还剩18页未读，
继续阅读
湖南省永州市道县2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷（word版 含答案）
展开
这是一份湖南省永州市道县2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷（word版 含答案），共21页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．一元二次方程2x2+3x＝7的一般形式为（ ）
A．2x2﹣7＝﹣3xB．2x2+3x+7＝0C．2x2+3x﹣7＝0D．2x2＝7﹣3x
2．对于反比例函数y＝，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣2）
B．图象在二、四象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
3．如图，点P在反比例函数y＝的图象上，PA⊥x轴于点A，若△PAO的面积为4，那么k的值为（ ）
A．2B．4C．8D．﹣4
4．某药品经过两次降价，每瓶零售价由128元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A．128（1+x）2＝108B．128（1﹣x2）＝108
C．128（1+x2）＝108D．128（1﹣x）2＝108
5．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k＞﹣1且k≠0D．k≥﹣1且k≠0
6．下列说法正确的是（ ）
A．相似图形一定是位似图形
B．一条线段的黄金分割点只有一个
C．两个边数相同的正多边形是相似图形
D．相似三角形对应角的平分线的比等于对应边上高的比的平方
7．如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，△BCF的面积为4，则△DEF的面积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC＝3m，则坡面AB的长度是（ ）
A．9mB．6mC．mD．m
9．已知A、B两点的坐标分别为（﹣6，3）、（﹣12，8），△ABO与△A′B′O是以原点O为位似中心的位似图形，若点A′的坐标为（2，﹣1），则点B′的坐标为（ ）
A．（﹣4，）B．（﹣6，4）C．（4，﹣）D．（6，﹣4）
10．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）
A．+1B．﹣1C．D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分；请将答案填在答题卡的答案栏内）
11．已知2a＝3b，则的值为 ．
12．一元二次方程x2﹣3x＝0的解是 ．
13．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则d＝ cm．
14．已知关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣3x+m2﹣1＝0有一个根是0，则m的值为 ．
15．已知一个三角形的两边长为3和4，若第三边长是方程x2﹣12x+35＝0的一个根，则第三条边是 ．
16．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则EC的长为 ．
17．已知某实验区甲、乙品种水稻的平均产量相等．且甲、乙品种水稻产量的方差分别为S甲2＝79.6，S乙2＝68.5．由此可知：在该地区 种水稻更具有推广价值．
18．如图，在△ABC中，点D为边AC上的一点，选择下列条件：①∠2＝∠A；②∠1＝∠CBA；③＝；④＝＝中的一个，不能得出△ABC和△BCD相似的是： （填序号）．
三、解答题（本大题共8个小题，共78分，解答题要求写出必要的文字说明或解答过程）
19．计算：（﹣1）0+（﹣1）2021﹣tan30°﹣4sin260°．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D点，若AD＝1，BD＝4，求CD的长．
21．为了庆祝“建党100周年”，道县某中学组织全校学生进行“党史知识”竞赛，该校德育处随机抽取部分学生的竞赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格，并绘制成两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）德育处一共随机抽取了 名学生的竞赛成绩；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1400名学生，估计该校大约有多少名学生在这次竞赛中成绩优秀？
22．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（﹣2，1）、B（1，a）两点．
（1）分别求出反比例函数与一次函数的关系式；
（2）观察图象，直接写出当反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围．
23．某店只销售某种进价为40元/kg的特产．已知该店按60元/kg出售时，平均每天可售出100kg，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10kg．若该店销售这种特产计划平均每天获利2240元．
（1）每千克该特产应降价多少元？
（2）为尽可能让利于顾客，则该店应按原售价的几折出售？
24．为缅怀北宋著名哲学家、宋明理学的开山鼻祖周敦颐（1017﹣1073），弘扬道州优秀的传统文化，道州人民在敦颐广场塑了一座周敦颐铜像．小聪为了测量铜像的高度，如图，先在敦颐广场的地面E处用高为1.51米的测角仪AE，测得塔顶C的仰角为30°，再向塔身前进10米到达H处，又测得塔顶C的仰角为60°，请你计算出铜像的高度CF．（≈1.732，结果精确到0.01m）
25．如图，将矩形纸片ABCD（AD＞DC）的点A沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为E，折痕交AB边于点F．
（1）若BE＝1，EC＝2，则sin∠EDC＝ ；
（2）若BE：EC＝1：4，CD＝9，求BF的长；
（3）若BE：EC＝m：n，求AF：FB（用含有m、n的代数式表示）．
