福建省永泰县第一中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份福建省永泰县第一中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


完卷时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
已知复数，则其共轭复数
A．B．C．D．
下列各式正确的是
A．B．
C．D．
下列命题中正确的是
A．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体
B．三棱锥的三个侧面不可能都是直角三角形
C．圆台的任意两条母线延长后一定交于一点
D．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台
一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知成角，且的大小分别为2和4，则的大小为
A．2B．C．D．6
已知向量，若，则的面积等于
A．3B．C．D．
斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，右图给出了它的画法：以斐波那契数为边的正方形依序拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．如果用图中接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，那么该圆锥的表面积为
A．B．
C．D．
第四届数字中国建设峰会将于2021年4月25日至26日在福州举办，福州市以此为契机，加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设．如图，某县区域地面有四个5G基站．已知两个基站建在江的南岸，距离为；基站在江的北岸，测得，则两个基站的距离为
A．B．C．D．
正方形的边长为，中心为．过的直线与边分别交于点，点满足条件：，则的最小值为
A．0B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
下列命题正确的是
A．若复数满足，则是纯虚数
B．若互为共轭复数，则
C．是复数的三角形式
D．“复数（）为纯虚数”的充要条件为“”
已知平面向量向量
A．若，则
B．若，则在方向上的投影向量是
C．与的夹角为锐角，则的取值范围为
D．若的夹角为，则
已知为的重心，，则的可能取值为
A．B．1C．D．
在中，内角所对的边分别为，已知，若，点在边上，且，是的外心．则下列判断正确的是
A．B．的外接圆半径为
C．D．的最大值为2
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
已知复数在复平面内对应的点为，复数满足，则与对应的点间的距离的最大值为 ．
如图，是平面四边形的直观图，若是边长为2的正方形，则四边形的周长为 ．
已知的内角所对的边分别为，，若，则的取值范围为 ．
已知是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，取值范围为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（本小题满分10分）
已知复数（）．
（1）若是实数，求的值；
（2）若复数在复平面内对应的点在第三象限，且，求实数的取值范围．
（本小题满分12分）
已知．
（1）若三点共线，求满足的等量关系．
（2）在（1）条件下，求的最小值．
（本小题满分12分）
问题：在中，内角所对的边分别为，．
（1）求；
（2）若的面积为，___________，求．
请在①；②；③这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答．
注：如选多个条件作答，按排列最前的解法评分．
（本小题满分12分）
某网红景区拟开辟一个平面示意图如图的五边形观光步行道，为景点电瓶车专用道，．
（1）求的长；
（2）请设计一个方案，使得折线步行道最长（即最大）．
（本小题满分12分）
如图所示，在中，，与相交于点，的延长线与边交于点．
（1）试用表示；
（2）设，求的值．
（本小题满分12分）
已知的内角所对的边分别为，向量，，．
（1）若，，为边的中点，求中线的长度；
（2）若为边上一点，且，，求的最小值．
参考答案
单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．14．1615．16．
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.（本题满分10分）
解： =1分
3分
4分
是实数，所以，5分
(2) 在复平面内对应的点在第三象限，
可得，且 6分
7分
又|z1|5m2＋925 8分
9分
综上，实数a的取值范围为．10分
18．（本题满分12分）
解：(1)∵,
又3分
∵三点共线
∴即6分
（2）∵8分
∴11分
∴取最小值为12分
19.（本题满分12分）
【解析】（1）由结合正弦定理可得
2分
所以3分
因为，所以．4分
因为，所以．5分
[选择条件①的答案]
因为.
又因为的面积为，
所以，6分
所以7分
可得bc=8. 8分
所以由余弦定理可得
10分
即11分
解得12分
[选择条件②的答案]
又因为的面积为
所以6分
所以7分
可得bc=8.8分
所以由余弦定理可得
10分
即11分
解得12分
[选择条件③的答案]
由得
所以8分
因为，所以．所以9分
．所以，即是直角三角形10分
又因为的面积为，
所以，11分
所以12分
20.（本题满分12分）
解：（1）连接
在中，由余弦定理得1分
∴2分
即3分
∵在中，，，∴4分
∴在中，5分
在中，6分
(2)在中，，.
由余弦定理得7分
即8分
故10分
从而，即11分
当且仅当时，等号成立，
即设计为时步行道最长12分
21.（本题满分12分）
解法一：(1)设，
由eq \(BQ,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AQ,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))=1分
可得eq \(AI,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(BQ,\s\up6(→))＝2分
由eq \(CR,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AR,\s\up6(→))＝－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))=可得3分
eq \(AI,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋μeq \(CR,\s\up6(→))=4分
又与不共线，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－λ＝\f(1,3)μ，,\f(1,2)λ＝1－μ，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝\f(4,5)，,μ＝\f(3,5).))6分
所以eq \(AI,\s\up6(→))＝eq \f(1,5)＋eq \f(2,5)7分
(2)由(1)知eq \(AI,\s\up6(→))＝eq \f(1,5)＋eq \f(2,5)
∴eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝neq \(AI,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝n(eq \f(1,5)＋eq \f(2,5))－＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,5)－1))＋eq \f(2n,5)·8分
又∵eq \(BP,\s\up6(→))＝meq \(BC,\s\up6(→))＝meq \(AC,\s\up6(→))－meq \(AB,\s\up6(→))=9分
∵与不共线，∴10分
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝\f(2,3)，,n＝\f(5,3)，))∴12分
解法二：（1）同解法一．7分
（2）因为8分
，9分
又，所以10分
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝\f(2,3)，,n＝\f(5,3)，))∴12分
22. （本题满分12分）
解：，∵，∴，.由余弦定理得1分
∵，∴2分
（Ⅰ）法一、∵为边的中点，∴，
∵，，3分
，即4分
，
∵，∴，
∴5分
∴中线的长为6分
法二、∵，∴，∵，∴，3分
由余弦定理，
得，，4分
由余弦定理，，，
∵，∴
即，，4分
∴，5分
∴中线的长为6分
（Ⅱ）法一、设，则，
∵，，
∴，即，即，化简得，即，7分
故，.
∵，
∴，8分
即，即，9分.
∴10分
（当且仅当时取等号）11分.
∴的最小值12分
法二、∵三点共线，，∴，
即即7分
∴，
∴，
即，8分
∵，
∴，即，9分
∴10分
（当且仅当时取等号）11分.
∴的最小值12分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
C
B
A
B
D
D
题号
9
10
11
12
答案
ABC
AB
CD
BC