2021-2022学年湖北省十堰市八年级（上）期末数学试卷 word，解析版

这是一份2021-2022学年湖北省十堰市八年级（上）期末数学试卷 word，解析版，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下面是科学防控新冠知识的图片，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x6B．x8÷x4＝x2
C．（x2）3＝x6D．（2xy2）3＝2x3y6
3．（3分）已知点P（a，3）和点Q（4，b）关于x轴对称，则（a+b）2021的值为（ ）
A．1B．﹣1C．72021D．﹣72021
4．（3分）如图，△ACB≌△DEB，∠CBE＝35°，则∠ABD的度数是（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
5．（3分）下列分式与分式相等的是（ ）
A．B．C．D．﹣
6．（3分）下列多项式中，不能在有理数范围进行因式分解的是（ ）
A．﹣a2+b2B．﹣a2﹣b2
C．a3﹣3a2+2aD．a2﹣2ab+b2﹣1
7．（3分）甲、乙两人做某种机械零件，已知两人一天共做140个零件，甲做360个零件所用的时间与乙做480个零件所用的时间相同，若设甲每天做x个零件，则可列方程（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC的中点，EC⊥BD于E，交BA的延长线于F，若BF＝12，则△FBC的面积为（ ）
A．40B．46C．48D．50
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点N在x轴正半轴上，点A1，A2，A3……在射线ON上，点B1，B2，B3……在射线OF上，∠MON＝30°，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4……均为等边三角形，依此类推，若OA1＝1，则点B2021的横坐标是（ ）
A．22017×3B．22018×3C．22019×3D．22020×3
10．（3分）如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DEA＝∠AGH；②∠DAE＝（∠ABD﹣∠ACE）；③∠AGH＝∠BAE+∠ACB；④S△AEB：S△AEC＝AB：AC，其中正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题。（每题3分，共18分．请直接将答案填写在答题卡中，不写过程）
11．（3分）我国自主研发的某型号手机处理器采用10nm工艺，已知1nm＝0.000000001m，则10nm用科学记数法可表示为 m．
12．（3分）若分式的值为0，则x的值为 ．
13．（3分）若4x2﹣12xy+k2y2是完全平方式，则k＝ ．
14．（3分）如图，△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是 ．
16．（3分）如图，等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为BC中点，AD＝4，P为AB上一个动点，当P点运动时，PC+PD的最小值为 ．
三、解答题。（本题有9个小题，共72分）
17．（8分）分解因式：
（1）2x2y+4xy2+2y3；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
18．（6分）如图，D是△ABC的边AC上一点，点E在AC的延长线上，ED＝AC，过点E作EF∥AB，并截取EF＝AB，连接DF．求证：DF＝CB．
19．（6分）化简：．
20．（7分）计算：
（1）已知10m＝2，10n＝3，求103m+2n﹣1的值；
（2）已知（x+y）2＝16，（x﹣y）2＝4，求xy的值．
21．（7分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，请画出图形并写出顶点A1，B1，C1的坐标；
（2）已知点P（3，0），判断△PAB的形状，并说明理由．
22．（8分）阅读、理解、应用．
例：计算：20163﹣2015×2016×2017．
解：设2016＝x，则原式＝x3﹣（x﹣1）•x•（x+1）＝x3﹣x（x2﹣1）＝x＝2016．
请你利用上述方法解答下列问题：
（1）计算：1232﹣124×122；
（2）若M＝123456789×123456786，N＝123456788×123456787，请比较M，N的大小；
（3）计算：．
23．（8分）某中学开学初在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元；
（2）该中学决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3060元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌足球？
24．（10分）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证AB＝AC+CD．
（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想：
（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
25．（12分）已知：在平面直角坐标系中，A为x轴负半轴上的点，B为y轴负半轴上的点．
（1）如图1，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，若OA＝2，OB＝4，求C点的坐标；