26．已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE＝45°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为正确的选项用2B铅笔填涂到答题卡上）
1．一元二次方程2x2+3x＝7的一般形式为（ ）
A．2x2﹣7＝﹣3xB．2x2+3x+7＝0C．2x2+3x﹣7＝0D．2x2＝7﹣3x
【分析】方程移项，整理为一般形式即可．
解：方程2x2+3x＝7，
移项得：2x2+3x﹣7＝0．
故选：C．
2．对于反比例函数y＝，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣2）
B．图象在二、四象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
【分析】根据反比例函数的性质得出函数增减性以及所在象限和经过的点的特点分别分析得出即可．
解：A、∵反比例函数y＝，∴xy＝2，故图象经过点（1，2），故此选项错误；
B、∵k＞0，∴图象在第一、三象限，故此选项错误；
C、∵k＞0，∴x＞0时，y随x的增大而减小，故此选项错误；
D、∵k＞0，∴x＜0时，y随x增大而减小，故此选项正确．
故选：D．
3．如图，点P在反比例函数y＝的图象上，PA⊥x轴于点A，若△PAO的面积为4，那么k的值为（ ）
A．2B．4C．8D．﹣4
【分析】由△PAO的面积为4可得|k|＝4，再结合图象经过的是第一、三象限，从而可以确定k值．
解：∵S△PAO＝4，
∴|x•y|＝4，即|k|＝4，则|k|＝8，
∵图象经过第一、三象限，
∴k＞0，
∴k＝8，
故选：C．
4．某药品经过两次降价，每瓶零售价由128元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A．128（1+x）2＝108B．128（1﹣x2）＝108
C．128（1+x2）＝108D．128（1﹣x）2＝108
【分析】利用该药品经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣每次降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：依题意得：128（1﹣x）2＝108．
故选：D．
5．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k＞﹣1且k≠0D．k≥﹣1且k≠0
【分析】方程有实数根，则根的判别式△≥0，且二次项系数不为零．
解：∵Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×k×（﹣1）≥0，
解上式得，k≥﹣1，
∵二次项系数k≠0，
∴k≥﹣1且k≠0．
故选：D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．相似图形一定是位似图形
B．一条线段的黄金分割点只有一个
C．两个边数相同的正多边形是相似图形
D．相似三角形对应角的平分线的比等于对应边上高的比的平方
【分析】根据位似图形的概念、黄金分割的概念、相似多边形的判定、相似三角形的性质判断即可．
解：A、位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形，本选项说法错误，不符合题意；
B、一条线段的黄金分割点有两个，本选项说法错误，不符合题意；
C、两个边数相同的正多边形是相似图形，本选项说法正确，符合题意；
D、相似三角形对应角的平分线的比等于对应边上高的比，本选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
7．如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，△BCF的面积为4，则△DEF的面积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，AD＝BC，即可证得△DEF∽△BCF，又由E为AD的中点，△BCF的面积为4，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△DEF的面积．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△DEF∽△BCF，
∵E为AD的中点，
∴DE＝AD，
∴DE：BC＝1：2，
∴S△DEF：S△BCF＝1：4，
∵△BCF的面积为4，
∴△DEF的面积为1．
故选：A．
8．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC＝3m，则坡面AB的长度是（ ）
A．9mB．6mC．mD．m
【分析】在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．
解：在Rt△ABC中，BC＝3米，tanA＝1：；
∴AC＝BC÷tanA＝3米，
∴AB＝＝6米．
故选：B．
9．已知A、B两点的坐标分别为（﹣6，3）、（﹣12，8），△ABO与△A′B′O是以原点O为位似中心的位似图形，若点A′的坐标为（2，﹣1），则点B′的坐标为（ ）
A．（﹣4，）B．（﹣6，4）C．（4，﹣）D．（6，﹣4）
【分析】根据题意求出△ABO与△A′B′O的相似比，根据位似变换的性质计算即可．
解：∵△ABO与△A′B′O是以原点O为位似中心的位似图形，点A的坐标为（﹣6，3）、点A′的坐标为（2，﹣1），
∴△ABO与△A′B′O的相似比为，且两个三角形在不同象限，
∵点B的坐标为（﹣12，8），
∴点B′的坐标为（﹣12×（﹣），8×（﹣）），即点B′的坐标为（4，﹣），
故选：C．
10．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）
A．+1B．﹣1C．D．
【分析】在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝，根据tan22.5°＝计算即可．
解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，
设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝，
∴tan22.5°＝＝＝﹣1，
故选：B．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分；请将答案填在答题卡的答案栏内）
11．已知2a＝3b，则的值为 ．
