【高频真题解析】2022年北京市海淀区中考数学模拟考试 A卷（含答案详解）

这是一份【高频真题解析】2022年北京市海淀区中考数学模拟考试 A卷（含答案详解），共24页。试卷主要包含了二次函数 y＝ax2+bx+c，下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、下列命题中，真命题是（ ）
A．同位角相等
B．有两条边对应相等的等腰三角形全等
C．互余的两个角都是锐角
D．相等的角是对顶角．
2、已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（ ）
A．x1＝﹣4，x2＝2B．x1＝﹣3，x2＝﹣1
C．x1＝﹣4，x2＝﹣2D．x1＝﹣2，x2＝2
3、在0，，1.333…，，3.14中，有理数的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4、深圳湾“春笋”大楼的顶部如图所示，则该几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
5、已知有理数在数轴上的位置如图所示，且，则代数式的值为（ ）．
A．B．0C．D．
6、已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为（ ）
A．1B．﹣1C．0D．2021
7、如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=108°则∠BAE的度数为（ ）
· · · · · · 线 · · · · · · ○ · · · · · · 封 · · · · · · ○ · · · · · · 密 · · · · · · ○ · · · · · · 内 · · · · · · ○ · · · · · ·
号学级年名姓
· · · · · · 线 · · · · · · ○ · · · · · · 封 · · · · · · ○ · · · · · · 密 · · · · · · ○ · · · · · · 外 · · · · · · ○ · · · · · ·
A．120°B．108°C．132°D．72°
8、二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c＝0；③若关于 x 的方程ax2+bx+c＝1 有两个根，则这两个根的和为﹣4；④若关于 x 的方程 a（x+5）（x﹣1）=﹣1 有两个根 x1和 x2，且 x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1．其中正确的结论有（ ）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
9、下列命题正确的是
A．零的倒数是零
B．乘积是1的两数互为倒数
C．如果一个数是，那么它的倒数是
D．任何不等于0的数的倒数都大于零
10、已知，，且，则的值为（ ）
A．1或3B．1或﹣3C．﹣1或﹣3D．﹣1或3
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+3＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ___；
2、已知一个角等于70°，则这个角的补角等于___________
3、如图，ADBC，E是线段AD上任意一点，BE与AC相交于点O，若△ABC的面积是5，△EOC的面积是2，则△BOC的面积是 ___．
4、要使成为完全平方式，那么b的值是______．
5、如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝x2﹣2x＋c 的图象与 x 轴交于 A、C 两点，与 y轴交于点 B（0，﹣3），若 P 是 x 轴上一动点，点 D（0，1）在 y 轴上，连接 PD，则 C 点的坐标是_____，PD＋PC 的最小值是______．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，D是边CB上一点，DE⊥AB于点E，且CD＝BE．求证：AD平分∠BAC．
2、如图，抛物线y＝x2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于4B两点，且点B的坐标为（2，0），与y轴交· · · · · · 线 · · · · · · ○ · · · · · · 封 · · · · · · ○ · · · · · · 密 · · · · · · ○ · · · · · · 内 · · · · · · ○ · · · · · ·
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于点C，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，点D为抛物线的顶点，连接AD，AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线上第三象限内的一个动点，过点P作PM∥x轴交AC于点M，求PM的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线向右平移，使得点A刚好落在原点O，M是平移后的抛物线上一动点，Q是直线AC上一动点，直接写出使得由点C，B，M，Q组成的四边形是平行四边形的点Q的坐标；并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．
3、计算：
（1）
（2）
4、（综合与实践）现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．已知榕树CD，FG和灯柱AB如图①所示，在灯柱AB上有一盏路灯P，榕树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵榕树在路灯下都有影子，只要测量出其中一些数据，则可求出所需要的数据，具体操作步骤如下：
①根据光源确定榕树在地面上的影子；
②测量出相关数据，如高度，影长等；
③利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据．
根据上述内容，解答下列问题：
（1）已知榕树CD在路灯下的影子为DE，请画出榕树FG在路灯下的影子GH；
（2）如图①，若榕树CD的高度为3.6米，其离路灯的距离BD为6米，两棵榕树的影长DE，GH均为4米，两棵树之间的距离DG为6米，求榕树FG的高度；
（3）无论太阳光还是点光源，其本质与视线问题相同．日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图②，建筑物CD高为50米，建筑物MF上有一个广告牌EM，合计总高度EF为70米，两座建筑物之间的直线距离FD为30米．一个观测者（身高不计）先站在A处观测，发现能看见广告牌EM的底端M处，观测者沿着直线AF向前走了5米到B处观测，发现刚好看到广告牌EM的顶端E处．则广告牌EM的高度为 米．
5、解方程：．
-参考答案-
一、单选题
1、C
【分析】
· · · · · · 线 · · · · · · ○ · · · · · · 封 · · · · · · ○ · · · · · · 密 · · · · · · ○ · · · · · · 内 · · · · · · ○ · · · · · ·
