专题52 带点粒子在复合场（重力和电场力）中的运动 2022届高中物理常考点归纳二轮复习

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常考点 带点粒子在复合场（重力和电场力）中的运动
【典例1】
如图所示，竖直放置的带有一定电量的平行板电容器，M板电势高于N板电势，两极板间距为d。质量为
m、带电荷量为q的微粒，从M板的边缘以初速度v0射入电场，沿与水平方向夹角为60°的直线从N板
的边缘射出，设重力加速度为g。则（ ）
A．两极板间的电势差为
B．微粒的动能减少
C．微粒的电势能减少
D．微粒的机械能减少
解：A、微粒沿直线运动，其所受的合外力方向与速度方向在同一直线上，受力分析如图所示，则有：tan60°＝，得：E＝，
两极板间的电势差为：U＝Ed＝．故A错误。
B、根据动能定理得：﹣qEd﹣mg•d＝△Ek，得：△Ek＝﹣，即微粒的动能减少，故B错误。
C、电势能变化量为：△Ep＝﹣W电＝qEd＝，即电势能增加，故C错误。
D、根据能量守恒定律知微粒的电势能和机械能之和保持不变，电势能增加，则机械能减少，故D正确。
【典例2】
如图中甲所示，在竖直平面内的匀强电场中，虚线为电场线，与水平轴Ox的夹角为α＝37°，Ox轴上各点
的电势ϕ的变化规律如图乙所示。A点在Ox上，且OA＝4m，一个带电小球质量为m＝0.6kg，从O点静止释放，刚好沿OA做直线运动，取sin37°＝0.6，cs37°＝0.8，g＝10m/s2。
（1）求匀强电场的场强；
（2）求在此过程中电场力对小球做的功。
解：（1）由图像可得
（2）带点小球运动过程中受重力和电场力，且合力沿水平方向，则
mg＝qEsinα，即qE＝，
在OA过程中，W＝qEcsαOA＝mgOA＝0.6×10××4J＝32J
答：（1）匀强电场的场强为10V/m；
（2）在此过程中电场力对小球做的功为32J。
【典例3】
（多选）如图所示，长为L、倾角为的光滑绝缘斜面处于沿斜面向下的匀强电场中，一带电荷量绝对值为q、质量为m的小球．以初速度v0由斜面底端的A点开始沿斜面向上做匀速直线运动，最终通过斜面顶端C点．已知重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．小球带正电
B．小球在C点的电势能大于在A点的电势能
C．A、C两点的电势差
D．电场强度大小为
解：小球沿斜面向上做匀速直线运动，可知小球所受的电场力平行斜面向上，小球带负电，选项A错误；从A到C电场力做正功，则电势能减小，即小球在C点的电势能小于在A点的电势能，选项B错误；由平衡知识可知 ，解得 ，选项D正确；A、C两点的电势差，选项C正确；故选CD.
1． 带电粒子在复合场中的直线运动的几种常见情况
2． “等效重力法”分析复合场中圆周运动的几种常见情况
【特别提醒】若带电粒子在水平面内运动，则为俯视图，等效重力加速度为。
3． 带电粒子在复合场中的匀变速曲线运动的几种常见情况
4． 带电粒子在复合场中的匀变速曲线运动
5． 带电小球在电容器中的直线运动
6． 多过程运动规律
【变式演练1】
如图所示，A为带正电的点电荷，电量为Q，中间竖直放置一无限大的金属板，B为质量为m、电量为+q的小球，用绝缘丝线悬挂于O点，平衡时丝线与竖直方向的夹角为θ，且A、B两个小球在同一水平面上，间距为L，则金属板上的感应电荷在小球B处产生的电场强度大小E为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：静电平衡时，金属板的感应电荷在小球B所在处产生的电场强度方向向右，以小球为研究对象，受重力、点电荷对小球的静电力F、感应电荷的静电力和细线的拉力，如图
根据共点力平衡条件
，
又根据库仑定律得
联立解得
故D正确，ABC错误。
【变式演练2】
（多选）如图所示，长为L倾角为θ的光滑绝缘斜面处于电场中，一带电量为＋q质量为m的小球，以初速度v0从斜面底端A点开始沿斜面上滑，当到达斜面顶端B点时，速度仍为v0， 则下列说法正确的是
A．若电场是匀强电场，则该电场的电场强度的最小值一定为
B．A、B两点间的电压一定等于
C．小球在B点的电势能一定大于在A点的电势能