【分析】根据比例的基本性质进行计算即可．
解：∵2a＝3b，
∴＝，
故答案为：．
12．一元二次方程x2﹣3x＝0的解是 x1＝0，x2＝3 ．
【分析】首先利用提取公因式法分解因式，由此即可求出方程的解．
解：x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
∴x1＝0，x2＝3．
故答案为：x1＝0，x2＝3．
13．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则d＝ 4 cm．
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad＝cb，将a，b及c的值代入即可求得d．
【解答】解；已知a，b，c，d是成比例线段，
根据比例线段的定义得：ad＝cb，
代入a＝3，b＝2，c＝6，
解得：d＝4，
则d＝4cm．
故答案为：4
14．已知关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣3x+m2﹣1＝0有一个根是0，则m的值为 1 ．
【分析】先把x＝0代入方程得到m2+m＝0，然后解关于m的方程，再利用一元二次方程的定义确定满足条件的m的值．
解：把x＝0代入方程（m+1）x2﹣3x+m2﹣1＝0得m2﹣1＝0，
解得m1＝1，m2＝﹣1，
根据一元二次方程的定义得：m+1≠0，
所以m＝1．
故答案为1．
15．已知一个三角形的两边长为3和4，若第三边长是方程x2﹣12x+35＝0的一个根，则第三条边是 5 ．
【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝5，x2＝7，然后根据三角形三边的关系确定第三边的长．
解：x2﹣12x+35＝0，
（x﹣5）（x﹣7）＝0，
x﹣5＝0或x﹣7＝0，
所以x1＝5，x2＝7，
当三角形第三边为7时，因为3+4＝7不符合三角形三边的关系，
所以三角形第三边为5．
故答案为：5．
16．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则EC的长为 2 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
解：∵DE∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴CE＝2．
故答案为：2．
17．已知某实验区甲、乙品种水稻的平均产量相等．且甲、乙品种水稻产量的方差分别为S甲2＝79.6，S乙2＝68.5．由此可知：在该地区 乙 种水稻更具有推广价值．
【分析】首先根据题意，可得甲、乙两种水稻的平均产量相同，然后比较出它们的方差的大小，再根据方差越小，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，判断出产量稳定，适合推广的品种为哪种即可．
解：根据题意，可得甲、乙两种水稻的平均产量相同，
∵68.5＜79.6，
∴S乙2＜S甲2，
即乙种水稻的产量稳定，
∴产量稳定，适合推广的品种为乙种水稻．
故答案为：乙
18．如图，在△ABC中，点D为边AC上的一点，选择下列条件：①∠2＝∠A；②∠1＝∠CBA；③＝；④＝＝中的一个，不能得出△ABC和△BCD相似的是： ③ （填序号）．
【分析】根据相似三角形的判定定理可得出答案．
解：①当∠2＝∠A，∠C＝∠C时，△ABC∽△BDC，故①不符合题意；
②当∠1＝∠CBA，∠C＝∠C时，△ABC∽△BDC，故②不符合题意；
③当，∠C＝∠C时，不能推出△ABC∽△BDC，故③符合题意；
④当＝＝，∠C＝∠C时，△ABC∽△BDC，故④不符合题意；
故答案为：③．
三、解答题（本大题共8个小题，共78分，解答题要求写出必要的文字说明或解答过程）
19．计算：（﹣1）0+（﹣1）2021﹣tan30°﹣4sin260°．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可．
解：（﹣1）0+（﹣1）2021﹣tan30°﹣4sin260°
＝1+（﹣1）﹣×﹣4×（）2
＝1﹣1﹣1﹣3
＝﹣4．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D点，若AD＝1，BD＝4，求CD的长．
【分析】根据同角的余角相等得到∠ACD＝∠B，证明△ACD∽△CBD，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴△ACD∽△CBD，
∴＝，即＝，
解得：CD＝2．
21．为了庆祝“建党100周年”，道县某中学组织全校学生进行“党史知识”竞赛，该校德育处随机抽取部分学生的竞赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格，并绘制成两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）德育处一共随机抽取了 40 名学生的竞赛成绩；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1400名学生，估计该校大约有多少名学生在这次竞赛中成绩优秀？
【分析】（1）由成绩“良好”的学生人数除以所占百分比求出德育处一共随机抽取的学生人数，即可解决问题；
（2）把条形统计图补充完整即可；
（3）由该校共有学生人数乘以在这次竞赛中成绩优秀的学生所占的比例即可．
解：（1）德育处一共随机抽取的学生人数为：16÷40%＝40（名），
故答案为：40；
（2）在条形统计图中，成绩“一般”的学生人数为：40﹣10﹣16﹣2＝12（名），
把条形统计图补充完整如下：
（3）1400×＝350（名），
即估计该校大约有350名学生在这次竞赛中成绩优秀．
22．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（﹣2，1）、B（1，a）两点．
（1）分别求出反比例函数与一次函数的关系式；
（2）观察图象，直接写出当反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围．
【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求出m，即可得到反比例函数的解析式，把B（﹣1，n）代入即可求得n，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式．
（2）根据A、B的横坐标结合图象即可得出答案．
