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2023届高考一轮复习讲义（文科）第三章 导数及其应用 第1讲 变化率与导数、导数的计算学案
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这是一份2023届高考一轮复习讲义（文科）第三章 导数及其应用 第1讲 变化率与导数、导数的计算学案，共13页。学案主要包含了知识梳理，习题改编等内容，欢迎下载使用。
一、知识梳理
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率eq^\(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)．
[提醒] f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.
(2)导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(3)函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq \f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)．
[提醒] 求导常见易错点：①公式(xn)′＝nxn－1与(ax)′＝axln a相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现如下错误：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq \f(f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）,[g（x）]2)，(cs x)′＝sin x.
常用结论
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数．
2．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
二、习题改编
1．(选修11P85A组T5改编)已知函数f(x)＝2xf′(1)＋xln x，则f′(1)＝( )
A．e B．1
C．－1 D．－e
答案：C
2．(选修11P85A组T6改编)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为( )
A．y＝－2x B．y＝－x
C．y＝2x D．y＝x
解析：选D.因为函数f(x)是奇函数，所以a－1＝0，得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，f(0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)x，即y＝x.故选D.
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( )
(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．( )
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( )
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )
(5)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)(1)混淆平均变化率与导数的区别；
(2)导数的运算法则运用不正确．
1．函数f(x)＝x2在区间[1，2]上的平均变化率为 ，在x＝2处的导数为 ．
解析：函数f(x)＝x2在区间[1，2]上的平均变化率为eq \f(22－12,2－1)＝3；因为f′(x)＝2x，所以f(x)在x＝2处的导数为2×2＝4.
答案：3 4
2．函数y＝eq \f(ln x,ex)的导函数为 ．
解析：y′＝eq \f(\f(1,x)ex－exln x,（ex）2)＝eq \f(1－xln x,xex).
答案：y′＝eq \f(1－xln x,xex)
导数的运算(多维探究)
角度一 求已知函数的导数
求下列函数的导数：
(1)y＝x2sin x；
(2)y＝ln x＋eq \f(1,x).
【解】 (1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cs x.
(2)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln x＋\f(1,x)))′＝(ln x)′＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))′＝eq \f(1,x)－eq \f(1,x2).
eq \a\vs4\al()
[注意] 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则先化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．
角度二 求抽象函数的导数值
已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝ ．
【解析】 因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋eq \f(1,x)，所以f′(2)＝4＋3f′(2)＋eq \f(1,2)＝3f′(2)＋eq \f(9,2)，所以f′(2)＝－eq \f(9,4).
【答案】 －eq \f(9,4)
eq \a\vs4\al()
对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．
1．下列求导运算正确的是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,ln x)))′＝x B．(x2ex)′＝2x＋ex
C．(xcs x)′＝－sin x D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))′＝1＋eq \f(1,x2)
解析：选D.对于A：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,ln x)))′＝－eq \f(1,ln2 x)·(ln x)′＝－eq \f(1,xln2 x)，
对于B：(x2ex)′＝(x2＋2x)ex，
对于C：(xcs x)′＝cs x－xsin x，
对于D：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))′＝1＋eq \f(1,x2).
2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2x·f′(2)，则f′(5)＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选C.由已知得，f′(x)＝6x＋2f′(2)，
令x＝2，得f′(2)＝－12.
再令x＝5，得f′(5)＝6×5＋2f′(2)＝30－24＝6.
3．求下列函数的导数：
(1)y＝x(ln x＋cs x)；
(2)y＝eq \f(sin x＋x,x)；
(3)y＝eq \r(x)ln x.
解：(1)y′＝ln x＋cs x＋xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－sin x))＝ln x＋cs x－xsin x＋1.
(2)y′＝eq \f(（cs x＋1）x－（sin x＋x）,x2)＝eq \f(xcs x－sin x,x2).
(3)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)·\f(1,\r(x))))ln x＋eq \r(x)·eq \f(1,x)＝eq \f(2＋ln x,2\r(x)).
