专题24.6直线与圆的位置关系-2021-2022学年九年级数学上册同步培优题典（解析版）【人教版】

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2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题24.6直线与圆的位置关系
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021•嘉兴）已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（　　）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【分析】根据直线上点与圆的位置关系的判定得出直线与圆的位置关系．
【解析】⊙O的半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，
∴点A在⊙O外，点B在⊙O上，
∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，
故选：D．
2．（2021•江阴市模拟）已知⊙O的圆心O到直线l的距离为5，⊙O的半径为3，则直线l和⊙O的位置关系为（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
【分析】根据圆心到直线的距离为5大于圆的半径3，则直线和圆相离．
【解析】∵⊙O的圆心O到直线l的距离为5，⊙O的半径为3，
5＞3，
∴直线和圆相离．
故选：A．
3．（2021•杨浦区三模）在平面直角坐标系中，以点A（2，1）为圆心，1为半径的圆与x轴的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
【分析】本题可先求出圆心到x轴的距离，再根据半径比较，若圆心到x轴的距离大于圆心距，x轴与圆相离；小于圆心距，x轴与圆相交；等于圆心距，x轴与圆相切．
【解析】∵点A（2，1）到x轴的距离为1，圆的半径＝1，
∴点A（2，1）到x轴的距离＝圆的半径，
∴圆与x轴相切；
故选：B．
4．（2021春•九龙坡区校级期末）在平面直角坐标系中，以点（3，﹣4）为圆心，2为半径的圆，与直线x＝1的位置关系为（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【分析】本题应将该点到直线x＝1的距离与半径对比即可判断．
【解析】∵点（3，﹣4）到直线x＝1的距离为2，半径为2，
则有2＝2，
∴这个圆与直线x＝1相切．
故选：B．
5．（2021•顺德区二模）如图，将直角三角板的直角顶点B放在⊙O上，直角边AB经过圆心O，则另一直角边BC与⊙O的位置关系为（　　）

A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【分析】根据圆的切线的判定定理即可得到BC与⊙O相切．
【解析】相切，
∵AB，BC是直角三角板的两条直角边，
∴AB⊥BC，
∵AB经过圆心O，
∴OB⊥BC，
∵点B在⊙O上，
∴BC与⊙O相切，
故选：B．
6．（2021•武进区模拟）已知⊙O的半径为5，点O到直线l的距离为3，则⊙O上到直线l的距离为2的点共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据平行线间的距离相等，先过点D作AB⊥OC，即可求得⊙O上到直线l的距离为2的点的个数．
【解析】如图，
∵⊙O的半径为5，点O到直线l的距离为3，
∴CE＝2，
过点D作AB⊥OC，垂足为D，交⊙O于A、B两点，且DE＝2，
∴⊙O上到直线l的距离为2的点为A、B、C，
∴⊙O上到直线l的距离为2的点有3个，
故选：C．

7．（2020秋•钦州期末）在平面直角坐标系中，以点（﹣2，3）为圆心，半径为3的圆一定（　　）
A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相交
C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相交，与y轴相交
【分析】由已知点（﹣2，3）可求该点到x轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系．设d为直线与圆的距离，r为圆的半径，则有若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【解析】∵点（﹣2，3）到x轴的距离是3，等于半径，
到y轴的距离是2，小于半径，
∴圆与y轴相交，与x轴相切．
故选：B．
8．（2020秋•文登区期末）以坐标原点O为圆心，1为半径作圆，直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（　　）
A．﹣1＜b＜1 B．−2＜b＜2 C．−2＜b＜0 D．0＜b＜2
【分析】求出直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限，和当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时b的值，则相交时b的值在相切时的两个b的值之间．
【解析】当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．
在y＝﹣x+b中，令x＝0时，y＝b，则与y轴的交点是（0，b），
当y＝0时，x＝b，则A的交点是（b，0），
则OA＝OB＝b，
即△OAB是等腰直角三角形，
∴AB=OA2+OB2=2b，
连接圆心O和切点C．
则OC＝1，OC⊥AB，
∴OC=12AB，
∴1=12×2b，
∴b=2，
同理，当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b=−2．
则若直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是−2＜b＜2，
故选：B．

