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寒假作业4 第二章直线和圆的方程 综合提升卷-2021-2022学年高二人教A版（2019）数学（新高考）
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这是一份寒假作业4 第二章直线和圆的方程 综合提升卷-2021-2022学年高二人教A版（2019）数学（新高考），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知直线经过两点，那么直线的斜率为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，若l1∥l2，则m为（ ）
A．－1B．3C．－1或3D．0
3．直线与圆交于、两点，则（ ）
A．B．C．D．
4．若两圆和恰有三条公切线，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．3
5．已知圆，过点的直线将圆的面积分割成两个部分，若使得这两部分的面积之差最大，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，两圆与相交于A、B两点，且在点A处两圆的切线互相垂直，则线段AB的长度为（ ）
A．3B．4C．D．
7．在平面直角坐标系中，已知三点，，，则的内切圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知两点，点在直线上，则的最小值为（ ）
A．B．9C．D．10
二、多选题
9．已知直线与直线的交点在第三象限，则实数k的值可能为（ ）
A．B．C．D．2
10．两圆和的位置关系可能是（ ）
A．内含B．外离C．相交D．外切
11．已知圆C过点，，直线m：平分圆C的面积，过点且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M，N，则（ ）
A．圆心的坐标为
B．圆C的方程为
C．k的取值范围为
D．当时，弦MN的长为
12．已知圆：，：，过平面内点P分别作两圆的切线PA，PB，切点分别为A，B，若满足且，其中P与A，B均不重合，下列说法正确的是（ ）
A．点P的轨迹在直线上
B．点P的轨迹在圆上
C．点P的轨迹长度为
D．点P的轨迹长度为
三、填空题
13．若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为______．
14．求经过点M(2，)且与圆x2＋y2=4相切的直线的方程为________．
15．若直线和曲线恰有一个交点，则实数b的取值范围是________．
16．已知平面上任意一点，直线，则点P到直线l的距离为；当点在函数图象上时，点P到直线l的距离为，请参考该公式求出的最小值为__________．
四、解答题
17．设直线与直线相交于一点.
（1）求点的坐标；
（2）求经过点，且垂直于直线的直线的方程.
18．已知圆的圆心坐标为，且点在圆上.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线与圆相交于､两点，当变化时，线段的最小值为6，求的值.
19．已知圆，直线．
（1）当直线与圆相交，求的取值范围；
（2）当直线与圆相交于、两点，且时，求直线的方程．
20．已知的顶点，边上的高所在直线为：，边上的中线所在直线为：，为的中点.
（1）求点的坐标；
（2）求过点且在轴和轴上的截距相等的直线的方程.
21．在平面直角坐标系中中，已知圆心在x轴上的圆C经过点，且被y轴截得的弦长为，经过坐标原点O的直线l与圆C交于M，N两点.
（1）求圆C的标准方程；
（2）求当满足时对应的直线l的方程；
（3）若点，分别记直线PM､直线PN的斜率为，，求证：为定值.
22．已知圆过点，且与直线相切于点.
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线与圆交于，两点，若为直角三角形，求直线的方程；
（3）在直线 上是否存在一点，过点向圆引两切线，切点为，，使为正三角形，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.
参考答案
1．C
【分析】
根据斜率公式求得直线的斜率.
【详解】
依题意，直线的斜率为.
故选：C
2．A
【分析】
由两直线平行的条件求解．
【详解】
因为，所以，解得，
故选：A．
3．B
【分析】
求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得.
【详解】
圆心到直线的距离为，
圆的半径为，
又，故，
故选：B.
4．C
【分析】
根据两圆外切求得参数的关系，然后根据基本不等式求最值.
【详解】
解：由题意可得两圆相外切
两圆的标准方程分别为
圆心分别为，半径分别为2和1
故有，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：C
5．C
【分析】
先明确两部分的面积之差最大时的状态，结合直线垂直和点斜式可得直线方程.
【详解】
圆心坐标为，要使面积之差最大，必须使过点的弦长最小，即直线与直线垂直.
又，所以直线的斜率为，
由点斜式可求得直线的方程为，
整理得.
故选：C.
