专题22.3二次函数的图象与性质：一般式-2021-2022学年九年级数学上册同步培优题典（解析版）【人教版】

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2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题22.3二次函数的图象与性质：一般式
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020秋•上城区期末）已知二次函数的图象过点P（1，4），对称轴为直线x＝2，则这个函数图象必过点（　　）
A．（﹣1，4） B．（0，3） C．（2，4） D．（3，4）
【分析】根据二次函数的对称性即可判断．
【解析】∵二次函数的图象过点P（1，4），对称轴为直线x＝2，
∴点P关于对称轴的对称点为（3，4），
∵点P关于对称轴的对称点必在这个函数的图象上，
∴这个函数图象必过点（3，4），
故选：D．
2．（2021•宁波模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
3
4
3
…
则下列关于该函数的判断中不正确的是（　　）
A．抛物线开口向下
B．抛物线对称轴为直线x＝1
C．当x＝﹣2时的函数值小于x＝5时的函数值
D．当﹣1＜x＜3时，y＞0
【分析】根据x＝1时的函数值最大判断出抛物线的开口方向；根据表格数据判断出函数图象关于直线x＝1，再根据函数的对称性可知当x＝﹣2时的函数值与x＝4时的函数值相同，并求出y＝0时的x的值，从而得解．
【解析】A、由图表数据可知x＝1时，y＝4最大，
所以，抛物线开口向下，正确，故本选项错误；
B、∵x＝0和x＝2时的函数值都是3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，正确，故本选项错误；
C、由图表数据可知，当x＝﹣2时的函数值与x＝4时的函数值相同，
∵x＞1时，y随x的增大而减小，
∴当x＝﹣2时的函数值应大于x＝5时的函数值，故本选项正确；
D、根据对称性，x＝﹣1和x＝3时的函数值y＝0，
所以当﹣1＜x＜3时，y＞0，正确，故本选项错误．
故选：C．
3．（2020秋•兰陵县期末）二次函数y＝﹣x2+2x+4，当﹣1≤x≤2时，则（　　）
A．1≤y≤4 B．y≤5 C．4≤y≤5 D．1≤y≤5
【分析】先根据二次函数的已知条件，得出二次函数的图象开口向上，再根据变量x在﹣1≤x≤2的范围内变化，再分别进行讨论，即可得出函数y的最大值与最小值即可确定y的取值范围．
【解析】∵二次函数y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，
∴该抛物线的对称轴为x＝1，且a＝﹣1＜0，
∴当x＝1时，二次函数有最大值为5，
∴当x＝﹣1时，二次函数有最小值为：﹣（﹣1﹣1）2+5＝1，
综上所述，二次函数y＝﹣x2+2x+4，求当﹣1≤x≤2时，1≤y≤5，
故选：D．
4．（2020秋•北仑区期中）若a＞0，则二次函数y＝ax2+2x﹣1的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据a＞0，判断抛物线开口向上，对称轴为直线x=-22a=-1a＜0，由抛物线解析式可知与y轴的交点为（0，﹣1），据此作出判断即可．
【解析】∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵对称轴直线x=-22a=-1a＜0，
∴对称轴在y轴的左侧，
由y＝ax2+2x﹣1可知，抛物线与y轴的交点为（0，﹣1），
故选：D．
5．（2021•苏州模拟）若二次函数y＝（x﹣m）2﹣1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　）
A．m＝3 B．m＞3 C．m≥3 D．m≤3
【分析】根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图象的开口方向、根据顶点式方程确定其图象的顶点坐标，从而知该二次函数的单调区间．
【解析】∵二次函数的解析式y＝（x﹣m）2﹣1的二次项系数是1，
∴该二次函数的开口方向是向上；
又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（m，﹣1），
∴该二次函数图象在[﹣∞，m]上是减函数，即y随x的增大而减小；
而已知中当x≤3时，y随x的增大而减小，
∴x≤3，
∴x﹣m≤0，
∴m≥3．
故选：C．
6.（2020•任城区三模）已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，当﹣2⩽x⩽2时，对应的函数值y的取值范围为（　　）
A．﹣5≤y≤2 B．﹣5≤y≤3 C．﹣5≤y≤4 D．﹣5≤y≤5
【分析】将其解析式配方成顶点式，再分别求出x＝﹣1、x＝2时y的值，据此可得．
【解析】y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∵x＝﹣1时，y＝4，
x＝2时，y＝﹣4﹣4+3＝﹣5，
∴当﹣2≤x≤2时，﹣5≤y≤4．
故选：C．
7．（2020•雁塔区校级模拟）已知抛物线y＝﹣x2+mx+2m，当x＜1时，y随x的增大而增大，则抛物线的顶点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据题意和二次函数的性质，可以求得m的取值范围，从而可以得到该抛物线顶点所在的象限，本题得以解决．
【解析】∵抛物线y＝﹣x2+mx+2m＝﹣（x-m2）2+m24+2m，当x＜1时，y随x的增大而增大，
∴该抛物线的对称轴是直线x=m2，开口向下，
∴m2≥1，
即m≥2，
∴m24+2m＞0，
∴该抛物线的顶点（m2，m24+2m）在第一象限，
故选：A．
8.（2020•菏泽）一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝acx+b的图象相比较看是否一致．
【解析】A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意．
故选：B．
9．（2020•稷山县校级一模）已知二次函数y＝x2﹣bx+1（﹣1≤b≤1），当b从﹣1逐渐变化到1的过程中，图象（　　）
A．先往左上方移动，再往左下方移动
B．先往左下方移动，再往左上方移动
C．先往右上方移动，再往右下方移动
D．向往右下方移动，再往右上方移动
【分析】先分别求出当b＝﹣1、0、1时函数图象的顶点坐标即可得出答案．
【解析】当b＝﹣1时，此函数解析式为：y＝x2+x+1，顶点坐标为：（-12，34）；
当b＝0时，此函数解析式为：y＝x2+1，顶点坐标为：（0，1）；
当b＝1时，此函数解析式为：y＝x2﹣x+1，顶点坐标为：（12，34）．
故函数图象应先往右上方移动，再往右下方移动．
故选：C．
10．（2020•长春模拟）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5m．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3m．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间近似满足函数关系y＝ax2+x+c（a≠0），则水流喷出的最大高度为（　　）

