2022届高考数学二轮专题测练-圆锥的表面积与体积

这是一份2022届高考数学二轮专题测练-圆锥的表面积与体积，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 一个圆锥的底面半径为 2，高为 23，则圆锥的侧面积是
A. 833πB. 4πC. 8πD. 16π

2. 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上下底面半径之比为 1:4，若截去的圆锥的母线长为 3 cm，则圆台的母线长为
A. 1 cmB. 3 cmC. 12 cmD. 9 cm

3. 半径为 R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为
A. 324πR3B. 38πR3C. 525πR3D. 58πR3

4. 底面半径为 1，母线长为 2 的圆锥的体积为
A. 2πB. 3πC. 2π3D. 3π3

5. 若一个圆锥的轴截面是边长为 2 的等边三角形，则这个圆锥的表面积是
A. 3πB. 33πC. 6πD. 9π

6. 已知底面半径为 1 的圆锥侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积是
A. 33πB. 233πC. 3πD. 433π

7. 已知圆锥的底面半径为 1，高为 3，过高线的中点且垂直于高线的平面将圆锥截成上下两部分，则上下两部分的体积比为
A. 17B. 14C. 12D. 18

8. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
A. 20πB. 24πC. 28πD. 32π

9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ( )
A. 223πB. π2C. 23πD. π

10. 表面积为 3π 的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为
A. 2155B. 155C. 2D. 1

11. 一个底面半径和高都为 2 的圆椎的表面积为
A. 42+1πB. 422+1πC. 42πD. 82π

12. 已知圆锥的底面半径是 1，且它的侧面展开图是半圆，则该圆锥的表面积是
A. 2πB. 3πC. 4πD. 5π

13. 《算术书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h，计算其体积 V 的近似公式 V≈136L2h．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 π 近似取为 3．那么近似公式 V≈275L2h 相当于将圆锥体积公式中的 π 近似取为
A. 227B. 258C. 15750D. 355113

14. 已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为 S，则圆锥的底面面积是
A. SB. S2C. S4D. 22S

15. 《算数书》是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也. 又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h，计算其体积 V 的近似公式 V≈136L2h . 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 π 近似取为 3 . 那么，近似公式 V≈275L2h 相当于将圆锥体积公式中 π 的近似取为
A. 227B. 258C. 15750D. 355113

16. 用一块圆心角为 240∘ 、半径为 R 的扇形铁皮制成一个无底面的圆锥容器（接缝忽略不计），则该容器的体积为
A. 45πR381B. 45πR327C. 3πR327D. 43πR327

17. 在 △ABC 中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120∘，若将 △ABC 绕直线 BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是
A. 92πB. 72πC. 52πD. 32π

18. 如图，边长为 2 的等边三角形 ABC，过点 C 作 BC 的垂线 l，则将 △ABC 绕 l 旋转一周形成的曲面所围成的几何体的体积为
A. 23πB. 43πC. 25πD. 45π

19. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有
A. 14 斛B. 22 斛C. 36 斛D. 66 斛

20. 圆锥的底面半径为 a，侧面展开图是半圆面，那么此圆锥的侧面积是
A. 2πa2B. 4πa2C. πa2D. 3πa2

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 已知某圆锥的正视图是边长为 2 的等边三角形，则该圆锥的体积等于 ．

22. 设 △ABC 是等腰直角三角形，斜边 AB=2．现将 △ABC（及其內部）绕斜边 AB 所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为 ．

23. 已知圆锥的体积为 33π，母线与底面所成角为 π3，则该圆锥的表面积为 ．

24. 已知一个圆锥的母线长为 2，侧面展开是半圆，那么该圆锥的体积为 ．

25. 已知圆锥的高为 3，底面半径长为 4，若球 O 的表面积与此圆锥侧面积相等，则该球的体积为 ．

三、解答题（共5小题；共65分）
26. 已知圆锥的母线长 l=5 cm，高 h=4 cm，求这个圆锥的体积．

27. 已知圆锥的母线 l 与底面成 45∘ 角，这个圆锥的体积为 9π cm3，求这个圆锥的高 h 及侧面积．

28. 如图，一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为 r 的铁球，并向容器内注水，使水面恰好与铁球面相切．将球取出后，容器内的水深是多少?