6．B
【分析】
由圆的几何性质两圆在点A处的切线互相垂直，且过对方圆心，O1A⊥AO2，利用勾股定理可得m的值，再用等面积法，求线段AB的长度．
【详解】
解：由题知，，半径分别为，
根据两圆相交，可得圆心距大于两圆的半径之差而小于半径之和，
即．
又，所以有，
，
再根据，
求得，
故选：B．
7．D
【分析】
结合题意设出圆心，再利用圆心到直线与到直线的距离相等列出一个等式，即可求出圆心，即可进而求出半径，得到答案.
【详解】
易知是等腰三角形，且，∴圆心在直线上，设圆心，易得直线的方程为，直线的方程为，则，解得，则内切圆的半径为，∴所求圆的方程为.
故选：D.
8．C
【分析】
根据给定条件求出B关于直线的对称点坐标，再利用两点间距离公式计算作答.
【详解】
依题意，若关于直线的对称点，
∴，解得，
∴，连接交直线于点，连接，如图，
在直线上任取点C，连接，显然，直线垂直平分线段，
则有，当且仅当点与重合时取等号，
∴，故 的最小值为.
故选：C
9．BC
【分析】
联立方程求出交点坐标，结合交点在第三象限，得出k的范围，结合选项可求.
【详解】
联立可得；
因为两直线的交点在第三象限，所以且，解得.
故选：BC.
10．BCD
【分析】
根据圆心距和两圆半径的和与差的关系确定正确选项.
【详解】
两圆的圆心坐标分别为和，两圆半径分别为和，
则两圆圆心之间的距离为，
又，则
当时，两圆相交，
当时，两圆外切，
当时，两圆外离.
故选：BCD
11．ABD
【分析】
设圆的标准方程为，根据已知条件由圆C被直线m平分，结合点A，B在圆上建立关于a，b，r的方程组，即可求出圆C的方程，再利用点到直线的距离建立关于k的不等式，即可得到实数k的取值范围，进而也可求得当时，弦MN的长，进而选出符合要求的选项.
【详解】
设圆的标准方程为，
因为圆C被直线平分，
所以圆心在直线m上，可得，
由题目条件已知圆C过点，则
综上可解得，
所以圆心的坐标为，选项A正确；
圆C的方程为，选项B正确；
根据题目条件已知过点且斜率为k的直线l方程为，即，
又直线l与圆C有两个不同的交点M，N，所以点到直线l的距离小于半径r，
则利用点到直线的距离公式可得：，
解得k的取值范围为，所以选项C错误；
当时，可求得点到直线l的距离为，
所以根据勾股定理可得，
即弦MN的长为，所以弦MN的长为，选项D正确.
故选：ABD.
12．AD
【分析】
设由题意可得再结合可得点P的轨迹在直线，设利用即可求出t的取值范围，进而确定点P的轨迹长度．
【详解】
设则
由可得，
故点P的轨迹在直线上，
设
由得，即
即
即
故点P的轨迹长度为，
故选：AD
13．
【分析】
根据两直线平行的充要条件可以求得m的值，再根据两平行直线的距离公式即可计算得到直线与之间的距离
【详解】
由直线：与直线：平行
可得，即，
故两直线可化为：：、：
故直线与之间的距离为
故答案为：
14．或．
【分析】
分类讨论，斜率不存在时，直接验证说明是否是切线，斜率存在时设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径求得参数得直线方程．
【详解】
由已知直线是圆的切线，
斜率存在时设切线方程为，即，
，解得，
切线方程为，即．
故答案为：或．
15．
【分析】
曲线是以原点为圆心,为半径的半圆,直线是一条斜率为的直线,利用图像找到交点恰有一个的情况即可
【详解】
由题,由可得,即为以原点为圆心,为半径的半圆,
直线是一条斜率为的直线,
与轴交于两点,分别是,,
当点在直线上时,；当点在直线上时,,
则当时,二者恰有一个公共点；
当直线与相切时,满足,所以或（舍）,
综上, 或,
故答案为:
16．##
【分析】
令，将问题转化为函数图象上的点到直线、的距离之和的倍，即可求得最小值．
【详解】
令，，
∴表示函数图象上的点到直线的距离，
表示函数图象上的点到直线的距离，
∴目标式几何意义：半圆上的点到直线、的距离之和的倍，
∴最小值为 ．
故答案为：.
