湖南省湘潭市第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

数学试卷

一、选择题 (共12小题，每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一个选项符合题目要求)

1、 已知全集U＝R，M＝{x|x≤1}，P＝{x|x≥2}，则∁U(M∪P)等于(      )

A、{x|1<x<2}      B、{x|x≥1}         C、{x|x≤2}          D、{x|x≤1或x≥2}

答案：A

2、 已知，记， ，则与的大小关系是(    )

A、       B、        C、         D、不确定

答案：B

3、 已知函数，则

A. 是奇函数，且在R上是增函数        B. 是偶函数，且在R上是增函数

C. 是奇函数，且在R上是减函数        D. 是偶函数，且在R上是减函数

答案：A

4、 已知log2b<log2a<log2c，则(　　)

A、()b>()a>()c      B、)()a>()b>()c    C、()c>()b>()a      D、()c>()a>()b

答案：A

5、 已知向量，满足，则＝

A、4             B、3               C、2               D、0

答案：B

6、 已知，则的值为(　　)

A、           B、2                C、              D、

答案：D

7、 圆台的上、下底面半径和高的比为，母线长为10，则圆台的侧面积为(　　).

A、81π           B、100π            C、14π             D、169π

答案：B

8、 直线l过点，且不经过第四象限，则直线l的斜率的最大值为

A. 0           B. 1          C.              D. 2

答案：D

9、 已知x、y取值如下表：

从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且＝0.95x＋a，则a＝(　　)

A. 1.30　　 B. 1.45      C. 1.65　　 D. 1.80

答案：B

10、在的二项展开式中，x2的系数为(　　)

A．－         B.            C．－            D.

答案：C

11、甲､乙､丙､丁､戊5名同学报名参加社区服务活动，社区服务活动共有关爱老人､环境监测､教育咨询､交通宣传､文娱活动五个项目，每人限报其中一项，记事件为“5名同学所报项目各不相同”，事件为“只有甲同学一人报关爱老人项目”，则(    )

A、            B、               C、               D、

答案：A

12、已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于(　　)

A、0.6            B、0.4             C、0.3              D、0.2

答案：C

二、填空题 (共4小题，每小题5分)

13、已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则a2＝________.

答案：4

14、在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A型螺栓的概率为________.

答案：

15、用二分法研究函数f(x)在区间(0，1)内的零点时，计算得f(0)<0，f(0.5)<0，f(1)>0，那么下一次应计算x＝_________时的函数值.

答案：0.75

16、有一批材料可以建成200 m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成面积相等的矩形，如图所示，则围成的矩形场地的最大面积为___m2(围墙厚度不计). 

答案：2500

三、解答题(共7小题，共70分)

17、(满分8分)已知函数f(x)＝2sin(2x)＋a，a为常数

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)若x∈[0，]时，f(x)的最小值为﹣2，求a的值.

解析：(1)∵f(x)＝2sin(2x)＋a，∴f(x)的最小正周期Tπ.       （4分）

(2)当x∈[0，]时，2x∈[，]，

故当2x 时，函数f(x)取得最小值，即sin(，

∴f(x)取得最小值为﹣1＋a＝﹣2，∴a＝﹣1.                        （8分）

18、(满分8分)设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.

(1) 求{an}的通项公式；

(2) 设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.

解析：(1) 设q为等比数列{an}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，

即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.

所以{an}的通项为an＝2·2n－1＝2n(n∈N×)                           （4分）

(2) Sn＝＋＝2n＋1＋n2－2.                       （8分） 

19、(满分8分)已知圆C的圆心在直线上，并且与x轴的交点分别为.

(1)求圆C的方程；

(2)若直线l过原点且垂直于直线，直线l交圆C于M，N，求的面积.

解析：(1)线段的中垂线方程为：，

圆与x轴的交点分别为，则圆心在线段的中垂线上.

由，得，∴圆心C为，又半径，

∴圆C的方程为.                           （4分）

(2)直线l垂直于直线，则

又直线l过原点，则直线l的方程为：，

所以点C到直线l的距离为：，，

.                     （8分）

20、(满分10分)某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列.