导数的几何意义(多维探究)
角度一 求切线方程
(2020·湖南省湘东六校联考)已知曲线f(x)＝ex＋x2，则曲线在(0，f(0))处的切线与坐标轴围成的图形的面积为 ．
【解析】 由题意，得f′(x)＝ex＋2x，所以f′(0)＝1.又f(0)＝1，所以曲线在(0，f(0))处的切线方程为y－1＝1×(x－0)，即x－y＋1＝0，所以该切线与x，y轴的交点分别为(－1，0)，(0，1)，所以该切线与坐标轴围成的图形的面积为eq \f(1,2)×1×1＝eq \f(1,2).
【答案】 eq \f(1,2)
eq \a\vs4\al()
求曲线切线方程的步骤
(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率．
(2)由点斜式方程求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
[注意] “过”与“在”：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．
角度二 求切点坐标
若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是 ．
【解析】 设切点P的坐标为(x0，y0)，因为y′＝ln x＋1，
所以切线的斜率k＝ln x0＋1，
由题意知k＝2，得x0＝e，代入曲线方程得y0＝e.
故点P的坐标是(e，e)．
【答案】 (e，e)
【迁移探究】 (变条件)若本例变为：若曲线y＝xln x上点P处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，则该切线的方程为 ．
解析：设切点P的坐标为(x0，y0)，
因为y′＝ln x＋1，由题意得ln x0＋1＝1，
所以ln x0＝0，x0＝1，即点P(1，0)，
所以切线方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
答案：x－y－1＝0
eq \a\vs4\al()
求切点坐标的思路
已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．
角度三 已知切线方程(或斜率)求参数值
(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则( )
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
【解析】 因为y′＝aex＋ln x＋1，所以y′|x＝1＝ae＋1，所以切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，与切线方程y＝2x＋b对照，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ae＋1＝2，,b＝－1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝e－1，,b＝－1.))故选D.
【答案】 D
eq \a\vs4\al()
处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)曲线y＝2sin x＋cs x在点(π，－1)处的切线方程为( )
A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0
C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0
解析：选C.依题意得y′＝2cs x－sin x，y′|x＝π＝(2cs x－sin x)|x＝π＝2cs π－sin π＝－2，因此所求的切线方程为y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0，故选C.
2．如图，已知直线l是曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线，则直线l的方程是 ；f(2)＋f′(2)的值为 ．
解析：由图象可得直线l经过点(2，3)和(0，4)，则直线l的斜率为k＝eq \f(4－3,0－2)＝－eq \f(1,2)，可得直线l的方程为y＝－eq \f(1,2)x＋4，即为x＋2y－8＝0；
由导数的几何意义可得f′(2)＝－eq \f(1,2)，则f(2)＋f′(2)＝3－eq \f(1,2)＝eq \f(5,2).
答案：x＋2y－8＝0 eq \f(5,2)
3．(2020·郑州市第一次质量预测)已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)的图象与直线x－y＋1＝0相切，则实数a的值为 ．
解析：设直线x－y＋1＝0与函数f(x)＝ln x－ax的图象的切点为P(x0，y0)，因为f′(x)＝eq \f(1,x)－a，所以由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0－y0＋1＝0,f′（x0）＝\f(1,x0)－a＝1,f（x0）＝ln x0－ax0＝y0))，解得a＝eq \f(1,e2)－1.
答案：eq \f(1,e2)－1
核心素养系列7 数学运算——求曲线的切线方程
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．
已知曲线y＝eq \f(1,3)x3上一点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(8,3)))，则过点P的切线方程为 ．
【解析】 (1)当P为切点时，由y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x3))′＝x2，
得y′|x＝2＝4，
即过点P的切线方程的斜率为4.
则所求的切线方程是y－eq \f(8,3)＝4(x－2)，
即12x－3y－16＝0；
(2)当P点不是切点时，设切点为Q(x0，y0)，
则切线方程为y－eq \f(1,3)xeq \\al(3,0)＝xeq \\al(2,0)(x－x0)，
因为切线过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(8,3)))，把P点的坐标代入切线方程，
求得x0＝－1或x0＝2(即点P，舍去)，
所以切点为Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,3)))，
即所求切线方程为3x－3y＋2＝0.
综上所述，过点P的切线方程为12x－3y－16＝0或3x－3y＋2＝0.
