”为假命题,则实数a的取值范围是 .
答案 (-∞,-4]
解析 由题意,命题“∃x0∈[-1,1],x02+3x0+a>0”为假命题,
可知“∀x∈[-1,1],x2+3x+a≤0”为真命题,
令g(x)=x2+3x+a,则∀x∈[-1,1],g(x)≤0恒成立,
因为g(x)=x2+3x+a图象的对称轴为直线x=-32,
所以g(x)在x∈[-1,1]上单调递增,
所以只需g(1)≤0即可,即4+a≤0,解得a≤-4,即a∈(-∞,-4].
5.已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若1x>1y,则x
全称命题与特称命题
角度一 全称命题与特称命题的否定
1.命题“∀x∈R,f(x)g(x)≠0”的否定是 ( )
A.∀x∈R,f(x)=0且g(x)=0
B.∀x∈R,f(x)=0或g(x)=0
C.∃x0∈R,f(x0)=0且g(x0)=0
D.∃x0∈R,f(x0)=0或g(x0)=0
答案 D
2.命题“所有实数的平方是非负实数”的否定是 ( )
A.所有实数的平方是负实数
B.不存在一个实数,它的平方是负实数
C.存在一个实数,它的平方是负实数
D.不存在一个实数,它的平方是非负实数
答案 C
3.命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是 ( )
A.全等三角形的面积不一定都相等
B.不全等三角形的面积不一定都相等
C.存在两个不全等三角形,其面积相等
D.存在两个全等三角形,其面积不相等
答案 D
角度二 全称命题与特称命题的真假判断
4.(多选题)关于下列命题,真命题是 ( )
A.∀x∈R,ex>x2 B.∃x0∈R,lgx0=0
C.∀x∈0,π2,x>sinx D.∃x0∈R,sinx0+cosx0=3
答案 BC
5.下列命题为真命题的是 ( )
A.∃x0∈R,x02≤x0-2
B.∀x∈R,2x>2-x2
C.函数f(x)=1x是定义域上的减函数
D.能“被2整除的整数都是偶数”的否定是“至少存在一个能被2整除的整数不是偶数”
答案 D
6.已知a>0,函数f(x)=ax2+bx+c,若x1满足关于x的方程2ax+b=0,则下列选项中的命题为假命题的是 ( )
A.∃x0∈R,f(x0)≤f(x1)
B.∃x0∈R,f(x0)≥f(x1)
C.∀x∈R,f(x)≤f(x1)
D.∀x∈R,f(x)≥f(x1)
答案 C
7.命题p:∃x0∈R,2x0≤0,命题q:∀x∈(0,+∞),x>sinx,其中真命题是 ;命题p的否定是 .
答案 q;∀x∈R,2x>0
方法技巧
1.对全称命题与特称命题进行否定的方法
(1)改变量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行改变.
(2)否定结论:对原命题的结论进行否定.
2.全称命题与特称命题的真假判断的方法
(1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;要判断全称命题是假命题,只要能找出集合M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).
(2)要判断一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,至少能找到一个x=x0,使p(x0)成立,否则,这一特称命题就是假命题.
▶提醒 因为命题p与¬p的真假性相反.因此无论是全称命题,还是特称命题,当其真假性不容易正面判断时,可先判断其否定的真假.
含逻辑联结词的命题的真假判断
典例1 (1)已知命题p:∀x∈R,2x<3x;命题q:∃x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是( )
A.p∧q B.(¬p)∧q
C.p∧(¬q) D.(¬p)∧(¬q)
(2)若命题p:对任意x∈R,总有2x>0;命题q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件,则在下列命题中为真命题的是 ( )
A.p∧(¬q) B.(¬p)∧(¬q)
C.(¬p)∧q D.p∧q
答案 (1)B (2)A
解析 (1)容易判断当x≤0时,2x≥3x,故命题p为假命题,分别作出函数y=x3,y=1-x2的图象,易知命题q为真命题.根据真值表易判断(¬p)∧q为真命题.
(2)由指数函数的性质可知,命题p是真命题,则命题¬p是假命题;显然,“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,即命题q是假命题,命题¬q是真命题.所以命题p∧(¬q)是真命题.
规律总结
1.判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键及步骤
(1)判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义.
(2)判断命题真假的步骤:
确定命题的
构成形式⇨判断简单命
题的真假⇨判断复合命
题的真假
2.含有逻辑联结词的命题的真假的等价关系
(1)p∨q真⇔p,q至少一个真⇔(¬p)∧(¬q)假.
(2)p∨q假⇔p,q均假⇔(¬p)∧(¬q)真.
(3)p∧q真⇔p,q均真⇔(¬p)∨(¬q)假.
