人教版高中数学高考一轮复习训练--直线的倾斜角与斜率、直线的方程

考点规范练40　直线的倾斜角与斜率、直线的方程

一、基础巩固

1.直线x-y+a=0(a为常数)的倾斜角为(　　)

A.30° B.60° C.150° D.120°

2.若图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则(　　)

A.k1<k2<k3

B.k3<k1<k2

C.k3<k2<k1

D.k1<k3<k2

3.设直线l经过点A(2,1),且在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程为(　　)

A.x+y-3=0或x-y=0

B.x+y-3=0

C.x+y-3=0或x-2y=0

D.x-2y=0

4.已知直线l1过点A(-2,m)和B(m,4),直线l2的方程为2x+y-1=0,直线l3的方程为x+ny+1=0.若l1∥l2,l2⊥l3,则实数m+n的值为(　　)

A.-10 B.-2 C.0 D.8

5.已知两点M(2,-3),N(-3,-2),直线l过点P(1,1),且与线段MN相交,则直线l的斜率k的取值范围是(　　)

A.[,4] B.[-4,]

C.(-∞,-4]∪[,+∞] D.[-,4]

6.过点P(2,3),并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为　　　　　　　　.

7.若直线x-y-1=0与直线(m+3)x+2my-8=0平行,则m=　　　　　.若直线x-y-1=0与直线(m+3)x+2my-8=0垂直,则m=　　　　　. 

8.过点M(1,2)的直线l与圆C:(x-3)2+(y-4)2=25交于A,B两点,C为圆心,当∠ACB最小时,直线l的方程为　. 

9.过点P(3,0)作一条直线,使它夹在两直线l1:2x-y-2=0与l2:x+y+3=0之间的线段AB恰好被点P平分,求此直线的方程.

10.如图,在平面直角坐标系Oxy中,已知平行四边形ABCD的顶点B(5,3)和D(3,-1),AB所在直线的方程为x-y-2=0,AB⊥AC.

(1)求对角线AC所在直线的方程;

(2)求BC所在直线的方程.

二、综合应用

11.已知直线l1:xsin α+y-1=0,直线l2:x-3ycos α+1=0,若l1⊥l2,则sin 2α=(　　)

A. B.± C.- D.

12.已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取到最大值时,直线l的倾斜角为(　　)

A.150° B.135° C.120° D.不存在

13.设光线l从点A(-4,)射出,经过x轴反射后经过点B0,,则光线l与x轴交点的横坐标为　　　　　,若该入射光线l经x轴发生折射,折射角为入射角的一半,则折射光线所在直线的纵截距为　　　　　. 

14.已知函数y=ex的图象在点(ak,)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中k∈N*,a1=0,则a1+a3+a5=　　　　　. 

15.已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).

(1)证明:直线l过定点;

(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;

(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.

16.已知动直线l0:ax+by+c-3=0(a>0,c>0)恒过点P(1,m),且Q(4,0)到动直线l0的距离的最大值为3,求的最小值.

三、探究创新

17.已知函数f(x)=asin x-bcos x(a≠0,b≠0),若f(-x)=f(+x),则直线ax-by+c=0的倾斜角为(　　)

A. B. C. D.

18.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(1,0),B(0,2),且|AC|=|BC|,则△ABC的欧拉线的方程为(　　)

A.4x+2y+3=0 B.2x-4y+3=0

C.x-2y+3=0 D.2x-y+3=0

考点规范练40　

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

1.B　设直线的倾斜角为α,斜率为k,化直线方程为y=x+a,则k=tan α=故α=60°.

2.D　直线l1的倾斜角是钝角,则k1<0;直线l2与l3的倾斜角都是锐角,斜率都是正数.又直线l2的倾斜角大于l3的倾斜角,所以k2>k3>0,所以k1<k3<k2.

3.C　当直线l不经过原点时,设其方程为x+y=a(a≠0),因为直线l经过点A(2,1),所以2+1=a,即a=3,故直线l的方程为x+y=3,即x+y-3=0.当直线l经过原点时,斜率为,故其方程为y=x,即x-2y=0.

综上,直线l的方程为x+y-3=0或x-2y=0.

4.A　因为l1∥l2,所以kAB==-2,解得m=-8.

因为l2⊥l3,所以-(-2)=-1,解得n=-2,

所以m+n=-10.

5.C　如图所示,∵kPN=,kPM==-4,

∴要使直线l与线段MN相交,当l的倾斜角小于90°时,k≥kPN;

当l的倾斜角大于90°时,k≤kPM,∴k或k≤-4.