解：（1）∵反比例函数y＝的图象过点A（﹣2，1），
∴m＝﹣2×1＝﹣2，
∴反比例函数为y＝﹣，
∵B（1，a）在反比例函数y＝﹣图象上，
∴a＝﹣＝﹣2，
∴B（1，﹣2），
把A、B代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣1．
（2）∵A（﹣2，1），B（1，﹣2），
观察图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞1时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方，
∴当反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围﹣2＜x＜0或x＞1．
23．某店只销售某种进价为40元/kg的特产．已知该店按60元/kg出售时，平均每天可售出100kg，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10kg．若该店销售这种特产计划平均每天获利2240元．
（1）每千克该特产应降价多少元？
（2）为尽可能让利于顾客，则该店应按原售价的几折出售？
【分析】（1）设每千克山药应降价x元，利用销售量×每件利润＝2240元列出方程求解即可；
（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．
【解答】（1）解：设每千克山药应降价x元，
根据题意，得：（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240，
解得：x1＝4，x2＝6，
答：每千克山药应降价4元或6元；
（2）由（1）可知每千克山药可降价4元或6元．
因为要尽可能让利于顾客，所以每千克山药应降价6元．
此时，售价为：60﹣6＝54（元），
×100%＝90%．
答：该店应按原售价的九折出售．
24．为缅怀北宋著名哲学家、宋明理学的开山鼻祖周敦颐（1017﹣1073），弘扬道州优秀的传统文化，道州人民在敦颐广场塑了一座周敦颐铜像．小聪为了测量铜像的高度，如图，先在敦颐广场的地面E处用高为1.51米的测角仪AE，测得塔顶C的仰角为30°，再向塔身前进10米到达H处，又测得塔顶C的仰角为60°，请你计算出铜像的高度CF．（≈1.732，结果精确到0.01m）
【分析】首先证明AB＝BC＝10，在Rt△BCD中，求出CD即可解决问题．
解：由题意得：∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，AB＝10m，DF＝AE＝1.51m，
∵∠CBD＝∠CAB+∠ACB，
∴∠ACB＝∠CAB＝30°，
∴BC＝AB＝10，
在Rt△CBD中，sin∠CBD＝，
∴CD＝BC•sin60°＝10×＝5（m），
∴CF＝CD+DF＝5+1.51≈5×1.732+1.51≈10.71（m），
答：铜像的高度CF约10.71m．
25．如图，将矩形纸片ABCD（AD＞DC）的点A沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为E，折痕交AB边于点F．
（1）若BE＝1，EC＝2，则sin∠EDC＝ ；
（2）若BE：EC＝1：4，CD＝9，求BF的长；
（3）若BE：EC＝m：n，求AF：FB（用含有m、n的代数式表示）．
【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理即可得到结论；
（2）根据矩形的性质和相似三角形的性质解答即可；
（3）根据相似三角形的判定和性质解答即可．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝BE+CE＝3，∠C＝90°，
∵将矩形纸片ABCD（AD＞DC）的点A沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为E，
∴DE＝AD＝3，
∴sin∠EDC＝＝；
故答案为：；
（2）解：∵BE：EC＝1：4，CD＝9，
设BE＝x，则EC＝4x，BC＝5x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝5x，
由翻折得DE＝AD＝5x，
∴DC＝＝3x＝9，
解得：x＝3，
∴CE＝12，BE＝3，
∵△FEB∽△EDC，
∴＝，
∴BF＝×12＝4；
（3）解：∵△FEB∽△EDC，
∴＝，
∵BE：EC＝m：n，
设BE＝mk，EC＝nk，
则DE＝AD＝BC＝（m+n）k，
∴＝＝＝，
由翻折得，AF＝EF，
∴＝．
26．已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE＝45°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质及三角形内角与外角的关系，易证△ABD∽△DCE．
（2）由△ABD∽△DCE，对应边成比例及等腰直角三角形的性质可求出y与x的函数关系式；
（3）当△ADE是等腰三角形时，因为三角形的腰和底不明确，所以应分AD＝DE，AE＝DE，AD＝AE三种情况讨论求出满足题意的AE的长即可．
【解答】（1）证明：
∵∠BAC＝90°，AB＝AC
∴∠B＝∠C＝∠ADE＝45°
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE
∴∠BAD＝∠CDE
∴△ABD∽△DCE；
（2）由（1）得△ABD∽△DCE，
∴＝，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，
∴BC＝，CD＝﹣x，EC＝1﹣y，
∴＝，
∴y＝x2﹣x+1＝（x﹣）2+（0＜x＜）；
（3）当AD＝DE时，△ABD≌△CDE，
∴BD＝CE，
∴x＝1﹣y，即 x﹣x2＝x，
∵x≠0，
∴等式左右两边同时除以x得：x＝﹣1
∴AE＝1﹣x＝2﹣，
当AE＝DE时，DE⊥AC，此时D是BC中点，E也是AC的中点，
所以，AE＝；
当AD＝AE时，∠DAE＝90°，D与B重合，不合题意；
综上，在AC上存在点E，使△ADE是等腰三角形，
AE的长为2﹣或 ．
1．一元二次方程2x2+3x＝7的一般形式为（ ）
A．2x2﹣7＝﹣3xB．2x2+3x+7＝0C．2x2+3x﹣7＝0D．2x2＝7﹣3x
2．对于反比例函数y＝，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣2）