(4)p∧q假⇔p,q至少一个假⇔(¬p)∨(¬q)真.
(5)¬p真⇔p假;¬p假⇔p真.
1.已知命题p:∀x>0,ln(x+1)>0;命题q:若a>b,则a2>b2.下列命题为真命题的是 ( )
A.p∧q B.p∧(¬q)
C.(¬p)∧q D.(¬p)∧(¬q)
答案 B 当x>0时,x+1>1,因此ln(x+1)>0,即p为真命题;取a=1,b=-2,这时满足a>b,但显然a2>b2不成立,因此q为假命题.由复合命题的真假性可知选B.
2.“p或q为真命题”是“p且q为真命题”的 条件.
答案 必要不充分
解析 p或q为真命题⇒/p且q为真命题,p且q为真命题⇒p或q为真命题.
由命题的真假确定参数的取值范围
典例2 (1)已知命题“∃x∈R,使2x2+(a-1)x+12≤0”是假命题,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-1) B.(-1,3)
C.(-3,+∞) D.(-3,1)
(2)已知a>0,且a≠1,命题p:函数y=loga(x+1)在x∈(0,+∞)内单调递减,命题q:曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点.若“p∨q”为假,则a的取值范围是 ( )
A.1,52 B.-∞,12∪1,52
C.12,52 D.12,1∪52,+∞
答案 (1)B (2)A
解析 (1)因为命题“∃x∈R,使2x2+(a-1)x+12≤0”是假命题,所以2x2+(a-1)x+12>0恒成立,所以Δ=(a-1)2-4×2×12<0,解得-1
名师点评
根据命题的真假求参数取值范围的策略
(1)全称命题可转化为恒成立问题,特称命题可转化为存在性问题.
(2)含有逻辑联结词的问题:
①求出每个命题是真命题时的参数的取值范围;
②根据题意确定每个命题的真假;
③由各个命题的真假列出关于参数的不等式(组)并求解.
1.若命题“∃x0∈R,2x02-3ax0+9<0”为真命题,则实数a的取值范围是 .
答案 (-∞,-22)∪(22,+∞)
2.由命题“存在x∈R,使x2+2x+m≤0”是假命题,求得实数m的取值范围是(a,+∞),则实数a的值是 .
答案 1
解析 ∵原命题是假命题,
∴其否定为真命题,即“∀x∈R,都有x2+2x+m>0”,
∴Δ=4-4m<0,∴m>1,∴m的取值范围为(1,+∞),则a=1.
A组 基础达标
1.(2020辽宁沈阳郊联体期末)命题p:∀x≥0,都有ex≥-x+1,则命题p的否定为 ( )
A.∀x≥0,都有ex<-x+1
B.∀x<0,都有ex≥-x+1
C.∃x0≥0,ex0<-x0+1
D.∃x0<0,ex0<-x0+1
答案 C
2.(多选题)已知命题p:∀a∈R,且a>0,a+1a≥2,命题q:∃x0∈R,sinx0+cosx0=3,则 ( )
A.p是假命题 B.p∨q是真命题
C.p∧(¬q)是真命题 D.(¬p)∧q是真命题
答案 BC
3.已知命题p:∀m∈[0,1],x+1x≥2m,则¬p为 ( )
A.∀m∈[0,1],x+12<2m
B.∃m0∈[0,1],x+1x≥2m0
C.∃m0∈(-∞,0)∪(1,+∞),x+1x≥2m0
D.∃m0∈[0,1],x+1x<2m0
答案 D
4.“p∨q为真”是“¬p为假”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
5.若命题p:对任意的x∈R,都有x3-x2+1<0,则¬p为 ( )
A.不存在x0∈R,使得x03-x02+1<0
B.存在x0∈R,使得x03-x02+1<0
C.对任意的x∈R,都有x3-x2+1≥0
D.存在x0∈R,使得x03-x02+1≥0
答案 D
6.(多选题)已知命题p:若a>|b|,则a2>b2;命题q:若x2=4,则x=2.下列说法正确的是 ( )
A.“p∨q”为真命题
B.“p∧q”为真命题
C.“¬p”为真命题
D.“¬q”为真命题
答案 AD
7.命题“函数y=f(x)(x∈M)是偶函数”的否定为 ( )
A.∃x0∈M,f(-x0)≠f(x0)
B.∀x∈M,f(-x)≠f(x)
C.∀x∈M,f(-x)=f(x)
D.∃x0∈M,f(-x0)=f(x0)
答案 A
8.(2020黑龙江哈尔滨师范大学附属中学高三上学期开学考)已知命题p:∃α∈R,sinα+cosα=54,命题q:正数的对数都是正数,则下列命题中为真命题的是 ( )
A.(¬p)∨q B.p∧q
C.(¬p)∧(¬q) D.(¬p)∨(¬q)
答案 D sinα+cosα=2sinα+π4≤2,
∵2>54,
∴∃α∈R,sinα+cosα=54,
故命题p为真命题;
命题q:因为当x=1时,对数值为0,所以命题q是假命题.
