2021届江苏省南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江六市高三下学期第一次模拟考试 数学练习题

2021届江苏省南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江六市高三下学期第一次模拟考试 数学

(满分150分，考试时间120分钟)

2021.02

一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合A＝{x∈N|2<x<6}，B＝{x|log2(x－1)<2}，则A∩B＝(　　)

A. {x|3≤x＜5}  B. {x|2＜x＜5}

C. {3，4}  D. {3，4，5}

2. 已知2＋i是关于x的方程x2 ＋ax＋5＝0的根，则实数a＝(　　)

A. 2－i  B. －4

C. 2  D. 4

3. 哥隆尺是一种特殊的尺子.图①的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6.图②的哥隆尺不能一次性度量的长度为(　　)

A. 11  B. 13  C. 15  D. 17

4. 医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述.在该模型中，人体内药物含量x(单位：mg)与给药时间t(单位：h)近似满足函数关系式x＝(1－e－kt)，其中k0，k分别称为给药速率和药物消除速率(单位：mg/h).经测试发现，当t＝23时，x＝，则该药物的消除速率k的值约为(ln 2≈0.69)(　　)

A.   B.   C.   D.

5. (1－2x)n的二项展开式中，奇数项的系数和为(　　)

A. 2n  B. 2n－1

C.   D.

6. 函数y＝的图象大致为(　　)

7. 已知点P是△ABC所在平面内一点，有下列四个等式：

甲：＋＋＝0；　　 　乙： ·(－)＝·(－)；

丙：||＝||＝||；　　丁： ·＝·＝·.

如果只有一个等式不成立，则该等式为(　　)

A. 甲  B. 乙  C. 丙  D. 丁

8. 已知曲线y＝ln x在A(x1，y1)，B(x2，y2)两点处的切线分别与曲线y＝ex相切于C(x3，y3)，D(x4，y4)，则x1x2＋y3y4的值为(　　)

A. 1  B. 2  C.   D.

二、 多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分.

9. 已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则(　　)

A. 若m∥α，n∥α，则m∥n  B. 若m∥α，m⊥β，则α⊥β

C. 若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n  D. 若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n

10. 已知函数f(x)＝sin(2x－)，则(　　)

A. f(x)的最小正周期为π

B. 将y＝sin 2x的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到f(x)的图象

C. f(x)在(－，)上单调递增

D. 点(－，0)是f(x)图象的一个对称中心

11. 若函数f(x)＝的值域为[2，＋∞)，则(　　)

A. f(3)＞f(2)  B. m≥2

C. f()＜f()  D. logm(m＋1)＞log(m＋1)(m＋2)

12. 冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热.若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产.某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热.下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为(　　)

A. 中位数为3，众数为2  B. 均值小于1，中位数为1

C. 均值为3，众数为4  D. 均值为2，标准差为

三、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 在正项等比数列{an}中，若a3a5a7 ＝27，则log3ai＝　　　　Ｗ.

14. 已知双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，写出双曲线C的一个标准方程：　　　　　　　　Ｗ.

15. “康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一.定理的内容是这样的：如图，△ABC的三条边长分别为BC＝a，AC＝b，AB＝c.延长线段CA至点A1，使得AA1＝a，以此类推得到点A2，B1，B2，C1和C2，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆.已知a＝4，b＝3，c＝5，则由△ABC生成的康威圆的半径为　　　　Ｗ.

16. 已知在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.过直线O1O2的平面截圆柱得到四边形ABCD，其面积为8.若P为圆柱底面圆弧的中点，则平面PAB与球O的交线长为　　　　Ｗ.

四、 解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分10分)

已知等差数列{an}满足an＋2an＋1＝3n＋5.

(1) 求数列{an}的通项公式；

(2) 记数列的前n项和为Sn，若n∈N*，Sn＜－λ2＋4λ(λ为偶数)，求λ的值.

18.(本小题满分12分)

在① (b＋a－c)(b－a＋c)＝ac；② cos(A＋B)＝sin(A－B)；③ tan＝sin C这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求b的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，　　　　，　　　　？

(注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.)

19. (本小题满分12分)

2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“3＋1＋2”高考新模式，为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如下表：

(1) 根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；

(2) 该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得.记3人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望E(X).

参考公式和数据：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

20. (本小题满分12分)

如图，在正六边形ABCDEF中，将△ABF沿直线BF翻折至△A′BF，使得平面A′BF⊥平面BCDEF，点O，H分别为BF和A′C的中点.