B．图象在二、四象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
3．如图，点P在反比例函数y＝的图象上，PA⊥x轴于点A，若△PAO的面积为4，那么k的值为（ ）
A．2B．4C．8D．﹣4
4．某药品经过两次降价，每瓶零售价由128元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A．128（1+x）2＝108B．128（1﹣x2）＝108
C．128（1+x2）＝108D．128（1﹣x）2＝108
5．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k＞﹣1且k≠0D．k≥﹣1且k≠0
6．下列说法正确的是（ ）
A．相似图形一定是位似图形
B．一条线段的黄金分割点只有一个
C．两个边数相同的正多边形是相似图形
D．相似三角形对应角的平分线的比等于对应边上高的比的平方
7．如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，△BCF的面积为4，则△DEF的面积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC＝3m，则坡面AB的长度是（ ）
A．9mB．6mC．mD．m
9．已知A、B两点的坐标分别为（﹣6，3）、（﹣12，8），△ABO与△A′B′O是以原点O为位似中心的位似图形，若点A′的坐标为（2，﹣1），则点B′的坐标为（ ）
A．（﹣4，）B．（﹣6，4）C．（4，﹣）D．（6，﹣4）
10．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）
A．+1B．﹣1C．D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分；请将答案填在答题卡的答案栏内）
11．已知2a＝3b，则的值为 ．
12．一元二次方程x2﹣3x＝0的解是 ．
13．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则d＝ cm．
14．已知关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣3x+m2﹣1＝0有一个根是0，则m的值为 ．
15．已知一个三角形的两边长为3和4，若第三边长是方程x2﹣12x+35＝0的一个根，则第三条边是 ．
16．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则EC的长为 ．
17．已知某实验区甲、乙品种水稻的平均产量相等．且甲、乙品种水稻产量的方差分别为S甲2＝79.6，S乙2＝68.5．由此可知：在该地区 种水稻更具有推广价值．
18．如图，在△ABC中，点D为边AC上的一点，选择下列条件：①∠2＝∠A；②∠1＝∠CBA；③＝；④＝＝中的一个，不能得出△ABC和△BCD相似的是： （填序号）．
三、解答题（本大题共8个小题，共78分，解答题要求写出必要的文字说明或解答过程）
19．计算：（﹣1）0+（﹣1）2021﹣tan30°﹣4sin260°．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D点，若AD＝1，BD＝4，求CD的长．
21．为了庆祝“建党100周年”，道县某中学组织全校学生进行“党史知识”竞赛，该校德育处随机抽取部分学生的竞赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格，并绘制成两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）德育处一共随机抽取了 名学生的竞赛成绩；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1400名学生，估计该校大约有多少名学生在这次竞赛中成绩优秀？
22．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（﹣2，1）、B（1，a）两点．
（1）分别求出反比例函数与一次函数的关系式；
（2）观察图象，直接写出当反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围．
23．某店只销售某种进价为40元/kg的特产．已知该店按60元/kg出售时，平均每天可售出100kg，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10kg．若该店销售这种特产计划平均每天获利2240元．
（1）每千克该特产应降价多少元？
（2）为尽可能让利于顾客，则该店应按原售价的几折出售？
24．为缅怀北宋著名哲学家、宋明理学的开山鼻祖周敦颐（1017﹣1073），弘扬道州优秀的传统文化，道州人民在敦颐广场塑了一座周敦颐铜像．小聪为了测量铜像的高度，如图，先在敦颐广场的地面E处用高为1.51米的测角仪AE，测得塔顶C的仰角为30°，再向塔身前进10米到达H处，又测得塔顶C的仰角为60°，请你计算出铜像的高度CF．（≈1.732，结果精确到0.01m）
25．如图，将矩形纸片ABCD（AD＞DC）的点A沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为E，折痕交AB边于点F．
（1）若BE＝1，EC＝2，则sin∠EDC＝ ；
（2）若BE：EC＝1：4，CD＝9，求BF的长；
（3）若BE：EC＝m：n，求AF：FB（用含有m、n的代数式表示）．
26．已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE＝45°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为正确的选项用2B铅笔填涂到答题卡上）
1．一元二次方程2x2+3x＝7的一般形式为（ ）
A．2x2﹣7＝﹣3xB．2x2+3x+7＝0C．2x2+3x﹣7＝0D．2x2＝7﹣3x
【分析】方程移项，整理为一般形式即可．
解：方程2x2+3x＝7，
移项得：2x2+3x﹣7＝0．
故选：C．
2．对于反比例函数y＝，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣2）
B．图象在二、四象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
