【真题汇总卷】2022年中考数学第三次模拟试题（含答案及详解）

2022年中考数学第三次模拟试题

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列解方程的变形过程正确的是（    ）

A．由移项得：

B．由移项得：

C．由去分母得：

D．由去括号得：

2、一元二次方程的一次项的系数是（ ）

A．4 B．-4 C．1 D．5

3、如图①，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图②.这个拼成的长方形的长为30，宽为20，则图②中Ⅱ部分的面积是(　　)

A．60 B．100 C．125 D．150

4、邢台市某天的最高气温是17℃，最低气温是－2℃，那么当天的温差是（         ）．

A．19℃ B．-19 ℃ C．15℃ D．-15℃

5、如图是三阶幻方的一部分,其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等,则对于这个幻方,下列说法错误的是(    )

A．每条对角线上三个数字之和等于

B．三个空白方格中的数字之和等于

C．是这九个数字中最大的数

D．这九个数字之和等于

6、某种速冻水饺的储藏温度是，四个冷藏室的温度如下，不适合储藏此种水饺是(  )

A． B． C． D．

7、在，，， ，中，负数的个数有（    ）．

A．个 B．个 C．个 D．个

8、若，则下列不等式正确的是（   ）

A． B． C． D．

9、不等式＋1<的负整数解有(　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10、下列运算中，正确的是（   ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、数学组活动，老师带领学生去测塔高，如图，从点测得塔顶的仰角为，测得塔基的仰角为，已知塔基高出测量仪，（即），则塔身的高为________米．

2、如图，在△ABC中，BC=3cm，∠BAC=60°，那么△ABC能被半径至少为       cm的圆形纸片所覆盖．

3、双曲线，当时，随的增大而减小，则________．

4、比较大小(填“＞”或“＜”): __________.

5、已知的平方根是，则m=______.

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为．

（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）如图1，若点P在抛物线上且满足，求点P的坐标；

（3）如图2，M是直线BC上一个动点，过点M作轴交抛物线于点N，Q是直线AC上一个动点，当为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点Q的坐标

2、在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：若，则称点为点的“可控变点”

例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点．

（1）点的“可控变点”坐标为 　　；

（2）若点在函数的图象上，其“可控变点” 的纵坐标是7，求“可控变点” 的横坐标：

（3）若点在函数的图象上，其“可控变点” 的纵坐标的取值范围是，求的值．

3、已知抛物线．

（1）求证：对任意实数m，抛物线与x轴总有交点．

（2）若该抛物线与x轴交于，求m的值．

4、已知直线与抛物线交于A，B两点（点A在点B的左侧），与抛物线的对称轴交于点P，点P与抛物线顶点Q的距离为2（点P在点Q的上方）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）直线与抛物线的另一个交点为M，抛物线上是否存在点N，使得？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）过点A作x轴的平行线交抛物线于点C，请说明直线过定点，并求出定点坐标．

5、如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线与抛物线交于两点，与轴交于点，且点为；

（1）求抛物线及直线的函数关系式；

（2）点为抛物线顶点，在抛物线的对称轴上是否存点，使为等腰三角形，若存在，求出点的坐标；

（3）若点是轴上一点，且，请直接写出点的坐标．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【分析】

对于本题，我们可以根据解方程式的变形过程逐项去检查，必须符合变形规则，移项要变号．

【详解】

解析：A．由移项得：，故A错误；

B．由移项得：，故B错误；

C.由去分母得：，故C错误；

D.由去括号得： 故D正确．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了解一元一次方程变形化简求值，解题关键是：必须熟练运用移项法则．

2、A

【分析】

方程整理为一般形式，求出一次项系数即可．

【详解】

方程整理得：x2+4x+5=0，则一次项系数为4．

故选A．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

3、B

【分析】

分析图形变化过程中的等量关系，求出变化后的长方形Ⅱ部分的长和宽即可．

【详解】

解：如图：

∵拼成的长方形的长为（a+b），宽为（a-b），

∴，解得a=25，b=5，

∴长方形Ⅱ的面积=b（a-b）=5×（25-5）=100．

故选B．

【点睛】

本题考查了完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2的几何背景，解题的关键是找出图形等积变化过程中的等量关系．

4、A

【分析】

用最高温度减去最低温度，然后根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．

【详解】

解：17-（-2）

=17+2

=19℃．

故选A．

【点睛】

本题考查有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．

5、B

【分析】

根据每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，则由第1列三个已知数5+4+9＝18可知每行、每列、每条对角线上三个数字之和为18，于是可分别求出未知的各数，从而对四个选项进行判断．

