福建省四地市（厦门、南平、宁德、龙岩）2022届高中毕业班第一次质量检测（一模）数学试题含答案
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数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知，若集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
- 直线经过第一，二，四象限，则（ ）
A． B． C． D．
- 已知向量夹角为，且，则（ ）
A．5 B． C．4 D．3
- 已知互不重合的直线,互不重合的平面,给出下列四个命题,错误的命题是（ ）
A．若,,,则 B．若,,,则
C．若,,,则 D．若,,则//
- 函数的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
- 某学生在“捡起树叶树枝，净化校园环境”的志愿活动中拾到了三支小树枝（视为三条线段），想要用它们作为三角形的三条高线制作一个三角形，经测量，其长度分别为3cm，4cm，6cm，则（ ）
A．能作出一个锐角三角形 B．能作出一个直角三角形
C．能作出一个钝角三角形 D．不能作出这样的三角形
- 已知，，且，则的最小值为
A． B．8 C． D．10
- 已知点分别是椭圆的左，右焦点，过的直线交椭圆于两点，且满足，，则该椭圆的离心率是
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9. 已知函数与函数图象的对称轴相同，则（ ）
A．的值可以为4
B．的值可以为
C．函数的单调递增区间为
D．函数 的所有零点的集合为
10.已知随机事件发生的概率分别为，，下列说法正确的有（ ）
A．若，则相互独立
B．若相互独立，则
C．若，则
D．若，则
11. 下图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线围成的曲边四边形绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，双曲线C与的左右顶点为，则（ ）
A．双曲线C的方程为
B．双曲线与双曲线C有相同的渐近线
C．存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点
D．双曲线C上存在无数个点，使它与两点的连线的斜率之积为3
- 已知函数，若，，，则（ ）
A．在上恒为正 B．在上单调递增
C．，，中最大的是 D．，，中最小的是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
- 复数，，则_________．
- 若二项式的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值是_________．
- 意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列:1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，...，这就是著名的斐波那契数列，若按此规律列举下去，从该数列的前96项中随机地抽取一个数，则这个数是奇数的概率为_________．
- 已知是体积为的球体表面上四点，若,,,且三棱锥的体积为，则线段长度的最大值为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. 在下列条件：①数列的任意相邻两项均不相等，，且数列为常数列，②，③，中，任选一个，补充在横线上，并回答下面问题.
已知数列的前n项和为，________，求数列的通项公式与前n项和.
18. 在中,角,,对应的边分别是,,.已知.
（Ⅰ）求角的大小;
（Ⅱ）若的面积,,求的值.
19. 如图，在三棱柱中，平面，，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）记和的交点为M，点在线段上，满足平面，求直线与平面所成角的正弦值.
20. 某次围棋比赛的决赛，由甲乙两人争夺最后的冠军。决赛先进行两天，每天实行三盘两胜制，即先赢两盘者获得该天胜利，此时该天比赛结束。若甲乙中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天双方各赢一天，则第三天只进行一盘附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军。设每盘比赛甲获胜的概率为，每盘比赛的结果没有平局且结果互相独立。
（Ⅰ）记第一天需要进行的比赛盘数为X.
（i）求，并求当取最大值时的值；
（ii）结合实际，谈谈（i）中结论的意义；
（Ⅱ）当时，记总共进行的比赛盘数为Y，求.
- 设点，动圆经过点且和直线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）过点F的直线交曲线E于两点，另一条与直线AB平行的直线交x轴于点M，交y轴于点N，若是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，求点M的横坐标.
- 已知函数， 其中
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若对任意，有恒成立，求实数的取值范围
福建省四地市2022届高中毕业班第一次质量检测
数学试卷参考答案与评分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1-4：B C A D 5-8：B C D B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9.BC 10.ABC 11.ABD 12.AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 14. 7 15. 16.
四、解答题：本题共6小题，共70分.
17.（10分）
解：选①：因为，数列为常数列，所以，解得或，又因为数列的任意相邻两项均不相等，且， 2分
所以数列为，-----------------------------------------------------5分
所以，即，
所以，又，
所以是以为首项，公比为的等比数列，所以，即；-------------------------7分
所以.----------------------------------------------------------10分
法2：分奇偶表示通项，分奇偶讨论求和.
选②：因为，易知，，
所以两式相减可得，即，--------------------------------------------5分
以下过程与①相同；
选③：由，可得，-------------------------------------------------2分
又，故是以为首项，2为公比的等比数列，-------------------------------4分
故，即.---------------------------------------------------------6分
当时，，--------------------------------------------------------9分
又也满足上式.
综上所述：，.---------------------------------------------------10分
18.（12分）
解:（Ⅰ）由已知条件，,------------------------------------------------2分
解得或(舍),-------------------------------------------------------4分
故.-------------------------------------------------------------6分
（Ⅱ），由，得. --------------------------------------------------8分
由余弦定理------------------------------------------------------10分
由正弦定理，可得：.----------------------------------------------12分
19.（12分）
（Ⅰ）证明：∵在三棱柱中，平面，因为平面，故，同理.因为，故四边形为菱形，故.--2分
因为，故，∵，∴平面，
∵平面，∴，-----------------------------------------------------5分
∵，∴平面.------------------------------------------------------6分
（Ⅱ）解：由∥平面，平面，平面平面，
故∥，又M为中点，故N为中点.---------------------------------------7分
以B为坐标原点，的方向为正方向建立空间直角坐标系.
则,,,,------------------------------------------------------------8分
,,设平面的法向量，
由，得，取，.---------------------------------------------------10分
又,设直线与平面所成的角大小为，
则.
即直线与平面所成角的正弦值为.-------------------------------------12分
20.（12分）
解：（Ⅰ）（i）X可能取值为2，3，
；
---------------------------------------------------------------2分
故-------------------------------------------------------------3分
即，则当时，取得最大值.-------------------------------------------4分
(ii)结合实际，当时双方实力最接近，比赛越激烈，则一天中进行比赛的盘数会更多.
---------------------------------------------------------------5分
（Ⅱ）当时，双方前两天的比分为2：0或0：2的概率均为；比分为2：1或1：2的概率均为.------7分
则或.
即获胜方两天均为2：0获胜，
故；------------------------------------------------------------9分
即获胜方前两天的比分为2：0和2：1或者2：0和0：2再加附加赛，
故------------------------------------------------------------11分
所以-----------------------------------------------------------12分
- （12分）
解：（Ⅰ）由题意，点P到点F的距离等于到直线的距离，所以点P的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，曲线E的方程是 .------3分
（Ⅱ）显然，直线AB不与x轴重合，设直线AB的方程为，
与E联立得：
设，则，
则，，----------------------------------------------------------5分
即AB中点C坐标为，
.---------------------------------------------------------------7分
由题意，，过C作与AB垂直的直线，其方程为，
令，得，故点N坐标为
又，------------------------------------------------------------9分
故，-----------------------------------------------------------10分
令，则，由，解得，
即，解得.-------------------------------------------------------11分
又直线MN的方程为，
令，得到点M横坐标为.---------------------------------------------12分
- （12分）
解：（Ⅰ）时，
，-------------------------------------------------------------1分
，，
故所求切线方程为，
整理得：.--------------------------------------------------------4分
（Ⅱ）由题意，，解得：，
，解得：，故必须满足，--------------------------------------------6分
下面证明充分性：
若，
当时，此时，
此时，，，
故，满足.--------------------------------------------------------8分
当时，此时，
，
令，------------------------------------------------------------9分
则，令，得，故时，，单调递增；时，，单调递减；
所以，，满足.---------------------------------------------------11分
综上所述，.-----------------------------------------------------12分
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