9．（2021春•唐山月考）已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝3．则直线l与⊙O的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离或相切 D．相交或相切
【分析】先求方程的根，可得r的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解．
【解析】∵x2﹣7x+12＝0，
∴x1＝3，x2＝4，
∵⊙O的半径为一元二次方程x2﹣7x+12＝0的根，
∴r＝3或r＝4，
∵d＝3，
∴当r＝3时，d＝r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相切，
当r＝4时，d＜r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交，
故选：D．
10．（2020秋•金山区期末）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是（　　）

A．0≤r≤125 B．125≤r≤3 C．125≤r≤4 D．3≤r≤4
【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案．
【解析】过点C作CD⊥AB于点D，

∵AC＝3，BC＝4．如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，
∴AB＝5，

当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，
∴CD×AB＝AC×BC，
∴CD＝r=125，
当直线与圆如图所示也可以有交点，
∴125≤r≤4．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋•新丰县期末）圆的直径是10cm，如果圆心与直线的距离是6cm，那么该直线和圆的位置关系是　相离　．
【分析】若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【解析】根据题意，可知圆的半径为5cm．
因为圆心到直线l的距离为6cm，
d＞r，
直线和圆相离，
故答案为：相离．
12．（2020秋•抚顺期末）在平面直角坐标系xOy中，以点（﹣3，4）为圆心，4为半径的圆与y轴的位置关系为　相交　．
【分析】可先求出圆心到y轴的距离，再根据半径比较，若圆心到y轴的距离大于圆心距，y轴与圆相离；小于圆心距，y轴与圆相交；等于圆心距，y轴与圆相切．
【解析】依题意得：圆心到y轴的距离为：3＜半径4，
所以圆与y轴相交，
故答案为：相交．
13．（2020秋•龙凤区期末）已知⊙O的半径为5，直线AB与⊙O相交，则圆心O到直线AB距离d的取值范围是　0≤d＜5　．
【分析】根据直线AB和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径即可得问题答案．
【解析】∵⊙O的半径为5，直线L与⊙O相交，
∴圆心到直线AB的距离小于圆的半径，
即0≤d＜5；
故答案为：0≤d＜5．
14．（2020秋•路北区期末）已知⊙O的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是　相交　．
【分析】设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线与圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，从而得出答案．
【解析】设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，
∵d＝5，r＝6，
∴d＜r，
∴直线l与圆相交．
故答案为：相交．
15．（2020秋•广西月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，以点C为圆心r为半径作圆，如果⊙C与AB有唯一公共点，则半径r的值是　5＜r≤12或r=6013　．

【分析】作CD⊥AB于D，根据勾股定理计算出BC＝12，再利用面积法计算出CD=6013，然后根据直线与圆的位置关系得到当5＜r≤12或r=6013时，以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有唯一公共点．
【解析】∵∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，
∴BC=AB2−AC2=12，
作CD⊥AB于D，如图，
∵12CD•AB=12BC•AC＝S△ABC，
∴CD=6013，
∴以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有唯一公共点时，r的取值范围为5＜r≤12或r=6013，
故答案为：5＜r≤12或r=6013．

16．（2020•宝山区校级自主招生）矩形ABCD，AB＝3，BC＝4，联结AC，若以B为圆心，r为半径的圆与线段AC，AD，CD都有公共点，则r的取值是　r＝4　．

【分析】当⊙B经过点C时，满足条件．
【解析】如图，当r＜BC时，和CD无交点，
当r＞BC时，和AC无交点，
∴r＝BC＝4时，以B为圆心，r为半径的圆与线段AC，AD，CD都有公共点．
故答案为：r＝4．
17．（2020秋•滦南县期末）如图，∠ACB＝30°，点O是CB上的一点，且OC＝6，则以4为半径的⊙O与直线CA的公共点的个数为　2个　．