【答案】 12x－3y－16＝0或3x－3y＋2＝0
eq \a\vs4\al()
求曲线的切线问题时，要明晰所运算的对象(切线)涉及的点是“在”还是“过”，然后利用求切线方程的方法进行求解．
(1)“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标得到斜率．
(2)“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是切点，故应先设切点，求切点坐标．
1．(2019·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是 ．
解析：设A(m，n)，则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－n＝eq \f(1,m)(x－m)．
又切线过点(－e，－1)，所以有n＋1＝eq \f(1,m)(m＋e)．
再由n＝ln m，解得m＝e，n＝1.
故点A的坐标为(e，1)．
答案：(e，1)
2．(2020·安徽安庆期末改编)已知函数y＝f(x)对任意的x∈R都有f(1－x)－2f(x)＝x2－1，则f(－1)＝ ，曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线方程为 ．
解析：由题可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（1－x）－2f（x）＝x2－1，,f（x）－2f（1－x）＝（1－x）2－1，))解得f(x)＝－x2＋eq \f(2,3)x＋eq \f(2,3).所以f(－1)＝－1，f′(x)＝－2x＋eq \f(2,3)，所以f′(－1)＝eq \f(8,3)，所以曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线方程为y＋1＝eq \f(8,3)(x＋1)，即8x－3y＋5＝0.
答案：－1 8x－3y＋5＝0
[基础题组练]
1．下列求导数的运算中错误的是( )
A．(3x)′＝3xln 3
B．(x2ln x)′＝2xln x＋x
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs x,x)))′＝eq \f(xsin x－cs x,x2)
D．(sin x·cs x)′＝cs 2x
解析：选C.因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs x,x)))′＝eq \f(－xsin x－cs x,x2)，C项错误．
2．已知曲线y＝eq \f(x2,4)－3ln x的一条切线的斜率为eq \f(1,2)，则切点的横坐标为( )
A．3 B．2
C．1 D．eq \f(1,2)
解析：选A.因为y′＝eq \f(x,2)－eq \f(3,x)，令y′＝eq \f(1,2)，解得x＝3，即切点的横坐标为3.
3．已知函数f(x)可导，则eq \(lim,\s\d5(Δx→0)) eq \f(f（2＋2Δx）－f（2）,2Δx)等于( )
A．f′(x) B．f′(2)
C．f(x) D．f(2)
解析：选B.因为函数f(x)可导，
所以f′(x)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0)) eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)，
所以eq \(lim,\s\d5(Δx→0)) eq \f(f（2＋2Δx）－f（2）,2Δx)＝f′(2)．
4．函数g(x)＝x3＋eq \f(5,2)x2＋3ln x＋b(b∈R)在x＝1处的切线过点(0，－5)，则b的值为( )
A.eq \f(7,2) B.eq \f(5,2)
C.eq \f(3,2) D．eq \f(1,2)
解析：选B.当x＝1时，g(1)＝1＋eq \f(5,2)＋b＝eq \f(7,2)＋b，
又g′(x)＝3x2＋5x＋eq \f(3,x)，
所以切线斜率k＝g′(1)＝3＋5＋3＝11，
从而切线方程为y＝11x－5，
由于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(7,2)＋b))在切线上，所以eq \f(7,2)＋b＝11－5，
解得b＝eq \f(5,2).故选B.
5．已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．给出下列四个函数：①f(x)＝x2；②f(x)＝e－x；③f(x)＝ln x；④f(x)＝tan x.
其中有“巧值点”的函数的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.对于①，若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，这个方程显然有解，故①符合要求；对于②，若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，即e－x＝－e－x，此方程无解，②不符合要求；对于③，若f(x)＝ln x，则f′(x)＝eq \f(1,x)，若ln x＝eq \f(1,x)，利用数形结合法可知该方程存在实数解，③符合要求；对于④，若f(x)＝tan x，则f′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin x,cs x)))′＝eq \f(1,cs2x)，令f(x)＝f′(x)，即sin xcs x＝1，变形可sin 2x＝2，无解，④不符合要求．故选B.
6．(2020·江西南昌一模)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝x＋ln x，则f′(1)＝ ．
解析：因为f(ln x)＝x＋ln x，所以f(x)＝x＋ex，
所以f′(x)＝1＋ex，所以f′(1)＝1＋e1＝1＋e.
