【真题汇编】2022年重庆市永川区中考数学模拟考试 A卷（含详解）

2022年重庆市永川区中考数学模拟考试 A卷

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列关于x的方程中一定有实数根的是（    ）

A．x2＝﹣x﹣1 B．2x2﹣6x+9＝0 C．x2+mx+2＝0 D．x2﹣mx﹣2＝0

2、若，则的值为（   ）

A． B．8 C． D．

3、若，，且a，b同号，则的值为（    ）

A．4 B．-4 C．2或-2 D．4或-4

4、如图，，AC＝DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是（    ）

A．EF＝BC B． C．∠B＝∠E D．AB＝DE

5、下列说法正确的是（    ）

A．无限小数都是无理数

B．无理数都是无限小数

C．有理数只是有限小数

D．实数可以分为正实数和负实数

6、已知线段AB＝7，点C为直线AB上一点，且AC∶BC＝4∶3，点D为线段AC的中点，则线段BD的长为（  ）

A．5或18.5 B．5.5或7 C．5或7 D．5.5或18.5

7、若关于x，y的方程是二元一次方程，则m的值为（    ）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

8、某公园改造一片长方形草地，长增加30%，宽减少20%，则这块长方形草地的面积（      ）

A．增加10% B．增加4% C．减少4% D．大小不变

9、下列计算中正确的是（    ）

A． B． C． D．

10、下列方程中，关于x的一元二次方程的是（    ）

A．x2－1＝2x B．x3＋2x2＝0 C． D．x2－y＋1＝0

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，点P是内一点，，，垂足分别为E、F，若，且，则的度数为_________°．

2、在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B在x轴上，若是直角三角形，则OB的长为______．

3、数轴上表示数和的两点之间的距离为______．

4、如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝56°，∠2＝29°，则∠A的度数为______度．

5、已知点P在线段AB上，如果AP2＝AB•BP，AB＝4，那么AP的长是_____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、解方程（组）

（1）；

（2）．

2、某口罩生产厂家今年9月份生产口罩的数量为200万个，11月份生产口罩的数量达到242万个，且从9月份到11月份，每月的平均增长率都相同．

（1）求每月生产口罩的平均增长率；

（2）按照这个平均增长率，预计12月份这口罩生产厂家生产口罩的数量达到多少万个？

3、用适当方法解下列一元二次方程：

（1）x2﹣6x＝1；

（2）x2﹣4＝3（x﹣2）．

4、（问题）老师上完《7.3特殊角的三角函数》一课后，提出了一个问题，让同学们尝试去探究75°的正弦值．小明和小华经过思考与讨论，作了如下探索：

（方案一）小明构造了图1，在△ABC中，AC=2，∠B=30°， ∠C=45°．

第一步：延长BA，过点C作CD⊥BA，垂足为D，求出DC的长；

第二步：在Rt△ADC中，计算sin75°．

（方案二）小华构造了图2，边长为a的正方形ABCD的顶点A在直线EF上，且∠DAF=30°．

第一步：连接AC，过点C作CGEF，垂足为G，用含a的代数式表示AC和CG的长：

第二步：在Rt△AGC中，计算sin75°

请分别按照小明和小华的思路，完成解答过程，

5、如图，正三角形ABC内接于，的半径为r，求这个正三角形的周长和面积．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【分析】

分别求出方程的判别式，根据判别式的三种情况分析解答．

【详解】

解：A、∵x2＝﹣x﹣1，

∴，

∵，

∴该方程没有实数根；

B、2x2﹣6x+9＝0，

∵，

∴该方程没有实数根；

C、x2+mx+2＝0，

∵，无法判断与0的大小关系，

∴无法判断方程根的情况；

D、x2﹣mx﹣2＝0，

∵，

∴方程一定有实数根，

故选：D．

【点睛】

此题考查了一元二次方程根的情况，正确掌握判别式的计算方法及根的三种情况是解题的关键．

2、D

【分析】

根据多项式乘以多项式展开，根据多项式相等即可求得对应字母的值，进而代入代数式求解即可．

【详解】

解：，

，

，，

，，

解得：，，

．

故选：D．

【点睛】

本题考查了多项式乘以多项式，负整数指数幂，掌握以上知识是解题的关键．

3、D

【分析】

根据绝对值的定义求出a，b的值，根据a，b同号，分两种情况分别计算即可．

【详解】

解：∵|a|=3，|b|=1，

∴a=±3，b=±1，

∵a，b同号，

∴当a=3，b=1时，a+b=4；

当a=-3，b=-1时，a+b=-4；

故选：D．

【点睛】

本题考查了绝对值，有理数的加法，考查分类讨论的数学思想，知道a，b同号分两种：a，b都是正数或都是负数是解题的关键．

4、A

【分析】

利用先证明结合已有的条件 再对每个选项添加的条件逐一分析，即可得到答案.