【分析】过O作OD⊥OA于D，求出CD的长，根据直线和圆的位置关系判断即可．
【解析】过O作OD⊥OA于D，
∵∠AOB＝30°，OC＝6，
∴OD=12OC＝3＜4，
∴以4为半径的⊙O与直线CA的公共点的个数为2个，
故答案为：2个．

18．（2021•慈溪市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，以C为圆心，r为半径作圆．若该圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为　r=3或2＜r≤23．　．

【分析】先根据题意画出符合的两种情况，根据勾股定理求出BC，即可得出答案．
【解析】过C作CD⊥AB于D，
在Rt△BCA中，
∵∠ACB＝90°，AC＝2，∠B＝30°，
∴AB＝4，
∴BC=AB2−AC2=42−22=23，
根据三角形的面积公式得：AB•CD＝AC•BC，
∴CD=AC⋅BCAB=2×234=3，
当圆与时AB相切时，r=3，
当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围是2＜r≤23，
综上所述：r的取值范围是r=3或2＜r≤23，
故答案为：r=3或2＜r≤23．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．⊙O的直径为10cm，圆心O到直线l的距离是：
（1）3cm；
（2）5cm；
（3）7cm．
判断直线l与⊙O有几个公共点，为什么？
【分析】①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．利用上述结论解决问题即可．
【解析】（1）∵r＝5cm，d＝3cm，
又∵5＞3，
∴直线与圆相交．

（2）∵r＝5cm，d＝5cm，
又∵5＝5，
∴直线与圆相切．

（3）∵r＝5cm，d＝7cm，
又∵5＜7，
∴直线与圆相离．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，若要以C为圆心，r为半径画⊙C，根据下列条件，求半径r的值或取值范围．
（1）直线AB与⊙C相离．
（2）直线AB与⊙C相切．
（3）直线AB与⊙C相交．

【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理得到AB＝10cm，再根据三角形的面积公式得到CD的长，然后根据圆心到AB的距离与半径的关系即可得到结论．
【解析】过C作CD⊥AB于D，
∵∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，
∴AB＝10cm，
∴CD=BC⋅ACAB=4.8cm，
（1）直线AB与⊙C相离，则r的取值范围是0＜r＜4.8cm；
（2）直线AB与⊙C相切，则r的值是r＝CD＝4.8cm；
（3）直线AB与⊙C相交，则r的取值范围是r＞4.8cm．

21．（2020秋•崇川区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y＝﹣2x+5与⊙O的位置关系怎样？

【分析】过O作OC⊥直线AB，垂足为C，作出直线y＝﹣2x+5，令x＝0求出y的值，确定出B的坐标，得到OB的长，令y＝0求出x的值，确定出A的坐标，得到OA的长，在直角三角形AOB中，利用勾股定理求出AB的长，再利用面积法求出斜边上的高OC，得到OC的长等于圆的半径1，可得出直线与圆相切．
【解析】如图所示，过O作OC⊥直线AB，垂足为C，
在直线y＝﹣2x+5中，令x＝0，解得：y=5；令y＝0，解得：x=52，
∴A（52，0），B（0，5），即OA=52，OB=5，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB=OA2+OB2=(52)2+(5)2=52，
又S△AOB=12AB•OC=12OA•OB，
∴OC=OA⋅OBAB=52×552=1，又圆O的半径为1，
则直线y＝﹣2x+5与圆O的位置关系是相切．

22．（2020秋•崇川区月考）在△ABC中，AB＝5cm，BC＝4cm，AC＝3cm．
（1）若以点C为圆心，2cm长为半径画⊙C，则直线AB与⊙C的位置关系如何？
（2）若直线AB与半径为r的⊙C相切，求r的值．
（3）若线段AB与半径为r的⊙C有唯一公共点，求r的取值范围．
【分析】（1）由勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，作CD⊥AB于D，由△ABC的面积得出CD=AC×BCAB=125＞2，即可得出结论；
（2）由切线的性质和三角形面积求出CD＝2.4cm即可；
（3）分两种情况：①圆与AB相切时，即r＝CD＝3×4÷5＝2.4；
②点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时AC＜r≤BC，即3＜r≤4．即可得出答案．
【解析】（1）∵AB＝5cm，BC＝4cm，AC＝3cm，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
作CD⊥AB于D，如图所示：
由△ABC的面积得：CD=AC×BCAB=125＞2，
∴若以点C为圆心，2cm长为半径画⊙C，则直线AB与⊙C的位置关系是相离；
（2）若直线AB与半径为r的⊙C相切，
设切点为D，则CD⊥AB，
由△ABC的面积得：CD=AC×BCAB=125=2.4，
即r＝2.4cm；
（3）∵BC＞AC，
∴以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点．
分两种情况：
①圆与AB相切时，即r＝CD＝3×4÷5＝2.4；
②点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，
此时AC＜r≤BC，即3＜r≤4．
∴r的取值范围时3＜r≤4或r＝2.4．

