新疆维吾尔自治区2022年高三年级第一诊断性测试数学（文）试题

2022年高三年级第一次诊断性测试

文科数学（问卷）

（卷面分值：150分；考试时间：120分钟）

注意事项：

1．本卷分为问卷（4页）和答卷（4页），答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上．

2．答卷前，先将答卷密封线内（或答题卡中的相关信息）的项目填写清楚．

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，．则下列结论正确的是

A．       B．        C．             D．

2．已知复数，则

A．               B．                C．                 D．2

3．已知命题p：，，则命题p的否定为

A．，                        B．，

C．，                         D．，

4．设是R上的偶函数，且在上单调递减，若且，则

A．                             B．

C．                             D．与的大小关系不确定

5．如图所示，在正方体中，M，N分别是棱和的中点，则异面直线与MN所成角的大小为

A．30°               B．45°                 C．60°                 D．90°

6．杭州的三潭印月是西湖十景之一，被誉为“西湖第一胜境”，所谓三潭，实际上是3个石塔和其周围水域，石塔建于宋代元四年（公元1089年），每个高2米，分别疏立在水光潋滟的湖面上，形成一个每边长为62米的等边三角形，记为，设的边长为，取每边的中点构成，设其边长为，依此类推，由这些三角形的边长构成一个数列，则的前6项和为

A．             B．                C．               D．

7．已知，且，则的值为

A．              B．               C．                D．

8．若抛物线的准线与圆相切，则抛物线的方程为

A．或                        B．或

C．或                         D．或

9．已知平面向量，满足，，D为线段0A上一点，E为△AOB的外心，则的值为

A．                B．                 C．                  D．2

10．设函数的定义域为R，若存在常数，使对一切实数x均成立，则称为“F函数”．给出下列函数：①；②；③．其中是“F函数”的个数为

A．0个                B．1个                 C．2个                 D．3个

11．已知是数列的前n项和，，，，数列是公差为1的等差数列，则

A．325                B．326                  C．327                  D．328

12．已知A，B为球O的球面上两点，，过弦AB作球的两个截面分别为圆与圆，且是边长为的等边三角形，则该球的表面积为

A．               B．                 C．                D．

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．若实数x，y满足约束条件，则的最大值为           ．

14．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中随机抽取2个球，则取出的2个球中至少有1个红球的概率是           ．

15．已知函数，将的图象上所有的点向左平行移动个单位长度．所得图象关于y轴对称，则           ．

16．已知双曲线的焦点，，过F作圆的切线，与双曲线在第一象限交于点P，且轴，则直线的斜率为           ；双曲线的离心率是           ．

三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤．

17．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，，，，E是PB的中点．

（1）求证：平面PAD；

（2）若，求三棱锥P-ACE的体积．

18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，且．

（1）求；

（2）若△ABC的面积为，求边长a．

19．2021年10月28日—29日，第十六届“中国芯"集成电路产业促进大会在珠海隆重举行。本届大会以“链上中国芯成就中国造”为主题，共同探讨中国半导体产业风向，为国内集成电路企业实现关键技术突破提供了驱动力。某科技公司拟对手机芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入x（亿元）与科技升级直接纯收益y（亿元）的数据统计如下：

（1）若用线性回归模型拟合y与x关系，求y关于x的线性回归方程（精确到0.01）；

（2）利用（1）得到的回归方程预测该科技公司科技升级投入30亿元时的直接纯收益。

参考数据：，，．

参考公式：，

20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的离心率为．过椭圆C的焦点F作长轴的垂线，交椭圆于点P．且．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过的直线l交椭圆C于A，B两点，求△AOB的面积S的最大值．

21．已知函数，

（1）若在处的切线方程为，求a的值；

（2）对于任意，，且，都有，求实数a的取值范围．

选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．

22．选修4-4：极坐标与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）将的方程化为普通方程，将的方程化为直角坐标方程；