【详解】

解：如图，

所以添加EF＝BC，不能判定△ABC≌△DEF，故A符合题意；

延长 交于 添加，

△ABC≌△DEF，故B，C不符合题意；

添加AB＝DE，能判定△ABC≌△DEF，故D不符合题意；

故选A

【点睛】

本题考查的是添加一个条件判定两个三角形全等，熟练的掌握“利用判定三角形全等”是解本题的关键.

5、B

【分析】

根据定义进行判断即可．

【详解】

解：A中无限小数都不一定是无理数，其中无限循环小数为有理数，故本选项错误．

B中根据无理数的定义，无理数都是无限小数，故本选项正确．

C中有理数不只是有限小数，例如无限循环小数，故本选项错误；

D中实数可以分为正实数和负实数和0，故本选项错误；

故选：B．

【点睛】

本题考查了有理数，无理数，实数的定义．解题的关键在于正确区分各名词的含义．

6、C

【分析】

根据题意画出图形，再分点C在线段AB上或线段AB的延长线上两种情况进行讨论．

【详解】

解：点C在线段AB上时，如图：

∵AB＝7，AC∶BC＝4∶3，

∴AC＝4，BC＝3，

∵点D为线段AC的中点，

∴AD＝DC＝2，

∴BD＝DC+BC＝5；

点C在线段AB的延长线上时，

∵AB＝7，AC∶BC＝4∶3，

设BC＝3x，则AC＝4x，

∴AC-BC=AB，即4x-3x=7，

解得x=7，

∴BC＝21，则AC＝28，

∵点D为线段AC的中点，

∴AD＝DC＝14，

∴BD＝AD-AB＝7；

综上，线段BD的长为5或7．

故选：C．

【点睛】

本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，利用线段的比例得出AC、BC的长是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．

7、C

【分析】

根据二元一次方程的定义得出且，再求出答案即可．

【详解】

解：∵关于x，y的方程是二元一次方程，

∴且，

解得：m=1，

故选C．

【点睛】

本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义是解此题的关键．

8、B

【分析】

设长方形草地的长为x，宽为y，则可求得增加后长及减少后的宽，从而可求得现在的面积，与原面积比较即可得到答案．

【详解】

设长方形草地的长为x，宽为y，则其面积为xy；增加后长为(1+30%)x，减少后的宽为(1-20%)y，此时的面积为(1+30%)x×(1-20%)y=1.04xy，1.04xy−xy=0.04xy，0.04xy÷xy×100%=4%．即这块长方形草地的面积比原来增加了4%．

故选：B

【点睛】

本题考查了列代数式，根据题意设长方形草地的长与宽，进而求得原来的面积及长宽变化后的面积是关键．

9、B

【分析】

根据绝对值，合并同类项和乘方法则分别计算即可．

【详解】

解：A、，故选项错误；

B、，故选项正确；

C、不能合并计算，故选项错误；

D、，故选项错误；

故选B．

【点睛】

本题考查了绝对值，合并同类项和乘方，掌握各自的定义和运算法则是必要前提．

10、A

【分析】

只含有1个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程就是一元二次方程，依据定义即可判断．

【详解】

解：A、只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是一元二次方程，符合题意；

B、未知数最高次数是3，不是关于x的一元二次方程，不符合题意；

C、为分式方程，不符合题意；

D、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意

故选：A．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，为整式方程；特别注意二次项系数不为0．

二、填空题

1、40

【分析】

根据角平分线的判定定理，可得 ，再由，可得 ，即可求解．

【详解】

解：∵，，，

∴ ，

∵，，

∴ ，

∴ ．

故答案为：40

【点睛】

本题主要考查了角平分线的判定定理，直角三角形两锐角互余，熟练掌握再角的内部，到角两边距离相等的点再角平分线上是解题的关键．

2、4或

【分析】

点B在x轴上，所以 ，分别讨论， 和两种情况，设 ，根据勾股定理求出x的值，即可得到OB的长．

【详解】

解：∵B在x轴上，

∴设 ，

∵ ，

∴ ，

①当时，B点横坐标与A点横坐标相同，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

②当时， ，

∵点A坐标为，，

∴ ，

∴ ，

解得： ，

∴ ，

∴ ，

故答案为：4或．

【点睛】

本题考查平面直角坐标系中两点间距离以及勾股定理，分情况讨论是解题关键．

3、##

【分析】

根据数轴上两点间的距离，可得﹣（﹣5）再计算，即可求解．

【详解】

解：﹣（﹣5）

＝+5

＝．

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了数轴上两点间的距离，二次根式的减法运算，熟练掌握数轴上两点间的距离，二次根式的减法运算法则是解题的关键．