17．
（1）
（2）
【分析】
（1）联立方程组可得交点坐标；
（2）由垂直可得直线斜率，再根据点差法求直线方程.
（1）
解：由，
解得，
∴.
（2）
解：直线的斜率为，垂直于直线的直线斜率为，
则过点，且垂直于直线的直线的方程为，
即.
18．
（1）
（2）或
【分析】
（1）由两点间的距离公式求出圆的半径即可；
（2）根据线段的最小值为6，可知圆心到直线的距离为4，利用点到直线的距离公式求解即可.
（1）
由题意得
∴圆的标准方程为.
（2）
若，可知圆心到直线的距离为4，
而圆心到直线的距离，
当时，线段的最小值为6，此时，
∴或.
19．
（1）；
（2）或.
【分析】
（1）根据直线与圆的位置关系，利用几何法可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围；
（2）根据勾股定理求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于实数的值，即可出直线的方程.
（1）
解：圆的标准方程为，圆心为，半径为，
因为直线与圆相交，则，解得.
（2）
解：因为，则圆心到直线的距离为，
由点到直线的距离公式可得，整理得，解得或.
所以，直线的方程为或.
20．
（1）
（2）或
【分析】
（1）由题意可得，由直线的方程可得它的斜率，可得直线的斜率，可得直线的方程，因为是和的中线的交点，联立两条直线求出点的坐标，进而求出，的中点的坐标；
（2）分直线过原点和不过原点两种情况讨论，设直线的方程，将的坐标代入求出参数的值，进而求出直线的方程.
（1）
解：因为，而直线：的斜率为，
所以直线的斜率为，即直线的方程为：，
即，
所以点在直线与边上的中线的交点，
，解得，，
所以顶点的坐标，
而为线段的中点，所以，
即的坐标；
（2）
解：当直线经过原点时，设直线的方程为，
将的坐标代入可得，解得，
这时直线的方程为；
当直线不过原点时，设直线的方程为，
将代入可得，
解得，
这时直线的方程为，
综上所述：直线的方程为或.
21．
（1） ；
（2）；
（3）.
【分析】
（1）设圆心为，半径为，利用圆心到轴的距离为，再利用勾股定理即可得到，再利用圆心到点的距离等于半径，即可求出圆的方程；
（2）过点作，推出，求出，设直线l的方程为（直线l与轴重合时不符合题意），然后转化求出，得到直线方程；
（3） 设，设直线l的方程为与圆C的方程联立得，利用韦达定理，结合斜率的和，化简求解即可.
（1）
设圆心为，半径为，C经过点，且被y轴截得的弦长为，再利用圆心到点的距离等于半径，即.解得， 即圆C的标准方程为；
（2）
过点作，由得到，，设直线l的方程为（直线l与轴重合时不符合题意），由圆心到直线公式得，所以直线l的方程为
（3）
设，设直线l的方程为与圆C的方程联立得，，.
22．
（1）；
（2）或；
（3）存在，或.
【分析】
（1）设圆心坐标，半径为，根据两直线垂直关系和切线的性质得出，，再利用斜率的公式和两点间的距离公式进行化简运算求出的值，从而得出圆的方程；
（2）根据题意和圆的性质，可知为等腰直角三角形，且，进而得出圆的圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时得方程为，当斜率存在时，设斜率为，利用点到直线的距离即可求出的值，从而得出直线的方程；
（3）根据题意，可知，设，由圆的切线性质和两点间的距离公式得出，从而可求出的值，即可得出点的坐标.
（1）
解：设圆心坐标，半径为，
圆过点且与直线相切于点，
则，，
所以，
即，解得：，
所以，
所以圆的方程：.
（2）
解：过点的直线与圆交于，两点，且为直角三角形，
而，所以为等腰直角三角形，且，
所以圆的圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，直线方程，
圆心到直线的距离为5，符合题意；
当直线的斜率存在时，设斜率为，
直线方程为，即
圆心到直线的距离为，
即，则，解得：，
直线的方程为或.