【分析】根据反比例函数的性质得出函数增减性以及所在象限和经过的点的特点分别分析得出即可．
解：A、∵反比例函数y＝，∴xy＝2，故图象经过点（1，2），故此选项错误；
B、∵k＞0，∴图象在第一、三象限，故此选项错误；
C、∵k＞0，∴x＞0时，y随x的增大而减小，故此选项错误；
D、∵k＞0，∴x＜0时，y随x增大而减小，故此选项正确．
故选：D．
3．如图，点P在反比例函数y＝的图象上，PA⊥x轴于点A，若△PAO的面积为4，那么k的值为（ ）
A．2B．4C．8D．﹣4
【分析】由△PAO的面积为4可得|k|＝4，再结合图象经过的是第一、三象限，从而可以确定k值．
解：∵S△PAO＝4，
∴|x•y|＝4，即|k|＝4，则|k|＝8，
∵图象经过第一、三象限，
∴k＞0，
∴k＝8，
故选：C．
4．某药品经过两次降价，每瓶零售价由128元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A．128（1+x）2＝108B．128（1﹣x2）＝108
C．128（1+x2）＝108D．128（1﹣x）2＝108
【分析】利用该药品经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣每次降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：依题意得：128（1﹣x）2＝108．
故选：D．
5．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k＞﹣1且k≠0D．k≥﹣1且k≠0
【分析】方程有实数根，则根的判别式△≥0，且二次项系数不为零．
解：∵Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×k×（﹣1）≥0，
解上式得，k≥﹣1，
∵二次项系数k≠0，
∴k≥﹣1且k≠0．
故选：D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．相似图形一定是位似图形
B．一条线段的黄金分割点只有一个
C．两个边数相同的正多边形是相似图形
D．相似三角形对应角的平分线的比等于对应边上高的比的平方
【分析】根据位似图形的概念、黄金分割的概念、相似多边形的判定、相似三角形的性质判断即可．
解：A、位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形，本选项说法错误，不符合题意；
B、一条线段的黄金分割点有两个，本选项说法错误，不符合题意；
C、两个边数相同的正多边形是相似图形，本选项说法正确，符合题意；
D、相似三角形对应角的平分线的比等于对应边上高的比，本选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
7．如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，△BCF的面积为4，则△DEF的面积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，AD＝BC，即可证得△DEF∽△BCF，又由E为AD的中点，△BCF的面积为4，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△DEF的面积．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△DEF∽△BCF，
∵E为AD的中点，
∴DE＝AD，
∴DE：BC＝1：2，
∴S△DEF：S△BCF＝1：4，
∵△BCF的面积为4，
∴△DEF的面积为1．
故选：A．
8．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC＝3m，则坡面AB的长度是（ ）
A．9mB．6mC．mD．m
【分析】在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．
解：在Rt△ABC中，BC＝3米，tanA＝1：；
∴AC＝BC÷tanA＝3米，
∴AB＝＝6米．
故选：B．
9．已知A、B两点的坐标分别为（﹣6，3）、（﹣12，8），△ABO与△A′B′O是以原点O为位似中心的位似图形，若点A′的坐标为（2，﹣1），则点B′的坐标为（ ）
A．（﹣4，）B．（﹣6，4）C．（4，﹣）D．（6，﹣4）
【分析】根据题意求出△ABO与△A′B′O的相似比，根据位似变换的性质计算即可．
解：∵△ABO与△A′B′O是以原点O为位似中心的位似图形，点A的坐标为（﹣6，3）、点A′的坐标为（2，﹣1），
∴△ABO与△A′B′O的相似比为，且两个三角形在不同象限，
∵点B的坐标为（﹣12，8），
∴点B′的坐标为（﹣12×（﹣），8×（﹣）），即点B′的坐标为（4，﹣），
故选：C．
10．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）
A．+1B．﹣1C．D．
【分析】在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝，根据tan22.5°＝计算即可．
解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，
设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝，
∴tan22.5°＝＝＝﹣1，
故选：B．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分；请将答案填在答题卡的答案栏内）
11．已知2a＝3b，则的值为 ．
【分析】根据比例的基本性质进行计算即可．
解：∵2a＝3b，
∴＝，
故答案为：．
12．一元二次方程x2﹣3x＝0的解是 x1＝0，x2＝3 ．
【分析】首先利用提取公因式法分解因式，由此即可求出方程的解．
解：x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
∴x1＝0，x2＝3．
故答案为：x1＝0，x2＝3．
13．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则d＝ 4 cm．
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad＝cb，将a，b及c的值代入即可求得d．
【解答】解；已知a，b，c，d是成比例线段，
根据比例线段的定义得：ad＝cb，