【详解】

∵每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，

而第1列：5+4+9＝18，于是有

5+b+3＝18，

9+a+3＝18，

得出a＝6，b＝10，

从而可求出三个空格处的数为2、7、8，

所以答案A、C、D正确，

而2+7+8＝17≠18，∴答案B错误，

故选B．

【点睛】

本题考查的是数字推理问题，抓住条件利用一元一次方程进行逐一求解是本题的突破口．

6、B

【分析】

根据有理数的加减运算，可得温度范围，根据温度范围，可得答案．

【详解】

解：-18-2=-20℃，-18+2=-16℃，

温度范围：-20℃至-16℃，

故选：B．

【点睛】

本题考查了正数和负数，有理数的加法运算是解题关键，先算出适合温度的范围，再选出不适合的温度．

7、A

【分析】

根据负数的定义：小于0的数是负数作答．

【详解】

解：五个数，，， ，，化简为，，， ，+2．

所以有2个负数．

故选：A．

【点睛】

本题考查负数的概念，判断一个数是正数还是负数，要把它化为最简形式再判断．概念：大于0的数是正数，小于0的是负数．

8、D

【分析】

不等式性质1：不等式两边同时加上（减去）一个数，不等号方向不改变.；

不等式性质2：不等式两边同时乘（除）一个正数，不等号方向不改变.；

不等式两边同时乘（除）一个负数，不等号方向改变.；

【详解】

A选项，不等号两边同时×（-8），不等号方向改变，，故A选项错误.；

B选项，不等号两边同时-2，不等号方向不改变，，故B选项错误.；

C选项，不等号两边同时×6，不等号方向不改变，，故C选项错误.；

D选项，不等号两边同时×，不等号方向不改变，，故D选项正确.；

【点睛】

不等式两边只有乘除负数时，不等号方向才改变.

9、A

【分析】

先求出不等式组的解集，再求不等式组的整数解．

【详解】

去分母得：x﹣7+2＜3x﹣2，移项得：﹣2x＜3，解得：x．

故负整数解是﹣1，共1个．

故选A．

【点睛】

本题考查了不等式的解法，并会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值．一般方法是先解不等式，再根据解集求其特殊值．

10、A

【分析】

根据 “幂的乘方”“同底数幂乘法”“合并同类项”“积的乘方”的运算法则，即可选出正确选项.

【详解】

A选项，幂的乘方，底数不变，指数相乘，，所以A选项正确.

B选项，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，所以B选项错误.

C选项，合并同类项，字母和字母指数不变，系数相加，，所以C选项错误.

D选项，积的乘方，积中每一个因式分别乘方，，所以D选项错误.

故选A

【点睛】

整式计算基础题型，掌握运算法则，熟练运用.

二、填空题

1、

【分析】

易得BC长，用BC表示出AC长，AC﹣CD=AD．

【详解】

△ABC中，AC=BC．

△BDC中有DC=BC=20，∴AD=AC﹣DC=BC﹣BC=20（﹣1）米．

故答案为20（﹣1）．

【点睛】

本题考查了仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．

2、．

【分析】

作圆的直径，连接，根据圆周角定理求出，根据锐角三角函数的定义得出，代入求出即可．

【详解】

解：作圆O的直径CD，连接BD，

∵圆周角∠A、∠D所对弧都是，

∴∠D=∠A=60°．

∵CD是直径，∴∠DBC=90°．

∴sin∠D=．

又∵BC=3cm，∴sin60°=，解得：CD=．

∴的半径是（cm）．

∴△ABC能被半径至少为cm的圆形纸片所覆盖．

【点睛】

本题考查了圆周角定理，三角形的外接圆与外心，锐角三角函数的定义的应用，关键是利用外接圆直径构造直角三角形求半径.

3、

【分析】

根据反比例函数的定义列出方程求解，再根据它的性质决定解的取舍．

【详解】

根据题意得：，解得：m=﹣2．

故答案为﹣2．

【点睛】

本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数y=，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．

4、＜．

【分析】

根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小比较即可．

【详解】

解：∵ ， ， ，

∴ <．

故答案为：＜．

【点睛】

本题考查有理数的大小比较，能熟记有理数的大小比较的内容是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．

5、7

【分析】

分析题意，此题运用平方根的概念即可求解.

【详解】

因为2m+2的平方根是±4，

所以2m+2=16，解得：m=7.

故答案为：7.

【点睛】

本题考查平方根.