A．1米 B．32米 C．2米 D．138米
【分析】由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），把上述两个点坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度．
【解析】由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），
把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：
c=1.59a+3+c=0，
解得：a=-12c=32，
∴函数表达式为：y=-12x2+x+32，
=-12（x﹣1）2+2，
∵a＜0，故函数有最大值，
∴当x＝1时，y取得最大值，此时y＝2，
答：水流喷出的最大高度为2米．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋•思明区校级期末）抛物线y＝x2+4x+1的对称轴是直线x＝　﹣2　．
【分析】已知解析式为抛物线解析式的一般式，利用对称轴公式直接求解．
【解析】由对称轴公式：对称轴是直线x=-b2a，
=-42×1
＝﹣2，
故答案为﹣2．
12．（2019秋•嘉兴期末）将二次函数y＝x2﹣6x+8化成y＝a（x+m）2+k的形式是　y＝（x﹣3）2﹣1　．
【分析】直接利用配方法将原式变形进而得出答案．
【解析】y＝x2﹣6x+8
＝x2﹣6x+9﹣1
＝（x﹣3）2﹣1．
故答案为：y＝（x﹣3）2﹣1．
13．（2016•北京二模）若把函数y＝x2﹣2x﹣3化为y＝（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k＝　﹣3　．
【分析】利用配方法操作整理，然后根据对应系数相等求出m、k，再相加即可．
【解析】y＝x2﹣2x﹣3，
＝（x2﹣2x+1）﹣1﹣3，
＝（x﹣1）2﹣4，
所以，m＝1，k＝﹣4，
所以，m+k＝1+（﹣4）＝﹣3．
故答案为：﹣3．
14.（2020•立山区二模）若二次函数y＝mx2+（m﹣2）x+m的顶点在x轴上，则m＝　﹣2或23　．
【分析】根据二次函数的顶点坐标列出方程求解即可．
【解析】∵二次函数y＝mx2+（m﹣2）x+m的顶点在x轴上，
∴4m⋅m-(m-2)24m=0，
解得m＝﹣2或23．
故答案为：﹣2或23．
15（2020•玄武区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
若点P（m2﹣2，y1）、Q（m2+4，y2）在抛物线上，则y1　＞　y2．（选填“＞”、“＜”或“＝”）
【分析】由表中对应值可得到抛物线的对称轴为直线x=12，且抛物线开口向上，然后根据两点到对称轴的距离进行判断即可．
【解析】∵x＝0时，y＝6；x＝1时，y＝6，
∴抛物线的对称轴为直线x=12，且抛物线开口向下，
∵点P（m2﹣2，y1）、Q（m2+4，y2）在抛物线上，且|m2﹣2-12|＜|m2+4-12|，
∴y1＞y2，
故答案为＞．
16．（2020•海珠区一模）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣2，0）、B（1，0）两点，则该抛物线的顶点坐标是　（-12，-94）　．
【分析】利用待定系数法确定b、c的值，然后求得顶点坐标即可．
【解析】∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣2，0）、B（1，0）两点，
∴4-2b+c=01+b+c=0，
解得：b=1c=-2，
∴y＝x2+x﹣2＝（x+12）2-94，
∴顶点坐标为（-12，-94），
故答案为：（-12，-94）．
17．（2021•庐江县模拟）有一个二次函数y＝a（x﹣k）2的图象，三位同学分别说出了它的一些特点：
甲：开口向上
乙：对称轴是直线x＝2
丙：与y轴的交点到原点的距离为2
满足上述全部特点的二次函数的解析式为　y=12（x﹣2）2　．
【分析】由开口向上，可知a＞0，对称轴是直线x＝2，可得k＝2，与y轴的交点到原点的距离为2，可得与y轴的交点的坐标为（0，±2），利用待定系数法求出解析式．
【解析】∵二次函数y＝a（x﹣k）2的图象开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x＝2，
∴k＝2，
∴二次函数y＝a（x﹣k）2的解析式为y＝a（x﹣2）2，
∵与y轴的交点到原点的距离为2，
∴与y轴交于点（0，2）或（0，﹣2），
把（0，2）代入得，2＝4a，
∴a=12，
把（0，﹣2）代入得，﹣2＝4a，
∴a=-12（舍去）
∴解析式为：y=12（x﹣2）2．
故答案为：y=12（x﹣2）2．
18．（2020春•西湖区校级月考）已知一次函数y1＝﹣x，二次函数y2＝x2﹣2kx+k2﹣k（k＞0）．
（1）当x＜1时，y2的函数值随x的增大而减小，则k的最小整数值为　1　；
（2）若y＝y2﹣y1，若点M（k+2，s），N（a，b）都在函数的y图象上，且s＜b，则a的取值范围　a＜k﹣3或a＞k+2　．（用含k的式子表示）
【分析】（1）求出抛物线的对称轴的解析式，再根据二次函数的性质，列出k的不等式，进而求得k的最小整数值；
（2）代入M（k+2，s），N（a，b）求得b与s的解析式，再由s＜b列出不等式，根据二次函数与不等式的关系求得结果便可．
【解析】（1）∵二次函数y2＝x2﹣2kx+k2﹣k＝（x﹣k）2﹣k，
∴对称轴为x＝k，
∴当x≤k时，y2随x的增大而减小，
∵当x＜1时，y2的函数值随x的增大而减小，
∴k≥1，
∴k的最小整数值为：1．
故答案为：1；