(1) 求证：OH∥平面A′EF；

(2) 求平面A′BC与平面A′DE所成锐二面角的余弦值.

21.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝x2－－a.

(1) 若f(x)≥0，求实数a的取值范围；

(2) 若函数f(x)有两个零点x1，x2，求证：x1x2＜1.

22.(本小题满分12分)

已知点A，B在椭圆＋＝1(a＞b＞0)上，点A在第一象限，O为坐标原点，且OA⊥AB.

(1) 若a＝，b＝1，直线OA的方程为x－3y＝0，求直线OB的斜率；

(2) 若△OAB是等腰三角形(点O，A，B按顺时针排列)，求的最大值.

2020～2021学年高三年级模拟考试卷

(南通、镇江、泰州、徐州、宿迁、淮安)

数学参考答案及评分标准

1. C　2. B　3. C　4. A　5. C　6. D　7. B　8. B　9. BC　10. ACD　11. ABD　12. BD

13. 9　14. x2－＝1(答案不唯一)　15. 　16. π

17. 解：(1) 设等差数列{an}的公差为d，

因为an＋2an＋1＝3n＋5，所以

即解得a1＝2，d＝1，(2分)

所以an＝2＋(n－1)＝n＋1.

经检验，an＝n＋1符合题设，

所以数列{an}的通项公式为an＝n＋1.(4分)

(2) 由(1)得＝＝－，(6分)

所以Sn＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－.(8分)

因为n∈N*，Sn＜－λ2＋4λ，

所以－λ2＋4λ≥，即(λ－2)2≤.

因为λ为偶数，所以λ＝2.(10分)

18. 解：选择条件①和②.

因为(b＋a－c)(b－a＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝ac.(2分)

由余弦定理得cos B＝＝.

因为0＜B＜π，所以B＝.(4分)

因为cos(A＋B)＝sin(A－B)，所以cos(A＋)＝sin(A－)，

所以cos Acos －sin Asin ＝sin Acos －cos Asin ，

所以sin A＝cos A.(6分)

因为0＜A＜π，所以A＝.(8分)

在△ABC中，由正弦定理＝，得＝，(10分)

所以b＝＝2.(12分)

选择条件①和③.

因为(b＋a－c)(b－a＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝ac.(2分)

由余弦定理，得cos B＝＝.

因为0＜B＜π，所以B＝.(4分)

因为tan ＝sin C，且tan ＝tan ＝＝，

所以＝sin C＝2sin cos .(6分)

因为0＜C＜π，所以cos ≠0，所以sin2＝.

因为0＜C＜π，所以sin ＞0，所以sin ＝，可得C＝.(8分)

所以在Rt△ABC中，b＝atan ＝2.(12分)

选择条件②和③.

因为cos(A＋B)＝sin(A－B)，

所以cos Acos B－sin Asin B＝sin Acos B－cos Asin B，

所以(sin A－cos A)(sin B＋cos B)＝0.(2分)

所以sin A＝cos A或sin B＝－cos B.

因为0＜A＜π，0＜B＜π，

所以A＝或B＝.(4分)

因为tan ＝sin C，且tan ＝tan ＝＝，

所以＝sin C＝2sin cos .(6分)

因为0＜C＜π，所以cos ≠0，所以sin2＝.

因为0＜C＜π，所以sin ＞0，所以sin ＝，可得C＝.(8分)

在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以A＝，C＝，B＝.(10分)

所以△ABC为等腰直角三角形，所以b＝a＝2.(12分)

19. 解：(1)

(2分)

因为K2＝＝＝＞10.828，

所以有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关.(6分)

(2) 按照分层抽样的方法，抽取男生2人，女生3人.(7分)

随机变量X的所有可能取值为0，1，2.

所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.

所以X的分布列为

(10分)

所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.

答：X的数学期望为.(12分)

20. (1) 证明：如图，取A′E的中点G，连接FG，HG，CE.

因为H是A′C的中点，

所以HG∥CE，HG＝CE.

因为正六边形ABCDEF中，BF∥CE，BF＝CE，

所以HG∥BF，HG＝BF.(2分)

又O为BF的中点，所以HG∥OF，HG＝OF，

所以四边形OFGH为平行四边形，所以OH∥FG.(4分)

因为FG平面A′EF，OH平面A′EF，所以OH∥平面A′EF.(6分)

(2) 解：由条件可知OA′⊥OB，OA′⊥OD，OD⊥OB.

