2023届高考一轮复习讲义（理科）第二章　函数概念与基本初等函数 第5讲　指数与指数函数学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（理科）第二章　函数概念与基本初等函数 第5讲　指数与指数函数学案，共16页。

[学生用书P23]
一、知识梳理
1．根式
(1)根式的概念
①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
②a的n次方根的表示：
xn＝a⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\r(n,a)，当n为奇数且n∈N*，n>1时，,x＝±\r(n,a)，当n为偶数且n∈N*时.))
(2)根式的性质
①(eq \r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1)；
②eq \r(n,an)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，n为奇数，,|a|＝\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a<0，))n为偶数.))
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：aeq \s\up6(\f(m,n))＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
②负分数指数幂：a－eq \s\up6(\f(m,n))＝eq \f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．
(2)有理数指数幂的运算性质
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．指数函数的图象与性质
常用结论
1．指数函数图象的画法
画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a))).
2.
指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大．
3．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0二、习题改编
1．(必修1P59A组T4改编)化简eq \r(4,16x8y4)(x<0，y<0)＝________．
解析：因为x<0，y<0，所以4eq \r(16x8y4)＝(16x8·y4)eq \s\up6(\f(1,4))＝(16)eq \s\up6(\f(1,4))·(x8)eq \s\up6(\f(1,4))·(y4)eq \s\up6(\f(1,4))＝2x2|y|＝－2x2y.
答案：－2x2y
2．(必修1P55“思考”改编)函数y＝2x与y＝2－x的图象关于________对称．
解析：作出y＝2x与y＝2－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)的图象(图略)，观察可知其关于y轴对称．
答案：y轴
3．(必修1P56例6改编)已知函数f(x)＝ax－2＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，则A的坐标为________．
解析：令x－2＝0，则x＝2，f(2)＝3，即A的坐标为(2，3)．
答案：(2，3)
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)eq \r(n,an)＝(eq \r(n,a))n＝a.( )
(2)(－1)eq \s\up6(\f(2,4))＝(－1)eq \s\up6(\f(1,2))＝eq \r(－1).( )
(3)函数y＝a－x是R上的增函数．( )
(4)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．( )
(5)函数y＝2x－1是指数函数．( )
(6)若am0，且a≠1)，则m答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)×
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(Ｋ))(1)忽略n的范围导致式子eq \r(n,an)(a∈R)化简出错；
(2)不能正确理解指数函数的概念致错；
(3)指数函数问题时刻注意底数的两种情况；
(4)复合函数问题容易忽略指数函数的值域致错．
1．计算eq \r(3,（1＋\r(2)）3)＋eq \r(4,（1－\r(2)）4)＝________．
解析：eq \r(3,（1＋\r(2)）3)＋eq \r(4,（1－\r(2)）4)＝(1＋eq \r(2))＋(eq \r(2)－1)＝2eq \r(2).
答案：2eq \r(2)
2．若函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则a＝________．
解析：由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0答案：2
3．若函数f(x)＝ax在[－1，1]上的最大值为2，则a＝________．
解析：当a>1时，a＝2；当0即a＝eq \f(1,2).
答案：2或eq \f(1,2)
4．函数y＝2eq \s\up6(\f(1,x－1))的值域为________．
解析：因为eq \f(1,x－1)≠0，
所以2eq \s\up6(\f(1,x－1))>0且2eq \s\up6(\f(1,x－1))≠1.
答案：(0，1)∪(1，＋∞)
[学生用书P24])
指数幂的化简与求值(自主练透)
1．化简eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(－\f(1,2))·eq \f(（\r(4ab－1)）3,（0.1）－1·（a3·b－3）\s\up6(\f(1,2)))(a>0，b>0)＝________．
解析：原式＝2×eq \f(23·a\s\up6(\f(3,2))·b－\s\up6(\f(3,2)),10·a\s\up6(\f(3,2))·b－\s\up6(\f(3,2)))＝21＋3×10－1＝eq \f(8,5).
答案：eq \f(8,5)
2．计算：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(27,8)))eq \s\up12(－\f(2,3))＋0.002－eq \s\up6(\f(1,2))－10(eq \r(5)－2)－1＋π0＝________．
解析：原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))eq \s\up12(－2)＋500eq \s\up6(\f(1,2))－eq \f(10（\r(5)＋2）,（\r(5)－2）（\r(5)＋2）)＋1＝eq \f(4,9)＋10eq \r(5)－10eq \r(5)－20＋1＝－eq \f(167,9).