三、解答题

1、

（1）；

（2），；

（3），；，；，；，； ，；，．

【分析】

（1）根据顶点的坐标，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点A（﹣1，0）代入，求出a即可得出答案；

（2）利用待定系数法求出直线BD解析式为y＝2x﹣6，过点C作CP1∥BD，交抛物线于点P1，再运用待定系数法求出直线CP1的解析式为y＝2x﹣3，联立方程组即可求出P1（4，5），过点B作y轴平行线，过点C作x轴平行线交于点G，证明△OCE≌△GCF（ASA），运用待定系数法求出直线CF解析式为y＝x﹣3，即可求出P2（，﹣）；

（3）利用待定系数法求出直线AC解析式为y＝﹣3x﹣3，直线BC解析式为y＝x﹣3，再分以下三种情况：①当△QMN是以NQ为斜边的等腰直角三角形时，②当△QMN是以MQ为斜边的等腰直角三角形时，③当△QMN是以MN为斜边的等腰直角三角形时，分别画出图形结合图形进行计算即可．

（1）

解：∵顶点D的坐标为（1，﹣4），

∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点A（﹣1，0）代入，

得0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，

解得：a＝1，

∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，

∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）

解：∵抛物线对称轴为直线x＝1，A（﹣1，0），

∴B（3，0），

设直线BD解析式为y＝kx+e，

∵B（3，0），D（1，﹣4），

∴，

解得：，

∴直线BD解析式为y＝2x﹣6，

过点C作CP1∥BD，交抛物线于点P1，

设直线CP1的解析式为y＝2x+d，将C（0，﹣3）代入，

得﹣3＝2×0+d，

解得：d＝﹣3，

∴直线CP1的解析式为y＝2x﹣3，

结合抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可得x2﹣2x﹣3＝2x﹣3，

解得：x1＝0（舍），x2＝4，

故P1（4，5），

过点B作y轴平行线，过点C作x轴平行线交于点G，

∵OB＝OC，∠BOC＝∠OBG＝∠OCG＝90°，

∴四边形OBGC是正方形，

设CP1与x轴交于点E，则2x﹣3＝0，

解得：x＝，

∴E（，0），

在x轴下方作∠BCF＝∠BCE交BG于点F，

∵四边形OBGC是正方形，

∴OC＝CG＝BG＝3，∠COE＝∠G＝90°，∠OCB＝∠GCB＝45°，

∴∠OCB﹣∠BCE＝∠GCB﹣∠BCF，

即∠OCE＝∠GCF，

∴△OCE≌△GCF（ASA），

∴FG＝OE＝，

∴BF＝BG﹣FG＝3﹣＝，

∴F（3，﹣），

设直线CF解析式为y＝k1x+e1，

∵C（0，﹣3），F（3，﹣），

∴，

解得：，

∴直线CF解析式为y＝x﹣3，

结合抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可得x2﹣2x﹣3＝x﹣3，

解得：x1＝0（舍），x2＝，

∴P2（，﹣），

综上所述，符合条件的P点坐标为：（4，5）或（，﹣）；

（3）

解：（3）设直线AC解析式为y＝m1x+n1，直线BC解析式为y＝m2x+n2，

∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），

∴，

解得：，

∴直线AC解析式为y＝﹣3x﹣3，

∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴，

解得：，

∴直线BC解析式为y＝x﹣3，

设M（t，t﹣3），则N（t，t2﹣2t﹣3），

∴MN＝|t2﹣2t﹣3﹣（t﹣3）|＝|t2﹣3t|，

①当△QMN是以NQ为斜边的等腰直角三角形时，此时∠NMQ＝90°，MN＝MQ，如图2，

∵MQ∥x轴，

∴Q（﹣t，t﹣3），

∴|t2﹣3t|＝|t﹣（﹣t）|，

∴t2﹣3t＝±t，

解得：t＝0（舍）或t＝或t＝，

∴，；，；

②当△QMN是以MQ为斜边的等腰直角三角形时，此时∠MNQ＝90°，MN＝NQ，如图3，

∵NQ∥x轴，

∴Q（，t2﹣2t﹣3），

∴NQ＝|t﹣|＝|t2+t|，

∴|t2﹣3t|＝|t2+t|，

解得：t＝0（舍）或t＝5或t＝2，

∴M3（5，2），Q3（﹣5，12）；M4（2，﹣1），Q4（0，﹣3）；

③当△QMN是以MN为斜边的等腰直角三角形时，

此时∠MQN＝90°，MQ＝NQ，如图4，

过点Q作QH⊥MN于H，则MH＝HN，

∴H（t，），

∴Q（，），

∴QH＝|t﹣|＝|t2+5t|，

∵MQ＝NQ，

∴MN＝2QH，

∴|t2﹣3t|＝2×|t2+5t|，

解得：t＝7或1，

∴M5（7，4），Q5（﹣7，18）；M6（1，﹣2），Q6（0，﹣3）；

综上所述，点M及其对应点Q的坐标为：

，；，；M3（5，2），Q3（﹣5，12）；M4（2，﹣1），Q4（0，﹣3）；M5（7，4），Q5（﹣7，18）；M6（1，﹣2），Q6（0，﹣3）．

【点睛】

本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，求一次函数与二次函数图象交点坐标，全等三角形判定和性质，正方形判定和性质，等腰直角三角形性质等，本题属于中考压轴题，综合性强，难度较大，熟练掌握待定系数法、等腰直角三角形性质等相关知识，运用数形结合思想、分类讨论思想是解题关键．

