人教版中考数学二轮复习专题练习上二次函数与分割面积

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（）求出该抛物线的解析式；
（）若直线将四边形面积平分，求此直线的解析式．
（）若直线将四边形的周长和面积同时分成相等的两部分，请你确定中的取值范围．
解析：（）由题意可知，抛物线的对称轴为：，与轴交点为，
∴，，
把代入得：，
解之得：，
∴．
（）直线将四边形面积平分，则直线一定经过的中点．
根据题意可求点坐标为，
把代入得：，
∴直线的解析式为：．
（）或．
2.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴的负半轴上，．
（）求过点、、的抛物线的解析式；
（）在（）中抛物线的对称轴上是否存在点，使的值最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（）在（）中轴下方的抛物线上是否存在一点，过点作轴的垂线，交直线于点，线段把分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形面积比为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解析：（）过点作轴于点，
∵，的坐标为，
∴．
∵，
∴．
∴．
设抛物线的解析式为，
代入点，得，
∴．
（）存在．理由如下：
设抛物线的对称轴交轴于点．
当点位于对称轴与线段的交点时，的值最小．
∵，
∴．
∴，
∴．
（）存在．理由如下：
如图，连结，
设，直线为，
∴，解得．
∴直线为．
∵，
，
，
若，
∴，
解得或（舍去）．
∴．
若，
∴．
解得或．
，不符合题意．
∴存在，满足题意．
3.如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与轴交于点，与轴交于、两点，点的坐标为．
（1）求二次函数的解析式及顶点的坐标；
（2）点是第二象限内抛物线上的一动点，若直线把四边形分成面积为的两部分，求出此时点的坐标；
（3）点是第二象限内抛物线上的一动点，问：点在何处时的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点的坐标．
解析：（1）由题意，得：
解得：
所以，所求二次函数的解析式为：
顶点的坐标为．
（2）
易求四边形的面积为．
可得直线的解析式为．
设直线与直线交于点，则的面积可以为或．
①当时，
易得点坐标，直线的解析式为．
设点坐标，
（舍），
∴
②当时，同理可得点坐标．
∴点坐标为．
（3）连接，设点的坐标为，
因为点在抛物线上，
所以，
所以
．
因为，所以当时，．的面积有最大值．
所以当点的坐标为时，的面积有最大值，且最大值为．
4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，点在轴上，点的纵坐标为．点是二次函数图象上、两点之间的一个动点（不与点、重合），设点的横坐标为，过点作轴的垂线交于点，作于点．
（1）求及的值；
（2）用含的代数式表示线段的长；
（3）连接，线段把分成两个三角形，是否存在适合的值，使这两个三角形的面积之比为．如果存在，直接写出的值；如果不存在，请说明理由．
解析：（1）
∵当时，，
∴，．
∵点在轴负半轴上，
∴，．
∵点在一次函数的图象上，
∴，
∴．
∴一次函数表达式为．
设直线交轴于点，则，，
∵轴交于点，
∴轴，
∴，
∴．
（2）∵点在二次函数图象上且横坐标为，
∴，
∵轴且点在一次函数的图象上，
∴，
∴．
∵于点，
∴在中，，
∴．
（3）的值为和．
5.如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，点在轴上，点的纵坐标为．点是直线下方的抛物线上的一动点（不与点、重合），过点作轴的垂线交直线于点，作于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点的横坐标为．
（Ⅰ）用含的代数式表示线段的长，并求出线段长的最大值；
（Ⅱ）连结，线段把分成两个三角形，是否存在适合的的值，使这两个三角形的面积比为．若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
解析：（1）在中，当时，；当时，．
、．
将、分别代入中，
得，
解得．
∴所求解析式为．
（2）①设直线交轴于点，求得，
∴，，，
∴．
设，则，
∴．
∴．
∴的最大值为．
②当或时，把分成两个三角形的面积比为．
6.已知：如图，在平面直角坐标系中，边长为的等边随着顶点在抛物线上运动而运动，且始终有轴．
（）当顶点运动至与原点重合时，顶点是否在该抛物线上？
（）在运动过程中有可能被轴分成两部分，当上下两部分的面积之比为（即）时，求顶点的坐标；
（）在运动过程中，当顶点落在坐标轴上时，直接写出顶点的坐标．
解析：（）当顶点运动至与原点重合时，设与轴交于点，如图所示．
∵轴，，
∴，．
∴点的坐标为．
∵当时，．
∴当顶点运动至与原点重合时，顶点在抛物线上．
（）过点作于点，
设点的坐标为．
∵，
∴．
∵等边的边长为，
∴．
∴．
∴．
解方程，得．
