安徽省滁州市定远县育才学校2020-2021学年高一下学期期中考试数学（理）试题（含答案与解析）

这是一份安徽省滁州市定远县育才学校2020-2021学年高一下学期期中考试数学（理）试题（含答案与解析），共9页。试卷主要包含了在R上定义运算⊗等内容，欢迎下载使用。

总分：150分 考试时间：120分钟
一．选择题(共12小题,每小题5分,共60分) 1.已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中的元素个数为( )
A． 5 B． 4 C． 3 D． 2
2.在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )
A． －13.已知幂函数f(x)＝x－12，若f(a＋1)A． (3,5) B． (－1，＋∞) C． (－∞，5) D． (－1,5)
4.设函数f(x)＝4x3＋x－8，用二分法求方程4x3＋x－8＝0近似解的过程中，计算得到f(1)<0，f(3)>0，则方程的近似解落在区间( )
A． (1,1.5) B． (1.5,2) C． (2,2.5) D． (2.5,3)
5.某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中，f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数是( )
A． 60 B． 70 C． 80 D． 90
6.为使方程cs2x－sinx＋a＝0在0＜x≤π2内有解，则a的取值范围是( )
A． －1≤a≤1 B． －1＜a≤1 C． －1≤a＜0 D．a≤－54
7.函数y＝lgsin(π4－2x)的单调递增区间是( )
A． [kπ－π8，kπ＋π6)(k∈Z) B． [kπ－π8，kπ＋3π8](k∈Z)
C． [kπ－5π8，kπ－π8)(k∈Z) D．kπ-3π8,kπ-π8(k∈Z)
8.如图是函数y＝2sin(ωx＋φ)(|φ|＜π2)的图象，那么( )
A．ω＝1011，φ＝π6 B．ω＝1011，φ＝－π6
C．ω＝2，φ＝π6 D．ω＝2，φ＝－π6
9.函数y＝sin 3x的图象可以由函数y＝cs 3x的图象( )
A． 向右平移π6个单位得到 B． 向左平移π6个单位得到
C． 向右平移π3个单位得到 D． 向左平移π3个单位得到
10.在△ABC中，若tanB＝cs(C-B)sinA+sin(C-B)，则这个三角形是( )
A． 锐角三角形 B． 直角三角形
C． 等腰三角形 D． 等腰三角形或直角三角形
11.函数f(x)＝sin2x＋3sinxcsx在区间π4,π2上的最大值是( )
A． 1 B．1+32 C．32 D． 1＋3
12.已知－π2＜θ＜π2，且sinθ＋csθ＝a，其中a∈(0,1)，则关于tanθ的值，在以下四个答案中，可能正确的是( )
A． －3 B． 3或13 C． －13 D． －3或－13
二．填空题(共4小题,每小题5分,共20分) 13.函数y＝tan2x+π4的单调递增区间是________.
14.函数y＝sinωx(ω＞0)的部分图象如图所示，点A，B是最高点，点C是最低点，若△ABC是直角三角形，则ω的值为_____.
15.已知sin(α－β)csα－cs(α－β)sinα＝m，且β为第三象限
角，则cs β＝________.
16.将函数f(x)＝2sin2x+π4的图象向右平移φ(φ＞0)个单位，再将图象上每一点横坐标缩短到原来的12倍，所得图象关于直线x＝π4对称，则φ的最小正值为________.
三．解答题(共6小题,10+12*5=70分) 17.已知cs(x－π4)＝210，x∈(π2，3π4)．
(1)求sinx的值；
(2)求sin(2x＋π3)的值．
18.已知函数f(x)＝tan(2x＋π4).
(1)求该函数的定义域，周期及单调区间；
(2)若f(θ)＝17，求2cs2θ2-sinθ-12sin(θ＋π4)的值.
19.已知函数f(x)＝Acsx4+π6，x∈R，且fπ3＝2.
(1)求A的值；
(2)设α，β∈0,π2，f4α+43π＝－3017，f4β-23π＝85，求cs(α＋β)的值．
20.已知函数f(x)＝12sin 2xsinφ＋cs2xcsφ－12sin(π2＋φ)(0＜φ＜π)，其图象过点(π6，12)．
(1)求φ的值；
(2)将函数y＝f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在[0，π4]上的最大值和最小值．
21.如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为π3的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．
22.已知定义在区间[－π，23π]上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－π6对称，当x∈[－π6，23π]时，函数f(x)＝Asinωx+φ(A＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)，其图象如图所示.
(1)求函数y＝f(x)在[－π，23π]上的表达式；
(2)求方程f(x)＝22的解集.