（3）
解：若直线上存在一点，过点向圆引两切线，切点为，，
使为正三角形，即，
在中，，，
设，即，
解得：或，
所以点的坐标为或
一、单选题
1．已知直线经过两点，那么直线的斜率为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，若l1∥l2，则m为（ ）
A．－1B．3C．－1或3D．0
3．直线与圆交于、两点，则（ ）
A．B．C．D．
4．若两圆和恰有三条公切线，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．3
5．已知圆，过点的直线将圆的面积分割成两个部分，若使得这两部分的面积之差最大，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，两圆与相交于A、B两点，且在点A处两圆的切线互相垂直，则线段AB的长度为（ ）
A．3B．4C．D．
7．在平面直角坐标系中，已知三点，，，则的内切圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知两点，点在直线上，则的最小值为（ ）
A．B．9C．D．10
二、多选题
9．已知直线与直线的交点在第三象限，则实数k的值可能为（ ）
A．B．C．D．2
10．两圆和的位置关系可能是（ ）
A．内含B．外离C．相交D．外切
11．已知圆C过点，，直线m：平分圆C的面积，过点且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M，N，则（ ）
A．圆心的坐标为
B．圆C的方程为
C．k的取值范围为
D．当时，弦MN的长为
12．已知圆：，：，过平面内点P分别作两圆的切线PA，PB，切点分别为A，B，若满足且，其中P与A，B均不重合，下列说法正确的是（ ）
A．点P的轨迹在直线上
B．点P的轨迹在圆上
C．点P的轨迹长度为
D．点P的轨迹长度为
三、填空题
13．若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为______．
14．求经过点M(2，)且与圆x2＋y2=4相切的直线的方程为________．
15．若直线和曲线恰有一个交点，则实数b的取值范围是________．
16．已知平面上任意一点，直线，则点P到直线l的距离为；当点在函数图象上时，点P到直线l的距离为，请参考该公式求出的最小值为__________．
四、解答题
17．设直线与直线相交于一点.
（1）求点的坐标；
（2）求经过点，且垂直于直线的直线的方程.
18．已知圆的圆心坐标为，且点在圆上.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线与圆相交于､两点，当变化时，线段的最小值为6，求的值.
19．已知圆，直线．
（1）当直线与圆相交，求的取值范围；
（2）当直线与圆相交于、两点，且时，求直线的方程．
20．已知的顶点，边上的高所在直线为：，边上的中线所在直线为：，为的中点.
（1）求点的坐标；
（2）求过点且在轴和轴上的截距相等的直线的方程.
21．在平面直角坐标系中中，已知圆心在x轴上的圆C经过点，且被y轴截得的弦长为，经过坐标原点O的直线l与圆C交于M，N两点.
（1）求圆C的标准方程；
（2）求当满足时对应的直线l的方程；
（3）若点，分别记直线PM､直线PN的斜率为，，求证：为定值.
22．已知圆过点，且与直线相切于点.
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线与圆交于，两点，若为直角三角形，求直线的方程；
（3）在直线 上是否存在一点，过点向圆引两切线，切点为，，使为正三角形，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.
参考答案
1．C
【分析】
根据斜率公式求得直线的斜率.
【详解】
依题意，直线的斜率为.
故选：C
2．A
【分析】
由两直线平行的条件求解．
【详解】
因为，所以，解得，
故选：A．
3．B
【分析】
求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得.
【详解】
圆心到直线的距离为，
圆的半径为，
又，故，
故选：B.
4．C
【分析】
根据两圆外切求得参数的关系，然后根据基本不等式求最值.
【详解】
解：由题意可得两圆相外切
两圆的标准方程分别为
圆心分别为，半径分别为2和1
故有，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：C
5．C
【分析】
先明确两部分的面积之差最大时的状态，结合直线垂直和点斜式可得直线方程.
【详解】
圆心坐标为，要使面积之差最大，必须使过点的弦长最小，即直线与直线垂直.
又，所以直线的斜率为，
由点斜式可求得直线的方程为，
整理得.
故选：C.