∴顶点的坐标为或．
（）当顶点落在坐标轴上时，顶点的坐标为、、．
7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，且对称轴为直线．点、均在抛物线上，点位于对称轴右侧，点位于对称轴左侧．垂直对称轴于点，垂直对称轴于点，且．设点的横坐标为．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）求点的坐标（用含的式子表示）；
（3）请探究是否成立，并说明理由．
（4）抛物线（）经过、、三点，若其对称轴把四边形分成面积比为的两部分，直接写出此时的值．
解析：（1）∵抛物线经过点，且对称轴为直线
∴解得
∴这条抛物线所对应的函数关系式为
（2）由题意知，
∴，∴
∴点的横坐标为
∴点的纵坐标为
∴
（3）成立
理由如下：
∵，
∴，
∴
又∵，
∴
∴
（4）
提示：∵点的横坐标为，点的横坐标为，
轴，抛物线（）经过、、三点
设其对称轴分别与、相交于点、
则
∵，∴
∵对称轴把四边形分成面积比为的两部分
∴，∴
解得（舍去），
∴
8.已知：如图，菱形中，对角线，相交于点，且，．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，直线从点出发，沿方向匀速运动，速度为，，且与，，分别交于点，，；当直线停止运动时，点也停止运动．连接，设运动时间为（）（）．解答下列问题：
（1）当为何值时，四边形是平行四边形？
（2）设四边形的面积为（），求与之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值，并求出此时，两点间的距离；若不存在，请说明理由．
解析：（1）
∵四边形是菱形，
∴，，，
在中，
∵，∴
又∵，∴．
∴，即，∴
∵四边形是平行四边形，∴
即，解得．
∴当时，四边形是平行四边形
（2）过点作于点
∵
∴，∴
∴
∵，∴
即，∴
同理，
∴
∴
∴
（3）若
则
即，解得，（舍去）
过点作于点，于点
当时
∵，∴
即，∴，
∴
在中
（）
9.如图1，菱形中，，点从出发，以的速度沿边、、匀速运动到终止；点从与同时出发，沿边匀速运动到终止．设点运动的时间为（），的面积（）与（）之间函数关系的图象由图2中的曲线段与线段、给出．
（1）求点运动的速度；
（2）求图中线段的函数关系式；
（3）问：是否存在这样的，使将菱形的面积恰好分成的两部分？若存在，求出这样的的值；若不存在，请说明理由．
解析：（1）
∵点始终在上作匀速运动
∴它运动的速度可设为
过点作于
当点在上运动时，，则
此时，
是关于的二次函数
当点在上运动时，
此时，
是关于的一次函数
∴图中的图象对应着点由运动到的过程中与之间的函数关系
∴在函数的图象上
∴，∴
即点运动速度为
（2）
当点运动到点时，，∴
当点在上运动到时，点恰好运动到点
当点由运动到时，点始终在点
∴图中的图象对应的是点在点、
点在上运动时与之间的函数关系
此时，
此时
∴的函数关系式为（）
（3）
当点在上运动时，
将菱形分成和五边形
此时的面积
根据题意，得
解得（秒）
当点在上运动时，
将菱形分成四边形和四边形
由题意，方向匀速运动，速度为
即
解得（秒）
∴存在和，使将菱形的面积恰好分成的两部分
10.如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，点在轴上，点的纵坐标为．点是直线下方的抛物线上一动点（不与点、重合），过点作轴的垂线交直线于点，作于点．
（1）求、及的值；
（2）设点的横坐标为．
（Ⅰ）用含的代数式表示线段的长，并求出线段长的最大值；
（Ⅱ）连接，线段把分成两个三角形，是否存在适合的值，使这两个三角形的面积之比为？若存在，直接写出的值；若不存在，说明理由．
解析：（1）
由，得，∴
由，得，∴
∵抛物线经过、两点
∴∴，
设直线与轴交于点，则
∵轴，∴.
∴
（2）由（1）知，抛物线的解析式为
∴，
在中，
∵，∴当时，有最大值
②存在满足条件的值，或
提示：
分别过点、作，，垂足分别为、
在中，
又
∴
当时，解得
当时，解得
11.如图，在平面直角坐标系中，点，为两动点，其中，连接，，．
（1）求证：；
（2）当时，抛物线经过，两点且以轴为对称轴，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，设直线交轴于点，过点作直线交抛物线于，两点．
（Ⅰ）若直线平分的面积，求直线的解析式；
（Ⅱ）是否存在直线l使得？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．
解析：（1）证明：作轴于，轴于
∵，，∴，，，
又，易证
∴，∴
∴
（2）
解：∵
∴
化简得
∵，∴，代入上式得
即，，
∵，∴不合题意，应舍去
∴，∴，∴，
∵抛物线经过，两点且以轴为对称轴
∴设抛物线的解析式为
∴解得
∴抛物线的解析式为
（3）
①设直线的解析式为
∴解得
∴直线的解析式为，令，得
∴
∵，，∴
∴，
∵直线平分的面积，∴直线只能与边相交，设交点为
则，∴，∴
∵∴
由，，得直线的解析式为
②
∵，∴
作轴于，轴于
设，则
易证，得，
∴，∴
∵点在抛物线上
∴，解得
∴或
由，，得直线l的解析式为
由，，得直线l的解析式为