答案：－eq \f(167,9)
3．化简：eq \f(a\s\up6(\f(4,3))－8a\s\up6(\f(1,3))b,4b\s\up6(\f(2,3))＋2\r(3,ab)＋a\s\up6(\f(2,3)))÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\s\up6(\f(2,3))－\f(2\r(3,b),a)))×eq \f(\r(a·\r(3,a2)),\r(5,\r(a)·\r(3,a)))＝________(a>0)．
解析：原式＝eq \f(a\s\up6(\f(1,3))[（a\s\up6(\f(1,3))）3－（2b\s\up6(\f(1,3))）3],（a\s\up6(\f(1,3))）2＋a\s\up6(\f(1,3))·（2b\s\up6(\f(1,3))）＋（2b\s\up6(\f(1,3))）2)÷eq \f(a\s\up6(\f(1,3))－2b\s\up6(\f(1,3)),a)×eq \f(（a·a\s\up6(\f(2,3))）\s\up6(\f(1,2)),（a\s\up6(\f(1,2))·a\s\up6(\f(1,3))）\s\up6(\f(1,5)))＝aeq \s\up6(\f(1,3))(aeq \s\up6(\f(1,3))－2beq \s\up6(\f(1,3)))×eq \f(a,a\s\up6(\f(1,3))－2b\s\up6(\f(1,3)))×eq \f(a\s\up6(\f(5,6)),a\s\up6(\f(1,6)))＝a2.
答案：a2
eq \a\vs4\al()
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
[提醒] 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．
指数函数的图象及应用(典例迁移)
(1)函数f(x)＝21－x的大致图象为( )
(2)若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________．
【解析】 (1)函数f(x)＝21－x＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)，单调递减且过点(0，2)，选项A中的图象符合要求．
(2)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．
由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围为(－∞，0]．
【答案】 (1)A (2)(－∞，0]
【迁移探究1】 (变条件)本例(2)变为：若函数f(x)＝|3x－1|－k有一个零点，则k的取值范围为________．
解析：
函数f(x)有一个零点，即y＝|3x－1|与y＝k有一个交点．由本例(2)得y＝|3x－1|的图象如图所示，
故当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以函数f(x)有一个零点．
答案：{0}∪[1，＋∞)
【迁移探究2】 (变条件)若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________．
解析：作出函数y＝|3x－1|＋m的图象如图所示．
由图象知m≤－1，即m∈(－∞，－1]．
答案：(－∞，－1]
eq \a\vs4\al()
应用指数函数图象的4个技巧
(1)画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a))).
(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(3)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(4)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
1.
函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．00 D．0解析：选D.由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以02．若关于x的方程|ax－1|＝2a(a＞0，且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是________．
解析：方程|ax－1|＝2a(a＞0，且a≠1)有两个不等实根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点．
(1)当0＜a＜1时，如图①，所以0＜2a＜1，即
0＜a＜eq \f(1,2)；
(2)当a＞1时，如图②，而y＝2a＞1不符合要求．
所以0＜a＜eq \f(1,2).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
指数函数的性质及应用(多维探究)
角度一 指数函数单调性的应用
(1)已知a＝2eq \s\up6(\f(4,3))，b＝4eq \s\up6(\f(2,5))，c＝25eq \s\up6(\f(1,3))，则( )
A．bC．b(2)若f(x)＝ex－ae－x为奇函数，则满足f(x－1)＞eq \f(1,e2)－e2的x的取值范围是( )
A．(－2，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(3，＋∞)
【解析】 (1)因为a＝2eq \s\up6(\f(4,3))，b＝4eq \s\up6(\f(2,5))＝2eq \s\up6(\f(4,5))，由函数y＝2x在R上为增函数知，b(2)由f(x)＝ex－ae－x为奇函数，得f(－x)＝－f(x)，即e－x－aex＝ae－x－ex，得a＝1，所以f(x)＝ex－e－x，则f(x)在R上单调递增，又f(x－1)＞eq \f(1,e2)－e2＝f(－2)，所以x－1＞－2，解得x＞－1，故选B.
【答案】 (1)A (2)B
角度二 指数型复合函数的单调性
(1)函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－x2＋2x＋1)的单调递减区间为________．
(2)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．
【解析】 (1)设u＝－x2＋2x＋1，
因为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(u)在R上为减函数，
所以函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－x2＋2x＋1)的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．
又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，
所以f(x)的减区间为(－∞，1]．
(2)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)，＋∞))上单调递增，在区间eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(m,2)))上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有eq \f(m,2)≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．
【答案】 (1)(－∞，1] (2)(－∞，4]
角度三 指数函数性质的综合问题
已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(ax2－4x＋3).
(1)若f(x)有最大值3，求a的值；
(2)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．
【解】 (1)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(g（x）)，
由于f(x)有最大值3，
所以g(x)应有最小值－1，
因此必有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＞0，,\f(3a－4,a)＝－1，))解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.