(1) 求a，b，c的值及居民月用水量在2～2.5内的频数；

(2) 若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及均值和方差.

解析：(1) ∵前四组频数成等差数列，∴所对应的也成等差数列，设a＝0.2＋d，

b＝0.2＋2d，c＝0.2＋3d，∴0.5[0.2＋(0.2＋d)×2＋0.2＋2d＋0.2＋3d＋0.1×3]＝1，

解得d＝0.1，∴a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5.

居民月用水量在2～2.5内的频率为0.5×0.5＝0.25.

居民月用水量在2～2.5内的频数为0.25×100＝25.                            （4分）

(2)将频率视为概率，设A(单位：立方米)代表居民月用水量，可知P(A≤2.5)＝0.7，

由题意，X～B(3，0.7)，

P(X＝0)＝×0.33＝0.027；P(X＝1)＝×0.32×0.7＝0.189，

P(X＝2)＝×0.3×0.72＝0.441；P(X＝3)＝×0.73＝0.343，∴X的分布列为

∵X～B(3，0.7)，∴E(X)＝np＝2.1，D(X)＝     （6分）

21、(满分12分)如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，点E和F分别为BC和A1C的中点.

(1)求证：EF∥平面A1B1BA；

(2)求证：直线AE⊥平面BCB1；

(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小.

解析：(1)证明　如图，连接A1B，在△A1BC中，因为E和F分别是BC和A1C的中点，所以EF∥BA1.

又因为EF⊄平面A1B1BA，BA1⊂平面A1B1BA，

所以EF∥平面A1B1BA、                      （4分）

(2)证明　因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC、

因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，所以BB1⊥平面ABC，

又AE⊂平面ABC，从而BB1⊥AE.

又因为BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面BCB1，所以AE⊥平面BCB1.                （8分）

(3)取BB1的中点M和B1C的中点N，连接A1M，A1N，NE. 因为N和E分别为B1C和BC的中点，所以NE∥B1B，NE＝B1B，故NE∥A1A且NE＝A1A，所以A1N∥AE，且A1N＝AE.

又因为AE⊥平面BCB1，所以A1N⊥平面BCB1，从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角. 在△ABC中，可得AE＝2，所以A1N＝AE＝2.

因为BM∥AA1，BM＝AA1，所以四边形MBAA1为平行四边形，所以A1M∥AB，A1M＝AB，

又由AB⊥BB1，得A1M⊥BB1. 在Rt△A1MB1中，可得A1B1＝＝4.

在Rt△A1NB1中，sin∠A1B1N＝＝，因此∠A1B1N＝30°.

所以，直线A1B1与平面BCB1所成的角为30°.                                （12分）

22、(满分12分)已知函数，且)，且.

(1) 求的值；

(2) 求关于的不等式的解集；

(3) 若对恒成立，求的取值范围.

解析：(1) 由，得.                              （4分） 

(2) 由(1) 知，.

当时，因为，所以， 解得，

不等式的解集为；

当时，因为，所以，解得，

不等式的解集为                       （8分）     

(3) ，即，所以.

因为，所以当时，取得最小值.

所以，即的取值范围为.                        （12分）

23、(满分12分)随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元)为ξ.

(1)求ξ的分布列；

(2)求1件产品的平均利润(即ξ的均值)；

(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1％，一等品率提高为70％.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？

解析：(1)由于1件产品的利润为ξ，则ξ的所有可能取值为6，2，1，－2，由题意知

P(ξ＝6)＝＝0.63，P(ξ＝2)＝＝0.25，P(ξ＝1)＝＝0.1，P(ξ＝－2)＝＝0.02.

故ξ的分布列为

                                                  （4分）

(2)1件产品的平均利润为Eξ＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(万元)．  （8分）

(3)设技术革新后三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为

Eξ＝6×0.7＋2×(1－0.7－x－0.01)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x.

由Eξ≥4.73，得4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3％.           （12分）