专题06 函数的奇偶性、对称性

专题06  函数的奇偶性、对称性

【方法点拨】

1. 若单调奇函数f(x)满足f(a)＋f(b)＝0，则a＋b＝0.一般的，若单调函数f(x)关于点(m，n)对称，且满足f(a)＋f(b)＝2n，则a＋b＝2m.
2. 对于具有对称性的函数零点问题，要注意检验充分性，以防增解.

【典型题示例】

例1   设函数的最大值为，最小值为，则 =___         .

【答案】2

【分析】本题解法较多，利用函数的奇偶性应当最为简单.将函数解析式适当作如下变形，，设，显然为奇函数，由题意知其最大值、最小值一定存在，根据函数图象的对称性，最大值与最小值互为相反数，其和为0，所以，本题应填2.

点评:

1.本题欲求最大值与最小值的和，上述解法没有运用常规的求最值的基本工具，如：求导、基本不等式、单调性、反解等，而是充分利用函数的性质——奇偶性，舍弃解析式其外在的“形”转而研究函数的“性”，这种策略和方法在解题中经常涉及.由于考生受定势思维的影响，此类题目多为考生所畏惧.

2. 发现函数隐藏的单调性、对称性是解决此类问题之关键，对于单调奇函数有下列性质：若单调奇函数f(x)满足f(a)＋f(b)＝0，则a＋b＝0.更一般的，若单调函数f(x)关于点(m，n)对称，且满足f(a)＋f(b)＝2n，则a＋b＝2m.

例2  设函数，数列是公差不为0的等差数列，，则（    ）

A．0                 B．7                C．14                D．21

【答案】D

【分析】根据函数值之和求自变量之和，很自然会去考虑函数的性质，而等式常常考查对称性，从而尝试去寻求函数的对称中心.

     函数可以视为由与构成，它们的对称中心不一样，可以考虑对函数的图象进行平移, 比如，引入函数，则该函数是奇函数，对称中心是坐标原点，由图象变换知识不难得出的图象关于点中心对称.

【解析】∵是公差不为0的等差数列，且

∴

∴

∴

例3   已知函数有唯一零点，则a=（       ）

A．   B．    C．   D．1

【答案】C

【分析】如果利用导数研究的零点，就会小题大做，容易陷入困难.由函数与方程思想，函数的零点满足.

设，显然是由函数向右平移一个单位而得到，易知是偶函数且在上是增函数.故关于直线对称，且在上是增函数，在上是减函数，.

   设，显然关于直线对称，顶点为.

若，则函数关于直线对称，且在上是减函数，在上是增函数，最大值为，.

若的图象与的图象有一个公共点A，根据对称性必有另一个公共点B.所以，不合题意；

若，函数关于直线对称，且在上是增函数，在上是减函数，最小值为.若的图象与的图象只有一个公共点，必有，得.

【解析】，令

则易知是偶函数，所以图象关于直线对称，欲使有唯一零点，  必有，即，所以.

例4   已知关于x的方程有唯一解，则实数a的值为________.

【答案】1

【分析】利用隐藏的对称性，易得f(0)＝0，求得a＝1或a＝－3，再利用数形结合，将增解舍弃.

【解析】通过对函数f(x)＝x2＋2alog2(x2＋2)＋a2－3的研究，可发现它是一个偶函数，那么它的图象就关于y轴对称，若有唯一解，则该解必为0．

将x＝0代入原方程中，可求得a＝1或a＝－3．这就意味着，当a＝1或a＝－3时，原方程必有一解0，但是否是唯一解，还需进一步验证．

当a＝1时，原方程为x2＋2log2(x2＋2)－2＝0，即2log2(x2＋2)＝2－x2，该方程实数根的研究可能过函数y＝2log2t和函数y＝4－t的交点情况来进行，不难发现，此时是符合题意的；而当a＝－3时，原方程为x2－6log2(x2＋2)＋6＝0，即x2＋6＝6log2(x2＋2)．通过研究函数y＝4＋t和y＝6log2t可以发现，此时原方程不止一解，不合题意，需舍去．

点评：

     f(0)＝0仅是函数存在零点的必要条件，要注意检验充分性，一般是代入检验进行取舍.

【巩固训练】

1.已知函数f(x)是偶函数，且当x>0时，f(x)=lnx－ax，若函数f(x)恰有5个零点，则实数a的取值范围是             .

2.若函数的零点有且只有一个，则实数             .

3.若函数f(x)＝x2－mcosx＋m2＋3m－8有唯一零点，则满足条件的实数m组成的集合为       ．

4.已知函数， ，则函数零点的个数所有可能值构成的集合为      ．

5.函数的图象与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（ ）    

A.2           B. 4         C.6          D.8

6.已知函数满足，若函数与图象的交点为 则 （ ）

A. 0        B. m       C.  2m       D.  4m

7.（2020·江苏启东中学最后一卷·12）已知函数在区间的值域为，则的值为_______.

8. 已知函数,在区间上的最大值为最小值为则_____.

9.已知实数x、y满足，则 的值是          .

10.（2020·扬州中学五月考·13）圆与曲线相交于点四点，为坐标原点，则_______.

【答案或提示】

1.【答案】（0，e）

2.【答案】

3.【答案】m=2

【解法提示】发现f(x)是偶函数，故得到f(0)=0，立得m=2或m=－4，难点在于对m=－4的取舍问题.思路有二，一是“分离函数”，利用“形”助数；二是利用导数知识，只需当x＞0时，函数恒增或恒减即可.

4.【答案】{0,1,2,4}

5.【答案】B

6.【答案】B

【分析】该题设计抽象函数关于点成中心对称，函数由奇函数向上平移一个单位得到，也关于点成中心对称，因而两函数图象的交点为也关于点成中心对称，，考虑倒序相加法，可得，，故.

7.【答案】2

【分析】本题的难点在于发现函数内隐藏的奇偶性、对称性.

【解析】因为

设，则为定义在上的单调递增函数

所以在区间单增，且关于点（0,1）对称，所以=2.

8.【答案】2

【解析】.

令

,且, 为奇函数,

设其最大值为,则其最小值为,

∴函数的最大值为,最小值为

, .故答案为:.

9.【答案】2020

【提示】两边取自然对数得

设，则易得其为上的单增奇函数，所以，

故.

10.【分析】注意发现圆与一次分式函数的图象均关于点(−3, 2)对称，利用三角形中线的向量表示，将所求转化即可.

【解析】由圆方程，可得，圆心坐标为(−3, 2)

    ，其对称中心为(−3, 2).

在同一直角坐标系中，画出圆和函数图像如图所示：

数形结合可知，圆和函数都关于点M(−3, 2)对称，

故可得其交点A和C，B和 D 都关于点M(−3, 2)对称.

故，，所以.