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根据平行线的性质、全等三角形的判定定理、余角的概念、对顶角的概念判断即可．
【详解】
解：A、两直线平行，同位角相等，故本选项说法是假命题；
B、有两条边对应相等的等腰三角不一定形全等，故本选项说法是假命题；
C、互余的两个角都是锐角，本选项说法是真命题；
D、相等的角不一定是对顶角，例如，两直线平行，同位角相等，此时两个同位角不是对顶角，故本选项说法是假命题；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
2、A
【分析】
关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根即为二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标．
【详解】
解：根据图象知，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴的一个交点是（2，0），对称轴是直线x＝−1．
设该抛物线与x轴的另一个交点是（x，0）．
则，
解得，x＝－4 ，
即该抛物线与x轴的另一个交点是（－4，0）．
所以关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根为x1＝−4，x2＝2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，注意抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）间的转换．
3、D
【分析】
根据有理数的定义：整数和分数统称为有理数，进行求解即可．
【详解】
解：0是整数，是有理数；
是无限不循环小数，不是有理数；
是分数，是有理数；
是分数，是有理数；
3.14是有限小数，是分数，是有理数，
故选D．
【点睛】
此题考查有理数的定义，熟记定义并运用解题是关键．
4、A
【分析】
根据简单几何体的三视图的意义，得出从正面看所得到的图形即可．
【详解】
解：从正面看深圳湾“春笋”大楼所得到的图形如下：
· · · · · · 线 · · · · · · ○ · · · · · · 封 · · · · · · ○ · · · · · · 密 · · · · · · ○ · · · · · · 内 · · · · · · ○ · · · · · ·
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故选：A．
【点睛】
本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义，掌握简单几何体三视图的画法是正确解答的关键．
5、C
【分析】
首先根据数轴的信息判断出有理数的大小关系，然后确定各绝对值中代数式的符号，即可根据绝对值的性质化简求解．
【详解】
解：由图可知：，
∴，，，，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查数轴与有理数，以及化简绝对值，整式的加减运算等，理解数轴上表示的有理数的性质，掌握化简绝对值的方法以及整式的加减运算法则是解题关键．
6、B
【分析】
联立不含a与b的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，进而求出a与b的值，即可求出所求．
【详解】
解：联立得：，
解得：，
则有，
解得：，
∴，
故选：B．
【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
7、C
【分析】
根据等边三角形的性质可得，，然后利用SSS即可证出，从而可得，，，然后求出，即可求出的度数．
【详解】
解：△是等边三角形，
，，
在与中
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，
，
，，，
，
，
故选C
【点睛】
此题考查的是等边三角形的性质和全等三角形的判定及性质，掌握等边三角形的性质、利用SSS判定两个三角形全等和全等三角形的对应角相等是解决此题的关键．
8、C
【分析】
求解的数量关系；将代入①式中求解判断正误；②将代入，合并同类项判断正负即可；③中方程的根关于对称轴对称，求解判断正误；④中求出二次函数与轴的交点坐标，然后观察方程的解的取值即可判断正误．
【详解】
解：由顶点坐标知
解得
∵
∴当时，，故①正确，符合题意；
，故②错误，不符合题意；
方程的根为的图象与直线的交点的横坐标，即关于直线对称，故有，即，故③正确，符合题意；
，与轴的交点坐标为，方程的根为二次函数图象与直线的交点的横坐标，故可知，故④正确，符合题意；
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与二次方程等知识．解题的关键与难点在于从图象中提取信息，并且熟练掌握二次函数与二次方程的关系．
9、B
【分析】
根据倒数的概念、有理数的大小比较法则判断．
【详解】
解：、零没有倒数，本选项说法错误；
、乘积是1的两数互为倒数，本选项说法正确；
、如果，则没有倒数，本选项说法错误；
、的倒数是，，则任何不等于0的数的倒数都大于零说法错误；
故选：．
【点睛】
本题考查了有理数的乘法及倒数的概念，熟练掌握倒数概念是关键．
10、A
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【分析】
由题意利用乘方和绝对值求出x与y的值，即可求出x-y的值．
【详解】
解：∵，，

，
∴x=1，y=-2，此时x-y=3；
x=-1，y=-2，此时x-y=1．
故选：A．
【点睛】
此题考查了有理数的乘方，绝对值，以及有理数的减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二、填空题
1、m＜且m≠1
【分析】
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到不等式组：，然后解不等式组即可求出m的取值范围．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+m+3=0有两个不相等的实数根，
∴，
解得m＜且m≠1．
故答案为：m＜且m≠1．
【点睛】
本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式间的关系是解题的关键．
2、度
【分析】
根据补角的定义：若两角相加等于，则两角互补，求出答案即可．
【详解】
∵一个角等于70°，
∴这个角的补角为：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查补角的定义，掌握两角互补，则两角相加为是解题的关键．
3、3
【分析】
根据平行可得：与高相等，即两个三角形的面积相等，根据图中三角形之间的关系即可得．
【详解】
解：∵，
∴与高相等，
∴，
又∵，
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∴，
故答案为：3．
【点睛】
题目主要考查平行线间的距离相等，三角形面积的计算等，理解题意，掌握平行线之间的距离相等是解题关键．
4、
【分析】
根据完全平方式的性质：，可得出答案.
