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湖北省荆门市2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试卷（word版 含答案）
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这是一份湖北省荆门市2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试卷（word版 含答案），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖北省荆门市九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑，）
1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的为（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．圆
2．关于x的一元二次方程3x2+2x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
3．下列事件中是不可能事件的是（ ）
A．任意写一个一元二次方程，有两个根
B．平分弦的直径垂直于弦
C．将抛物线y＝﹣2x2平移可以得到抛物线y＝2x2+1
D．圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等
4．把如图的五角星绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度可能是（ ）
A．36° B．72° C．90° D．108°
5．对于抛物线y＝（x﹣1）2﹣3，下列说法错误的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线与x轴有两个交点
C．当x＞1时，y＞0
D．当x＝1时，y有最小值﹣3
6．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝20°，则∠D的度数是（ ）
A．70° B．100° C．110° D．120°
7．如图，已知DE∥BC，＝，则△ADE与△ABC的周长之比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
8．如图，点A为反比例函数y＝图象上的一点，过点A作AB⊥y轴于B，点C为x轴上的一个动点，△ABC的面积为3，则k的值为（ ）
A．3 B．6 C．﹣3 D．﹣6
9．用半径为30cm，圆心角为120°的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为（ ）
A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c＝0．下列四个结论：
①若抛物线经过点（﹣3，0），则b＝2a；
②若b＝c，则方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；
③抛物线与x轴不一定有两个不同的公共点；
④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若0＜a＜c，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2．
其中，正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请将结果直接填写在答题卡对应的横线上。）
11．已知点P（m﹣n，1）与点Q（3，m+n）关于原点对称，则m＝ ．
12．若x1、x2是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则多项式x1（x2﹣1）﹣x2的值为 ．
13．从1，2，3，4，…，9这九张数字卡片中任抽一张，则抽得的是2的倍数或3的倍数的概率为 ．
14．如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上的一点，OD⊥AC，垂足为D，延长OD与半圆O交于点E．若AB＝8，∠CAB＝30°，则图中阴影部分的面积为 ．
15．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点B在y轴上，BC∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点A，交BC于点D．若AB＝BD，则四边形ABOC的周长为 ．
16．设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．解方程：3x（x﹣1）＝2x﹣2．
18．如图，已知△ABC是等边三角形，在△ABC外有一点D，连接AD，BD，CD，将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，AD与BE交于点F，∠BFD＝97°．
（1）求∠ADC的大小；
（2）若∠BDC＝7°，BD＝3，CD＝5，求AD的长．
19．为了做好防控新冠疫情工作，我市某医院甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士报名支援某乡镇预防新冠疫情工作．
（1）若从甲、乙、丙三位医生中随机选一位医生，求恰好选中医生甲的概率；
（2）若从甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士中随机选一位医生和一名护士，求恰好选中医生甲和护士A的概率．
20．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数y＝的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E，已知C点的坐标是（6，﹣1），DE＝3．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式．
（2）求△DOC的面积．
（3）根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，直径AE交BC于点H，点D在弧AC上，过点E作EF∥BC交AD的延长线于点F，延长BC交AF于点G．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，AH＝CG＝3，求EF的长；
（3）在（2）的条件下，直接写出CD的长．
23．新冠疫情期间，某网店销售的消毒用紫外线灯很畅销，该网店店主结合店铺数据发现，日销量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、日销售量、日销售纯利润W（元）的四组对应值如表：
售价x（元/件）
150
160
170
180
日销售量y（件）
200
180
160
140
日销售纯利润W（元）
8000
8800
9200
9200
另外，该网店每日的固定成本折算下来为2000元．
注：日销售纯利润＝日销售量×（售价﹣进价）﹣每日固定成本
（1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
②该商品进价是 元/件，当售价是 元/件时，日销售纯利润最大，最大纯利润是 元．
（2）由于疫情期间，每件紫外线灯的进价提高了m元（m＞0），且每日固定成本增加了100元，但该店主为响应政府号召，落实防疫用品限价规定，按售价不高于170元/件销售，若此时的日销售纯利润最高为7500元，求m的值．
24．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑，）
1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的为（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．圆