答案：1＋e
7．(2020·四川绵阳一诊改编)若函数f(x)＝x3＋(t－1)x－1的图象在点(－1，f(－1))处的切线平行于x轴，则t＝ ，切线方程为 ．
解析：因为函数f(x)＝x3＋(t－1)x－1，所以f′(x)＝3x2＋t－1.因为函数f(x)的图象在点(－1，f(－1))处的切线平行于x轴，所以f′(－1)＝3×(－1)2＋t－1＝2＋t＝0，解得t＝－2.此时f(x)＝x3－3x－1，f(－1)＝1，切线方程为y＝1.
答案：－2 y＝1
8．已知函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，则曲线g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为 ．
解析：由题意知，f(2)＝2×2－1＝3，所以g(2)＝4＋3＝7，因为g′(x)＝2x＋f′(x)，f′(2)＝2，所以g′(2)＝2×2＋2＝6，所以曲线g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为y－7＝6(x－2)，即6x－y－5＝0.
答案：6x－y－5＝0
9．求下列函数的导数：
(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；
(2)y＝sineq \f(x,2)(1－2cs2eq \f(x,4))；
(3)y＝eq \f(ln x,x2＋1).
解：(1)因为y＝(3x2－4x)(2x＋1)
＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，
所以y′＝18x2－10x－4.
(2)因为y＝sineq \f(x,2)(－cseq \f(x,2))＝－eq \f(1,2)sin x，
所以y′＝(－eq \f(1,2)sin x)′＝－eq \f(1,2)(sin x)′＝－eq \f(1,2)cs x.
(3)y′＝eq \f(（ln x）′（x2＋1）－ln x（x2＋1）′,（x2＋1）2)＝eq \f(\f(1,x)（x2＋1）－2xln x,（x2＋1）2)
＝eq \f(x2＋1－2x2ln x,x（x2＋1）2).
10．(2020·甘肃会宁一中模拟)已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．
(1)求P0的坐标；
(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．
解：(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1.
令3x2＋1＝4，解得x＝±1.
当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.
又点P0在第三象限，所以切点P0的坐标为(－1，－4)．
(2)因为直线l⊥l1，l1的斜率为4，所以直线l的斜率为－eq \f(1,4).
因为l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，
所以直线l的方程为y＋4＝－eq \f(1,4)(x＋1)，
即x＋4y＋17＝0.
[综合题组练]
1.如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( )
A．－1 B．0
C．3 D．4
解析：选B.由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率为－eq \f(1,3)，即f′(3)＝－eq \f(1,3)，又g(x)＝xf(x)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝0.
2．(2020·成都第二次诊断检测)若曲线y＝f(x)＝ln x＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞))
C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)
解析：选D.f′(x)＝eq \f(1,x)＋2ax＝eq \f(2ax2＋1,x)(x>0)，根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x>0)恒成立，即2a≥－eq \f(1,x2)(x>0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，＋∞)．故选D.
3．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．
(1)由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（0）＝b＝0，,f′（0）＝－a（a＋2）＝－3，))
解得b＝0，a＝－3或a＝1.
(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，
所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，
即4a2＋4a＋1>0，
所以a≠－eq \f(1,2).
所以a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)).
4．已知抛物线C：y＝－x2＋eq \f(9,2)x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．
(1)求k的值；
(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．
解：(1)设点P的坐标为(x1，y1)，
则y1＝kx1，①
y1＝－xeq \\al(2,1)＋eq \f(9,2)x1－4，②
将①代入②得xeq \\al(2,1)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k－\f(9,2)))x1＋4＝0.
因为P为切点，
所以Δ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k－\f(9,2)))eq \s\up12(2)－16＝0，得k＝eq \f(17,2)或k＝eq \f(1,2).
当k＝eq \f(17,2)时，x1＝－2，y1＝－17.
当k＝eq \f(1,2)时，x1＝2，y1＝1.
因为P在第一象限，
所以k＝eq \f(1,2).
(2)过P点作切线的垂线，
其方程为y＝－2x＋5.③
将③代入抛物线方程得，
x2－eq \f(13,2)x＋9＝0.
设Q点的坐标为(x2，y2)，则2x2＝9，
所以x2＝eq \f(9,2)，y2＝－4.