【详解】
∵是完全平方式
∴
解得
故答案为.
【点睛】
本题考查完全平方式，熟记完全平方式的形式，找出公式中的a和b的关键.
5、（3，0） 4
【分析】
过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．根据，求出的最小值即可解决问题．
【详解】
解：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．
∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），C（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵D（0，1），
∴OD＝1，BD＝1-（-3）=4，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
设，则,
∵，
∴，
∴，
∴，
∵PJ⊥CB，
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∴，
∵∠PCJ=45°，
∴∠CPJ=90°-∠PCJ=45°，
∴PJ=JC，
根据勾股定理
∴，
∴，
∵，
∴，
∴PD+PJ的最小值为，
∴的最小值为4．
故答案为: （3，0），4．
【点睛】
本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
三、解答题
1、见解析
【分析】
先证明为等腰直角三角形，得出，再证明，得出，即可证明．
【详解】
解：，
为等腰直角三角形，
，
又，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
平分．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形、三角形全等的判定及性质、角平分线，解题的关键是掌握三角形的全等的证明．
2、
（1）
（2）最大值为2，
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（3），或，
【分析】
（1）用待定系数法即可得抛物线的解析式为；
（2）由，得直线解析式为，设，，可得，即得时，的值最大，最大值为2，；
（3）由已知得平移后的抛物线解析式为，设，，而，，①以、为对角线，则的中点即是的中点，即，解得，或，；②以、为对角线，得，方程组无解；③以、为对角线，，解得，或，．
（1）
解：点的坐标为在抛物线，抛物线的对称轴为直线，
，解得，
抛物线的解析式为；
（2）
在中，令得或，
，
在中，令得，
，
设直线解析式为，则，
解得，
直线解析式为，
设，，
由得，
，，
，
，
时，的值最大，最大值为2；
此时；
（3）
将原抛物线向右平移，使得点刚好落在原点，
平移后的抛物线解析式为，
设，，而，，
①以、为对角线，则的中点即是的中点，
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，解得，
，或，；
②以、为对角线，
，方程组无解；
③以、为对角线，
，解得，
，或，；
综上所述，，或，．
【点睛】
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度
3、
（1）6
（2）3x-25
【分析】
（1）根据负指数，零次幂，绝对值的性质，可得答案；
（2）利用平方差公式计算即可．
（1）
原式=2+1+3=6；
（2）
原式=．
【点睛】
本题考查了实数的运算及整式的混合运算，掌握负指数，零次幂，绝对值的性质，平方差公式是解题关键．
4、
（1）见解析
（2）
（3）
【分析】
（1）根据题意画出图形；
（2）证明△ECD∽△EPB，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可；
（3）根据△BCD∽△BEF求出BD，再根据△ACD∽△AMF求出MF，进而求出EM．
【小题1】
解：图①中GH即为所求；
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【小题2】
∵CD∥PB，
∴△ECD∽△EPB，
∴，即，
解得：PB=9，
∵FG∥PB，
∴△HFG∽△HPB，
∴，即，
解得：FG=，
答：榕树FG的高度为米；
【小题3】
∵CD∥EF，
∴△BCD∽△BEF，
∴，即，
解得：BD=75，
∵CD∥EF，
∴△ACD∽△AMF，
∴，即，
解得：MF=，
∴EM=EF-MF=70-=（米），
故答案为：．
【点睛】
本题考查的相似三角形的判定和性质的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
5、
【分析】
先去分母，去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为1即可得答案．
【详解】
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化1得：．
【点睛】
本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题关键．