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：A．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．关于x的一元二次方程3x2+2x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝16＞0，由此可得出答案．
解：∵Δ＝22﹣4×3×（﹣1）＝16＞0，
∴一元二次方程3x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：D．
3．下列事件中是不可能事件的是（ ）
A．任意写一个一元二次方程，有两个根
B．平分弦的直径垂直于弦
C．将抛物线y＝﹣2x2平移可以得到抛物线y＝2x2+1
D．圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．
解：A．任意写一个一元二次方程，有两个根，这是随机事件，故A不符合题意；
B．平分弦的直径垂直于弦，这是随机事件，故B不符合题意；
C．将抛物线y＝﹣2x2平移可以得到抛物线y＝2x2+1，这是事件不可能事件，故C符合题意；
D．圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这是必然事件，故D不符合题意；
故选：C．
4．把如图的五角星绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度可能是（ ）
A．36° B．72° C．90° D．108°
【分析】根据这个图形可以分成几个全等的部分，即可计算出旋转的角度．
解：五角星可以被中心发出的射线分成5个全等的部分，
因而旋转的角度是360°÷5＝72°，
故选：B．
5．对于抛物线y＝（x﹣1）2﹣3，下列说法错误的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线与x轴有两个交点
C．当x＞1时，y＞0
D．当x＝1时，y有最小值﹣3
【分析】根据二次函数解析式可得抛物线开口方向，抛物线与x轴交点个数及二次函数的最值，从而判断A，B，D选项，把 y＝0代入函数解析式可判断C选项．
解：∵y＝（x﹣1）2﹣3，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣3），抛物线与x轴有2个交点，x＞1时y随x增大而增大，当x＝1时y有最小值为﹣3，
∴选项A，B，D正确，
把y＝0代入y＝（x﹣1）2﹣3得0＝（x﹣1）2﹣3，
解得x＝1+或x＝1﹣，
∴当x＞1+或x＜1﹣时y＞0，
∴选项C错误．
故选：C．
6．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝20°，则∠D的度数是（ ）
A．70° B．100° C．110° D．120°
【分析】连接BC，∠D是圆内接四边形ABCD的一个角，根据圆内接四边形的对角互补，只要求出∠B即可，根据AB是直径，则△ABC是直角三角形，根据内角和定理即可求解．
解：连接BC，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝20°，
∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°，
∵圆内接四边形的对角互补，
∴∠D+∠ABC＝180°，
∴∠D＝180°﹣70°＝110°，
故选：C．
7．如图，已知DE∥BC，＝，则△ADE与△ABC的周长之比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
【分析】由DE∥BC，得△ADE∽△ABC，根据对应边成比例即可．
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵＝，
∴△ADE与△ABC的周长之比为1：2，
故选：A．
8．如图，点A为反比例函数y＝图象上的一点，过点A作AB⊥y轴于B，点C为x轴上的一个动点，△ABC的面积为3，则k的值为（ ）
A．3 B．6 C．﹣3 D．﹣6
【分析】连接OA，可得S△ABO＝S△ABC＝3，根据反比例函数k的几何意义，可求出k的值．
解：连接OA，
∵AB⊥y轴，
∴AB∥x轴，
∴S△ABO＝S△ABC＝3，即：|k|＝3，
∴k＝6或k＝﹣6，
∵在第二象限，
∴k＝﹣6，
故选：B．
9．用半径为30cm，圆心角为120°的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为（ ）
A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm
【分析】圆锥的底面圆半径为rcm，根据圆锥的底面圆周长＝扇形的弧长，列方程求解．
解：设圆锥的底面圆半径为rcm，依题意，得
2πr＝，
解得r＝10．
故选：B．
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c＝0．下列四个结论：
①若抛物线经过点（﹣3，0），则b＝2a；
②若b＝c，则方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；
③抛物线与x轴不一定有两个不同的公共点；
④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若0＜a＜c，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2．
其中，正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据抛物线的对称性即可判断①；求得y＝cx2+bx+a的对称轴，利用对称性即可判断②；由Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0即可判断③；由题意可知，抛物线开口向上且，＞1，则当x＜1时，y随x的增大而减小，即可判断④．
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c＝0，
∴（1，0）是抛物线与x轴的一个交点．
①∵抛物线经过点（﹣3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，即b＝2a，即①正确；
②若b＝c，则二次函数y＝cx2+bx+a的对称轴为直线：x＝﹣＝﹣，
且二次函数y＝cx2+bx+a过点（1，0），
∴＝﹣，解得m＝﹣2，
∴y＝cx2+bx+a与x轴的另一个交点为（﹣2，0），即方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；故②正确；
③Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，
∴抛物线与x轴一定有公共点，
且当a≠c时，抛物线与x轴一定有两个不同的公共点．故③不正确；
④由题意可知，抛物线开口向上，且＞1，
∴（1，0）在对称轴的左侧，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，
∴当x1＜x2＜1时，y1＞y2．故④正确．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请将结果直接填写在答题卡对应的横线上。）
11．已知点P（m﹣n，1）与点Q（3，m+n）关于原点对称，则m＝ ﹣2 ．
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
解：∵点P（m﹣n，1）与点Q（3，m+n）关于原点对称，
∴，
解得，
故答案为：﹣2．
12．若x1、x2是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则多项式x1（x2﹣1）﹣x2的值为 ﹣1 ．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣3，把x1（x2﹣1）﹣x2变形得到x1x2﹣（x1+x2），然后利用整体代入的方法计算．
解：根据题意得x1+x2＝3，x1•x2＝2，
则x1（x2﹣1）﹣x2＝x1x2﹣（x1+x2）＝2﹣3＝﹣1，
故答案为：﹣1．
13．从1，2，3，4，…，9这九张数字卡片中任抽一张，则抽得的是2的倍数或3的倍数的概率为 ．