所以Q点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)，－4)).
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax
(a>0且a≠1)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax
(x>0，a>0且a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x
(x>0)
f′(x)＝eq \f(1,x)
一、知识梳理
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率eq^\(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)．
[提醒] f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.
(2)导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(3)函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq \f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)．
[提醒] 求导常见易错点：①公式(xn)′＝nxn－1与(ax)′＝axln a相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现如下错误：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq \f(f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）,[g（x）]2)，(cs x)′＝sin x.
常用结论
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数．
2．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
二、习题改编
1．(选修11P85A组T5改编)已知函数f(x)＝2xf′(1)＋xln x，则f′(1)＝( )
A．e B．1
C．－1 D．－e
答案：C
2．(选修11P85A组T6改编)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为( )
A．y＝－2x B．y＝－x
C．y＝2x D．y＝x
解析：选D.因为函数f(x)是奇函数，所以a－1＝0，得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，f(0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)x，即y＝x.故选D.
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( )
(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．( )
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( )
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )
(5)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)(1)混淆平均变化率与导数的区别；
(2)导数的运算法则运用不正确．
1．函数f(x)＝x2在区间[1，2]上的平均变化率为 ，在x＝2处的导数为 ．
解析：函数f(x)＝x2在区间[1，2]上的平均变化率为eq \f(22－12,2－1)＝3；因为f′(x)＝2x，所以f(x)在x＝2处的导数为2×2＝4.
答案：3 4
2．函数y＝eq \f(ln x,ex)的导函数为 ．
解析：y′＝eq \f(\f(1,x)ex－exln x,（ex）2)＝eq \f(1－xln x,xex).
答案：y′＝eq \f(1－xln x,xex)
导数的运算(多维探究)
角度一 求已知函数的导数
求下列函数的导数：
(1)y＝x2sin x；
(2)y＝ln x＋eq \f(1,x).
【解】 (1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cs x.
(2)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln x＋\f(1,x)))′＝(ln x)′＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))′＝eq \f(1,x)－eq \f(1,x2).
eq \a\vs4\al()
[注意] 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则先化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．
角度二 求抽象函数的导数值
已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝ ．
【解析】 因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋eq \f(1,x)，所以f′(2)＝4＋3f′(2)＋eq \f(1,2)＝3f′(2)＋eq \f(9,2)，所以f′(2)＝－eq \f(9,4).
【答案】 －eq \f(9,4)
eq \a\vs4\al()
对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．
1．下列求导运算正确的是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,ln x)))′＝x B．(x2ex)′＝2x＋ex
C．(xcs x)′＝－sin x D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))′＝1＋eq \f(1,x2)
解析：选D.对于A：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,ln x)))′＝－eq \f(1,ln2 x)·(ln x)′＝－eq \f(1,xln2 x)，
对于B：(x2ex)′＝(x2＋2x)ex，
对于C：(xcs x)′＝cs x－xsin x，
对于D：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))′＝1＋eq \f(1,x2).
2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2x·f′(2)，则f′(5)＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选C.由已知得，f′(x)＝6x＋2f′(2)，
令x＝2，得f′(2)＝－12.
再令x＝5，得f′(5)＝6×5＋2f′(2)＝30－24＝6.
3．求下列函数的导数：
(1)y＝x(ln x＋cs x)；
(2)y＝eq \f(sin x＋x,x)；
(3)y＝eq \r(x)ln x.
解：(1)y′＝ln x＋cs x＋xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－sin x))＝ln x＋cs x－xsin x＋1.
(2)y′＝eq \f(（cs x＋1）x－（sin x＋x）,x2)＝eq \f(xcs x－sin x,x2).
(3)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)·\f(1,\r(x))))ln x＋eq \r(x)·eq \f(1,x)＝eq \f(2＋ln x,2\r(x)).
导数的几何意义(多维探究)
角度一 求切线方程
(2020·湖南省湘东六校联考)已知曲线f(x)＝ex＋x2，则曲线在(0，f(0))处的切线与坐标轴围成的图形的面积为 ．
【解析】 由题意，得f′(x)＝ex＋2x，所以f′(0)＝1.又f(0)＝1，所以曲线在(0，f(0))处的切线方程为y－1＝1×(x－0)，即x－y＋1＝0，所以该切线与x，y轴的交点分别为(－1，0)，(0，1)，所以该切线与坐标轴围成的图形的面积为eq \f(1,2)×1×1＝eq \f(1,2).