代入a＝3，b＝2，c＝6，
解得：d＝4，
则d＝4cm．
故答案为：4
14．已知关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣3x+m2﹣1＝0有一个根是0，则m的值为 1 ．
【分析】先把x＝0代入方程得到m2+m＝0，然后解关于m的方程，再利用一元二次方程的定义确定满足条件的m的值．
解：把x＝0代入方程（m+1）x2﹣3x+m2﹣1＝0得m2﹣1＝0，
解得m1＝1，m2＝﹣1，
根据一元二次方程的定义得：m+1≠0，
所以m＝1．
故答案为1．
15．已知一个三角形的两边长为3和4，若第三边长是方程x2﹣12x+35＝0的一个根，则第三条边是 5 ．
【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝5，x2＝7，然后根据三角形三边的关系确定第三边的长．
解：x2﹣12x+35＝0，
（x﹣5）（x﹣7）＝0，
x﹣5＝0或x﹣7＝0，
所以x1＝5，x2＝7，
当三角形第三边为7时，因为3+4＝7不符合三角形三边的关系，
所以三角形第三边为5．
故答案为：5．
16．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则EC的长为 2 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
解：∵DE∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴CE＝2．
故答案为：2．
17．已知某实验区甲、乙品种水稻的平均产量相等．且甲、乙品种水稻产量的方差分别为S甲2＝79.6，S乙2＝68.5．由此可知：在该地区 乙 种水稻更具有推广价值．
【分析】首先根据题意，可得甲、乙两种水稻的平均产量相同，然后比较出它们的方差的大小，再根据方差越小，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，判断出产量稳定，适合推广的品种为哪种即可．
解：根据题意，可得甲、乙两种水稻的平均产量相同，
∵68.5＜79.6，
∴S乙2＜S甲2，
即乙种水稻的产量稳定，
∴产量稳定，适合推广的品种为乙种水稻．
故答案为：乙
18．如图，在△ABC中，点D为边AC上的一点，选择下列条件：①∠2＝∠A；②∠1＝∠CBA；③＝；④＝＝中的一个，不能得出△ABC和△BCD相似的是： ③ （填序号）．
【分析】根据相似三角形的判定定理可得出答案．
解：①当∠2＝∠A，∠C＝∠C时，△ABC∽△BDC，故①不符合题意；
②当∠1＝∠CBA，∠C＝∠C时，△ABC∽△BDC，故②不符合题意；
③当，∠C＝∠C时，不能推出△ABC∽△BDC，故③符合题意；
④当＝＝，∠C＝∠C时，△ABC∽△BDC，故④不符合题意；
故答案为：③．
三、解答题（本大题共8个小题，共78分，解答题要求写出必要的文字说明或解答过程）
19．计算：（﹣1）0+（﹣1）2021﹣tan30°﹣4sin260°．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可．
解：（﹣1）0+（﹣1）2021﹣tan30°﹣4sin260°
＝1+（﹣1）﹣×﹣4×（）2
＝1﹣1﹣1﹣3
＝﹣4．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D点，若AD＝1，BD＝4，求CD的长．
【分析】根据同角的余角相等得到∠ACD＝∠B，证明△ACD∽△CBD，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴△ACD∽△CBD，
∴＝，即＝，
解得：CD＝2．
21．为了庆祝“建党100周年”，道县某中学组织全校学生进行“党史知识”竞赛，该校德育处随机抽取部分学生的竞赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格，并绘制成两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）德育处一共随机抽取了 40 名学生的竞赛成绩；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1400名学生，估计该校大约有多少名学生在这次竞赛中成绩优秀？
【分析】（1）由成绩“良好”的学生人数除以所占百分比求出德育处一共随机抽取的学生人数，即可解决问题；
（2）把条形统计图补充完整即可；
（3）由该校共有学生人数乘以在这次竞赛中成绩优秀的学生所占的比例即可．
解：（1）德育处一共随机抽取的学生人数为：16÷40%＝40（名），
故答案为：40；
（2）在条形统计图中，成绩“一般”的学生人数为：40﹣10﹣16﹣2＝12（名），
把条形统计图补充完整如下：
（3）1400×＝350（名），
即估计该校大约有350名学生在这次竞赛中成绩优秀．
22．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（﹣2，1）、B（1，a）两点．
（1）分别求出反比例函数与一次函数的关系式；
（2）观察图象，直接写出当反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围．
【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求出m，即可得到反比例函数的解析式，把B（﹣1，n）代入即可求得n，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式．
（2）根据A、B的横坐标结合图象即可得出答案．
解：（1）∵反比例函数y＝的图象过点A（﹣2，1），
∴m＝﹣2×1＝﹣2，
∴反比例函数为y＝﹣，
∵B（1，a）在反比例函数y＝﹣图象上，
∴a＝﹣＝﹣2，
∴B（1，﹣2），
把A、B代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣1．
（2）∵A（﹣2，1），B（1，﹣2），
观察图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞1时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方，
∴当反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围﹣2＜x＜0或x＞1．
