2022届高考数学二轮专题测练-事件的相互独立性

这是一份2022届高考数学二轮专题测练-事件的相互独立性，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 若事件 P 与 Q 相互独立，则 P 与 Q，P 与 Q，P 与 Q 相互独立的对数是
A. 0B. 1C. 2D. 3

2. 设在一次试验中，事件 A 出现的概率为 p，在 n 次独立重复试验中事件 A 出现 k 次的概率为 pk，则
A. p1+p2+⋯+pn=1B. p0+p1+p2+⋯+pn=1
C. p0+p1+p2+⋯+pn=0D. p1+p2+⋯+pn=0

3. 一袋中装有 5 只白球，3 只黄球，在有放回地摸球中，用 A1 表示第一次摸得白球，A2 表示第二次摸得白球，则事件 A1 与 A2 是
A. 相互独立事件B. 不相互独立事件
C. 互斥事件D. 对立事件

4. 某产品的设计长度为 20 cm，规定误差不超过 0.5 cm 为合格品，对这批产品进行测量，测得结果如下：
长度cm19.5以下19.5∼20.520.5以上件数5687
则这批产品不合格的概率为
A. 580B. 780C. 1720D. 320

5. 下列说法正确的是
A. 事件 A，B 中至少有一个发生的概率一定比事件 A，B 中恰有一个发生的概率大
B. 事件 A，B 同时发生的概率一定比事件 A，B 恰有一个发生的概率小
C. 互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
D. 互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件

6. 在一段时间内，甲去某地的概率为 0.25，乙去某地的概率为 0.2．假设两人的行动互不影响，那么在这段时间内两人有人去此地的概率为
A. 0.15B. 0.2C. 0.4D. 0.45

7. 甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成 6 道自我检测题，甲及格的概率为 45，乙及格的概率为 35，丙及格的概率为 710，三人各答一次，则三人中只有一人及格的概率为
A. 320B. 42135C. 47250D. 以上都不对

8. 某校投篮比赛规则如下：选手若能连续命中两次，即停止投篮，晋级下一轮．假设某选手每次命中率都是 0.6，且每次投篮结果相互独立，则该选手恰好投篮 4 次晋级下一轮的概率为
A. 216625B. 108625C. 36625D. 18125

9. 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币数字一面向上”为事件 A，“骰子向上的点数是偶数”为事件 B，则事件 A，B 中至少有一件发生的概率是
A. 14B. 12C. 34D. 712

10. 袋子中装有大小相同的 6 个小球，2 红 1 黑 3 白．现从中有放回的随机摸球 2 次，每次摸出 1 个小球，则 2 次摸球颜色不同的概率为
A. 59B. 23C. 1118D. 1318

11. 在投篮测试中，每人投 3 次，其中至少有两次投中才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学能通过测试的概率为
A. 0.352B. 0.432C. 0.36D. 0.648

12. 某道路的A，B，C 3 处设有交通灯，这 3 盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为 25 秒、 35 秒、 45 秒，某辆车在这条路上行驶时，3 处都不停车的概率是
A. 35192B. 25192C. 35576D. 65192

13. 位于坐标原点的一个质点 P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上和向右移动的概率都为 12，质点 P 移动 5 次后位于 2,3 的概率是
A. 14B. 34C. 516D. 716

14. 两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为 23 和 34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为
A. 12B. 512C. 14D. 16

15. 加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为 170 、 169 、 168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件次品率为
A. 368B. 369C. 370D. 170

16. 掷一枚均匀的硬币两次，事件 M：“一次正面向上，一次反面向上．”事件 N：“至少一次正面向上．”则下列结论中正确的是
A. PM=13，PN=12B. PM=12，PN=12
C. PM=13，PN=34D. PM=12，PN=34

17. 在一段线路中并联着两个独立自动控制的开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就可以正常工作．设这两个开关能够闭合的概率分别为 0.5 和 0.7，则线路能够正常工作的概率是
A. 0.35B. 0.65C. 0.85D. 57

18. 甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为15，13，14，则此密码能译出的概率是
A. 160B. 25C. 35D. 5960

19. 坛中仅有黑、白两种颜色大小相同的球，从中进行有放回的摸球，用 A1 表示第一次摸得白球，A2 表示第二次摸得白球，则 A1 与 A2 是
A. 相互独立事件B. 不相互独立事件
C. 互斥事件D. 对立事件