（2）y＝y2﹣y1＝x2﹣2kx+k2﹣k+x＝x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣k，
∵点M（k+2，s），N（a，b）都在函数的y图象上，
∴s＝（k+2）2﹣（2k﹣1）（k+2）+k2﹣k＝6，
b＝a2﹣（2k﹣1）a+k2﹣k，
∵s＜b，
∴a2﹣（2k﹣1）a+k2﹣k＞6，
∵当a2﹣（2k﹣1）a+k2﹣k＝6时，a＝k﹣3或k+2，
∴a＜k﹣3或a＞k+2，
故答案为：a＜k﹣3或a＞k+2．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2019秋•西城区校级期中）将下列各二次函数解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点坐标．
（1）y＝x2﹣6x﹣1
（2）y＝﹣2x2﹣4x﹣6
（3）y=12x2+3x+10．
【分析】（1）加上一次项系数6的一半的平方是9，再减去9；
（2）提取二次项﹣2后，再加一次项系数2的一半的平方1，再减去1；
（3）提取二次项系数12后，再加上一次项系数6的一半的平方9，再减去9．
【解析】（1）y＝x2﹣6x﹣1＝x2﹣6x+9﹣9﹣1＝（x﹣3）2﹣10，
∴顶点（ 3，﹣10 ）；
（2）y＝﹣2x2﹣4x﹣6＝﹣2（x2+2x+1﹣1）﹣6＝﹣2（x+1）2﹣4，
顶点（﹣1，﹣4 ）；
（3）y=12x2+3x+10=12（x2+6x+9﹣9）+10=12（x+3）2+112，
顶点（﹣3，112 ）．
20．（2020秋•石城县期末）已知抛物线y＝x2﹣2mx+3m+4
（1）抛物线经过原点时，求m的值；
（2）顶点在x轴上时，求m的值．
【分析】（1）二次函数y＝ax2+bx+c经过原点则c＝0，从而求得m的值；
（2）二次函数y＝ax2+bx+c的顶点在x轴上则b2﹣4ac＝0，从而求得m的值．
【解析】（1）∵抛物线y＝x2﹣2mx+3m+4经过原点，
∴3m+4＝0，解得：m=-43；
（2）∵抛物线y＝x2﹣2mx+3m+4顶点在x轴上，
∴b2﹣4ac＝0，
∴（﹣2m）2﹣4×1×（3m+4）＝0，
解得：m＝4或m＝﹣1．
21．（2019秋•大观区校级期中）当x＝1时，二次函数y＝ax2+bx+c取得最小值为﹣3，且函数图象与y轴交于点C（0，1）
（1）求此函数解析式；
（2）若A（m，y1），B（m+2，y2）两点都在函数图象上，且y1＜y2，直接写出m的取值范围　m＞0　．
【分析】（1）根据题意设函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，然后代入点C（0，1），利用待定系数法即可求得；
（2）分别把A（m，y1），B（m+2，y2）两点代入y＝4（x﹣1）2﹣3，得到y2﹣y1＝[4（m+1）2﹣3]﹣[4（m﹣1）2﹣3]＝16m＞0，解得即可．
【解析】（1）∵x＝1时，二次函数y＝ax2+bx+c取得最小值为﹣3，
∴抛物线开口向上，顶点为（1，﹣3），
设函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，代入点C（0，1）得，1＝a﹣3，
解得a＝4，
∴此函数解析式为y＝4（x﹣1）2﹣3；
（2）∵A（m，y1），B（m+2，y2）两点都在函数y＝4（x﹣1）2﹣3的图象上，
∴y1＝4（m﹣1）2﹣3；，y2＝4（m+1）2﹣3，
∵y1＜y2，
∴y2﹣y1＝[4（m+1）2﹣3]﹣[4（m﹣1）2﹣3]＝16m＞0，
∴m＞0，
∴m＞0时，y1＜y2，
故答案为m＞0．
22．（2019秋•西城区校级期中）已知二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3．
（1）与x轴的交点坐标是　（﹣1，0），（3，0）　，顶点坐标是　（1，﹣4）　；
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
x
…