【分析】看是3的倍数和2的倍数的情况数占总情况数的多少即可得出答案．
解：共有9张牌，是3的倍数的有2，4，6，8共4张，是3的倍数的有3，6，9共3张，
∴则抽得的是2的倍数或3的倍数的概率为＝，
故答案为：．
14．如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上的一点，OD⊥AC，垂足为D，延长OD与半圆O交于点E．若AB＝8，∠CAB＝30°，则图中阴影部分的面积为 ﹣2 ．
【分析】根据垂径定理得到＝，AD＝CD，解直角三角形得到OD＝OA＝2，AD＝OA＝2，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
解：∵OD⊥AC，
∴∠ADO＝90°，＝，AD＝CD，
∵∠CAB＝30°，OA＝4，
∴OD＝OA＝2，AD＝OA＝2，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOE﹣S△ADO＝﹣＝﹣2，
故答案为﹣2．
15．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点B在y轴上，BC∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点A，交BC于点D．若AB＝BD，则四边形ABOC的周长为 22+4 ．
【分析】作AE⊥BC于E，根据等腰三角形的性质得出BE＝CE＝4，利用勾股定理求得AE＝3，从而得出A（4，3+a），D（5，a），由图象上点的坐标特征得出4（3+a）＝5a，解得：a＝12，进而即可求得结论．
解：作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC＝5，BC＝8，
∴BE＝CE＝4，
∴AE＝＝3，
设OB＝a，
∵BD＝AB＝5，
∴A（4，3+a），D（5，a），
∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点A，交BC于点，
∴4（3+a）＝5a，
解得：a＝12，
∴OB＝12，
∴OC＝＝＝4，
∴四边形ABOC的周长＝AB+OB+OC+AC＝5+12+4+5＝22+4．
故答案为：22+4．
16．设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值 2 ．
【分析】分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式可得AE＝a2，BF＝b2，作AH⊥BH于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，设点D（0，m），易证△ADG∽△ABH，所以＝，即＝，可得m＝ab．再证明△AEO∽△OFB，所以∴＝，即＝，可得ab＝16．即得点D为定点，坐标为（0，4），得DO＝4．进而可推出点C是在以DO为直径的圆上运动，则当点C到y轴距离为此圆的直径的一半，即时最大．
解：如图，分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，
设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式为y＝x2，
则AE＝a2，BF＝b2，
作AH⊥BF于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，
设点D（0，m），
∵DG∥BH，
∴△ADG∽△ABH，
∴＝，即＝，
化简得：m＝ab，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOE+∠BOF＝90°，
又∠AOE+∠EAO＝90°，
∴∠BOF＝∠EAO，
又∠AEO＝∠BFO＝90°，
∴△AEO∽△OFB，
∴＝，
即＝，
化简得：ab＝16．
则m＝ab＝4，说明直线AB过定点D，D点坐标为（0，4），
∵∠DCO＝90°，DO＝4，
∴点C是在以DO为直径的圆上运动，
∴当点C到y轴距离为DO时，点C到y轴距离的最大，最大值为DO，即最大值为2．
故答案为：2．
三、解答题（本大题共8个小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．解方程：3x（x﹣1）＝2x﹣2．
【分析】把右边的项移到左边，用提公因式法进行因式分解求出方程的根．
解：3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0
（x﹣1）（3x﹣2）＝0
∴x1＝1，x2＝．
18．如图，已知△ABC是等边三角形，在△ABC外有一点D，连接AD，BD，CD，将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，AD与BE交于点F，∠BFD＝97°．
（1）求∠ADC的大小；
（2）若∠BDC＝7°，BD＝3，CD＝5，求AD的长．
【分析】（1）由旋转的性质可得AB＝AC，∠ADC＝∠E，∠CAB＝∠DAE＝60°，由三角形的内角和定理可求解；
（2）连接DE，可证△AED是等边三角形，可得∠ADE＝60°，AD＝DE，由旋转的性质可得△ACD≌△ABE，可得CD＝BE＝5，由勾股定理可求解．
解：（1）∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，
∴AB＝AC，∠ADC＝∠E，∠CAB＝∠DAE＝60°，
∵∠BFD＝97°＝∠AFE，
∴∠E＝180°﹣97°﹣60°＝23°，
∴∠ADC＝∠E＝23°；
（2）如图，连接DE，
∵AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△AED是等边三角形，
∴∠ADE＝60°，AD＝DE，
∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，
∴△ACD≌△ABE，
∴CD＝BE＝5，
∵∠BDC＝7°，∠ADC＝23°，∠ADE＝60°，
∴∠BDE＝90°，
∴DE＝＝＝4，
∴AD＝DE＝4．
19．为了做好防控新冠疫情工作，我市某医院甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士报名支援某乡镇预防新冠疫情工作．
（1）若从甲、乙、丙三位医生中随机选一位医生，求恰好选中医生甲的概率；
（2）若从甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士中随机选一位医生和一名护士，求恰好选中医生甲和护士A的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中恰好选中医生甲和护士A的结果有1种，再由概率公式求解即可．
解：（1）若从甲、乙、丙三位医生中随机选一位医生，则恰好选中医生甲的概率为；
（2）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中恰好选中医生甲和护士A的结果有1种，
∴恰好选中医生甲和护士A的概率为．
20．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．
【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，然后解关于m的不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，利用整体代入的方法得到m2﹣m﹣6＝0，然后解关于m的方程即可．
解：（1）根据题意得Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，
解得m≤0．
故m的取值范围是m≤0；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，
∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝12，
∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，即m2﹣m﹣6＝0，
解得m1＝﹣2，m2＝3（舍去）．