20. 下列各对事件中，
（1）“掷一枚硬币，得到正面向上”与“掷一颗般子，向上的面是 2 点”；
（2）“在一次考试中，张三的成绩及格”与“在这次考试中李四的成绩不及格”；
（3）在一个口袋内装有 3 个白球和 2 个黑球，则从中任意取出 1 个球'“得到白球”与“得到黑球”；
（4）在一个口袋内装有 3 个白球和 2 个黑球，则“从中任意取出 1 个球，得到白球”与“在剩下的 4 个球中，任意取出 1 个球，得到黑球”．
是相互独立事件的有 个．
A. 0B. 1C. 2D. 3

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 某段时间内甲地下雨的概率为 0.2，乙地下雨的概率为 0.3．因甲、乙两地相距很远，在这段时间内两地是否下雨相互之间没有影响，则在这段时间内甲、乙两地都下雨的概率为 ．

22. 两名学生甲、乙通过英语听力测试的概率分别为 12 和 13，两人同时参加测试，那么甲、乙两人中只有一人通过测试的概率是 ．

23. 有一批书共 100 本，其中文科书 40 本，理科书 60 本，按装潢可分精装、平装两种，精装书 70 本，某人从这 100 本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取 1 本，恰是精装书，这一事件的概率是 ．

24. 生产零件需要经过三道工序，在第一、二、三道工序中生产出废品的概率分别为 0.02，0.03，0.02．假设每道工序生产废品是独立事件，则经过三道工序后得到的零件不是废品的概率是 ．（精确到 0.01）

25. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将 3 次遇到黑色障碍物，最后落入 A 袋或 B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是 12，则小球落入 A 袋中的概率为 ．

三、解答题（共5小题；共65分）
26. 某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率为 0.3，0.2，0.1，0.4．
（1）求他乘火车或乘飞机去的概率；
（2）求他不乘轮船去的概率；
（3）如果他乘某种交通工具去的概率为 0.5，请问他有可能是乘何种交通工具去的?

27. 某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额元01000200030004000车辆数辆500130100150120
（1）若每辆车的投保金额均为 2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
（2）在样本车辆中，车主是新司机的占 10%，在赔付金额为 4000 元的样本车辆中，车主是新司机的占 20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为 4000 元的概率．

28. 设 A 、 B 、 C 三个事件相互独立，事件 A 发生的概率是 12，A 、 B 、 C 中只有一个发生的概率是 1124，A 、 B 、 C 中只有一个不发生的概率是 14．
（1）求事件 B 发生的概率及事件 C 发生的概率；
（2）试求 A 、 B 、 C 均不发生的概率．

29. 判断下列事件是否为相互独立事件．
（1）甲组 3 名男生，2 名女生；乙组 2 名男生，3 名女生，现从甲、乙两组各选 1 名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出 1 名男生”与“从乙组中选出 1 名女生”．
（2）容器内盛有 5 个白乒乓球和 3 个黄乒乓球，“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”与“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个，取出的还是白球”．