（2）如图2，若点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，﹣m），点D的纵坐标为n，以B为顶点，BA为腰作等腰Rt△ABD．当B点沿y轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，整式4m+4n﹣9的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；
（3）如图3，若OA＝OB，OF⊥AB于点F，以OB为边作等边△OBM，连接AM交OF于点N，若AN＝m，ON＝n，请直接写出线段AM的长．
2021-2022学年湖北省十堰市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内．
1．（3分）下面是科学防控新冠知识的图片，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x6B．x8÷x4＝x2
C．（x2）3＝x6D．（2xy2）3＝2x3y6
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A．x2•x3＝x5，故本选项不合题意；
B．x8÷x4＝x4，故本选项不合题意；
C．（x2）3＝x6，故本选项符合题意；
D．（2xy2）3＝8x3y6，故本选项不合题意；
故选：C．
3．（3分）已知点P（a，3）和点Q（4，b）关于x轴对称，则（a+b）2021的值为（ ）
A．1B．﹣1C．72021D．﹣72021
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点P（a，3）和点Q（4，b）关于x轴对称，
∴a＝4，b＝﹣3，
则（a+b）2021＝（4﹣3）2021
＝1．
故选：A．
4．（3分）如图，△ACB≌△DEB，∠CBE＝35°，则∠ABD的度数是（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【分析】根据全等三角形的对应角相等解答．
【解答】解：∵△ACB≌△DEB，
∴∠EBD＝∠CBA，
∴∠ABD＝∠CBE＝35°，
故选：B．
5．（3分）下列分式与分式相等的是（ ）
A．B．C．D．﹣
【分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零数或（整式），结果不变，可得答案．
【解答】解：A、分子乘以2y，分母乘以x，故A错误；
B、分子分母都乘以x，故B正确；
C、分子除以2，分母乘以2，故C错误；
D、分子、分母、分式改变其中的任意两项的符号，结果不变，故D错误；
故选：B．
6．（3分）下列多项式中，不能在有理数范围进行因式分解的是（ ）
A．﹣a2+b2B．﹣a2﹣b2
C．a3﹣3a2+2aD．a2﹣2ab+b2﹣1
【分析】根据提公因式法，公式法进行分解即可判断．
【解答】解：A．﹣a2+b2＝（b﹣a）（b+a），故A不符合题意；
B．﹣a2﹣b2在有理数范围不能进行因式分解，故B符合题意；
C．a3﹣3a2+2a＝a（a﹣1）（a﹣2），故C不符合题意；
D．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1），故D不符合题意；
故选：B．
7．（3分）甲、乙两人做某种机械零件，已知两人一天共做140个零件，甲做360个零件所用的时间与乙做480个零件所用的时间相同，若设甲每天做x个零件，则可列方程（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接利用甲做360个零件所用的时间与乙做480个零件所用的时间相同，得出等式即可．
【解答】解：设甲每天做x个零件，
则可列方程：＝．
故选：A．
8．（3分）等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC的中点，EC⊥BD于E，交BA的延长线于F，若BF＝12，则△FBC的面积为（ ）
A．40B．46C．48D．50
【分析】求出∠ABD＝∠ACF，根据ASA证△ABD≌△ACF，推出AD＝AF，得出AB＝AC＝2AD＝2AF，求出AF长，求出AB、AC长，根据三角形的面积公式得出△FBC的面积等于BF×AC，代入求出即可．
【解答】解：∵CE⊥BD，
∴∠BEF＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAF＝90°，
∴∠FAC＝∠BAD＝90°，∠ABD+∠F＝90°，∠ACF+∠F＝90°，
∴∠ABD＝∠ACF，
∵在△ABD和△ACF中
，
∴△ABD≌△ACF，
∴AD＝AF，
∵AB＝AC，D为AC中点，
∴AB＝AC＝2AD＝2AF，
∵BF＝AB+AF＝12，
∴3AF＝12，
∴AF＝4，
∴AB＝AC＝2AF＝8，
∴△FBC的面积是×BF×AC＝×12×8＝48，
故选：C．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点N在x轴正半轴上，点A1，A2，A3……在射线ON上，点B1，B2，B3……在射线OF上，∠MON＝30°，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4……均为等边三角形，依此类推，若OA1＝1，则点B2021的横坐标是（ ）
A．22017×3B．22018×3C．22019×3D．22020×3
【分析】根据点的坐标规律，利用等边三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数值即可求解．
【解答】解：根据题意，得
等边三角形△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…，
∵∠B1OA1＝30°，OA1＝1，
∠B1A1A2＝∠A1A2B1＝∠A2B1A1＝60°，