故m的值为﹣2．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数y＝的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E，已知C点的坐标是（6，﹣1），DE＝3．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式．
（2）求△DOC的面积．
（3）根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数表达式，进而求出点D的坐标，再利用待定系数法求出一次函数表达式即可求解；
（2）根据S△OCD＝S△OAD+S△OAC求得即可；
（3）观察函数图象即可求解．
解：（1）∵点C（6，﹣1）在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝6×（﹣1）＝﹣6，
∴反比例函数的关系式为y＝﹣，
∵点D在反比例函数y＝﹣上，且DE＝3，
∴y＝3，代入求得：x＝﹣2，
∴点D的坐标为（﹣2，3）．
∵C、D两点在直线y＝kx+b上，则，解得，
∴一次函数的关系式为y＝﹣x+2；
（2）连接OD、OC．
把y＝0代入y＝﹣x+2，解得x＝4，
即A（4，0），则OA＝4，
S△OCD＝S△OAD+S△OAC＝×OA×（yD﹣yC）＝×4×（3+1）＝8；
（3）由图象可知：当x＜﹣2或0＜x＜6时，一次函数的值大于反比例函数的值．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，直径AE交BC于点H，点D在弧AC上，过点E作EF∥BC交AD的延长线于点F，延长BC交AF于点G．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，AH＝CG＝3，求EF的长；
（3）在（2）的条件下，直接写出CD的长．
【分析】（1）由题意可证∠BAE＝∠CAE，由等腰三角形的性质可得AE⊥BC，由平行线的性质可证EF⊥AE，可得结论；
（2）在Rt△OHC中，利用勾股定理可求半径，可得AE的长，通过证明△AEF∽△AHG，可得，可求EF的长；
（3）证明△DCG∽△BAG，可得，可求CD的长．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴，
∵AE是直径，
∴，
∴∠BAE＝∠CAE，
又∵AB＝AC，
∴AE⊥BC，
又∵EF∥BC，
∴EF⊥AE，
∵OE是半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接OC，设⊙O的半径为r，
∵AE⊥BC，
∴CH＝BH＝BC＝1，
∴HG＝HC+CG＝4，
∴AG＝＝＝5，
在Rt△OHC中，OH2+CH2＝OC2，
∴（3﹣r）2+1＝r2，
解得：r＝，
∴AE＝，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△AHG，
∴，
∴，
∴EF＝；
（3）解：∵AH＝3，BH＝1，
∴AB＝＝＝，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∵∠ADC+∠CDG＝180°，
∴∠B＝∠CDG，
又∵∠DGC＝∠AGB，
∴△DCG∽△BAG，
∴，
∴，
∴CD＝．
23．新冠疫情期间，某网店销售的消毒用紫外线灯很畅销，该网店店主结合店铺数据发现，日销量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、日销售量、日销售纯利润W（元）的四组对应值如表：
售价x（元/件）
150
160
170
180
日销售量y（件）
200
180
160
140
日销售纯利润W（元）
8000
8800
9200
9200
另外，该网店每日的固定成本折算下来为2000元．
注：日销售纯利润＝日销售量×（售价﹣进价）﹣每日固定成本
（1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
②该商品进价是 100 元/件，当售价是 175 元/件时，日销售纯利润最大，最大纯利润是 9250 元．
（2）由于疫情期间，每件紫外线灯的进价提高了m元（m＞0），且每日固定成本增加了100元，但该店主为响应政府号召，落实防疫用品限价规定，按售价不高于170元/件销售，若此时的日销售纯利润最高为7500元，求m的值．
【分析】（1）①用待定系数法即可求解；
②根据日销售纯利润＝日销售量×（售价﹣进价）﹣每日固定成本，求出进价；由题意得：W＝y（x﹣100）﹣2000，利用函数的性质，求出函数的最大值；
（2）由题意得W＝（﹣2x+500）（x﹣100﹣m）﹣2000﹣100，函数的对称轴为x＝﹣＝175+m，x＝170时，W最大值＝7500，即可求解．
解：（1）①设一次函数的表达式为y＝kx+b，
将点（150，200）、（160，180）代入上式得，解得，
故y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+500；
②∵日销售纯利润＝日销售量×（售价﹣进价）﹣每日固定成本，
将第一组数值150，200，8000代入上式得，
8000＝200×（150﹣进价）﹣2000，解得：进价＝100（元/件），
由题意得：W＝y（x﹣100）﹣2000＝（﹣2x+500）（x﹣100）﹣2000＝﹣2x2+700x﹣52000，
∵﹣2＜0，故W有最大值，
当x＝﹣＝175（元/件）时，W的最大值为9250（元）；
故答案为100，175，9250；
（2）由题意得：W＝（﹣2x+500）（x﹣100﹣m）﹣2000﹣100＝﹣2x2+（700+2m）x﹣（52100+500m），
∵﹣2＜0，故W有最大值，
函数的对称轴为x＝﹣＝175+m，当x＜175+m时，W随x的增大而增大，
而x≤170，故当x＝170时，W有最大值，
即x＝170时，W＝﹣2×1702+（700+2m）×170﹣（52100+500m）＝7500，
解得m＝10．
24．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c即可求解析式；
（2）过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，由PF∥AE，可得＝，则求的最大值即可；
（3）分三种情况讨论：当∠CBD＝90°时，过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点H，可证明△DBG∽△BCH，求出D（3，6）；当∠BCD＝90°时，过点D作DK⊥y轴交于点K，可证明△OBC∽△KCD，求出D（3，﹣9）；当∠BDC＝90°时，线段BC的中点T（3，﹣），设D（3，m），由DT＝BC，可求D（3，﹣）或D（3，﹣﹣）．
解：（1）将点A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，
得，
解得，
∴y＝x2﹣x﹣3；
（2）如图1，过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，
∴PF∥AE，
∴＝，
设直线BC的解析式为y＝kx+d，
∴，
∴，
∴y＝x﹣3，
设P（t，t2﹣t﹣3），则F（t，t﹣3），
∴PF＝t﹣3﹣t2+t+3＝﹣t2+t，
∵A（﹣2，0），
∴E（﹣2，﹣4），
∴AE＝4，
∴＝＝＝﹣t2+t＝﹣（t﹣3）2+，
∴当t＝3时，有最大值，
∴P（3，﹣）；
（3）∵P（3，﹣），D点在l上，
如图2，当∠CBD＝90°时，
过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点H，
∴∠DBG+∠GDB＝90°，∠DBG+∠CBH＝90°，
∴∠GDB＝∠CBH，
∴△DBG∽△BCH，
∴＝，即＝，
∴BG＝6，
∴D（3，6）；
如图3，当∠BCD＝90°时，
过点D作DK⊥y轴交于点K，
∵∠KCD+∠OCB＝90°，∠KCD+∠CDK＝90°，
∴∠CDK＝∠OCB，
∴△OBC∽△KCD，
∴＝，即＝，
∴KC＝6，
∴D（3，﹣9）；
如图4，当∠BDC＝90°时，