【答案】 eq \f(1,2)
eq \a\vs4\al()
求曲线切线方程的步骤
(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率．
(2)由点斜式方程求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
[注意] “过”与“在”：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．
角度二 求切点坐标
若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是 ．
【解析】 设切点P的坐标为(x0，y0)，因为y′＝ln x＋1，
所以切线的斜率k＝ln x0＋1，
由题意知k＝2，得x0＝e，代入曲线方程得y0＝e.
故点P的坐标是(e，e)．
【答案】 (e，e)
【迁移探究】 (变条件)若本例变为：若曲线y＝xln x上点P处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，则该切线的方程为 ．
解析：设切点P的坐标为(x0，y0)，
因为y′＝ln x＋1，由题意得ln x0＋1＝1，
所以ln x0＝0，x0＝1，即点P(1，0)，
所以切线方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
答案：x－y－1＝0
eq \a\vs4\al()
求切点坐标的思路
已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．
角度三 已知切线方程(或斜率)求参数值
(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则( )
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
【解析】 因为y′＝aex＋ln x＋1，所以y′|x＝1＝ae＋1，所以切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，与切线方程y＝2x＋b对照，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ae＋1＝2，,b＝－1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝e－1，,b＝－1.))故选D.
【答案】 D
eq \a\vs4\al()
处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)曲线y＝2sin x＋cs x在点(π，－1)处的切线方程为( )
A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0
C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0
解析：选C.依题意得y′＝2cs x－sin x，y′|x＝π＝(2cs x－sin x)|x＝π＝2cs π－sin π＝－2，因此所求的切线方程为y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0，故选C.
2．如图，已知直线l是曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线，则直线l的方程是 ；f(2)＋f′(2)的值为 ．
解析：由图象可得直线l经过点(2，3)和(0，4)，则直线l的斜率为k＝eq \f(4－3,0－2)＝－eq \f(1,2)，可得直线l的方程为y＝－eq \f(1,2)x＋4，即为x＋2y－8＝0；
由导数的几何意义可得f′(2)＝－eq \f(1,2)，则f(2)＋f′(2)＝3－eq \f(1,2)＝eq \f(5,2).
答案：x＋2y－8＝0 eq \f(5,2)
3．(2020·郑州市第一次质量预测)已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)的图象与直线x－y＋1＝0相切，则实数a的值为 ．
解析：设直线x－y＋1＝0与函数f(x)＝ln x－ax的图象的切点为P(x0，y0)，因为f′(x)＝eq \f(1,x)－a，所以由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0－y0＋1＝0,f′（x0）＝\f(1,x0)－a＝1,f（x0）＝ln x0－ax0＝y0))，解得a＝eq \f(1,e2)－1.
答案：eq \f(1,e2)－1
核心素养系列7 数学运算——求曲线的切线方程
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．
已知曲线y＝eq \f(1,3)x3上一点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(8,3)))，则过点P的切线方程为 ．
【解析】 (1)当P为切点时，由y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x3))′＝x2，
得y′|x＝2＝4，
即过点P的切线方程的斜率为4.
则所求的切线方程是y－eq \f(8,3)＝4(x－2)，
即12x－3y－16＝0；
(2)当P点不是切点时，设切点为Q(x0，y0)，
则切线方程为y－eq \f(1,3)xeq \\al(3,0)＝xeq \\al(2,0)(x－x0)，
因为切线过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(8,3)))，把P点的坐标代入切线方程，
求得x0＝－1或x0＝2(即点P，舍去)，
所以切点为Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,3)))，
即所求切线方程为3x－3y＋2＝0.
综上所述，过点P的切线方程为12x－3y－16＝0或3x－3y＋2＝0.
【答案】 12x－3y－16＝0或3x－3y＋2＝0
eq \a\vs4\al()
求曲线的切线问题时，要明晰所运算的对象(切线)涉及的点是“在”还是“过”，然后利用求切线方程的方法进行求解．
(1)“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标得到斜率．
(2)“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是切点，故应先设切点，求切点坐标．
1．(2019·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是 ．
解析：设A(m，n)，则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－n＝eq \f(1,m)(x－m)．
又切线过点(－e，－1)，所以有n＋1＝eq \f(1,m)(m＋e)．
再由n＝ln m，解得m＝e，n＝1.