30. 一袋中有 a 个白球和 b 个黑球．从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复 n 次这样的操作后，记袋中白球的个数为 xn．
（1）求 x1 的数学期望 Ex1；
（2）设 Pxn=a+k=pk，求 Pxn+1=a+k，k=0,1,⋯,b；
（3）证明：xn+1 的数学期望 Exn+1=1−1a+bExn+1．
答案
第一部分
1. D
2. B
3. A【解析】由题意可得 A2 表示“第二次摸到的不是白球”，即 A2 表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件 A1 与 A2 是相互独立事件．
4. D【解析】这批产品不合格的概率为：P=580+780=1280=320．
5. D
【解析】结合互斥事件和对立事件的定义易知．
6. C【解析】设事件 A 为“甲去某地”，时间 B 为“乙去某地”，则事件“在这段时间内两人有人去此地”为 A∩B∪A∩B∪A∩B．
所以所求事件概率为 P=PA∩B+PA∩B+PA∩B=0.25×0.2+0.25×1−0.2+1−0.25×0.2=0.4．
7. C【解析】因为甲及格的概率为 45，乙及格的概率为 35，丙及格的概率为 710，
所以仅甲及格的概率为 45×1−35×1−710=24250；
仅乙及格的概率为 1−45×35×1−710=9250；
仅丙及格的概率为 1−45×1−35×710=14250，
所以三人中只有一人及格的概率为 24250+9250+14250=47250．
8. D【解析】根据题意得，该选手第二次不中，第三次和第四次必须投中，
所以该选手恰好投篮 4 次晋级下一轮的概率为：1×0.4×0.6×0.6=18125．
9. C
10. C
【解析】每次摸到红球、黑球和白球的概率分别为 13，16 和 12，则所求概率为 1−132+162+122=1118．
11. D
12. A
13. C
14. B
15. C
【解析】加工出来的零件的次品对立事件为零件是正品，由对立事件公式得加工出来的零件的次品率 p=1−6970×6869×6768=370．
16. D
17. C
18. C【解析】【分析】此密码能译出是此密码不能译出的对立事件，求出此密码不能译出的概率，利用对立事件的概率减法公式可得答案．
【解析】解：∵甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为15，13，14，
∴此密码不能译出的概率(1−15)(1−13)(1−14)=25，
故此密码能译出的概率P=1−25=35，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式，对立事件的概率减法公式，难度不大，属于基础题．
19. A
20. C
第二部分
21. 0.06
【解析】PAB=PAPB=0.2×0.3=0.06．
22. 12
23. 725
【解析】设“任取一书是文科书”的事件为 A，“任取一书是精装书”的事件为 B，则 A，B 是相互独立的事件，所求概率为 PAB．
据题意可知 PA=40100=25，PB=70100=710，
故 PAB=PA⋅PB=25×710=725．
24. 0.93
25. 34
【解析】记“小球落入 A 袋中”为事件 M，“小球落入 B 袋中”为事件 N，则事件 M 的对立事件为 N，而小球落入 B 袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故 PN=123+123=14，从而 PM=1−PN=1−14=34．
第三部分
26. （1） 0.3+0.4=0.7．
（2） 1−0.2=0.8．
（3） 他有可能乘火车或轮船去，也有可能乘汽车或飞机去．
27. （1） 设 A 表示事件“赔付金额为 3000 元”，B 表示事件“赔付金额为 4000 元”，用频率估计概率得 PA=1501000=0.15，PB=1201000=0.12．
由于投保金额为 2800 元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为 3000 元和 4000 元，
所以其概率为 PA+PB=0.15+0.12=0.27．
（2） 设 C 表示事件“投保车辆中新司机获赔 4000 元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有 0.1×1000=100（辆），而赔付金额为 4000 元的车辆中，车主为新司机的有 0.2×120=24（辆），
所以样本车辆中新司机车主获赔金额为 4000 元的频率为 24100=0.24，由频率估计概率得 PC=0.24．
28. （1） 设事件 A 、 B 、 C 发生的概率分别为 PA=x，PB=y，PC=z．
因为 A 、 B 、 C 中只有一个发生的概率是 1124，
所以 x1−y1−z+1−xy1−z+1−x1−yz=1124，
其中 x=12，化简，得 yz=112．①
又 A 、 B 、 C 中只有一个不发生的概率是 14，
所以 1−xyz+x1−yz+xy1−z=14，
其中 x=12，化简，得 y+z−yz=12．②
由 ①② 得 y=13，z=14 或 y=14，z=13．
（2） PA⋅B⋅C=PAPBPC=1−x1−y1−z=12×23×34=14
因此，A 、 B 、 C 均不发生的概率是 14．
29. （1） “从甲组中选出 1 名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出 1 名女生”这一事件是否发生没有影响，所以它们是相互独立事件．
（2） “从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”的概率为 58，若这一事件发生了，则“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个，取出的仍是白球”的概率为 47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为 57，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．
30. （1） n=1 时，袋中白球的个数可能为 a 个（即取出的是白球），概率为 aa+b；
也可能为 a+1 个（即取出的是黑球），概率为 ba+b，
故 Ex1=aaa+b+a+1ba+b=a2+ab+ba+b．
（2） 首先 Pxn+1=a+0=P0aa+b．
k≥1 时，第 n+1 次取出来有 a+k 个白球的可能性有两种：
第 n 次袋中有 a+k 个白球，
显然每次取球后，球的总数保持不变，即 a+b 个（故此时黑球有 b−k 个）．
第 n+1 次取出来的也是白球，这种情况发生的概率为 Pka+ka+b；
第 n 次袋中有 a+k−1 个白球，第 n+1 次取出来的是黑球，
由于每次球的总数为 a+b 个，故此时黑球的个数为 b−k+1．
这种情况发生的概率为 Pk−1b−k+1a+bk≥1．
故 Pxn+1=a+k=Pka+ka+b+Pk−1b−k+1a+bk≥1．
（3） 第 n+1 次白球的个数 xn+1 的数学期望 Exn+1 分为两类：
（i）若第 n+1 次取出来的是白球，由于每次白球和黑球的总个数为 a+b，
这种情形发生的概率是 Exna+b，此时白球的个数的数学期望为 Exn；
（ii）若第 n+1 次取出来的是黑球，这种情况发生的概率是 a+b−Exna+b，
此时白球的个数变为 Exn+1．故
Exn+1=Exna+bExn+a+b−Exna+bExn+1=Exn2a+b+1−Exna+bExn+1=Exn2a+b+Exn−Exn2a+b+1−Exna+b=1−1a+bExn+1.