线段BC的中点T（3，﹣），BC＝3，
设D（3，m），
∵DT＝BC，
∴|m+|＝，
∴m＝﹣或m＝﹣﹣，
∴D（3，﹣）或D（3，﹣﹣）；
综上所述：△BCD是直角三角形时，D点坐标为（3，6）或（3，﹣9）或（3，﹣﹣）或（3，﹣）．
2021-2022学年湖北省荆门市九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑，）
1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的为（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．圆
2．关于x的一元二次方程3x2+2x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
3．下列事件中是不可能事件的是（ ）
A．任意写一个一元二次方程，有两个根
B．平分弦的直径垂直于弦
C．将抛物线y＝﹣2x2平移可以得到抛物线y＝2x2+1
D．圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等
4．把如图的五角星绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度可能是（ ）
A．36° B．72° C．90° D．108°
5．对于抛物线y＝（x﹣1）2﹣3，下列说法错误的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线与x轴有两个交点
C．当x＞1时，y＞0
D．当x＝1时，y有最小值﹣3
6．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝20°，则∠D的度数是（ ）
A．70° B．100° C．110° D．120°
7．如图，已知DE∥BC，＝，则△ADE与△ABC的周长之比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
8．如图，点A为反比例函数y＝图象上的一点，过点A作AB⊥y轴于B，点C为x轴上的一个动点，△ABC的面积为3，则k的值为（ ）
A．3 B．6 C．﹣3 D．﹣6
9．用半径为30cm，圆心角为120°的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为（ ）
A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c＝0．下列四个结论：
①若抛物线经过点（﹣3，0），则b＝2a；
②若b＝c，则方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；
③抛物线与x轴不一定有两个不同的公共点；
④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若0＜a＜c，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2．
其中，正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请将结果直接填写在答题卡对应的横线上。）
11．已知点P（m﹣n，1）与点Q（3，m+n）关于原点对称，则m＝ ．
12．若x1、x2是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则多项式x1（x2﹣1）﹣x2的值为 ．
13．从1，2，3，4，…，9这九张数字卡片中任抽一张，则抽得的是2的倍数或3的倍数的概率为 ．
14．如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上的一点，OD⊥AC，垂足为D，延长OD与半圆O交于点E．若AB＝8，∠CAB＝30°，则图中阴影部分的面积为 ．
15．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点B在y轴上，BC∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点A，交BC于点D．若AB＝BD，则四边形ABOC的周长为 ．
16．设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．解方程：3x（x﹣1）＝2x﹣2．
18．如图，已知△ABC是等边三角形，在△ABC外有一点D，连接AD，BD，CD，将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，AD与BE交于点F，∠BFD＝97°．
（1）求∠ADC的大小；
（2）若∠BDC＝7°，BD＝3，CD＝5，求AD的长．
19．为了做好防控新冠疫情工作，我市某医院甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士报名支援某乡镇预防新冠疫情工作．
（1）若从甲、乙、丙三位医生中随机选一位医生，求恰好选中医生甲的概率；
（2）若从甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士中随机选一位医生和一名护士，求恰好选中医生甲和护士A的概率．
20．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数y＝的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E，已知C点的坐标是（6，﹣1），DE＝3．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式．
（2）求△DOC的面积．
（3）根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，直径AE交BC于点H，点D在弧AC上，过点E作EF∥BC交AD的延长线于点F，延长BC交AF于点G．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，AH＝CG＝3，求EF的长；
（3）在（2）的条件下，直接写出CD的长．
23．新冠疫情期间，某网店销售的消毒用紫外线灯很畅销，该网店店主结合店铺数据发现，日销量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、日销售量、日销售纯利润W（元）的四组对应值如表：
售价x（元/件）
150
160
170
180
日销售量y（件）
200
180
160
140
日销售纯利润W（元）
8000
8800
9200
9200
另外，该网店每日的固定成本折算下来为2000元．
注：日销售纯利润＝日销售量×（售价﹣进价）﹣每日固定成本
（1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
②该商品进价是 元/件，当售价是 元/件时，日销售纯利润最大，最大纯利润是 元．
（2）由于疫情期间，每件紫外线灯的进价提高了m元（m＞0），且每日固定成本增加了100元，但该店主为响应政府号召，落实防疫用品限价规定，按售价不高于170元/件销售，若此时的日销售纯利润最高为7500元，求m的值．
24．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑，）
1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的为（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．圆
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：A．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．关于x的一元二次方程3x2+2x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝16＞0，由此可得出答案．
解：∵Δ＝22﹣4×3×（﹣1）＝16＞0，