故点A的坐标为(e，1)．
答案：(e，1)
2．(2020·安徽安庆期末改编)已知函数y＝f(x)对任意的x∈R都有f(1－x)－2f(x)＝x2－1，则f(－1)＝ ，曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线方程为 ．
解析：由题可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（1－x）－2f（x）＝x2－1，,f（x）－2f（1－x）＝（1－x）2－1，))解得f(x)＝－x2＋eq \f(2,3)x＋eq \f(2,3).所以f(－1)＝－1，f′(x)＝－2x＋eq \f(2,3)，所以f′(－1)＝eq \f(8,3)，所以曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线方程为y＋1＝eq \f(8,3)(x＋1)，即8x－3y＋5＝0.
答案：－1 8x－3y＋5＝0
[基础题组练]
1．下列求导数的运算中错误的是( )
A．(3x)′＝3xln 3
B．(x2ln x)′＝2xln x＋x
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs x,x)))′＝eq \f(xsin x－cs x,x2)
D．(sin x·cs x)′＝cs 2x
解析：选C.因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs x,x)))′＝eq \f(－xsin x－cs x,x2)，C项错误．
2．已知曲线y＝eq \f(x2,4)－3ln x的一条切线的斜率为eq \f(1,2)，则切点的横坐标为( )
A．3 B．2
C．1 D．eq \f(1,2)
解析：选A.因为y′＝eq \f(x,2)－eq \f(3,x)，令y′＝eq \f(1,2)，解得x＝3，即切点的横坐标为3.
3．已知函数f(x)可导，则eq \(lim,\s\d5(Δx→0)) eq \f(f（2＋2Δx）－f（2）,2Δx)等于( )
A．f′(x) B．f′(2)
C．f(x) D．f(2)
解析：选B.因为函数f(x)可导，
所以f′(x)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0)) eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)，
所以eq \(lim,\s\d5(Δx→0)) eq \f(f（2＋2Δx）－f（2）,2Δx)＝f′(2)．
4．函数g(x)＝x3＋eq \f(5,2)x2＋3ln x＋b(b∈R)在x＝1处的切线过点(0，－5)，则b的值为( )
A.eq \f(7,2) B.eq \f(5,2)
C.eq \f(3,2) D．eq \f(1,2)
解析：选B.当x＝1时，g(1)＝1＋eq \f(5,2)＋b＝eq \f(7,2)＋b，
又g′(x)＝3x2＋5x＋eq \f(3,x)，
所以切线斜率k＝g′(1)＝3＋5＋3＝11，
从而切线方程为y＝11x－5，
由于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(7,2)＋b))在切线上，所以eq \f(7,2)＋b＝11－5，
解得b＝eq \f(5,2).故选B.
5．已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．给出下列四个函数：①f(x)＝x2；②f(x)＝e－x；③f(x)＝ln x；④f(x)＝tan x.
其中有“巧值点”的函数的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.对于①，若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，这个方程显然有解，故①符合要求；对于②，若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，即e－x＝－e－x，此方程无解，②不符合要求；对于③，若f(x)＝ln x，则f′(x)＝eq \f(1,x)，若ln x＝eq \f(1,x)，利用数形结合法可知该方程存在实数解，③符合要求；对于④，若f(x)＝tan x，则f′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin x,cs x)))′＝eq \f(1,cs2x)，令f(x)＝f′(x)，即sin xcs x＝1，变形可sin 2x＝2，无解，④不符合要求．故选B.
6．(2020·江西南昌一模)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝x＋ln x，则f′(1)＝ ．
解析：因为f(ln x)＝x＋ln x，所以f(x)＝x＋ex，
所以f′(x)＝1＋ex，所以f′(1)＝1＋e1＝1＋e.