D．若该电场是斜面中点竖直正上方某点的点电荷Q产生的，则Q一定是正电荷
解：小球从A运动到B的过程中：，所以：，B对；若电场为匀强电场，由公式U=Ed，知当两点剪的电压一定时，间距越大，电场强度越小，故电场强度的最小值为，B对；在上升过程中，重力做负功，故电场力做正功，电势能减小，A点的电势能大于B点的电势能，C错；若该电场时斜面中点正上方某点的点电荷Q产生的，离电荷远的A点电势高，所以Q一定是负电荷，D错．
1．（多选）如图所示.用绝缘细线悬挂一个带正电的小球，置于水平向右的匀强电场中，将小球从最低点A无初速释放，当小球通过B点时具有速度v，则这一过程中
A．小球的重力势能增加
B．小球的电势能减少
C．增加的重力势能等于减少的电势能
D．增加的重力势能小于减少的电势能
解：小球从A到B的过程中小球的位置升高，重力做负功，小球的重力势能增加．故A正确；小球带正电荷，到的电场力的方向向右，运动的方向向右，该过程中电场力做正功，电势能减少．故B正确；小球在B点有速度v，所以小球的动能增加，由能量关系可知，小球增加的动能和重力势能之和等于电势能的减小，则小球增加的重力势能小于减少的电势能．故C错误，D正确．
2．（多选）如图所示，半圆槽光滑、绝缘、固定，圆心是O，最低点是P，直线MN水平，a、b是两个完全相同的带正电小球（视为点电荷），b固定在M点，a从N点静止释放，沿半圆槽运动经过P点到达某点Q（图中未画出）时速度为零。则小球a（ ）
A．从N到Q的过程中，重力与库仑力的合力先增大后减小
B．从N到P的过程中，动量的大小先增大后减小
C．从N到Q的过程中，电势能一直增加
D．从P到Q的过程中，动能减少量小于电势能增加量
解：A．a由N到Q的过程中，重力竖直向下，而库仑力一直沿二者的连线方向，则可知，重力与库仑力的夹角一直减小，且库仑力增大，依据力的合成法则，故合力一直在增大;故A错误；
B．从N到P的过程中,合力先与运动方向的夹角均为锐角，合力做正功；而后一过程中合力与运动方向夹角为钝角，合力做负功；从N到P的过程中，速率先增大后减小，所以动量的大小先增大后减小，故B正确；
C．从N到Q小球电场力与速度的夹角一直是钝角，则电场力一直做负功，电势能增大，故C正确；
D．从P到Q的过程中，电场力做负功，重力也做负功，动能的减少量等于电势能和重力势能的增加量之和，即动能减少量大于电势能增加量，故D错误；
3．如图甲所示，空间有一水平向右的匀强电场，其中有一个半径为R＝2m的竖直光滑圆环，环内有两根光滑的弦轨道AB和AC，A点所在的半径与竖直直径BC成37°角。质量为m＝0.08kg、电荷量为q＝6×10﹣3C的带电小球（可视为质点）从A点静止释放，分别沿弦轨道AB和AC到达圆周的运动时间相同。现去掉弦轨道AB和AC，如图乙所示，给小球一个初速度，让小球恰能在圆环内做完整的圆周运动，不考虑小球运动过程中电荷量的变化。下列说法正确的是（cs37°＝0.8，g取10m/s2）（ ）
A．小球做圆周运动经过C点时动能最大
B．匀强电场的电场强度大小为E＝1×104V/m
C．小球做圆周运动过程中动能最小值是0.5J
D．小球做圆周运动过程中对环的压力最大值是6N
解：B、图甲结合等时圆知识，重力与电场力合力必须指向AO，根据合成与分解可得：Eq＝mgtan37°，
代入数据可得，匀强电场的电场强度大小为E＝100V/m，故B错误；
A、等效最低点在AO延长线与圆轨道交点，等效最低点速度最大，动能最大，故A错误；
C、因为重力与电场力均为恒力，所以二者的合力大小为F＝＝mg，
小球做圆周运动，则在其等效最高点，F＝，
此时小球速度最小，动能最小，最小动能为Ek＝mv2，解得Ek＝1J，故C错误；
D、小球从等效最高点至等效最低点过程中，由动能定理得F×2R＝﹣，
在等效最低点小球对圆环压力最大，速度最大，动能最大，而非经过C点时动能最大。
由牛顿第二定律得FN﹣F＝m
代入数据解得，FN＝6.0N
由牛顿第三定律可知，小球做圆周运动的过程中对环的最大压力是6.0N，故D正确。
4．如图所示，在一竖直平面内有一光滑的绝缘倾斜轨道ab和一光滑的绝缘圆弧轨道bcde平滑相接，一个质量为m的带正电小球从距最低点c所在水平面高h．处由静止释放后，刚好能通过圆轨道的最高点e．现在轨道空间内加一竖直向上的、范围足够大的匀强电场，且小球所受的电场力小于小球的重力，下列说法中正确的是（ ）