6.3x-2y=0或x-y+1=0　当直线过原点时,方程为y=x,即3x-2y=0.

当直线l不过原点时,设直线方程为=1.

将点P(2,3)的坐标代入方程,得a=-1,所以直线l的方程为x-y+1=0.

综上,所求直线l的方程为3x-2y=0或x-y+1=0.

7.-1　3　∵直线x-y-1=0与直线(m+3)x+2my-8=0平行,

,解得m=-1.

∵直线x-y-1=0与直线(m+3)x+2my-8=0垂直,

∴1×(m+3)+(-1)×2m=0,解得m=3.

8.x+y-3=0　验证知点M(1,2)在圆C内,当∠ACB最小时,直线l与CM垂直,∵kCM==1,∴kl=-1,

∴直线l的方程为y-2=-(x-1),整理得x+y-3=0.

9.解 设点A(xA,yA)在直线l1上,点B(xB,yB)在直线l2上.

由题意知则点B的坐标为(6-xA,-yA),将点A,B的坐标分别代入各自所在直线的方程,

得解得

则所求直线的斜率k==8,

故所求的直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.

10.解 (1)∵点B(5,3),D(3,-1),

∴线段BD的中点M的坐标为(4,1).

∵AB所在直线的方程为x-y-2=0,AB⊥AC,

∴kAC=-1.

∴对角线AC所在直线的方程为y-1=-(x-4),即x+y-5=0.

(2)由解得A,

∴kAD==5.∵BC∥AD,∴kBC=5.

∴BC所在直线的方程为y-3=5(x-5),即5x-y-22=0.

11.D　因为l1⊥l2,所以sin α-3cos α=0,所以tan α=3,

所以sin 2α=2sin αcos α=

12.A　由y=,得x2+y2=2(y≥0),它表示以原点O为圆心,为半径的圆的一部分,如图所示.

显然直线l的斜率存在,设过点P(2,0)的直线l的方程为y=k(x-2),则圆心到直线l的距离d=,弦长|AB|=2=2,

所以S△AOB=2=1,当且仅当(2k)2=2-2k2,即k2=时等号成立.由图可知k<0,所以k=-,故直线l的倾斜角为150°.

13.-1　-　由点B(0,)关于x轴的对称点为B'(0,-),

可得直线AB'的斜率为=-,

方程为y=-x-,令y=0,可得x=-1,

即光线l与x轴交点的横坐标为-1.

由直线AB'可得入射角为90°-30°=60°,则折射角为30°,折射光线的斜率为k=tan(30°+90°)=-,折射光线的方程为y=-(x+1),令x=0,可得y=-,故折射光线所在直线的纵截距为-

14.-6　∵y=ex,∴y'=ex,

∴y=ex在点(ak,)处的切线方程为y-(x-ak),整理,得x-y-ak=0.

∵切线与x轴交点的横坐标为ak+1,∴ak+1=ak-1,

∴{an}是首项为a1=0,公差d=-1的等差数列,

∴a1+a3+a5=0-2-4=-6.

15.(1)证明 直线l的方程可化为y=k(x+2)+1,故直线l过定点(-2,1).

(2)解 直线l的方程可化为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,要使直线l不经过第四象限,则解得k≥0,故k的取值范围是[0,+∞).

(3)解 直线l在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,且k>0,

所以点A(-,0),B(0,1+2k),

故S=|OA||OB|=(1+2k)

=(4k++4)(4+4)=4,

当且仅当4k=,即k=时取等号,故S的最小值为4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.

16.解 将点P(1,m)的坐标代入动直线l0的方程,得a+bm+c-3=0.

又点Q(4,0)到动直线l0的距离的最大值为3,则有|PQ|=3

∴=3,解得m=0.∴a+c=3.

又a>0,c>0,(a+c)()

=)+2)=,

当且仅当a=1,c=2时取等号.

所以的最小值为

17.C　由f(-x)=f(+x)知函数f(x)的图象关于直线x=对称,所以f(0)=f,

得a=-b,则直线ax-by+c=0的斜率为k==-,所以直线的倾斜角为故选C.

18.B　因为|AC|=|BC|,所以△ABC的欧拉线为AB的垂直平分线.

又A(1,0),B(0,2),故AB的中点为(,1),kAB=-2,故AB的垂直平分线方程为y-1=(x-),

即2x-4y+3=0.