29. 已知 △ABC 的边长分别是 AC=3，BC=4，AB=5，以 AB 所在直线为轴旋转一周，求所得几何体的体积．

30. 如图，SA，SB 是圆锥 SO 的两条母线，O 是底面圆的圆心，底面圆半径为 10，C 是 SB 的中点，∠AOB=60∘，AC 与底面所成角为 45∘，求此圆锥的侧面积．
答案
第一部分
1. C
2. D【解析】如图，设圆锥的母线长为 l，
则 33+l=14，
解得：l=9，
故选D．
3. A【解析】依题意，得圆锥的底面周长为 πR，母线长为 R，则底面半径为 R2，高为 32R，所以圆锥的体积为 13×π×R22×32R=324πR3．
4. D
5. A
【解析】圆锥的母线长 l=2，底面半径 r=1，
所以圆锥的表面积 S=πrl+πr2=π×1×2+π×12=3π．
6. A【解析】设圆锥的母线长为 l，则 πl=2π×1，所以 l=2，
设圆锥的高为 h，所以 h=22−1=3，
所以圆锥的体积 V=13π⋅l2⋅3=3π3．
7. A【解析】解圆锥的底面半径为 1，高为 3，过高线的中点且垂直于高线的平面将圆锥截成上下两部分，则上下两部分的体积比为：13π×122×3213π×12×3−13π×122×32=17．
8. C
9. C
10. D
11. A【解析】底面半径和高都为 2 的圆锥，其底面积为 S底面积=π⋅22=4π，
母线长为 22+22=22，
所以它的侧面积为 S侧面积=π⋅2⋅22=42π；
所以圆锥的表面积为：
S=S底面积+S侧面积=4π+42π=42+1π．
12. B
13. B【解析】设圆锥的底面半径为 r，则圆锥的底面圆周长为 L=2πr，所以圆锥底面圆的半径 r=L2π，则圆锥的体积 V=13Sh=13πr2h=13π⋅L24π2h=112L2h．又因为 V≈275L2h，所以 112πL2h≈275L2h，解得 π≈258．
14. B【解析】如图，设圆锥底面半径为 r，母线长为 l，由题意得 πrl=S,πl=2πr, 解得 r=S2π，所以圆锥的底面积为 πr2=π×S2π=S2．
15. B
【解析】设圆锥底面圆的半径为 r，高为 h，则 l=2πr，13πr2h=2752πr2h ，所以 π=258 .
16. A【解析】扇形的圆心角为 240∘=4π3，半径为 R；
设扇形围成的圆锥底面半径为 r，高为 h；
则 2πr=4π3R，解得 r=2R3；
h=R2−r2=53R，
则该圆锥的体积为 V=13πr2h=π3⋅4R29⋅53R=45πR381．
17. D
18. A【解析】如图，延长 BA 交 l 于点 D，
则将 △BCD 绕 l 旋转一周所围成的圆锥的体积 V1=13π×4×23=83π3，而将 △ACD 绕 l 旋转一周形成的曲面所围成的几何体的体积 V2=2×13π×1×3=23π3，故所求的几何体的体积 V=V1−V2=23π．
19. B
20. A
第二部分
21. 33π
22. 23π
23. 3π
【解析】设圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l，
则 V锥=13πr2h=33π⇒r2h=3．
又母线与底面所成的角为 π3，
所以 hr=tan60∘=3⇒h=3r，
解得 r=1，h=3，
所以 l=r2+h2=2．
所以 S表=πr2+πrl=3π．
24. 3π3
【解析】设该圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l=2，则由 πrl=12πl2，得 r=1，从而 h=3，
所以该圆锥的体积 V=13πr2h=3π3．
25. 2053π
【解析】因为圆锥侧面积为 πrl=π×4×32+42=20π，
所以 4πR2=20π．
所以 R2=5，V=43πR3=2053π．
第三部分
26. r=3 cm，V=12π cm3．
27. h=3 cm，S=92π cm2．
28. 铁球取出后，容器内水的体积不变，设球被取出后容器内水深为 h ，
因为 △ABC 为正三角形，O 为 △ABC 的中心，
所以 AO1=3OM=3r ，注水后圆锥的底面半径 O1C=33×3r，
因球取出后的水深为 h，则此时圆锥底面半径为 33h .
所以球的体积与球被取出后圆锥的体积之和等于注水后圆锥的体积，
即 43πr3+13π⋅33h2⋅h=13π33⋅3r2⋅3r ，解得 h=315r .
29. 因为 △ABC 为直角三角形，且 AB 为斜边，所以绕边 AB 旋转一周，所得几何体为两个同底的圆锥，且圆锥的底面半径 r=125，所以 V锥=13⋅AB⋅πr2=13⋅5⋅π⋅1252=485π．
30. 作 CK⊥OB 于 K，连接 AK．
因为 SO 垂直于底面，
所以 CK∥SO，
所以 CK 垂直于底面，K 是 OB 的中点，
所以 ∠CAK 为 AC 与底面所成角，∠CAK=45∘，于是在 Rt△CKA 中，AK=CK，
又在 △AOK 中，OA=10，OK=5，∠AOB=60∘．
由余弦定理，得 AK=102+52−2⋅10⋅5⋅cs60∘=53 .
所以 KC=53，SO=103，SB=20．
所以 S侧=π⋅10⋅20=200π．