2022年高考数学(理数)一轮复习课时作业65《坐标系》（教师版）

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解：在ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝－eq \f(\r(3),2)中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)．因为圆C经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,4)))，
所以圆C的半径
|PC|＝eq \r(\r(2)2＋12－2×1×\r(2)cs\f(π,4))＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2csθ.
2．设M，N分别是曲线ρ＋2sinθ＝0和ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)上的动点，求M，N的最小距离．
解：因为M，N分别是曲线ρ＋2sinθ＝0和ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)上的动点，即M，N分别是圆x2＋y2＋2y＝0和直线x＋y－1＝0上的动点，要求M，N两点间的最小距离，即在直线x＋y－1＝0上找一点到圆x2＋y2＋2y＝0的距离最小，即圆心(0，－1)到直线x＋y－1＝0的距离减去半径，故最小值为eq \f(|0－1－1|,\r(2))－1＝eq \r(2)－1.
3．已知直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1＋tcsα，,y＝1＋tsinα))(t为参数)．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝ρcsθ＋2.
(1)写出直线l经过的定点的直角坐标，并求曲线C的普通方程；
(2)若α＝eq \f(π,4)，求直线l的极坐标方程，以及直线l与曲线C的交点的极坐标．
解：(1)直线l经过定点(－1,1)，
由ρ＝ρcsθ＋2得ρ2＝(ρcsθ＋2)2，
得曲线C的普通方程为x2＋y2＝(x＋2)2，化简得y2＝4x＋4.
(2)若α＝eq \f(π,4)，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1＋\f(\r(2),2)t，,y＝1＋\f(\r(2),2)t))的普通方程为y＝x＋2，
则直线l的极坐标方程为ρsinθ＝ρcsθ＋2，联立曲线C：ρ＝ρcsθ＋2.
因为ρ≠0得sinθ＝1，取θ＝eq \f(π,2)，得ρ＝2，
所以直线l与曲线C的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,2))).
4．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin(eq \f(π,6)－θ)＝2，曲线C的方程为ρ＝4csθ，求直线l被曲线C截得的弦长．
解：因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4csθ，所以曲线C是圆心为(2,0)，直径为4的圆．
因为直线l的极坐标方程为ρsin(eq \f(π,6)－θ)＝2，
则直线l过A(4,0)，倾斜角为eq \f(π,6)，
所以A为直线l与圆C的一个交点．设另一个交点为B，则∠OAB＝eq \f(π,6).连接OB.如图．
因为OA为直径，从而∠OBA＝eq \f(π,2)，所以AB＝4cseq \f(π,6)＝2eq \r(3).
因此，直线l被曲线C截得的弦长为2eq \r(3).
5．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：(x－1)2＋y2＝1，曲线C2的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(2)csθ，,y＝sinθ))(θ为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)射线y＝eq \f(\r(3),3)x(x≥0)与C1异于原点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|.
解：(1)将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcsθ，,y＝ρsinθ))代入曲线C1的方程：(x－1)2＋y2＝1，可得曲线C1的极坐标方程为ρ＝2csθ，曲线C2的普通方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1，将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcsθ，,y＝ρsinθ))代入，得到C2的极坐标方程为ρ2(1＋sin2θ)＝2.
(2)射线的极坐标方程为θ＝eq \f(π,6)(ρ≥0)，与曲线C1的交点的极径为ρ1＝2cseq \f(π,6)＝eq \r(3)，射线θ＝eq \f(π,6)(ρ≥0)与曲线C2的交点的极径满足ρeq \\al(2,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋sin2\f(π,6)))＝2，
解得ρ2＝eq \f(2\r(10),5)，所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝eq \r(3)－eq \f(2\r(10),5).
6．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝eq \r(3)x，圆C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3＋\r(3)csα，,y＝a＋\r(3)sinα))(α为参数)，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
(1)求直线l和圆C的极坐标方程；
(2)若直线l与圆C交于A，B两点，且△ABC的面积是eq \f(3\r(3),4)，求实数a的值．
解：(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcsθ，,y＝ρsinθ，))得eq \r(3)ρcsθ＝ρsinθ，
所以θ＝eq \f(π,3).将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3＋\r(3)csα，,y＝a＋\r(3)sinα，))
化为直角坐标方程为(x－3)2＋(y－a)2＝3，
所以x2＋y2－6x－2ay＋a2＋6＝0.
将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcsθ，,y＝ρsinθ，))代入上式得ρ2－6ρcsθ－2aρsinθ＋a2＋6＝0.
圆C的极坐标方程为ρ2－6ρcsθ－2aρsinθ＋a2＋6＝0.
(2)因为S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BCsin∠ACB＝eq \f(1,2)×eq \r(3)×eq \r(3)sin∠ACB＝eq \f(3\r(3),4)，得∠ACB＝eq \f(π,3)或eq \f(2,3)π，当∠ACB＝eq \f(π,3)时，|AB|＝eq \r(3).
由(1)知直线l的极坐标方程为θ＝eq \f(π,3)，
代入圆C的极坐标方程得ρ2－(3＋eq \r(3)a)ρ＋a2＋6＝0.
所以|ρ1－ρ2|2＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝(3＋eq \r(3)a)2－4(a2＋6)＝3，
化简得a2－6eq \r(3)a＋18＝0，
解得a＝3eq \r(3)＋3或a＝3eq \r(3)－3.
当∠ACB＝eq \f(2,3)π时，|AB|＝3，同理计算可得a＝4eq \r(3)或a＝2eq \r(3).
综上：a的取值为3eq \r(3)±3或2eq \r(3)或4eq \r(3).