2023届高考一轮复习讲义（理科）第二章　函数概念与基本初等函数 第1讲　高效演练分层突破学案

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1．下列所给图象是函数图象的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象．故选B.
2．函数f(x)＝eq \r(2x－1)＋eq \f(1,x－2)的定义域为( )
A．[0，2) B．(2，＋∞)
C．[0，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
解析：选C.由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－1≥0，,x－2≠0，))解得x≥0，且x≠2.
3．(2020·吉安模拟)已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－1))＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于( )
A.eq \f(7,4) B．－eq \f(7,4)
C.eq \f(4,3) D．－eq \f(4,3)
解析：选A.令t＝eq \f(1,2)x－1，则x＝2t＋2，f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，则4a－1＝6，解得a＝eq \f(7,4).
4．下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( )
A．y＝eq \r(x－1) B．y＝ln x
C．y＝eq \f(1,3x－1) D．y＝eq \f(x＋1,x－1)
解析：选D.对于A，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于B，定义域为(0，＋∞)，值域为R，不满足题意；对于C，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D，y＝eq \f(x＋1,x－1)＝1＋eq \f(2,x－1)，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．
5．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x－2)，x＞2，,x2＋2，x≤2，))则f(f(1))＝( )
A．－eq \f(1,2) B．2
C．4 D．11
解析：选C.因为f(1)＝12＋2＝3，所以f(f(1))＝f(3)＝3＋eq \f(1,3－2)＝4.故选C.
6．已知函数y＝f(2x－1)的定义域是[0，1]，则函数eq \f(f（2x＋1）,lg2（x＋1）)的定义域是( )
A．[1，2] B．(－1，1]
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0)) D．(－1，0)
解析：选D.由f(2x－1)的定义域是[0，1]，得0≤x≤1，故－1≤2x－1≤1，所以函数f(x)的定义域是[－1，1]，所以要使函数eq \f(f（2x＋1）,lg2（x＋1）)有意义，需满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1≤2x＋1≤1，,x＋1>0，,x＋1≠1，))解得－17．下列函数中，不满足f(2 018x)＝2 018f(x)的是( )
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋2 D．f(x)＝－2x
解析：选C.若f(x)＝|x|，则f(2 018x)＝|2 018x|＝2 018|x|＝2 018f(x)；若f(x)＝x－|x|，则f(2 018x)＝2 018x－|2 018x|＝2 018(x－|x|)＝2 018f(x)；若f(x)＝x＋2，则f(2 018x)＝2 018x＋2，而2 018f(x)＝2 018x＋2 018×2，故f(x)＝x＋2不满足f(2 018x)＝2 018f(x)；若f(x)＝－2x，则f(2 018x)＝－2×2 018x＝2 018×(－2x)＝2 018f(x)．故选C.
8．设x∈R，定义符号函数sgn x＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，x＞0，,0，x＝0，,－1，x＜0，))则( )
A．|x|＝x|sgn x| B．|x|＝xsgn|x|
C．|x|＝|x|sgn x D．|x|＝xsgn x
解析：选D.当x＜0时，|x|＝－x，x|sgn x|＝x，xsgn|x|＝x，|x|sgn x＝(－x)·(－1)＝x，排除A，B，C，故选D.
9．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)＝________．
解析：设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
因为g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＋c＝1，,a－b＋c＝5，,c＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝－2，,c＝0，))所以g(x)＝3x2－2x.
答案：3x2－2x
10．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x，x>0，,x＋1，x≤0，))若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________．
解析：因为f(1)＝2，且f(1)＋f(a)＝0，所以f(a)＝－2<0，故a≤0.依题知a＋1＝－2，解得a＝－3.
答案：－3
11．已知f(x)的定义域为{x|x≠0}，且3f(x)＋5feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(3,x)＋1，则函数f(x)的解析式为________．
解析：用eq \f(1,x)代替3f(x)＋5feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(3,x)＋1中的x，得3feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋5f(x)＝3x＋1，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3f（x）＋5f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝\f(3,x)＋1 ①，,3f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋5f（x）＝3x＋1 ②，))①×3－②×5得f(x)＝eq \f(15,16)x－eq \f(9,16x)＋eq \f(1,8)(x≠0)．
答案：f(x)＝eq \f(15,16)x－eq \f(9,16x)＋eq \f(1,8)(x≠0)
12．设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ln x，x≥1，,1－x，x<1，))则f(f(0))＝________，若f(m)>1，则实数m的取值范围是________．
解析：f(f(0))＝f(1)＝ln 1＝0；如图所示，可得f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ln x，x≥1，,1－x，x<1))的图象与直线y＝1的交点分别为(0，1)，(e，1)．若f(m)>1，则实数m的取值范围是(－∞，0)∪(e，＋∞)．
答案：0 (－∞，0)∪(e，＋∞)
[综合题组练]
1．设f(x)，g(x)都是定义在实数集上的函数，定义函数(f·g)(x)：∀x∈R，(f·g)(x)＝f(g(x))．若f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x，x>0，,x2，x≤0，))g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ex，x≤0，,ln x，x>0，))则( )
A．(f·f)(x)＝f(x) B．(f·g)(x)＝f(x)
C．(g·f)(x)＝g(x) D．(g·g)(x)＝g(x)
解析：选A.对于A，(f·f)(x)＝f(f(x))＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（x），f（x）>0，,f 2（x），f（x）≤0，))当x>0时，f(x)＝x>0，(f·f)(x)＝f(x)＝x；当x<0时，f(x)＝x2>0，(f·f)(x)＝f(x)＝x2；当x＝0时，(f·f)(x)＝f 2(x)＝0＝02，因此对任意的x∈R，有(f·f)(x)＝f(x)，故A正确，选A.
2．(2020·河南郑州第二次质量检测)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝eq \f(2x＋3,2x＋1)，则函数y＝[f(x)]的值域为( )
A．{0，1，2，3} B．{0，1，2}
C．{1，2，3} D．{1，2}
解析：选D.f(x)＝eq \f(2x＋3,2x＋1)＝eq \f(2x＋1＋2,2x＋1)＝1＋eq \f(2,2x＋1)，
因为2x>0，所以1＋2x>1，所以0则0即1当1综上，函数y＝[f(x)]的值域为{1，2}，故选D.
3．具有性质feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数：①f(x)＝x－eq \f(1,x)；②f(x)＝x＋eq \f(1,x)；③f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x，0＜x＜1，,0，x＝1，,－\f(1,x)，x＞1.))其中满足“倒负”变换的函数是( )
A．①③ B．②③
C．①②③ D．①②
解析：选A.对于①，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(1,x)－x＝－f(x)，满足题意；
对于②，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(1,x)＋x＝f(x)，不满足题意；
对于③，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)，0＜\f(1,x)＜1，,0，\f(1,x)＝1，,－x，\f(1,x)＞1，))
即feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)，x＞1，,0，x＝1，,－x，0＜x＜1，))
故feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝－f(x)，满足题意．
综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.故选A.
4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（1－2a）x＋3a，x＜1，,ln x，x≥1))的值域为R，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意知y＝ln x(x≥1)的值域为[0，＋∞)，故要使f(x)的值域为R，则必有y＝(1－2a)x＋3a为增函数，且1－2a＋3a≥0，所以1－2a＞0，且a≥－1，解得－1≤a＜eq \f(1,2).
答案：eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))