∴一元二次方程3x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：D．
3．下列事件中是不可能事件的是（ ）
A．任意写一个一元二次方程，有两个根
B．平分弦的直径垂直于弦
C．将抛物线y＝﹣2x2平移可以得到抛物线y＝2x2+1
D．圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．
解：A．任意写一个一元二次方程，有两个根，这是随机事件，故A不符合题意；
B．平分弦的直径垂直于弦，这是随机事件，故B不符合题意；
C．将抛物线y＝﹣2x2平移可以得到抛物线y＝2x2+1，这是事件不可能事件，故C符合题意；
D．圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这是必然事件，故D不符合题意；
故选：C．
4．把如图的五角星绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度可能是（ ）
A．36° B．72° C．90° D．108°
【分析】根据这个图形可以分成几个全等的部分，即可计算出旋转的角度．
解：五角星可以被中心发出的射线分成5个全等的部分，
因而旋转的角度是360°÷5＝72°，
故选：B．
5．对于抛物线y＝（x﹣1）2﹣3，下列说法错误的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线与x轴有两个交点
C．当x＞1时，y＞0
D．当x＝1时，y有最小值﹣3
【分析】根据二次函数解析式可得抛物线开口方向，抛物线与x轴交点个数及二次函数的最值，从而判断A，B，D选项，把 y＝0代入函数解析式可判断C选项．
解：∵y＝（x﹣1）2﹣3，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣3），抛物线与x轴有2个交点，x＞1时y随x增大而增大，当x＝1时y有最小值为﹣3，
∴选项A，B，D正确，
把y＝0代入y＝（x﹣1）2﹣3得0＝（x﹣1）2﹣3，
解得x＝1+或x＝1﹣，
∴当x＞1+或x＜1﹣时y＞0，
∴选项C错误．
故选：C．
6．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝20°，则∠D的度数是（ ）
A．70° B．100° C．110° D．120°
【分析】连接BC，∠D是圆内接四边形ABCD的一个角，根据圆内接四边形的对角互补，只要求出∠B即可，根据AB是直径，则△ABC是直角三角形，根据内角和定理即可求解．
解：连接BC，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝20°，
∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°，
∵圆内接四边形的对角互补，
∴∠D+∠ABC＝180°，
∴∠D＝180°﹣70°＝110°，
故选：C．
7．如图，已知DE∥BC，＝，则△ADE与△ABC的周长之比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
【分析】由DE∥BC，得△ADE∽△ABC，根据对应边成比例即可．
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵＝，
∴△ADE与△ABC的周长之比为1：2，
故选：A．
8．如图，点A为反比例函数y＝图象上的一点，过点A作AB⊥y轴于B，点C为x轴上的一个动点，△ABC的面积为3，则k的值为（ ）
A．3 B．6 C．﹣3 D．﹣6
【分析】连接OA，可得S△ABO＝S△ABC＝3，根据反比例函数k的几何意义，可求出k的值．
解：连接OA，
∵AB⊥y轴，
∴AB∥x轴，
∴S△ABO＝S△ABC＝3，即：|k|＝3，
∴k＝6或k＝﹣6，
∵在第二象限，
∴k＝﹣6，
故选：B．
9．用半径为30cm，圆心角为120°的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为（ ）
A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm
【分析】圆锥的底面圆半径为rcm，根据圆锥的底面圆周长＝扇形的弧长，列方程求解．
解：设圆锥的底面圆半径为rcm，依题意，得
2πr＝，
解得r＝10．
故选：B．
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c＝0．下列四个结论：
①若抛物线经过点（﹣3，0），则b＝2a；
②若b＝c，则方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；
③抛物线与x轴不一定有两个不同的公共点；
④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若0＜a＜c，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2．
其中，正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据抛物线的对称性即可判断①；求得y＝cx2+bx+a的对称轴，利用对称性即可判断②；由Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0即可判断③；由题意可知，抛物线开口向上且，＞1，则当x＜1时，y随x的增大而减小，即可判断④．
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c＝0，
∴（1，0）是抛物线与x轴的一个交点．
①∵抛物线经过点（﹣3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，即b＝2a，即①正确；
②若b＝c，则二次函数y＝cx2+bx+a的对称轴为直线：x＝﹣＝﹣，
且二次函数y＝cx2+bx+a过点（1，0），
∴＝﹣，解得m＝﹣2，
∴y＝cx2+bx+a与x轴的另一个交点为（﹣2，0），即方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；故②正确；
③Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，
∴抛物线与x轴一定有公共点，
且当a≠c时，抛物线与x轴一定有两个不同的公共点．故③不正确；
④由题意可知，抛物线开口向上，且＞1，
∴（1，0）在对称轴的左侧，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，
∴当x1＜x2＜1时，y1＞y2．故④正确．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请将结果直接填写在答题卡对应的横线上。）
11．已知点P（m﹣n，1）与点Q（3，m+n）关于原点对称，则m＝ ﹣2 ．
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
解：∵点P（m﹣n，1）与点Q（3，m+n）关于原点对称，
∴，
解得，
故答案为：﹣2．
12．若x1、x2是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则多项式x1（x2﹣1）﹣x2的值为 ﹣1 ．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣3，把x1（x2﹣1）﹣x2变形得到x1x2﹣（x1+x2），然后利用整体代入的方法计算．
解：根据题意得x1+x2＝3，x1•x2＝2，
则x1（x2﹣1）﹣x2＝x1x2﹣（x1+x2）＝2﹣3＝﹣1，
故答案为：﹣1．
13．从1，2，3，4，…，9这九张数字卡片中任抽一张，则抽得的是2的倍数或3的倍数的概率为 ．
【分析】看是3的倍数和2的倍数的情况数占总情况数的多少即可得出答案．
解：共有9张牌，是3的倍数的有2，4，6，8共4张，是3的倍数的有3，6，9共3张，
∴则抽得的是2的倍数或3的倍数的概率为＝，
故答案为：．