∴∠OB1A1＝30°，
∴∠OB1A2＝90°，
∴A1A2＝A2B1＝A1B1＝OA1＝1，
所以B1 的横坐标为1+＝，
同理可得：B2 的横坐标为2+1＝3，
B3 的横坐标为4+2＝22+21，
B4 的横坐标为8+4＝23+22，
B5 的横坐标为16+8＝24+23，
…
Bn 的横坐标为2n﹣1+2n﹣2＝2n﹣2（2+1）＝3×2n﹣2，
∴点B2021的横坐标是22019×3，
故选：C．
10．（3分）如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DEA＝∠AGH；②∠DAE＝（∠ABD﹣∠ACE）；③∠AGH＝∠BAE+∠ACB；④S△AEB：S△AEC＝AB：AC，其中正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】如图，①根据直角三角形的性质即可得到∠DEA＝∠AGH；②根据角平分线的定义得∠EAC＝∠BAC，由三角形的内角和定理得∠DAE＝90°﹣∠AED，变形可得结论；③根据三角形的内角和和外角的性质即刻得到∠AGH＝∠BAE+∠ACB；④根据三角形的面积公式即可得到S△AEB：S△AEC＝AB：CA．
【解答】解：如图，AE交GF于M，
①∵AD⊥BC，FG⊥AE，
∴∠ADE＝∠AMF＝90°，
∴∠DEA+∠DAE＝∠AGH+∠GAM＝90°，
∴∠DEA＝∠AGH，故①正确；
②∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴∠EAC＝∠BAC，
∠DAE＝90°﹣∠AED，
＝90°﹣（∠ACE+∠EAC），
＝90°﹣（∠ACE+∠BAC），
＝（180°﹣2∠ACE﹣∠BAC），
＝（∠ABD﹣∠ACE），
故②正确；
③∵∠DAE＝∠F，∠FDG＝∠FME＝90°，
∴∠AGH＝∠MEF，
∵∠MEF＝∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH＝∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB，故④正确；
④∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴点E到AB和AC的距离相等，
∴S△AEB：S△AEC＝AB：AC，故③正确；
故选：D．
二、填空题。（每题3分，共18分．请直接将答案填写在答题卡中，不写过程）
11．（3分）我国自主研发的某型号手机处理器采用10nm工艺，已知1nm＝0.000000001m，则10nm用科学记数法可表示为 1×10﹣8 m．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：10nm用科学记数法可表示为1×10﹣8m，
故答案为：1×10﹣8．
12．（3分）若分式的值为0，则x的值为 2 ．
【分析】分式的值为零，则分子等于零，即x﹣2＝0．
【解答】解：依题意得：x﹣2＝0，
解得x＝2．
经检验x＝2符合题意．
故答案是：2．
13．（3分）若4x2﹣12xy+k2y2是完全平方式，则k＝ ±3 ．
【分析】先根据已知平方项和乘积二倍项确定出这两个数，再根据完全平方公式进行解答即可．
【解答】解：∵4x2﹣12xy+k2y2＝（2x）2﹣2×2x×3y+（ky）2，
∴k2y2＝（3y）2，
∴k＝±3．
故答案为：±3．
14．（3分）如图，△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为 65° ．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由线段垂直平分线的性质得出∠C＝∠CAD，进而可得出结论．
【解答】解：∵△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣55°﹣30°＝95°．
∵直线MN是线段AC的垂直平分线，
∴∠C＝∠CAD＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝95°﹣30°＝65°．
故答案为：65°．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是 80° ．
【分析】由折叠的性质得到∠D＝∠C，再利用外角性质即可求出所求角的度数．
【解答】解：如图，
由折叠的性质得：∠D＝∠C＝40°，
根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D，
则∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+80°，
则∠1﹣∠2＝80°．
故答案为80°．
16．（3分）如图，等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为BC中点，AD＝4，P为AB上一个动点，当P点运动时，PC+PD的最小值为 4 ．
【分析】根据勾股定理得到CD＝，AC＝BC＝，作点C关于AB对称点C′，则OC′＝OC，连接DC′，交AB于P，连接BC′，此时DP+CP＝DP+PC′＝DC′的值最小．由对称性可知∠C′BA＝∠CBA＝45°，于是得到∠CBC′＝90°，然后根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：设CD＝x，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D为BC中点，
∴AC＝BC＝2x，
∵AD＝4，
∴（2x）2+x2＝42，
∴x＝（负值舍去），
∴CD＝，
∴AC＝BC＝，
作点C关于AB对称点C′，则OC′＝OC，连接DC′，交AB于P，连接BC′．
此时DP+CP＝DP+PC′＝DC′的值最小．