答案：1＋e
7．(2020·四川绵阳一诊改编)若函数f(x)＝x3＋(t－1)x－1的图象在点(－1，f(－1))处的切线平行于x轴，则t＝ ，切线方程为 ．
解析：因为函数f(x)＝x3＋(t－1)x－1，所以f′(x)＝3x2＋t－1.因为函数f(x)的图象在点(－1，f(－1))处的切线平行于x轴，所以f′(－1)＝3×(－1)2＋t－1＝2＋t＝0，解得t＝－2.此时f(x)＝x3－3x－1，f(－1)＝1，切线方程为y＝1.
答案：－2 y＝1
8．已知函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，则曲线g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为 ．
解析：由题意知，f(2)＝2×2－1＝3，所以g(2)＝4＋3＝7，因为g′(x)＝2x＋f′(x)，f′(2)＝2，所以g′(2)＝2×2＋2＝6，所以曲线g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为y－7＝6(x－2)，即6x－y－5＝0.
答案：6x－y－5＝0
9．求下列函数的导数：
(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；
(2)y＝sineq \f(x,2)(1－2cs2eq \f(x,4))；
(3)y＝eq \f(ln x,x2＋1).
解：(1)因为y＝(3x2－4x)(2x＋1)
＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，
所以y′＝18x2－10x－4.
(2)因为y＝sineq \f(x,2)(－cseq \f(x,2))＝－eq \f(1,2)sin x，
所以y′＝(－eq \f(1,2)sin x)′＝－eq \f(1,2)(sin x)′＝－eq \f(1,2)cs x.
(3)y′＝eq \f(（ln x）′（x2＋1）－ln x（x2＋1）′,（x2＋1）2)＝eq \f(\f(1,x)（x2＋1）－2xln x,（x2＋1）2)
＝eq \f(x2＋1－2x2ln x,x（x2＋1）2).
10．(2020·甘肃会宁一中模拟)已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．
(1)求P0的坐标；
(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．
解：(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1.
令3x2＋1＝4，解得x＝±1.
当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.
又点P0在第三象限，所以切点P0的坐标为(－1，－4)．
(2)因为直线l⊥l1，l1的斜率为4，所以直线l的斜率为－eq \f(1,4).
因为l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，
所以直线l的方程为y＋4＝－eq \f(1,4)(x＋1)，
即x＋4y＋17＝0.
[综合题组练]
1.如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( )
A．－1 B．0
C．3 D．4
解析：选B.由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率为－eq \f(1,3)，即f′(3)＝－eq \f(1,3)，又g(x)＝xf(x)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝0.
2．(2020·成都第二次诊断检测)若曲线y＝f(x)＝ln x＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞))
C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)
解析：选D.f′(x)＝eq \f(1,x)＋2ax＝eq \f(2ax2＋1,x)(x>0)，根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x>0)恒成立，即2a≥－eq \f(1,x2)(x>0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，＋∞)．故选D.
3．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．
(1)由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（0）＝b＝0，,f′（0）＝－a（a＋2）＝－3，))
解得b＝0，a＝－3或a＝1.
(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，
所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，
即4a2＋4a＋1>0，
所以a≠－eq \f(1,2).
所以a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)).
4．已知抛物线C：y＝－x2＋eq \f(9,2)x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．
(1)求k的值；
(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．
解：(1)设点P的坐标为(x1，y1)，
则y1＝kx1，①
y1＝－xeq \\al(2,1)＋eq \f(9,2)x1－4，②
将①代入②得xeq \\al(2,1)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k－\f(9,2)))x1＋4＝0.
因为P为切点，
所以Δ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k－\f(9,2)))eq \s\up12(2)－16＝0，得k＝eq \f(17,2)或k＝eq \f(1,2).
当k＝eq \f(17,2)时，x1＝－2，y1＝－17.
当k＝eq \f(1,2)时，x1＝2，y1＝1.
因为P在第一象限，
所以k＝eq \f(1,2).
(2)过P点作切线的垂线，
其方程为y＝－2x＋5.③
将③代入抛物线方程得，
x2－eq \f(13,2)x＋9＝0.
设Q点的坐标为(x2，y2)，则2x2＝9，
所以x2＝eq \f(9,2)，y2＝－4.
所以Q点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)，－4)).
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax
(a>0且a≠1)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax
(x>0，a>0且a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x
(x>0)
f′(x)＝eq \f(1,x)
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