14．如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上的一点，OD⊥AC，垂足为D，延长OD与半圆O交于点E．若AB＝8，∠CAB＝30°，则图中阴影部分的面积为 ﹣2 ．
【分析】根据垂径定理得到＝，AD＝CD，解直角三角形得到OD＝OA＝2，AD＝OA＝2，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
解：∵OD⊥AC，
∴∠ADO＝90°，＝，AD＝CD，
∵∠CAB＝30°，OA＝4，
∴OD＝OA＝2，AD＝OA＝2，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOE﹣S△ADO＝﹣＝﹣2，
故答案为﹣2．
15．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点B在y轴上，BC∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点A，交BC于点D．若AB＝BD，则四边形ABOC的周长为 22+4 ．
【分析】作AE⊥BC于E，根据等腰三角形的性质得出BE＝CE＝4，利用勾股定理求得AE＝3，从而得出A（4，3+a），D（5，a），由图象上点的坐标特征得出4（3+a）＝5a，解得：a＝12，进而即可求得结论．
解：作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC＝5，BC＝8，
∴BE＝CE＝4，
∴AE＝＝3，
设OB＝a，
∵BD＝AB＝5，
∴A（4，3+a），D（5，a），
∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点A，交BC于点，
∴4（3+a）＝5a，
解得：a＝12，
∴OB＝12，
∴OC＝＝＝4，
∴四边形ABOC的周长＝AB+OB+OC+AC＝5+12+4+5＝22+4．
故答案为：22+4．
16．设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值 2 ．
【分析】分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式可得AE＝a2，BF＝b2，作AH⊥BH于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，设点D（0，m），易证△ADG∽△ABH，所以＝，即＝，可得m＝ab．再证明△AEO∽△OFB，所以∴＝，即＝，可得ab＝16．即得点D为定点，坐标为（0，4），得DO＝4．进而可推出点C是在以DO为直径的圆上运动，则当点C到y轴距离为此圆的直径的一半，即时最大．
解：如图，分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，
设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式为y＝x2，
则AE＝a2，BF＝b2，
作AH⊥BF于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，
设点D（0，m），
∵DG∥BH，
∴△ADG∽△ABH，
∴＝，即＝，
化简得：m＝ab，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOE+∠BOF＝90°，
又∠AOE+∠EAO＝90°，
∴∠BOF＝∠EAO，
又∠AEO＝∠BFO＝90°，
∴△AEO∽△OFB，
∴＝，
即＝，
化简得：ab＝16．
则m＝ab＝4，说明直线AB过定点D，D点坐标为（0，4），
∵∠DCO＝90°，DO＝4，
∴点C是在以DO为直径的圆上运动，
∴当点C到y轴距离为DO时，点C到y轴距离的最大，最大值为DO，即最大值为2．
故答案为：2．
三、解答题（本大题共8个小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．解方程：3x（x﹣1）＝2x﹣2．
【分析】把右边的项移到左边，用提公因式法进行因式分解求出方程的根．
解：3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0
（x﹣1）（3x﹣2）＝0
∴x1＝1，x2＝．
18．如图，已知△ABC是等边三角形，在△ABC外有一点D，连接AD，BD，CD，将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，AD与BE交于点F，∠BFD＝97°．
（1）求∠ADC的大小；
（2）若∠BDC＝7°，BD＝3，CD＝5，求AD的长．
【分析】（1）由旋转的性质可得AB＝AC，∠ADC＝∠E，∠CAB＝∠DAE＝60°，由三角形的内角和定理可求解；
（2）连接DE，可证△AED是等边三角形，可得∠ADE＝60°，AD＝DE，由旋转的性质可得△ACD≌△ABE，可得CD＝BE＝5，由勾股定理可求解．
解：（1）∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，
∴AB＝AC，∠ADC＝∠E，∠CAB＝∠DAE＝60°，
∵∠BFD＝97°＝∠AFE，
∴∠E＝180°﹣97°﹣60°＝23°，
∴∠ADC＝∠E＝23°；
（2）如图，连接DE，
∵AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△AED是等边三角形，
∴∠ADE＝60°，AD＝DE，
∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，
∴△ACD≌△ABE，
∴CD＝BE＝5，
∵∠BDC＝7°，∠ADC＝23°，∠ADE＝60°，
∴∠BDE＝90°，
∴DE＝＝＝4，
∴AD＝DE＝4．
19．为了做好防控新冠疫情工作，我市某医院甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士报名支援某乡镇预防新冠疫情工作．
（1）若从甲、乙、丙三位医生中随机选一位医生，求恰好选中医生甲的概率；
（2）若从甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士中随机选一位医生和一名护士，求恰好选中医生甲和护士A的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中恰好选中医生甲和护士A的结果有1种，再由概率公式求解即可．
解：（1）若从甲、乙、丙三位医生中随机选一位医生，则恰好选中医生甲的概率为；
（2）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中恰好选中医生甲和护士A的结果有1种，
∴恰好选中医生甲和护士A的概率为．
20．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．
【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，然后解关于m的不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，利用整体代入的方法得到m2﹣m﹣6＝0，然后解关于m的方程即可．
解：（1）根据题意得Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，
解得m≤0．
故m的取值范围是m≤0；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，
∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝12，
∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，即m2﹣m﹣6＝0，
解得m1＝﹣2，m2＝3（舍去）．
故m的值为﹣2．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数y＝的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E，已知C点的坐标是（6，﹣1），DE＝3．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式．