6．B
【分析】
由圆的几何性质两圆在点A处的切线互相垂直，且过对方圆心，O1A⊥AO2，利用勾股定理可得m的值，再用等面积法，求线段AB的长度．
【详解】
解：由题知，，半径分别为，
根据两圆相交，可得圆心距大于两圆的半径之差而小于半径之和，
即．
又，所以有，
，
再根据，
求得，
故选：B．
7．D
【分析】
结合题意设出圆心，再利用圆心到直线与到直线的距离相等列出一个等式，即可求出圆心，即可进而求出半径，得到答案.
【详解】
易知是等腰三角形，且，∴圆心在直线上，设圆心，易得直线的方程为，直线的方程为，则，解得，则内切圆的半径为，∴所求圆的方程为.
故选：D.
8．C
【分析】
根据给定条件求出B关于直线的对称点坐标，再利用两点间距离公式计算作答.
【详解】
依题意，若关于直线的对称点，
∴，解得，
∴，连接交直线于点，连接，如图，
在直线上任取点C，连接，显然，直线垂直平分线段，
则有，当且仅当点与重合时取等号，
∴，故 的最小值为.
故选：C
9．BC
【分析】
联立方程求出交点坐标，结合交点在第三象限，得出k的范围，结合选项可求.
【详解】
联立可得；
因为两直线的交点在第三象限，所以且，解得.
故选：BC.
10．BCD
【分析】
根据圆心距和两圆半径的和与差的关系确定正确选项.
【详解】
两圆的圆心坐标分别为和，两圆半径分别为和，
则两圆圆心之间的距离为，
又，则
当时，两圆相交，
当时，两圆外切，
当时，两圆外离.
故选：BCD
11．ABD
【分析】
设圆的标准方程为，根据已知条件由圆C被直线m平分，结合点A，B在圆上建立关于a，b，r的方程组，即可求出圆C的方程，再利用点到直线的距离建立关于k的不等式，即可得到实数k的取值范围，进而也可求得当时，弦MN的长，进而选出符合要求的选项.
【详解】
设圆的标准方程为，
因为圆C被直线平分，
所以圆心在直线m上，可得，
由题目条件已知圆C过点，则
综上可解得，
所以圆心的坐标为，选项A正确；
圆C的方程为，选项B正确；
根据题目条件已知过点且斜率为k的直线l方程为，即，
又直线l与圆C有两个不同的交点M，N，所以点到直线l的距离小于半径r，
则利用点到直线的距离公式可得：，
解得k的取值范围为，所以选项C错误；
当时，可求得点到直线l的距离为，
所以根据勾股定理可得，
即弦MN的长为，所以弦MN的长为，选项D正确.
故选：ABD.
12．AD
【分析】
设由题意可得再结合可得点P的轨迹在直线，设利用即可求出t的取值范围，进而确定点P的轨迹长度．
【详解】
设则
由可得，
故点P的轨迹在直线上，
设
由得，即
即
即
故点P的轨迹长度为，
故选：AD
13．
【分析】
根据两直线平行的充要条件可以求得m的值，再根据两平行直线的距离公式即可计算得到直线与之间的距离
【详解】
由直线：与直线：平行
可得，即，
故两直线可化为：：、：
故直线与之间的距离为
故答案为：
14．或．
【分析】
分类讨论，斜率不存在时，直接验证说明是否是切线，斜率存在时设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径求得参数得直线方程．
【详解】
由已知直线是圆的切线，
斜率存在时设切线方程为，即，
，解得，
切线方程为，即．
故答案为：或．
15．
【分析】
曲线是以原点为圆心,为半径的半圆,直线是一条斜率为的直线,利用图像找到交点恰有一个的情况即可
【详解】
由题,由可得,即为以原点为圆心,为半径的半圆,
直线是一条斜率为的直线,
与轴交于两点,分别是,,
当点在直线上时,；当点在直线上时,,
则当时,二者恰有一个公共点；
当直线与相切时,满足,所以或（舍）,
综上, 或,
故答案为:
16．##
【分析】
令，将问题转化为函数图象上的点到直线、的距离之和的倍，即可求得最小值．
【详解】
令，，
∴表示函数图象上的点到直线的距离，
表示函数图象上的点到直线的距离，
∴目标式几何意义：半圆上的点到直线、的距离之和的倍，
∴最小值为 ．
故答案为：.