（2）已知直线l的参数方程为（，t为参数，且），1与，分别交于A，B两点，且，求a的值．

23．选修4-5：不等式选讲

已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若函数，若存在，对任意，使得成立．求实数a的取值范围．

2022年高三年级第一次诊断性测试（文科数学）参考答案

一、选择题：

1．解析：

易知，，，．

2．解析：

∵，∴．

3．解析：

：，．

4．解析：

由，，得，又∵在上递减，

∴，是偶函数，，

∴．

5．解析：

连接，，易知，，∴就是异面直线与MN所成的角，由于是等边三角形，可知，所以异面直线与MN所成角的大小为60．

6．解析：

由题意可知这是一个首项为，公比的等比数列前6项的和的问题易知．

7．解析：

∵，

∴，又，

∴，，

∴．

8．解析：

圆的圆心为，半径为2，抛物线的准线为，圆心到准线的距离为，因为圆与准线相切，所以有，解得，或，所以抛物线方程为或．

9．解析：

易知，以O为原点，OA边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则，

设，，，则，

∴，

∴．

10．解析：

易知F函数，即为的图象位于图象的上上或其下方

①显然不成立；②，∴不成立；③由，且时，

，显然，∴是F函数．

11．解析：

令，则，，

∴．

12．解析：

记AB的中点为M，则构成平面四边形．且，

∴OM为的外接圆的直径，∴，∴，

∴．

二、填空题

13．4    14．0.7    15．    16．，

13．解析：

作出可行域，易知在点处，取得最大值4．

14．解析：

记两个红球为，，三个黄球为，，，从中任取两个，有，；，；，；，；，；，；，；，；，；，，共10种情况，其中至少有一个红球的有，；，；，；，；，；，；，，共7种情况，概率为．

15．解析：

易知平移后的函数为为偶函数，

∴，由知，

∴，

∴．

16．解析：

易知的圆心为，半径，

∴，

∴，

易知，直线的方程为，

∴

∴，即，

∴，

解得（舍）或，则双曲线的离心率为．

三、解答题：

17．（1）取PA的中点F，连接EF，DF，

∵点E，F分别为PB，PA的中点，

∴，

又∵，，

∴，

∴四边形EFDC是平行四边形，

∴

又∵平面PAD，平面PAD，

∴平面PAD

（2）∵，，，

∴

∵，又平面ABCD，

∴，

∴平面PAC

又点E为PB的中点，点E到平面PAC的距离为

18．

（1）由，得

即，

∴

∴，由正弦定理，可得，即

（2）∵，

∴，

∴

∴，

又，∴，

∴，∴

即边长．

19．

（1）设y关于x的回归方程为

由题意可知，，

∵，，

∴，

∴

∴y关于x的回归方程为

⑵当亿元时，

∴当科技升级投入30亿元时，预测科技公司直接纯收益约为94.11亿元．

（注：若，时，，当亿元时，亿元）

20．

（1）由题意可知，又，可得，

∴椭圆C的方程为：

（2）当直线l的斜率为零时，不存在△AOB

当直线l的斜率不为零时，设方程为：

设，

由，得，

即

，即

∴

令，由，得

∴

当时，

21．

（1）易知，且

由，可得

∴

（2）由已知可得，当时，有恒成立

即在上是增函数．

记，则

∴在上恒成立，即在上恒成立．

∵时，有，即，当时，

由在上恒成立，得，即

即实数a的取值范围为

22．

（1）由的参数方程为（为参数），知的普通方程为：由的极坐标方程为，得的直角坐标方程为：

（2）将l的参数方程为（，t为参数，且）

代入的方程：，

化简得，

，同理

∴，

又，

∴

∴，，

∴或

23．

（1）当时，

由，即

令

如图，的解集为：

（2）若存在，对任意，使得成立，即

由（1）知：（1），

由，即

解得，即实数a的取值范围为．