(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(g（x）)，
由指数函数的性质知，
要使y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(g（x）)的值域为(0，＋∞)．
应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，
因此只能a＝0.(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)
故f(x)的值域为(0，＋∞)时，a的值为0.
eq \a\vs4\al()
(1)利用指数函数的性质比较大小或解不等式，最重要的是“同底”原则．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
1．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是 ( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
解析：选C.因为指数函数y＝0.6x在(－∞，＋∞)上为减函数，
所以0.60.6＞0.61.5，即a＞b，
又0＜0.60.6＜1，1.50.6＞1，
所以a＜c，
故选C.
2．若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________．
解析：因为f(x)为偶函数，
当x<0时，－x>0，则f(x)＝f(－x)＝2－x－4.
所以f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－4，x≥0，,2－x－4，x<0))
当f(x－2)>0时，有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2≥0，,2x－2－4>0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2<0，,2－x＋2－4>0，))
解得x>4或x<0.
所以不等式的解集为{x|x>4或x<0}．
答案：{x|x>4或x<0}
3．已知函数f(x)＝eq \f(ax－1,ax＋1)(a>0且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域和值域；
(2)讨论f(x)的奇偶性；
(3)讨论f(x)的单调性．
解：(1)f(x)的定义域是R，令y＝eq \f(ax－1,ax＋1)，得ax＝－eq \f(y＋1,y－1)，因为eq \f(ax－1,ax＋1)≠1在定义域内恒成立，所以y≠1.
因为ax>0，所以－eq \f(y＋1,y－1)>0，
解得－1所以f(x)的值域为(－1，1)．
(2)因为f(－x)＝eq \f(a－x－1,a－x＋1)＝eq \f(1－ax,1＋ax)＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
(3)f(x)＝eq \f(（ax＋1）－2,ax＋1)＝1－eq \f(2,ax＋1).
设x1，x2是R上任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝eq \f(2,ax2＋1)－eq \f(2,ax1＋1)
＝eq \f(2（ax1－ax2）,（ax1＋1）（ax2＋1）).
因为x1所以当a>1时，a x2>ax1>0，
从而ax1＋1>0，a x2＋1>0，ax1－a x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)当0a x2>0，
从而ax1＋1>0，a x2＋1>0，ax1－a x2>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，f(x)为R上的减函数．
[学生用书P337(单独成册)]
[基础题组练]
1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是( )
解析：选A.将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质．
2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知a＝lg20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A．aC．c解析：选B.因为a＝lg20.2<0，b＝20.2>1，c＝0.20.3∈(0，1)，所以a3．(2020·安徽皖江名校模拟)若ea＋πb≥e－b＋π－a，则有( )
A．a＋b≤0 B．a－b≥0
C．a－b≤0 D．a＋b≥0
解析：选D.令f(x)＝ex－π－x，则f(x)在R上单调递增，因为ea＋πb≥e－b＋π－a，所以ea－π－a≥e－b－πb，则f(a)≥f(－b)，所以a≥－b，即a＋b≥0.故选D.
4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－2－x，x≥0，,2x－1，x<0，))则函数f(x)是( )
A．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增
B．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减
C．奇函数，且单调递增
D．奇函数，且单调递减
解析：选C.易知f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝1－2－x，－f(x)＝2－x－1，此时－x<0，则f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；当x<0时，f(x)＝2x－1，－f(x)＝1－2x，此时－x>0，则f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．即函数f(x)是奇函数，且单调递增，故选C.
5．设x>0，且1A．0C．1解析：选C.因为1因为x>0，所以b>1，
因为bx1，
因为x>0，所以eq \f(a,b)>1，
所以a>b，所以16．函数y＝ax－b(a>0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围是________．
解析：因为函数y＝ax－b的图象经过第二、三、四象限，所以函数y＝ax－b单调递减且其图象与y轴的交点在y轴的负半轴上．令x＝0，则y＝a0－b＝1－b，由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(01.))故ab∈(0，1)．
答案：(0，1)
7．不等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x2＋ax)解析：由题意，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)是减函数，
因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x2＋ax)所以x2＋ax>2x＋a－2恒成立，
所以x2＋(a－2)x－a＋2>0恒成立，
所以Δ＝(a－2)2－4(－a＋2)<0，
即(a－2)(a－2＋4)<0，
即(a－2)(a＋2)<0，
故有－2答案：(－2，2)
8．已知实数a，b满足等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(a)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(b)，下列五个关系式：
①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.
其中可能成立的关系式有________．(填序号)
解析：
函数y1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)与y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)的图象如图所示．
由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(a)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(b)得，a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0.