∵BD＝CD＝，
由对称性可知∠C′BA＝∠CBA＝45°，
∴∠CBC′＝90°，
∴BC′⊥BC，∠BCC′＝∠BC′C＝45°，
∴BC＝BC′＝，
根据勾股定理可得DC′＝＝4．
故答案为：4．
三、解答题。（本题有9个小题，共72分）
17．（8分）分解因式：
（1）2x2y+4xy2+2y3；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
【分析】（1）先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可；
（2）先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可．
【解答】解：（1）2x2y+4xy2+2y3
＝2y（x2+2xy+y2）
＝2y（x+y）2；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）
＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．
18．（6分）如图，D是△ABC的边AC上一点，点E在AC的延长线上，ED＝AC，过点E作EF∥AB，并截取EF＝AB，连接DF．求证：DF＝CB．
【分析】由“SAS”可证△EFD≌△ABC，可得DF＝CB．
【解答】证明：∵EF∥AB，
∴∠E＝∠A，
在△EFD和△ABC中，
，
∴△EFD≌△ABC（SAS），
∴DF＝BC．
19．（6分）化简：．
【分析】先将原式小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法．
【解答】解：原式＝[]
＝
＝．
20．（7分）计算：
（1）已知10m＝2，10n＝3，求103m+2n﹣1的值；
（2）已知（x+y）2＝16，（x﹣y）2＝4，求xy的值．
【分析】（1）逆向运用同底数幂的乘除法法则计算即可；
（2）根据完全平方公式计算即可．
【解答】解：（1）103m+2n﹣1
＝103m×102n÷10
＝（10m）3（10n）2÷10
＝23×32÷10
＝8×9÷10
＝7.2；
（2）∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝16①，
（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4②，
∴①﹣②得，4xy＝12，
∴xy＝3．
21．（7分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，请画出图形并写出顶点A1，B1，C1的坐标；
（2）已知点P（3，0），判断△PAB的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据轴对称的性质可画出三角形，从而得出各点的坐标；
（2）利用SAS证明△AMP≌△PNB，得AP＝BP，∠APM＝∠PBN，从而证明结论．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1 即为所求；
∴A1 （﹣1，1），B1（﹣4，2），C1 （﹣3，4）；
（2）△PAB是等腰直角三角形，理由如下：
∵AM＝BN，∠AMP＝∠BNP，PM＝BN，
∴△AMP≌△PNB（SAS）
∴AP＝BP，∠APM＝∠PBN，
又∵∠PBN+∠BPN＝90°，
∴∠APM+∠BPN＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴△PAB是等腰直角三角形．
22．（8分）阅读、理解、应用．
例：计算：20163﹣2015×2016×2017．
解：设2016＝x，则原式＝x3﹣（x﹣1）•x•（x+1）＝x3﹣x（x2﹣1）＝x＝2016．
请你利用上述方法解答下列问题：
（1）计算：1232﹣124×122；
（2）若M＝123456789×123456786，N＝123456788×123456787，请比较M，N的大小；
（3）计算：．
【分析】（1）仿照例题的思路，设123＝x，则124＝x+1，122＝x﹣1，然后进行计算即可；
（2）仿照例题的思路分别计算出M，N的值，然后进行比较即可；
（3）仿照例题的思路，设++...+＝x，然后进行计算即可．
【解答】解：（1）设123＝x，
∴1232﹣124×122
＝x2﹣（x+1）（x﹣1）
＝x2﹣x2+1
＝1；
（2）设123456786＝x，
∴M＝123456789×123456786
＝（x+3）•x
＝x2+3x，
N＝123456788×123456787
＝（x+2）（x+1）
＝x2+3x+2，
∴M＜N；
（3）设++...+＝x，
∴
＝（x+）（1+x）﹣（1+x+）•x
＝x+x2++x﹣x﹣x2﹣x
＝．
23．（8分）某中学开学初在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元；
（2）该中学决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3060元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌足球？
【分析】（1）设购买一个A品牌的足球需要x元，则购买一个B品牌的足球需要（x+30）元，由题意：购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设该中学此次可以购买m个B品牌足球，则可以购买（50﹣m）个A品牌足球，由题意：A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3060元，列出不等式，一元一次不等式，解之取其中的最小值即可．
【解答】解：（1）设购买一个A品牌的足球需要x元，则购买一个B品牌的足球需要（x+30）元，