A．小球经过c点时，小球的机械能最小
B．小球经过c点时动能最大，电势能最小
C．若要小球仍能通过e点，必须从斜面上更高的位置静止释放
D．若小球仍从斜面上原位置静止释放，通过e点时会对轨道产生压力
解：加上电场后，当从斜面上高h0处释放小球后，小球仍然是刚好能通过轨道的最高点，所以CD错误，由a到c重力做正功，电场力做负功，小球的机械能不守恒，在最低点，电势能最大，机械能最小，故B错误，A正确。
5．如图一根不可伸长的绝缘细线一端固定于O点，另一端系一带电小球，置于水平向右的匀强电场中，现把细线水平拉直，小球从A点静止释放，经最低点B后，小球摆到C点时速度为0，则（ ）
A．小球在B点时的速度最大
B．从A到C的过程中小球的电势能一直增大
C．小球从A到C的过程中，机械能先减少后增大
D．小球在B点时的绳子拉力最大
解：AD、小球受电场力、重力和绳子拉力作用，在复合场中摆动，当重力与电场力的合力与绳子的拉力在同一直线上时，小球处于等效最低点．据对称性可知B点不是等效最低点，则球在B点时的速度不是最大，小球在B点时的绳子拉力不是最大，故AD错误；
BC、据小球的摆动情况知，小球所受电场力的方向水平向右，则从A到C的过程中小球所受电场力一直做负功，从A到C的过程中小球的电势能一直增大．据功能关系可得小球从A到C的过程中小球机械能变化等于电场力做的功，则从A到C的过程中小球的机械能一直减小。故B正确，C错误。
6．(多选)电荷量为q＝1×10﹣4C的带正电小物块静置于x＝0处的绝缘水平面上，所在空间存在沿x轴正方向的水平电场，电场强度E与位移x的关系和物块速度v与时间t的关系如图所示，若重力加速度g取10m/s2，则下列结论正确的是（ ）
A．物块的质量为1kg
B．0到4s内电场力做功为14J
C．x＝0与x＝4m两点间的电势差为8×104V
D．0到4s内物块与水平面之间因摩擦产生的热量为16J
解：A、由题意得，当E1＝3×104N/C时，物体的加速度为a＝＝m/s2＝1m/s2，
由牛顿第二定律得：qE1﹣f＝ma；当E2＝2×104N/C时，
物体匀速运动，则物体受力平衡，电场力等于摩擦力，即：qE2＝f，又f＝μmg，
代入数据解得：m＝1kg，μ＝0.2，故A正确；
B、v﹣t图象中图象的与时间轴围成的面积表示位移，则
物块在4s内的总位移x＝×（2+4）×2＝6m，
前4s内电场力做功为W，由动能定理得：W﹣μmgs＝mv2，由此得：W＝14J，故B正确；
C、x＝0与x＝2m两点间的电势差为：＝6×104V，
x＝2m与x＝4m两点间的电势差为＝4×104V，
所以x＝0与x＝4m两点间的电势差为：U＝U1+U2＝6×104V4×104V＝10×104V，故C错误；
D、摩擦产生的热量：Q＝Wf＝fx＝μmgx＝0.2×1×10×6J＝12J，故D错误。
7．如图所示，带有等量异种电荷的平行金属板M、N竖直放置，M、N两板间存在电场强度为E的匀强电场，距离d，现将一质量m、电荷量未知的带正电小球从两极板上方的A点以v0的初速度水平抛出，之后小球恰好从靠近M板上端处以速度方向（为速度方向与水平方向的夹角）沿直线运动碰到N板上的C点，该直线与曲线的末端相切，不计空气阻力，重力加速度为g。求：
（1）带电小球的电荷量；
（2）小球到达C点时的动能。
解：（1）小球进入电场后，沿直线运动到C点，所以重力与电场力的合力即沿该直线方向，则
解得
（2）进入电场后，小球受到的合外力
B、C两点间的距离
B点速度
从B到C由动能定理得
联立求得
8.如图所示，一质量为m.电荷量为q的带正电荷小球（可视为质点）从y轴上的A点以初速度（未知）水平抛出，两长为L的平行金属板M.N倾斜放置且水平方向间的夹角为，带电小球恰好能垂直M板从其中心小孔B进入两板间（sin37°=0.6, g取10m/s2）
（1）试求带电小球抛出时的初速度；
（2）若该平行金属板M.N间有如图所示的匀强电场，且匀强电场的电场强度大小与小球质量之间的关系满足，试计算两平行板M.N之间的垂直距离d至少为多少时才能保证小球不打在N板上.