分别以OB，OD，OA′所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.

设正六边形ABCDEF的边长为2，

则B(，0，0)，C(，2，0)，D(0，3，0)，E(－，2，0)，A′(0，0，1)，

所以＝(0，2，0)，＝(，2，－1)，＝(，1，0)，＝(0，3，－1).

设平面A′BC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，

由得

取x1＝1，可得n1＝(1，0，).(8分)

设平面A′DE的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，

由得

取x2＝1，可得n2＝(1，－，－3).(10分)

设平面A′BC与平面A′DE所成锐二面角的大小为θ，

则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝＝，

所以平面A′BC与平面A′DE所成锐二面角的余弦值为.(12分)

21. (1) 解：函数f(x)＝x2－－a的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝2x－＝.(1分)

设r(x)＝x3＋ln x－1，所以r′(x)＝3x2＋＞0，

所以函数r(x)＝x3＋ln x－1在(0，＋∞)上单调递增.

又r(1)＝0，列表如下：

(3分)

所以当x＝1时，函数f(x)＝x2－－a取得最小值为f(1)＝1－a.(4分)

因为f(x)≥0，即1－a≥0，所以a≤1.所以实数a的取值范围是(－∞，1].(5分)

(2) 证明：不妨设x1＜x2.

由(1)可得，函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，

所以0＜x1＜1＜x2，0＜＜1.(6分)

因为f(x1)＝f(x2)＝0，

所以f(x1)－f()＝f(x2)－f()＝(x－－a)－(－－a)

＝(x2＋)(x2－－2ln x2).(8分)

设函数g(x)＝x－－2ln x(x＞1)，

则g′(x)＝1＋－＝＞0(x＞1)，函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增.

所以g(x2)＝x2－－2ln x2＞g(1)＝0，(10分)

所以f(x1)－f()＞0，即f(x1)＞f().

又函数f(x)＝x2－－a在(0，1)上单调递减，

所以0＜x1＜＜1，所以x1x2＜1.(12分)

22. 解：(1) 由a＝，b＝1，得椭圆方程为＋y2＝1.

由得或

因为点A在第一象限，所以A(，).(2分)

又OA⊥AB，

所以直线AB的方程为y－＝－3(x－)，即3x＋y－5＝0.

由得或所以B(，－)，(3分)

所以直线OB的斜率为kOB＝＝－.(4分)

(2) (解法1)设直线OA的斜率为k(k＞0)，则直线AB的斜率为－.

因为△OAB是等腰直角三角形(点O，A，B按顺时针排列)，

所以设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＞0，y1＞0，x1＜x2).

又OA＝AB，所以＝，

得|y1|＝|x1－x2|，

所以y1＝x2－x1，即x2＝x1＋y1.

又由OA⊥AB，得×＝－1，所以y2＝y1－x1.(6分)

因为点A(x1，y1)，B(x1＋y1，y1－x1)在椭圆＋＝1上，

所以所以＋＝＋，

整理得b2()2－2(a2－b2)＋a2＝0.(8分)

所以Δ＝4(a2－b2)2－4a2b2≥0，即(a2－b2＋ab)(a2－b2－ab)≥0.(10分)

因为a2－b2＋ab＞0，

所以a2－b2－ab≥0，即()2＋－1≤0，

所以≤，

当k＝＝＝－1＝时，取最大值.(12分)

(解法2)设直线OA的斜率为k(k＞0)，倾斜角为θ(0°＜θ＜90°).

因为△OAB是等腰直角三角形(点O，A，B按顺时针排列)，且OA⊥AB，

所以直线OB的斜率为kOB＝tan(θ－45°)或kOB＝tan(θ＋135°)，

所以kOB＝.(6分)

设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＞0，y1＞0，x1＜x2).

由得x＝.

由得x＝＝.

又OB＝OA，所以2OA2＝OB2，得2(1＋k2)x＝[1＋()2]x，

2(1＋k2)＝[1＋()2].

整理得b2k2＋2(b2－a2)k＋a2＝0，(8分)

所以Δ＝4(b2－a2)－4a2b2≥0，即(a2－b2)2－a2b2≥0，

所以(a2－b2＋ab)(a2－b2－ab)≥0.(10分)

因为a2－b2＋ab＞0，

所以a2－b2－ab≥0，即()2＋－1≤0，

所以≤，

当k＝－＝－1＝时，取最大值.(12分)