（2）求△DOC的面积．
（3）根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数表达式，进而求出点D的坐标，再利用待定系数法求出一次函数表达式即可求解；
（2）根据S△OCD＝S△OAD+S△OAC求得即可；
（3）观察函数图象即可求解．
解：（1）∵点C（6，﹣1）在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝6×（﹣1）＝﹣6，
∴反比例函数的关系式为y＝﹣，
∵点D在反比例函数y＝﹣上，且DE＝3，
∴y＝3，代入求得：x＝﹣2，
∴点D的坐标为（﹣2，3）．
∵C、D两点在直线y＝kx+b上，则，解得，
∴一次函数的关系式为y＝﹣x+2；
（2）连接OD、OC．
把y＝0代入y＝﹣x+2，解得x＝4，
即A（4，0），则OA＝4，
S△OCD＝S△OAD+S△OAC＝×OA×（yD﹣yC）＝×4×（3+1）＝8；
（3）由图象可知：当x＜﹣2或0＜x＜6时，一次函数的值大于反比例函数的值．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，直径AE交BC于点H，点D在弧AC上，过点E作EF∥BC交AD的延长线于点F，延长BC交AF于点G．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，AH＝CG＝3，求EF的长；
（3）在（2）的条件下，直接写出CD的长．
【分析】（1）由题意可证∠BAE＝∠CAE，由等腰三角形的性质可得AE⊥BC，由平行线的性质可证EF⊥AE，可得结论；
（2）在Rt△OHC中，利用勾股定理可求半径，可得AE的长，通过证明△AEF∽△AHG，可得，可求EF的长；
（3）证明△DCG∽△BAG，可得，可求CD的长．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴，
∵AE是直径，
∴，
∴∠BAE＝∠CAE，
又∵AB＝AC，
∴AE⊥BC，
又∵EF∥BC，
∴EF⊥AE，
∵OE是半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接OC，设⊙O的半径为r，
∵AE⊥BC，
∴CH＝BH＝BC＝1，
∴HG＝HC+CG＝4，
∴AG＝＝＝5，
在Rt△OHC中，OH2+CH2＝OC2，
∴（3﹣r）2+1＝r2，
解得：r＝，
∴AE＝，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△AHG，
∴，
∴，
∴EF＝；
（3）解：∵AH＝3，BH＝1，
∴AB＝＝＝，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∵∠ADC+∠CDG＝180°，
∴∠B＝∠CDG，
又∵∠DGC＝∠AGB，
∴△DCG∽△BAG，
∴，
∴，
∴CD＝．
23．新冠疫情期间，某网店销售的消毒用紫外线灯很畅销，该网店店主结合店铺数据发现，日销量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、日销售量、日销售纯利润W（元）的四组对应值如表：
售价x（元/件）
150
160
170
180
日销售量y（件）
200
180
160
140
日销售纯利润W（元）
8000
8800
9200
9200
另外，该网店每日的固定成本折算下来为2000元．
注：日销售纯利润＝日销售量×（售价﹣进价）﹣每日固定成本
（1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
②该商品进价是 100 元/件，当售价是 175 元/件时，日销售纯利润最大，最大纯利润是 9250 元．
（2）由于疫情期间，每件紫外线灯的进价提高了m元（m＞0），且每日固定成本增加了100元，但该店主为响应政府号召，落实防疫用品限价规定，按售价不高于170元/件销售，若此时的日销售纯利润最高为7500元，求m的值．
【分析】（1）①用待定系数法即可求解；
②根据日销售纯利润＝日销售量×（售价﹣进价）﹣每日固定成本，求出进价；由题意得：W＝y（x﹣100）﹣2000，利用函数的性质，求出函数的最大值；
（2）由题意得W＝（﹣2x+500）（x﹣100﹣m）﹣2000﹣100，函数的对称轴为x＝﹣＝175+m，x＝170时，W最大值＝7500，即可求解．
解：（1）①设一次函数的表达式为y＝kx+b，
将点（150，200）、（160，180）代入上式得，解得，
故y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+500；
②∵日销售纯利润＝日销售量×（售价﹣进价）﹣每日固定成本，
将第一组数值150，200，8000代入上式得，
8000＝200×（150﹣进价）﹣2000，解得：进价＝100（元/件），
由题意得：W＝y（x﹣100）﹣2000＝（﹣2x+500）（x﹣100）﹣2000＝﹣2x2+700x﹣52000，
∵﹣2＜0，故W有最大值，
当x＝﹣＝175（元/件）时，W的最大值为9250（元）；
故答案为100，175，9250；
（2）由题意得：W＝（﹣2x+500）（x﹣100﹣m）﹣2000﹣100＝﹣2x2+（700+2m）x﹣（52100+500m），
∵﹣2＜0，故W有最大值，
函数的对称轴为x＝﹣＝175+m，当x＜175+m时，W随x的增大而增大，
而x≤170，故当x＝170时，W有最大值，
即x＝170时，W＝﹣2×1702+（700+2m）×170﹣（52100+500m）＝7500，
解得m＝10．
24．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c即可求解析式；
（2）过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，由PF∥AE，可得＝，则求的最大值即可；
（3）分三种情况讨论：当∠CBD＝90°时，过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点H，可证明△DBG∽△BCH，求出D（3，6）；当∠BCD＝90°时，过点D作DK⊥y轴交于点K，可证明△OBC∽△KCD，求出D（3，﹣9）；当∠BDC＝90°时，线段BC的中点T（3，﹣），设D（3，m），由DT＝BC，可求D（3，﹣）或D（3，﹣﹣）．
解：（1）将点A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，
得，
解得，
∴y＝x2﹣x﹣3；
（2）如图1，过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，
∴PF∥AE，
∴＝，
设直线BC的解析式为y＝kx+d，
∴，
∴，
∴y＝x﹣3，
设P（t，t2﹣t﹣3），则F（t，t﹣3），
∴PF＝t﹣3﹣t2+t+3＝﹣t2+t，
∵A（﹣2，0），
∴E（﹣2，﹣4），
∴AE＝4，
∴＝＝＝﹣t2+t＝﹣（t﹣3）2+，
∴当t＝3时，有最大值，
∴P（3，﹣）；
（3）∵P（3，﹣），D点在l上，
如图2，当∠CBD＝90°时，
过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点H，
∴∠DBG+∠GDB＝90°，∠DBG+∠CBH＝90°，
∴∠GDB＝∠CBH，
∴△DBG∽△BCH，
∴＝，即＝，
∴BG＝6，
∴D（3，6）；
如图3，当∠BCD＝90°时，
过点D作DK⊥y轴交于点K，
∵∠KCD+∠OCB＝90°，∠KCD+∠CDK＝90°，
∴∠CDK＝∠OCB，
∴△OBC∽△KCD，
∴＝，即＝，
∴KC＝6，
∴D（3，﹣9）；
如图4，当∠BDC＝90°时，
线段BC的中点T（3，﹣），BC＝3，
设D（3，m），
∵DT＝BC，
∴|m+|＝，
∴m＝﹣或m＝﹣﹣，
∴D（3，﹣）或D（3，﹣﹣）；
综上所述：△BCD是直角三角形时，D点坐标为（3，6）或（3，﹣9）或（3，﹣﹣）或（3，﹣）．
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