…
y
…





…
（3）结合图象回答：当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围是　当﹣2＜x＜1时，﹣4＜y＜5；当1＜x＜2时，﹣4＜y＜﹣3　．

【分析】（1）根据抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可以求得抛物线与x轴和y轴的交点；
（2）根据第一问中的三个坐标和二次函数图象具有对称性，在表格中填入合适的数据，然后再描点作图即可；
（3）根据第二问中的函数图象结合对称轴可以直接写出答案．
【解析】（1）令y＝0，则0＝x2﹣2x﹣3．
解得x1＝﹣1，x2＝3．
抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交点的坐标为（﹣1，0），（3，0）．
y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）x2﹣4，
所以它的顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）列表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…
图象如图所示：
；
（3）当﹣2＜x＜1时，﹣4＜y＜5；
当1＜x＜2时，﹣4＜y＜﹣3．
23．（2020•湖北）把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2．
（1）直接写出抛物线C2的函数关系式；
（2）动点P（a，﹣6）能否在抛物线C2上？请说明理由；
（3）若点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．
【分析】（1）根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解；
（2）根据二次函数的最小值即可判断；
（3）根据二次函数的性质可以求得y1与y2的大小．
【解析】（1）∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，
∴把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2：y＝（x+1﹣4）2+2﹣5，即y＝（x﹣3）2﹣3，
∴抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3．
（2）动点P（a，﹣6）不在抛物线C2上，理由如下：
∵抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3，
∴函数的最小值为﹣3，
∵﹣6＜﹣3，
∴动点P（a，﹣6）不在抛物线C2上；
（3）∵抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3，
∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝3，
∴当x＜3时，y随x的增大而减小，
∵点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n＜0＜3，
∴y1＞y2．
24．（2019秋•赣县区期末）已知，在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝﹣2x与二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象交于点A（﹣1，m）．
（1）求m，c的值；
（2）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
【分析】（1）将点A的坐标（﹣1，m）代入正比例函数的解析式求出m的值，再将求出的点A的坐标代入二次函数的解析式就可以求出c的值；
（2）将求出的二次函数的解析式的一般式化为顶点式就直接求出抛物线的对称轴和顶点坐标．
【解析】（1）∵点A（﹣1，m）在函数y＝﹣2x的图象上，
∴m＝﹣2×（﹣1）＝2，
∴点A坐标为（﹣1，2），
∵点A在二次函数图象上，
∴﹣1﹣2+c＝2，
解得c＝5；

（2）∵二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+5，
∴y＝﹣x2+2x+5＝﹣（x﹣1）2+6，
∴对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，6）．