答案解析
一．选择题
1.D
【解析】由条件知，当n＝2时，3n＋2＝8，当n＝4时，3n＋2＝14，故A∩B＝{8,14}，故选D.
2.C
【解析】由题意可知，(x－a)⊗(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，
∴原不等式可化为(x－a)(1－x－a)<1.即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x都成立，
所以只需Δ＝(－1)2－4(－a2＋a＋1)<0，解得－123.A
【解析】因为f(x)＝x－12＝1x，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
又f(a＋1)所以10－2a>0，a＋1>10－2a，
解得34.A
【解析】取x1＝2，因为f(2)＝4×8＋2－8＝26>0，所以方程近似解x0∈(1,2)，
取x2＝32，因为f(32)＝4×278＋32－8＝7>0，所以方程近似解x0∈(1，32) ，所以应选A.
5.C
【解析】∵T＝2π160π＝180，∴f＝1T＝80.
6.B
【解析】a＝sin2x＋sinx－1，又f(x)＝sin2x＋sinx－1在(0，π2]上的范围是－1＜f(x)≤1，故a的取值范围是－1＜a≤1.
7.D
【解析】令2kπ＋π＜2x－π4≤2kπ＋3π2(k∈Z)，2kπ＋5π4＜2x≤2kπ＋7π4(k∈Z)，kπ＋5π8＜x≤kπ＋7π8(k∈Z)，故函数的单调递增区间是(kπ－3π8，kπ－π8] (k∈Z).
8.C
【解析】由点(0,1)在图象上，∴1＝2sinφ，|φ|＜π2，
∴φ＝π6，此时y＝2sinωx＋π6.
又点11π12,0在y＝2sinωx＋π6的图象上，且该点是“五点”中的第五个点，
∴0＝2sin11πω12+π6，
∴11πω12＋π6＝2π，∴ω＝2，
综上，有ω＝2，φ＝π6，故选C.
9.A
【解析】由于函数y＝sin 3x＝cs(3x＋3π2)＝cs(3x－π2)＝cs 3(x－π6)，
故把函数y＝cs 3x的图象向右平移π6个单位，即可得到y＝cs 3(x－π6)＝sin 3x的图象.
10.B
【解析】因为△ABC中，A＋B＋C＝π，
所以tanB＝cs(C-B)sinA+sin(C-B)＝csCcsB+sinCsinBsinB+C+sin(C-B)＝csCcsB+sinCsinB2csBcsC，
即sinBcsB＝csC·csB+sinCsinB2csBcsC，
∴cs(B＋C)＝0，∴cs(π－A)＝0，∴csA＝0，
∵0＜A＜π，∴A＝π2，
∴这个三角形为直角三角形，故选B.
11.C
【解析】由已知得f(x)＝1-cs2x2＋32sin 2x＝12＋sin2x-π6，当x∈π4,π2时，2x－π6∈π3,5π6，sin2x-π6∈12,1，因此f(x)的最大值为12＋1＝32，故选C.
12.C
【解析】因为sinθ＋csθ＝a，a∈(0,1)，两边平方整理得sinθcsθ＝a2-12＜0，故－π2＜θ＜0且csθ＞－sinθ，
∴|csθ|＞|sinθ|，借助三角函数线可知－π4＜θ＜0，－1＜tanθ＜0，故选C.
二．填空题
13.-3π8+kπ2,π8+kπ2(k∈Z)
【解析】根据题意，得－π2＋kπ＜2x＋π4＜π2＋kπ，k∈Z.解得－38π＋kπ2＜x＜π8＋kπ2，k∈Z.
14.π2
【解析】由题意结合三角函数的对称性可知△ABC为等腰直角三角形，且∠ACB为直角，
取AB的中点为D，由三角函数的最大值和最小值为1和－1，得CD＝2，
故AB＝4，又AB为函数的一个周期的长度，
故可得2πω＝4，得ω＝π2.
15.－1-m2
【解析】由sin(α－β)csα－cs(α－β)sinα＝m，得sin(－β)＝m，即sinβ＝－m，
又β为第三象限角，
∴ csβ＝－1-sin2β＝－1--m2＝－1-m2.
16.3π8
【解析】由题意得，函数f(x)＝2sin2x+π4变为g(x)＝2sin[22x-φ+π4]＝2sin[4x-2φ+π4]，因为所得图象关于直线x＝π4对称，所以4×π4－2φ＋π4＝π2＋kπ，φ＝3π8－kπ2(k∈Z)，φ的最小正值为3π8.
三.解答题
17.(1)因为x∈(π2，3π4)，所以x－π4∈(π4，π2)，
于是sin(x－π4)＝1-cs2(x－π4)＝7210，
则sinx＝sin[(x－π4)＋π4]＝sin(x－π4)csπ4＋cs(x－π4)sinπ4＝7210×22＋210×22＝45.