17．
（1）
（2）
【分析】
（1）联立方程组可得交点坐标；
（2）由垂直可得直线斜率，再根据点差法求直线方程.
（1）
解：由，
解得，
∴.
（2）
解：直线的斜率为，垂直于直线的直线斜率为，
则过点，且垂直于直线的直线的方程为，
即.
18．
（1）
（2）或
【分析】
（1）由两点间的距离公式求出圆的半径即可；
（2）根据线段的最小值为6，可知圆心到直线的距离为4，利用点到直线的距离公式求解即可.
（1）
由题意得
∴圆的标准方程为.
（2）
若，可知圆心到直线的距离为4，
而圆心到直线的距离，
当时，线段的最小值为6，此时，
∴或.
19．
（1）；
（2）或.
【分析】
（1）根据直线与圆的位置关系，利用几何法可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围；
（2）根据勾股定理求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于实数的值，即可出直线的方程.
（1）
解：圆的标准方程为，圆心为，半径为，
因为直线与圆相交，则，解得.
（2）
解：因为，则圆心到直线的距离为，
由点到直线的距离公式可得，整理得，解得或.
所以，直线的方程为或.
20．
（1）
（2）或
【分析】
（1）由题意可得，由直线的方程可得它的斜率，可得直线的斜率，可得直线的方程，因为是和的中线的交点，联立两条直线求出点的坐标，进而求出，的中点的坐标；
（2）分直线过原点和不过原点两种情况讨论，设直线的方程，将的坐标代入求出参数的值，进而求出直线的方程.
（1）
解：因为，而直线：的斜率为，
所以直线的斜率为，即直线的方程为：，
即，
所以点在直线与边上的中线的交点，
，解得，，
所以顶点的坐标，
而为线段的中点，所以，
即的坐标；
（2）
解：当直线经过原点时，设直线的方程为，
将的坐标代入可得，解得，
这时直线的方程为；
当直线不过原点时，设直线的方程为，
将代入可得，
解得，
这时直线的方程为，
综上所述：直线的方程为或.
21．
（1） ；
（2）；
（3）.
【分析】
（1）设圆心为，半径为，利用圆心到轴的距离为，再利用勾股定理即可得到，再利用圆心到点的距离等于半径，即可求出圆的方程；
（2）过点作，推出，求出，设直线l的方程为（直线l与轴重合时不符合题意），然后转化求出，得到直线方程；
（3） 设，设直线l的方程为与圆C的方程联立得，利用韦达定理，结合斜率的和，化简求解即可.
（1）
设圆心为，半径为，C经过点，且被y轴截得的弦长为，再利用圆心到点的距离等于半径，即.解得， 即圆C的标准方程为；
（2）
过点作，由得到，，设直线l的方程为（直线l与轴重合时不符合题意），由圆心到直线公式得，所以直线l的方程为
（3）
设，设直线l的方程为与圆C的方程联立得，，.
22．
（1）；
（2）或；
（3）存在，或.
【分析】
（1）设圆心坐标，半径为，根据两直线垂直关系和切线的性质得出，，再利用斜率的公式和两点间的距离公式进行化简运算求出的值，从而得出圆的方程；
（2）根据题意和圆的性质，可知为等腰直角三角形，且，进而得出圆的圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时得方程为，当斜率存在时，设斜率为，利用点到直线的距离即可求出的值，从而得出直线的方程；
（3）根据题意，可知，设，由圆的切线性质和两点间的距离公式得出，从而可求出的值，即可得出点的坐标.
（1）
解：设圆心坐标，半径为，
圆过点且与直线相切于点，
则，，
所以，
即，解得：，
所以，
所以圆的方程：.
（2）
解：过点的直线与圆交于，两点，且为直角三角形，
而，所以为等腰直角三角形，且，
所以圆的圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，直线方程，
圆心到直线的距离为5，符合题意；
当直线的斜率存在时，设斜率为，
直线方程为，即
圆心到直线的距离为，
即，则，解得：，
直线的方程为或.
（3）
解：若直线上存在一点，过点向圆引两切线，切点为，，
使为正三角形，即，
在中，，，
设，即，
解得：或，
所以点的坐标为或
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