故①②⑤可能成立，③④不可能成立．
答案：①②⑤
9．设f(x)＝eq \f(x（1－2x）,1＋2x).
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)讨论函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性．
解：(1)根据题意，f(x)＝eq \f(x（1－2x）,1＋2x)，
则f(－x)＝eq \f(（－x）（1－2－x）,1＋2－x)＝eq \f(（－x）（2x－1）,2x＋1)＝eq \f(x（1－2x）,1＋2x)＝f(x)，
所以函数f(x)为偶函数．
(2)因为f(x)＝eq \f(x（1－2x）,1＋2x)＝－x＋eq \f(2x,2x＋1)，
所以f′(x)＝－1＋eq \f(2（2x＋1）－2x（2xln 2）,（2x＋1）2)＝－1＋eq \f(2,2x＋1)－eq \f(2x（2xln 2）,（2x＋1）2)，
因为x＞0，所以2x＋1＞2，
所以eq \f(2,2x＋1)＜1，
所以－1＋eq \f(2,2x＋1)＜0，
所以f′(x)＜0，
故函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．
10．已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1)当a＝1时，求函数f(x)在x∈[－3，0]上的值域；
(2)若关于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1
＝2(2x)2－2x－1，
令t＝2x，x∈[－3，0]，则t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，1)).
故y＝2t2－t－1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,4)))eq \s\up12(2)－eq \f(9,8)，
t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，1))，故值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(9,8)，0)).
(2)关于x的方程2a(2x)2－2x－1＝0有解，
设2x＝m>0，
等价于方程2am2－m－1＝0在(0，＋∞)上有解，
记g(m)＝2am2－m－1，
当a＝0时，解为m＝－1<0，不成立．
当a<0时，开口向下，对称轴m＝eq \f(1,4a)<0，
过点(0，－1)，不成立．
当a>0时，开口向上，
对称轴m＝eq \f(1,4a)>0，过点(0，－1)，必有一个根为正，综上得a>0.
[综合题组练]
1．已知0A．ba B．aa
C．ab D．bb
解析：选C.因为0aa，ba又因为y＝xb在(0，＋∞)上为增函数，所以ab>bb，所以在ab，ba，aa，bb中最大的是ab.故选C.
2．已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( )
A．a<0，b<0，c<0
B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c
D．2a＋2c<2
解析：选D.
作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，
因为af(c)>f(b)，
结合图象知，00，
所以0<2a<1.
所以f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，
所以f(c)<1，所以0所以1<2c<2，所以f(c)＝|2c－1|＝2c－1，
又因为f(a)>f(c)，
所以1－2a>2c－1，
所以2a＋2c<2，故选D.
3．设y＝f(x)在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义fK(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（x），f（x）≤K，,K，f（x）>K.))给出函数f(x)＝2x＋1－4x，若对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则( )
A．K的最大值为0
B．K的最小值为0
C．K的最大值为1
D．K的最小值为1
解析：选D.根据题意可知，对于任意x∈(－∞，1]，若恒有fK(x)＝f(x)，则f(x)≤K在x≤1上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K即可．
令2x＝t，则t∈(0，2]，f(t)＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，可得f(t)的最大值为1，所以K≥1，故选D.
4．设a>0，且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1，1]上的最大值是14，则实数a的值为________．
解析：令t＝ax(a>0，且a≠1)，
则原函数化为y＝f(t)＝(t＋1)2－2(t>0)．
①当0此时f(t)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a，\f(1,a)))上为增函数．
所以f(t)max＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋1))eq \s\up12(2)－2＝14.
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋1))eq \s\up12(2)＝16，解得a＝－eq \f(1,5)(舍去)或a＝eq \f(1,3).
②当a>1时，x∈[－1，1]，t＝ax∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，a))，
此时f(t)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，a))上是增函数．所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)．综上得a＝eq \f(1,3)或3.
答案：eq \f(1,3)或3
5．已知定义域为R的函数f(x)＝eq \f(－2x＋b,2x＋1＋a)是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，
即eq \f(－1＋b,2＋a)＝0，解得b＝1，
所以f(x)＝eq \f(－2x＋1,2x＋1＋a).
又由f(1)＝－f(－1)知eq \f(－2＋1,4＋a)＝－eq \f(－\f(1,2)＋1,1＋a)，解得a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝eq \f(－2x＋1,2x＋1＋2)＝－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2x＋1)，
由上式易知f(x)在R上为减函数，
又因为f(x)是奇函数，
从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．
因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.
即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，
从而Δ＝4＋12k<0，
解得k<－eq \f(1,3).
故k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,3))).
y＝ax (a>0且a≠1)
a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)
当x>0时，y>1；当x<0时，0当x>0时，01
在R上是增函数
在R上是减函数