人教版高中数学高考一轮复习训练--平面向量、数系的扩充与复数的引入

[1]章末目标检测卷六　

平面向量、数系的扩充与复数的引入

(时间:45分钟　满分:80分)

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(2020全国Ⅲ,文2)若(1+i)=1-i,则z=(　　)

A.1-i B.1+i C.-i D.i

2.已知O是△ABC所在平面内一点,D为边BC的中点,且2=0,则(　　)

A.=2 B.

C.=3 D.2

3.已知=(2,3),=(3,t),||=1,则=(　　)

A.-3 B.-2 C.2 D.3

4.已知复数z=a+(a∈R,i为虚数单位),若复数z的共轭复数的虚部为-,则复数z在复平面内对应的点位于(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

5.体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动,如图所示,处于平衡状态时,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为400 N,则该学生的体重(单位:kg)约为(　　)

(参考数据:取重力加速度大小为g=10 m/s2,≈1.732)

A.63 B.69 C.75 D.81

6.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则=(　　)

A.-a2 B.-a2 C.a2 D.a2

7.已知向量=(2,0),向量=(2,2),向量=(cos α,sin α),则向量与向量的夹角的取值范围是(　　)

A. B. 

C. D.

8.已知||=||=2,点C在线段AB上,且||的最小值为1,则|-t|(t∈R)的最小值为(　　)

A. B. C.2 D.

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.

9.已知复数z的共轭复数为,且zi=1+i,则下列结论正确的是(　　)

A.|z+1|= B.z的虚部为-i

C.z2 020=-21 010 D.z2+=z

10.已知向量a=(2,1),b=(1,-1),c=(m-2,-n),其中m,n均为正数,且(a-b)∥c,下列说法正确的是(　　)

A.a与b的夹角为钝角

B.向量a在b方向上的投影向量的模为

C.2m+n=4

D.mn的最大值为2

11.已知复数z=1+cos 2θ+isin 2θ(其中i为虚数单位),则(　　)

A.复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限

B.z可能为实数

C.|z|=2cos θ

D.的实部为-

12.已知△ABC是边长为2a(a>0)的等边三角形,P为△ABC所在平面内一点,则·()的值可能是(　　)

A.-2a2 B.-a2

C.-a2 D.-a2

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.已知i为虚数单位,且复数z满足=2i,则|z|=　　　　　. 

14.已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上存在一点P使有最小值,则点P的坐标是　　　　　. 

15.若向量a,b满足a=(-,1),(a+2b)⊥a,(a+b)⊥b,则|b|=　　　　　. 

16.在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(0,-1),P是曲线y=上的一个动点,则的取值范围是　　　　　　　. 

章末目标检测卷六　平面向量、数系的扩充与复数的引入

1.D　由(1+i)=1-i,知=-i,

则z=i.

故选D.

2.B　由2=0,

得=-2=2,

即=2=2,

所以,

故选B.

3.C　由=(1,t-3),||==1,得t=3,则=(1,0),即=(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2.故选C.

4.A　由题意,得z=a+=a+,即

∵复数z的共轭复数的虚部为-,

∴-=-,解得a=2.

则z=i,

即复数z在复平面内对应的点位于第一象限.

5.B　设该学生两只胳膊的拉力分别为F1,F2,

则|F1|=|F2|=400 N,且F1,F2的夹角是60°,则|F1+F2|==400(N),

则该学生的体重m=40×1.732=69.28(kg),

故选B.

6.D　如图,设=a,=b,

则=()=(a+b)·a=a2+a·b=a2+a2cos 60°=a2+a2=a2.

7.D　由题意,得=(2+cos α,2+sin α),所以点A的轨迹是圆(x-2)2+(y-2)2=2,

如图,当A为直线OA与圆的切点时,向量与向量的夹角分别达到最大值和最小值,故选D.

8.B　依题意,可将点A,B置于圆x2+y2=4上;由点C在线段AB上,且||的最小值为1,得原点O到线段AB的距离为1,∠AOB=180°-2×30°=120°,(-t)2=4+4t2-2t×22cos 120°=4t2+4t+4=4+3的最小值为3,因此|-t|的最小值为

9.ACD　由zi=1+i可得,z==1-i,虚部为-1,

所以|z+1|=|2-i|=;

因为z2=-2i,z4=-22,所以z2 020=(z4)505=-21 010;z2+=-2i+1+i=1-i=z.故选ACD.

10.CD　对于A,向量a=(2,1),b=(1,-1),

则a·b=2-1=1>0,则a,b的夹角为锐角,错误;

对于B,向量a=(2,1),b=(1,-1),则向量a在b方向上的投影向量的模为,错误;

对于C,向量a=(2,1),b=(1,-1),则a-b=(1,2).

若(a-b)∥c,则-n=2(m-2),变形可得2m+n=4,正确;

对于D,由C的结论,2m+n=4,而m,n均为正数,

可得mn=(2mn)=2,

当且仅当2m=n=2时,等号成立,即mn的最大值为2,正确.

11.BC　因为-<θ<,所以-π<2θ<π,

所以-1<cos 2θ≤1,所以0<1+cos 2θ≤2,故A选项错误;

当sin 2θ=0时,复数z是实数,故B选项正确;

|z|==2cos θ,

故C选项正确;

==,

的实部是,故D选项错误.

12.BCD　如图,建立平面直角坐标系.

设点P(x,y),又点A(0,a),B(-a,0),C(a,0),

则=(-x,a-y),=(-a-x,-y),=(a-x,-y),

则=(-a-x,-y)+(a-x,-y)=(-2x,-2y),

即()=(-x,a-y)·(-2x,-2y)=2x2+2y2-2ay,即()=2x2+2y-a2-a2.故()≥-a2.

13　由=2i,得z=+i=1+4i,

则|z|=

14.(3,0)　设点P的坐标为(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1),=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.

当x=3时,有最小值1.故点P的坐标为(3,0).

15　∵a=(-,1),∴|a|=2.

∵(a+2b)⊥a,(a+b)⊥b,

∴(a+2b)·a=0,(a+b)·b=0,

即|a|2+2a·b=0, ①

|b|2+a·b=0. ②

由①-②×2,得|a|2=2|b|2,则|b|=

16.[0,+1]　如图,作出函数y=的图象.

这是以点O(0,0)为圆心,以1为半径的一个半圆.不妨用虚线把这个半圆补充为一个圆.

设的夹角为θ,则

当时,cos;

当时,cos

因为y=cos x(x∈R)是偶函数,

所以||=2cos,

=||||cos θ

=2coscos θ

=2cos2θ+2sin θcos θ

=sin 2θ+cos 2θ+1

=sin+1.

因为,所以2θ+

当2θ+,即θ=时,取最大值+1;

当2θ+,即θ=时,取最小值0,

故的取值范围是[0,+1].

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