23．某店只销售某种进价为40元/kg的特产．已知该店按60元/kg出售时，平均每天可售出100kg，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10kg．若该店销售这种特产计划平均每天获利2240元．
（1）每千克该特产应降价多少元？
（2）为尽可能让利于顾客，则该店应按原售价的几折出售？
【分析】（1）设每千克山药应降价x元，利用销售量×每件利润＝2240元列出方程求解即可；
（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．
【解答】（1）解：设每千克山药应降价x元，
根据题意，得：（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240，
解得：x1＝4，x2＝6，
答：每千克山药应降价4元或6元；
（2）由（1）可知每千克山药可降价4元或6元．
因为要尽可能让利于顾客，所以每千克山药应降价6元．
此时，售价为：60﹣6＝54（元），
×100%＝90%．
答：该店应按原售价的九折出售．
24．为缅怀北宋著名哲学家、宋明理学的开山鼻祖周敦颐（1017﹣1073），弘扬道州优秀的传统文化，道州人民在敦颐广场塑了一座周敦颐铜像．小聪为了测量铜像的高度，如图，先在敦颐广场的地面E处用高为1.51米的测角仪AE，测得塔顶C的仰角为30°，再向塔身前进10米到达H处，又测得塔顶C的仰角为60°，请你计算出铜像的高度CF．（≈1.732，结果精确到0.01m）
【分析】首先证明AB＝BC＝10，在Rt△BCD中，求出CD即可解决问题．
解：由题意得：∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，AB＝10m，DF＝AE＝1.51m，
∵∠CBD＝∠CAB+∠ACB，
∴∠ACB＝∠CAB＝30°，
∴BC＝AB＝10，
在Rt△CBD中，sin∠CBD＝，
∴CD＝BC•sin60°＝10×＝5（m），
∴CF＝CD+DF＝5+1.51≈5×1.732+1.51≈10.71（m），
答：铜像的高度CF约10.71m．
25．如图，将矩形纸片ABCD（AD＞DC）的点A沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为E，折痕交AB边于点F．
（1）若BE＝1，EC＝2，则sin∠EDC＝ ；
（2）若BE：EC＝1：4，CD＝9，求BF的长；
（3）若BE：EC＝m：n，求AF：FB（用含有m、n的代数式表示）．
【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理即可得到结论；
（2）根据矩形的性质和相似三角形的性质解答即可；
（3）根据相似三角形的判定和性质解答即可．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝BE+CE＝3，∠C＝90°，
∵将矩形纸片ABCD（AD＞DC）的点A沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为E，
∴DE＝AD＝3，
∴sin∠EDC＝＝；
故答案为：；
（2）解：∵BE：EC＝1：4，CD＝9，
设BE＝x，则EC＝4x，BC＝5x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝5x，
由翻折得DE＝AD＝5x，
∴DC＝＝3x＝9，
解得：x＝3，
∴CE＝12，BE＝3，
∵△FEB∽△EDC，
∴＝，
∴BF＝×12＝4；
（3）解：∵△FEB∽△EDC，
∴＝，
∵BE：EC＝m：n，
设BE＝mk，EC＝nk，
则DE＝AD＝BC＝（m+n）k，
∴＝＝＝，
由翻折得，AF＝EF，
∴＝．
26．已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE＝45°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质及三角形内角与外角的关系，易证△ABD∽△DCE．
（2）由△ABD∽△DCE，对应边成比例及等腰直角三角形的性质可求出y与x的函数关系式；
（3）当△ADE是等腰三角形时，因为三角形的腰和底不明确，所以应分AD＝DE，AE＝DE，AD＝AE三种情况讨论求出满足题意的AE的长即可．
【解答】（1）证明：
∵∠BAC＝90°，AB＝AC
∴∠B＝∠C＝∠ADE＝45°
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE
∴∠BAD＝∠CDE
∴△ABD∽△DCE；
（2）由（1）得△ABD∽△DCE，
∴＝，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，
∴BC＝，CD＝﹣x，EC＝1﹣y，
∴＝，
∴y＝x2﹣x+1＝（x﹣）2+（0＜x＜）；
（3）当AD＝DE时，△ABD≌△CDE，
∴BD＝CE，
∴x＝1﹣y，即 x﹣x2＝x，
∵x≠0，
∴等式左右两边同时除以x得：x＝﹣1
∴AE＝1﹣x＝2﹣，
当AE＝DE时，DE⊥AC，此时D是BC中点，E也是AC的中点，
所以，AE＝；
当AD＝AE时，∠DAE＝90°，D与B重合，不合题意；
综上，在AC上存在点E，使△ADE是等腰三角形，
AE的长为2﹣或 ．
相关试卷
湖南省永州市道县2021-2022学年七年级下学期期末数学试题(word版含答案)： 这是一份湖南省永州市道县2021-2022学年七年级下学期期末数学试题(word版含答案)，共9页。试卷主要包含了考试结束后，只交答题卷．， 下列分解因式正确的一项是， 下列说法正确的是， 若分解因式的结果是，则的值为等内容，欢迎下载使用。
湖南省永州市道县2021-2022学年九年级上学期期末质量监测数学试题（word版 含答案）： 这是一份湖南省永州市道县2021-2022学年九年级上学期期末质量监测数学试题（word版 含答案），共11页。试卷主要包含了本试卷包括试题卷和答题卡， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
湖南省永州市道县2021-2022学年八年级上学期期末质量监测数学试题（word版 含答案）： 这是一份湖南省永州市道县2021-2022学年八年级上学期期末质量监测数学试题（word版 含答案），共9页。试卷主要包含了本试卷包括试题卷和答题卡，考试结束后，只交答题卡， 下列代数式中，属于分式的是，若 ，则代数式的值为等内容，欢迎下载使用。