(2)因为x∈(π2，3π4)，
故csx＝－1-sin2x＝－1-(45)2＝－35，
sin 2x＝2sinxcsx＝－2425，cs 2x＝2cs2x－1＝－725，
所以sin(2x＋π3)＝sin 2xcsπ3＋cs 2xsinπ3＝－24+7350.
18.(1)由题意得，T＝π2.
由2x＋π4≠π2＋kπ(k∈Z)，得x≠kπ2＋π8，
由－π2＋kπ＜2x＋π4＜π2＋kπ(k∈Z)，得kπ2－3π8＜x＜kπ2＋π8，
综上得，函数的周期是π2，定义域是{x|x≠kπ2＋π8，k∈Z}，
单调增区间是(kπ2－3π8，kπ2＋π8)(k∈Z).
(2)2cs2θ2-sinθ-12sin(θ＋π4)＝csθ－sinθsinθ＋csθ＝1－tanθtanθ＋1，①
∵f(θ)＝17，∴tan(2θ＋π4)＝17，
则tan 2θ＝tan[(2θ＋π4)－π4]＝17-11+17＝－34，
由tan 2θ＝2tanθ1－tan2θ＝－34，得tanθ＝3或－13，
把tanθ＝3代入上式①得，2cs2θ2-sinθ-12sin(θ＋π4)＝－12，
把tanθ＝－13代入上式①得，2cs2θ2-sinθ-12sin(θ＋π4)＝2.
19.(1)因为f(π3)＝2，所以Acs(π12＋π6)＝2，A＝2csπ4＝2.
(2)因为f(4α＋4π3)＝－3017，所以2cs[14(4α＋4π3)＋π6]＝2cs(α＋π2)＝－3017，
所以sinα＝1517.
又因为f(4β－2π3)＝85，所以2cs[14(4β－2π3)＋π6]＝2csβ＝85，
所以csβ＝45，
又因为α，β∈[0，π2]，所以csα＝817，sinβ＝35，
所以cs(α＋β)＝csαcsβ－sinαsinβ＝817×45－1517×35＝－1385.
20.(1)因为f(x)＝12sin 2xsinφ＋cs2xcsφ－12sin(π2＋φ)(0＜φ＜π)，
所以f(x)＝12sin 2xsinφ＋1+cs2x2csφ－12csφ
＝12sin 2xsinφ＋12cs 2xcsφ
＝12(sin 2xsinφ＋cs 2xcsφ)＝12cs(2x－φ)．
又函数图象过点(π6，12)，
所以12＝12cs(2×π6－φ)，即cs(π3－φ)＝1.
又0＜φ＜π，所以φ＝π3.
(2)由(1)知，f(x)＝12cs(2x－π3)，将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，可知g(x)＝f(2x)＝12cs(4x－π3)，
因为x∈[0，π4]，所以4x∈[0，π]，
因此4x－π3∈[－π3，?2π3]，
故－12≤cs(4x－π3)≤1.
所以y＝g(x)在[0，π4]上的最大值和最小值分别为12和－14.
21.在Rt△OBC中，OB＝csα，BC＝sinα.
在Rt△OAD中，DAOA＝tanπ3＝3，∴OA＝33DA＝33BC＝33sinα，
∴AB＝OB－OA＝csα－33sinα.
设矩形ABCD的面积为S，则S＝AB·BC＝csα－33sinαsinα＝sinαcsα－33sin2α
＝12sin 2α－36(1－cs 2α)＝12sin 2α＋36cs 2α－36
＝1332sin2α＋12cs2α－36＝13sin2α+π6－36.
由0＜α＜π3，得π6＜2α＋π6＜5π6，所以当2α＋π6＝π2，
即α＝π6时，Smax＝13－36＝36.
因此，当α＝π6时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为36.
22.(1)当x∈[－π6，23π]时，函数f(x)＝Asinωx+φ(A＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)，
观察图象易得，A＝1，ω＝1，φ＝π3，即x∈[－π6，23π]时，函数f(x)＝sin(x＋π3).
由函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－π6对称得，x∈[－π，－π6]时，函数f(x)＝－sinx.
∴f(x)＝sinx+π3,x∈-π6,2π3.-sinx,x∈-π,π6.
(2)当x∈[－π6，2π3]时，由sin(x＋π3)＝22得，x＋π3＝π4或3π4⇒x＝－π12或x＝5π12；
当x∈[－π，－π6]时，由－sinx＝22得，x＝－3π4或x＝－π4.
∴方程f(x)＝22的解集为{－3π4，－π4，－π12，5π12}.