∴¬p为假,¬q为真,
∴(¬p)∨(¬q)为真命题.
故选D.
9.(2020吉林长春第二实验中学期末)若命题“∃x0∈R,x02+2mx0+m+2<0”为假命题,则m的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1]∪[2,+∞) B.(-∞,-1)∪(2,+∞)
C.[-1,2] D.(-1,2)
答案 C 若命题“∃x0∈R,x02+2mx0+m+2<0”为假命题,则命题等价于x2+2mx+m+2≥0恒成立,故只需要Δ=4m2-4(m+2)≤0⇒-1≤m≤2.
10.(2020安徽安庆七中高三模拟)(多选题)下列有关命题的说法正确的是 ( )
A.若“p∨q”为假命题,则p与q均为假命题
B.△ABC中,∃B>C,cosB>cosC
C.若命题p:∃x0∈R,x02≥0,则命题¬p:∀x∈R,x2<0
D.“sinx=12”的必要不充分条件是“x=π6”
答案 AC
B组 能力拔高
11.(2020安徽淮南寿县第一中学高三检测)设命题p:若x,y∈R,则“x>y>0”是“x2>y2”的必要不充分条件;命题q:“∀x>0,2x>1”的否定是“∃x≤0,2x≤1”,则下列命题为真命题的是 ( )
A.p∧q B.(¬p)∧(¬q)
C.p∨q D.p∧(¬q)
答案 B 根据不等式的性质,若x>y>0,则x2>y2;
反之,若x2>y2,则x2-y2>0,即(x+y)(x-y)>0,因为x,y的正负不确定,所以不能推出x>y>0,
因此“x>y>0”是“x2>y2”的充分不必要条件,即命题p为假命题,所以¬p为真命题;
命题q:“∀x>0,2x>1”的否定是“∃x>0,2x≤1”,故命题q为假命题,所以¬q为真命题,
所以p∧q为假,p∨q为假,p∧(¬q)为假,(¬p)∧(¬q)为真.故选B.
12.(2020黑龙江牡丹江第一高级中学高三上学期开学考)已知命题p:“∀x∈[1,e],a>lnx”,命题q:“∃x∈R,x2-4x+a=0”,若“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是 ( )
A.(1,4] B.(0,1]
C.[-1,1] D.(4,+∞)
答案 A 若命题p:“∀x∈[1,e],a>lnx”为真命题,则a>lne=1,
若命题q:“∃x∈R,x2-4x+a=0”为真命题,
则Δ=16-4a≥0,解得a≤4,
若命题“p∧q”为真命题,
则p,q都是真命题,
则a>1,a≤4,
解得1
故选A.
13.(2020安徽“皖江名校”高三模拟)已知命题p:∀x∈0,π2,x-sinx≥0,则¬p为 .
答案 ∃x0∈0,π2,x0-sinx0<0
14.命题p的否定是“对所有正数x,x>x+1”,则命题p为 .
答案 ∃x0∈(0,+∞),x0≤x0+1
C组 思维拓展
15.(2020湖北黄冈高二月考)已知m∈R,命题p:对任意实数x,不等式x2-2x-1≥m2-3m恒成立,若¬p为真命题,则m的取值范围是 .
答案 (-∞,1)∪(2,+∞)
解析 y=x2-2x-1=(x-1)2-2≥-2,
对任意实数x,不等式x2-2x-1≥m2-3m恒成立,
所以(x2-2x-1)min≥m2-3m,即m2-3m≤-2,
解得1≤m≤2,因为¬p为真命题,所以p为假命题,所以m<1或m>2.
16.已知命题p:x2+4x+3≥0,q:x∈Z,且“p∧q”与“¬q”同时为假命题,则x= .
答案 -2
解析 若p为真,则x≥-1或x≤-3,因为“?q”为假,所以q为真,即x∈Z,
又因为“p∧q”为假,所以p为假,故-3
解析 当p为真命题时,
Δ=m2-4>0,x1+x2=-m<0,x1·x2=1>0,
解得m>2,
当q为真命题时,
Δ=16(m-2)2-16<0,解得1
当p为真,q为假时,
m>2,m≤1或m≥3,
所以m≥3;
当p为假,q为真时,m≤2,1
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