依题意得：＝2×，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
∴x+30＝80．
答：购买一个A品牌的足球需要50元，购买一个B品牌的足球需要80元．
（2）设该中学此次可以购买m个B品牌足球，则可以购买（50﹣m）个A品牌足球，
依题意得：50×（1+8%）（50﹣m）+80×0.9m≤3060，
解得：m≤20．
答：该中学此次最多可购买20个B品牌足球．
24．（10分）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证AB＝AC+CD．
（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想：
（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
【分析】（1）首先在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证△ADE≌△ADC（SAS），则可得∠AED＝∠C，ED＝CD，又由∠AED＝∠ACB，∠ACB＝2∠B，所以∠AED＝2∠B，即∠B＝∠BDE，易证DE＝CD，则可求得AB＝AC+CD；
（2）首先在BA的延长线上截取AE＝AC，连接ED，易证△EAD≌△CAD，可得ED＝CD，∠AED＝∠ACD，又由∠ACB＝2∠B，易证DE＝EB，则可求得AC+AB＝CD．
【解答】解：（1）猜想：AB＝AC+CD．
证明：如图②，在AB上截取AE＝AC，连接DE，
∵AD为∠BAC的角平分线时，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AD＝AD，
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴∠AED＝∠C，ED＝CD，
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠AED＝2∠B，
∵∠AED＝∠B+∠EDB，
∴∠B＝∠EDB，
∴EB＝ED，
∴EB＝CD，
∴AB＝AE+DE＝AC+CD．
（2）猜想：AB+AC＝CD．
证明：在BA的延长线上截取AE＝AC，连接ED．
∵AD平分∠FAC，
∴∠EAD＝∠CAD．
在△EAD与△CAD中，
AE＝AC，∠EAD＝∠CAD，AD＝AD，
∴△EAD≌△CAD（SAS）．
∴ED＝CD，∠AED＝∠ACD．
∴∠FED＝∠ACB，
又∵∠ACB＝2∠B
∴∠FED＝2∠B，∠FED＝∠B+∠EDB，
∴∠EDB＝∠B，
∴EB＝ED．
∴EA+AB＝EB＝ED＝CD．
∴AC+AB＝CD．
25．（12分）已知：在平面直角坐标系中，A为x轴负半轴上的点，B为y轴负半轴上的点．
（1）如图1，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，若OA＝2，OB＝4，求C点的坐标；
（2）如图2，若点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，﹣m），点D的纵坐标为n，以B为顶点，BA为腰作等腰Rt△ABD．当B点沿y轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，整式4m+4n﹣9的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；
（3）如图3，若OA＝OB，OF⊥AB于点F，以OB为边作等边△OBM，连接AM交OF于点N，若AN＝m，ON＝n，请直接写出线段AM的长．
【分析】（1）过点C作CQ⊥OA于点Q，可以证明△AQC≌△BOA，由QC＝AO，AQ＝BO，再由条件就可以求出C的坐标．
（2）过点D作DP⊥OB于点P，可以证明△AOB≌△BPD，则有AO＝BP＝OB﹣PO＝m﹣（﹣n）＝m+n为定值，从而可以得出结论4m+4n﹣9的值不变为﹣．
（3）在MA上截取MG＝ON，连接BG，证明△ANO≌△BGM（AAS），由全等三角形的性质得出BG＝AN．由等腰三角形的性质可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，过点C作CQ⊥OA于点Q，
∴∠AQC＝90°
∵△ABC等腰直角三角形，
∴AC＝AB，∠CAB＝90°，
∴∠ACQ＝∠BAO．
∴△AQC≌△BOA（AAS），
∴CQ＝AO，AQ＝BO．
∵OA＝2，OB＝4，
∴CQ＝2，AQ＝4，
∴OQ＝6，
∴C（﹣6，﹣2）．
（2）整式4m+4n﹣9的值不会变化．
理由如下：
如图2，过点D作DP⊥OB于点P，
∴∠BPD＝90°，
∵△ABD等腰Rt△，
∴AB＝BD，∠ABD＝∠ABO+∠OBD＝90°，
∴∠ABO＝∠BDP，
∴△AOB≌△BPD（AAS），
∴AO＝BP，
∵BP＝OB﹣PO＝m﹣（﹣n）＝m+n，
∴A（﹣2，0），
∴OA＝2，
∴m+n＝2，
∴当B点沿y轴负半轴向下运动时AO＝BP＝m+n＝2，
∴4m+4n﹣9＝4×﹣9＝﹣，
∴整式4m+4n﹣9 的值不变，为﹣．
（3）AM＝2m+n．
证明：如图3，在MA上截取MG＝ON，连接BG，
∵△OBM是等边三角形，
∴BO＝BM＝MO，∠OBM＝∠OMB＝∠BOM＝60°，
∴AO＝MO，∠ABM＝105°，∠HOM＝30°，
∵OA＝OB，
∴OA＝OM＝BM．
∴∠OAN＝∠AMO＝15°，
∴∠BAM＝30°，∠BMA＝45°，
∵OF⊥AB，
∴∠AOF＝45°，
∴∠AOF＝∠BMA．
∴△ANO≌△BGM（AAS），
∴BG＝AN．
∵ON＝MG，
∴∠GBM＝∠OAN，
∴∠GBM＝15°，
∴∠ABG＝90°
∴2BG＝AG，
∴2AN＝AG，
∵AG＝AM﹣GM，
∴2AN+ON＝AM，
即AM＝2m+n．