23．（2020•丰台区模拟）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，O是BC的中点，到点O的距离等于12BC的所有点组成的图形记为G，图形G与AB交于点D．
（1）补全图形并求线段AD的长；
（2）点E是线段AC上的一点，当点E在什么位置时，直线ED与图形G有且只有一个交点？请说明理由．

【分析】（1）由勾股定理易求得AB的长；可连接CD，由圆周角定理知CD⊥AB，易知△ACD∽△ABC，可得关于AC、AD、AB的比例关系式，即可求出AD的长．
（2）当ED与⊙O相切时，由切线长定理知EC＝ED，则∠ECD＝∠EDC，那么∠A和∠DEC就是等角的余角，由此可证得AE＝DE，即E是AC的中点．在证明时，可连接OD，证OD⊥DE即可．
【解析】（1）如图所示，在Rt△ACB中，∵AC＝3cm，BC＝4cm，∠ACB＝90°，∴AB＝5cm；
连接CD，∵BC为直径，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°；
∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB；
∴ACAB=ADAC，
∴AD=325=95；

（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切；
证明：连接OD，
∵DE是Rt△ADC的中线；
∴ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD；
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD；
∴∠EDO＝∠EDC+∠ODC＝∠ECD+∠OCD＝∠ACB＝90°；
∴ED⊥OD，
∴ED与⊙O相切．

24．（2014秋•东台市期中）已知：平面直角坐标系中，⊙A的圆心在x轴上，半径为1，⊙A沿x轴上向右平移．
（1）如图1，当⊙A与y轴相切时，点A的坐标为　（﹣1，0）和（1，0）　；
（2）如图2，设⊙A以每秒1个单位的速度从原点左侧沿x轴向右平移，直线l：y=34x−3与x轴交于点B，交y轴于点C，问：在运动过程中⊙A与直线l有公共点的时间共几秒？
【分析】（1）直接可以写出当⊙A与y轴相切时，点A的坐标，
（2）在直角三角形OBC中，OB＝4，OC＝3，由勾股定理得BC＝5，设⊙A经过x秒后与直线l相切，过A点作BC的垂线，垂足为Q，AQ＝1；①当⊙A在直线BC的左边与直线l相切时，AB＝4﹣x，根据△BAQ∽△BCO的成比例线段求解；
②当⊙A直线l的右边与直线BC切时，AB＝4﹣x，根据△BAQ∽△BCO的成比例线段求解．
【解析】（1）已知圆的半径为1，
故当⊙A与y轴左侧相切时，点A的坐标为（﹣1，0），
故当⊙A与右轴左侧相切时，点A的坐标为（1，0），
即当⊙A与y轴相切时，点A的坐标为（﹣1，0）和（1，0），

（2）∵OB＝4，OC＝3，故BC＝5，
设⊙A经过x秒后与直线BC相切，作AB的垂线，垂足为Q，则AQ＝1；
①当⊙A直线BC的左边与直线l相切时，BC＝4﹣x，
∴△BAQ∽△BCO，∴CBAC=BQAO，即4−x5=13，
解得x=73，
②当⊙A在直线的右边与直线l相切时，AB＝x﹣4；
由△BAQ∽△BCO得，BABC=AQCO，即x−45=13，
解得x=173，
在运动过程中⊙A与直线l有公共点的时间共173−73=103秒．