高考数学(理数)二轮复习课时跟踪检测14《概率与统计》大题练（教师版）

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1．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司，底薪80元，每单送餐员抽成4元；乙公司，无底薪，40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元，超出40单的部分送餐员每单抽成7元．假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从这两家公司各随机选取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：
甲公司送餐员送餐单数频数表
乙公司送餐员送餐单数频数表
(1)现从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天的送餐单数，求这3天送餐单数都不小于40的概率；
(2)若将频率视为概率，回答下列两个问题：
①记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望E(X)；
②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．
解：(1)记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件M，
则P(M)＝eq \f(C\\al(3,25),C\\al(3,50))＝eq \f(23,196).
(2)①设乙公司送餐员的送餐单数为a，
当a＝38时，X＝38×6＝228，
当a＝39时，X＝39×6＝234，
当a＝40时，X＝40×6＝240，
当a＝41时，X＝40×6＋1×7＝247，
当a＝42时，X＝40×6＋2×7＝254.
所以X的所有可能取值为228,234,240,247,254.
故X的分布列为
所以E(X)＝228×eq \f(1,10)＋234×eq \f(1,5)＋240×eq \f(1,5)＋247×eq \f(2,5)＋254×eq \f(1,10)＝241.8.
②依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为38×0.2＋39×0.3＋40×0.2＋41×0.2＋42×0.1＝39.7，
所以甲公司送餐员的日平均工资为80＋4×39.7＝238.8元．
由①得乙公司送餐员的日平均工资为241.8元．
因为238.86.635，
所以有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关．
(3)由题意，抽取6人中包括男生4名，女生2名，X的取值为0,1,2，
则P(X＝0)＝eq \f(C\\al(3,4),C\\al(3,6))＝eq \f(1,5)，P(X＝1)＝eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,2),C\\al(3,6))＝eq \f(3,5)，P(X＝2)＝eq \f(C\\al(1,4)C\\al(2,2),C\\al(3,6))＝eq \f(1,5)，
故X的分布列为
E(X)＝0×eq \f(1,5)＋1×eq \f(3,5)＋2×eq \f(1,5)＝1.
3．某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费支出x(万元)和销售量y(万元)的数据如下：
(1)若用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的线性回归方程；
(2)若用y＝c＋deq \r(x)模型拟合y与x的关系，可得回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝1.63＋0.99eq \r(x)，经计算线性回归模型和该模型的R2分别约为0.75和0.88，请用R2说明选择哪个回归模型更好；
(3)已知利润z与x，y的关系为z＝200y－x.根据(2)的结果回答下列问题：
①广告费x＝20时，销售量及利润的预报值是多少？
②广告费x为何值时，利润的预报值最大？(精确到0.01)
参考公式：回归直线eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(a,\s\up6(^))＋eq \(b,\s\up6(^))x的斜率和截距的最小二乘估计分别为
eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\(x,\s\up6(－))\(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\\al(2,i)－n\(x,\s\up6(－))2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－)).
参考数据：eq \r(5)≈2.24.
解：(1)∵eq \(x,\s\up6(－))＝8，eq \(y,\s\up6(－))＝4.2，eq \i\su(i＝1,7,x)iyi＝279.4，eq \i\su(i＝1,7,x)eq \\al(2,i)＝708，
∴eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,7,x)iyi－7\(x,\s\up6(－))\(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,7,x)\\al(2,i)－7\(x,\s\up6(－))2)＝eq \f(279.4－7×8×4.2,708－7×82)＝0.17，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－))＝4.2－0.17×8＝2.84，
∴y关于x的线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.17x＋2.84.
(2)∵0.751，则k0，
故符合条件的点的坐标为(6,7)，(8,10)，(10,12)，故ξ的所有可能取值为1,2,3，
P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(2,2)C\\al(1,3),C\\al(3,5))＝eq \f(3,10)，P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(2,3),C\\al(3,5))＝eq \f(6,10)＝eq \f(3,5)，P(ξ＝3)＝eq \f(C\\al(3,3),C\\al(3,5))＝eq \f(1,10)，
故ξ的分布列为
故E(ξ)＝1×eq \f(3,10)＋2×eq \f(3,5)＋3×eq \f(1,10)＝eq \f(18,10)＝eq \f(9,5).
3．某校高三年级有500名学生，一次考试的英语成绩服从正态分布N(100,17.52)，数学成绩的频率分布直方图如下：
(1)如果成绩高于135分的为特别优秀，则本次考试英语、数学成绩特别优秀的学生大约各多少人？
(2)试问本次考试英语和数学的平均成绩哪个较高，并说明理由；
(3)如果英语和数学两科成绩都特别优秀的共有6人，从(1)中的这些学生中随机抽取3人，设3人中两科成绩都特别优秀的有ξ人，求ξ的分布列和数学期望．
参考公式及数据：
若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