2、

（1）

（2）“可控变点” 的横坐标为3或

（3）

【分析】

（1）根据可控变点的定义，可得答案；

（2）根据可控变点的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值得对应关系，可得答案；

（3）根据可控变点的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值得对应关系，结合图象可得答案．

（1）

，

，

即点的“可控变点”坐标为；

（2）

由题意，得

的图象上的点的“可控变点”必在函数的图象上，如图1，

“可控变点” 的纵坐标的是7，

当时，解得，

当时，解得，

故答案为：3或；

（3）

由题意，得

y=-x2+16的图象上的点P的“可控变点”必在函数y′= 的图象上，如图2，

当x=-5时，x2-16=9，

∴-16<y′=x2-16≤9（x＜0），

∴y′=-16在y′=-x2+16（x≥0）上，

∴-16=-x2+16，

∴x=4，

∴实数a的值为4．

【点睛】

本题考查了新定义，二次函数的图象与性质，利用可控变点的定义得出函数解析式是解题关键，又利用了自变量与函数值的对应关系．

3、

（1）见解析

（2）

【分析】

（1）令，得到关于的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式判断即可；

（2）令，，解一元二次方程即可求得的值

（1）

令，则有

即，对于任意实数方程总有两个实数根，

对任意实数m，抛物线与x轴总有交点．

（2）

解：∵抛物线与x轴交于，

∴

解得

【点睛】

本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，掌握一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程是解题的关键．

4、

（1）

（2）存在，或

（3），理由见解析

【分析】

（1）根据题意可得直线过定点，根据点P与抛物线顶点Q的距离为2（点P在点Q的上方），求得顶点坐标，根据顶点式求得的值，即可求得抛物线解析式；

（2）过点分别作轴的垂线，垂足分别为，设抛物线与轴的另一个交点为，连接，交轴于点，过点作交轴于点，交于点，求得点的坐标，证明，，即找到一个点，根据对称性求得直线的解析式，联立二次函数解析式找到另一个点；

（3）设，，则点坐标为，设直线的解析式为，求得解析式，进而求得，联立直线和二次函数解析式，根据一元二次方程根与系数的关系求得，代入直线解析式，根据解析式判断定点的坐标即可

（1）

，则当时，

则必过定点，

的对称轴为，顶点为

与抛物线的对称轴交于点P，则

点P与抛物线顶点Q的距离为2（点P在点Q的上方），

抛物线解析式为：

（2）

存在，或

直线的解析式为

联立直线与抛物线解析式

解得

即

如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，连接，交轴于点，过点作交轴于点，交于点，

,

则此时点与点重合，

设直线的解析式为

则

解得

令，则

四边形是矩形

四边形是正方形

设直线的解析式分别为

则

解得

解析式为

联立

解得或

综上所述，或

（3）

设，，则点坐标为，

设直线的解析式为，

联立

过定点

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数解析式，正切的定义，解直角三角形，正方形的性质，直线与二次函数交点问题，数形结合是解题的关键．

5、

（1），；

（2），，，；

（3）或

【分析】

（1）利用待定系数法解决问题即可；

（2）先求出AF长，再根据AF为腰或底边分三种情况进行讨论，即可解答；

（3）如图2中，将线段绕点逆时针旋转得到，则，设交轴于点，则，作点关于的对称点，设交轴于点，则，分别求出直线，直线的解析式即可解决问题．

（1）

抛物线与轴交于、两点，

设抛物线的解析式为，

在抛物线上，

，

解得，

抛物线的解析式为，

直线经过、，

设直线的解析式为，

则，

解得，，

直线的解析式为；

（2）

∵抛物线，

∴顶点坐标，

当点A为顶点，AF为腰时，AF=AG，此时点G与点F是关于x轴的对称，故此时；

当点F为顶点，AF为腰时，FA=FG，此时

当点G为顶点，AF为底时，设，

，解得，

综上所述：

（3）

如图，将线段绕点逆时针旋转得到，则，

设交轴于点，则，

，

直线的解析式为，

，

将线段绕点顺时针旋转得到，，

则直线的解析式为，

设交轴于点，则，

，

综上所述，满足条件的点的坐标为或．

【点睛】

本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题，学会构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题．