4、27

【分析】

如图，∠3＝∠1，由∠3＝∠2+∠A计算求解即可．

【详解】

解：如图

∵a∥b，∠1＝56°

∴∠3＝∠1＝56°

∵∠3＝∠2+∠A，∠2＝29°

∴∠A＝∠3﹣∠2＝56°﹣29°＝27°

故答案为：27．

【点睛】

本题考查了平行线性质中的同位角，三角形的外角等知识．解题的关键在于正确的表示角的数量关系．

5、2﹣2

【分析】

先证出点P是线段AB的黄金分割点，再由黄金分割点的定义得到AP＝AB，把AB＝4代入计算即可．

【详解】

解：∵点P在线段AB上，AP2＝AB•BP，

∴点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，

∴AP＝AB＝×4＝2﹣2，

故答案为：2﹣2．

【点睛】

本题考查了黄金分割点，牢记黄金分割比是解题的关键．

三、解答题

1、

（1）

（2）

【分析】

（1）方程去分母，去括号，移项合并，把m系数化为1，即可求出解；

（2）把原方程组整理后，再利用加减消元法解答即可．

【小题1】

解：，

去分母得：，

去括号得：，

移项合并得：

解得：；

【小题2】

方程组整理得：，

①×5-②得：，

解得：，代入①中，

解得：，

所以原方程组的解为：．

【点睛】

此题考查了解一元一次方程以及解二元一次方程组，掌握消元的思想和消元的方法是解题的关键，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

2、

（1）10%

（2）266.2万个

【分析】

（1）设每月的平均增长率为x，根据9月份及11月份的生产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）根据12月份的生产量=11月份的生产量×（1+增长率），即可求出结论．

（1）

设每月生产口罩的平均增长率为x，根据题意得，

解得：，（不合题意，舍去）

答：每月生产口罩的平均增长率为10%．

（2）

（万个）

答：预计12月份这生产厂家生产口罩的数量达到266.2万个．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

3、

（1），

（2）

【分析】

（1）利用配方法求解即可；

（2）利用因式分解法求解即可．

（1）

解：两边同加．得，

即，

两边开平方，得，

即，或，

∴，；

（2）

解：，

∴，

∴，

∴，或，

解得．

【点睛】

本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

4、答案见解析

【分析】

[方案一]延长BA，过点C作CD⊥BA，垂足为D，过A作AM⊥BC于M，在△ACM中，AC=2，∠ACB=45°，由三角函数得到，在△ABM中，求出AB、BM，得到BC，根据面积相等求出CD，由此求出答案；[方案二]连接，过点C作，垂足为G，延长，交于点H．先求出AC，由，，求出DH，得到CH的长，根据，求出CG，即可利用公式求出sin75°的值．

【详解】

[方案一]

解：延长BA，过点C作CD⊥BA，垂足为D，过A作AM⊥BC于M，

∵∠B=30°，∠ACB=45°，

∴

在△ACM中，AC=2，∠ACB=45°．

∴．

在△ABM中，∠B=30°，，，

∴．

∵

∴，

∴；

[方案二]

解：连接，过点C作，垂足为G，延长，交于点H．

∵正方形的边长为a，

∴，．

∴，．

∵，，

∴．

∴．

又∵，

∴．

∵中，，

∴．

【点睛】

此题考查了解直角三角形，正方形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形30度角的性质，利用面积法求三角形的高线，各特殊角度的三角函数值，正确掌握各知识点并综合应用是解题的关键．

5、周长为．面积为．

【分析】

连接OB，OA，延长AO交BC于D，根据等边三角形性质得出AD⊥BC，BD=CD=BC，∠OBD=30°，求出OD，根据勾股定理求出BD，即可求出BC，BC的三倍即为周长，根据三角形的面积公式即可求出面积．

【详解】

解：连接OB，OA，延长AO交BC于D，如图所示：

∵正△ABC外接圆是⊙O，

∴AD⊥BC，BD=CD=BC，∠OBD=∠ABC=×60°=30°，

∴OD=OB=r，

由勾股定理得：BD=，

即三角形边长为BC=2BD=r，AD=AO+OD=r+r=，

则△ABC的周长=3BC=3×r=3r；

△ABC的面积=BC×AD=×r×=．

∴正三角形ABC周长为；正三角形ABC面积为．

【点睛】

本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的外接圆、三角形的面积等知识点；关键是能正确作辅助线后求出BD的长．