解：（1）设小球由y轴上的A点运动到金属板M的中点B的时间为t，由题意，在与x轴平行的方向上，有：，，
带电小球在竖直方向上下落的距离为：
所以小球抛出点A的纵坐标为：，
以上各式联立并代入数据可解得：．
所以小球抛出点A的坐标为，小球抛出时的初速度大小为：
（2）设小球进入电场时的速度大小为v，则由动能定理可得：
解得：．
带电小球进入匀强电场后的受力情况如图所示．
因为，所以，
因此，带电小球进入该匀强电场之后，将做类平抛运动．其加速度大小为：，
设带电小球在该匀强电场中运动的时间为，欲使小球不打在N板上，由类平抛运动的规律可得：，
以上各式联立求解并代入数据可得：
9.如图所示，倾角θ =37˚的固定斜面处于竖直向下的匀强电场中，电场强度E=104V/m，在足够长的斜面上某点以v0=4m/s的初速度水平抛出一个质量为m =0.1kg、电荷量为q=10-4C的带正电的绝缘小球（可视为质点），已知重力加速度g =10m/s2 ，sin37˚ =0.6 ，cs37˚ =0.8。求：
（1）小球经多长时间落到斜面上；
（2）小球从水平抛出至落到斜面的过程中，电势能减少了多少？
解：(1)小球做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动。由牛顿第二定律得：
（或：）
解得：
水平方向：
竖直方向：
又因为：
联立解得：
t=0.3s
(2)电场力做功为：
W=F电y (或 W=qEy)
W=0.9J；
因为电场力做了多少功，电势能就减少多少。（或电势能的减少量为）即：电势能减少了0.9J
10.如图所示，一质量为m、电荷量为+q的小球，以初速度v0沿两块正对带电平行金属板左侧某位置水平向右射入两极板之间，离开时恰好由A点沿圆弧切线进入竖直光滑固定轨道ABC中。A点为圆弧轨道与极板端点DD'连线的交点，CB为圆弧的竖直直径并与DD'平行，竖直线DD'的右边界空间存在竖直向下，且大小可调节的匀强电场E。已知极板长为L，极板间距为d，圆弧的半径为R，∠AOB＝53°，重力加速为g，sin53°＝0.8，cs53°＝0.6。不计空气阻力，板间电场视为匀强电场，小球可视为质点。
（1）求两极板间的电势差大小；
（2）当电场强度E＝时，求小球沿圆弧轨道运动过程中的最大动量；
（3）若要使小球始终沿圆弧轨道运动且恰好能够通过最高点C，求电场强度E的大小。
解：（1）从小球射入到运动至A点过程，做类平抛运动：
竖直方向做匀加速运动：U＝Ed，F合＝Eq+mg＝ma，vy＝at
水平方向做匀速运动：L＝v0t，
因为小球在A点沿圆弧切线进入圆弧轨道，所以小球出电场时速度方向与水平方向夹角为53°，则有：tan53°＝＝，
联立解得：。
（2）在A点：vAcs53°＝v0，
小球沿圆弧轨道运动到最低点B点时的动量最大，根据动能定理：
，
最大动量为P＝mv，
联立可得：，方向水平向右；
（3）在C点的临界：，
从A点运动到C点，根据动能定理：FN＝，
联立可得：。
答：（1）两极板间的电势差大小为：；
（2）当电场强度E＝时，小球沿圆弧轨道运动过程中的最大动量为：，方向水平向右；
（3）若要使小球始终沿圆弧轨道运动且恰好能够通过最高点C，电场强度E的大小为：。
匀速直线运动
匀加速直线运动
匀减速直线运动
θ
v0
mg
qE
θ
v0
mg
qE
F合
θ
v0
mg
qE
F合
●
mg
qE
B
A
●
vA
●
mg
qE
B
A
●
vA
●
mg
qE
B
A
●
vA
mg'
[
绳不松、不脱轨，在等效最低点的速度条件：
竖直向上抛出
水平抛出
斜上抛出
A
B
C
●
●
v0
y
x
mg
qE
A
B
C
●
●
v0
y
x
mg
qE
A
B
C
●
●
v0
y
x
mg
qE
A
B
C
●
●
v0
y
x
mg
qE
A
D
C
●
●
v0
y
x
mg
qE
θ
vmin
加速度
时间
速度
位移
动能定理
匀速直线运动
匀加速直线运动
匀加速直线运动
匀减速直线运动
+ + + + + + + + + +
- - - - - - - - - -
mg
qE
mg
qE
θ
mg
qE
θ
qE=mg，a=0
qE=mgtanθ，a=g/csθ
qE=mg/csθ，a=gtanθ
qE=mg/csθ，a=gtanθ
运动模型
受力分析
运动分析
规律
mg
mg
●
qE
t
O
v
t2
t1
a
g
v0
= 1 \* GB3 ①速度公式v0=gt1=at2;
速度位移公式v02=2gx1=2ax2
= 2 \* GB3 ②全程动能定理：mg(h+d)-qU=0