第2章 第3节　函数的奇偶性与周期性教案

这是一份第2章 第3节　函数的奇偶性与周期性教案，共8页。教案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动体验等内容，欢迎下载使用。

第三节　函数的奇偶性与周期性

一、教材概念·结论·性质重现
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象
偶函数
一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f (－x)＝f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f (－x)＝－f (x)，那么函数f (x)就叫做奇函数
关于坐标原点对称


1．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
2．若f (x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：
(1)f (－x)＝f (x)⇔f (－x)－f (x)＝0⇔＝1⇔f (x)为偶函数；
(2)f (－x)＝－f (x)⇔f (－x)＋f (x)＝0⇔＝－1⇔f (x)为奇函数．
3．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f (x)是奇函数且在x＝0处有定义，那么一定有f (0)＝0；如果函数f (x)是偶函数，那么f (x)＝f (|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
2．函数的周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f (x＋T)＝f (x)，那么函数f (x)就叫做周期函数．非零常数T就叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f (x)的最小正周期(若不特别说明，T一般都是指最小正周期)．

周期函数定义的实质
存在一个非零常数T，使f (x＋T)＝f (x)为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次．
3．函数周期性的常用结论
对f (x)定义域内任一自变量x，
(1)若f (x＋a)＝－f (x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f (x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
(3)若f (x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
4．函数图象的对称性
(1)若函数y＝f (x＋a)是偶函数，即f (a－x)＝f (a＋x)，则函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若对于R上的任意x都有f (2a－x)＝f (x)或f (－x)＝f (2a＋x)，则y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称．
(3)若函数y＝f (x＋b)是奇函数，即f (－x＋b)＋f (x＋b)＝0，则函数y＝f (x)的图象关于点(b,0)中心对称．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域关于坐标原点对称． (√)
(2)若函数f (x)为奇函数，则一定有f (0)＝0． (×)
(3)若函数y＝f (x＋a)是偶函数，则函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称． (√)
(4)若函数y＝f (x＋b)是奇函数，则函数y＝f (x)的图象关于点(b,0)中心对称． (√)
2．下列函数中为偶函数的是(　　)
A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
B　解析：A中函数为奇函数，B中函数为偶函数，C与D中函数均为非奇非偶函数．故选B．
3．已知f (x)满足f (x＋2)＝f (x)．当x∈[0,1]时，f (x)＝2x，则f 等于(　　)
A． B． C． D．1
B　解析：由f (x＋2)＝f (x)，知函数f (x)的周期T＝2，所以f ＝f ＝2＝.
4．已知f (x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)
A．－ B． C． D．－
B　解析：因为f (x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，所以a－1＋2a＝0，所以a＝. 又f (－x)＝f (x)，所以b＝0，所以a＋b＝.
5．已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋2)＝－，当x∈(0,2]时，f (x)＝2x－1，则f (9)＝________.
1　解析：因为f (x＋2)＝－，所以f (x＋4)＝f [(x＋2)＋2]＝f (x)，得T＝4，f (9)＝f (1)＝1.


考点1　函数奇偶性的判断——基础性

1．(多选题)设函数f (x)＝，则下列结论正确的是(　　)
A．|f (x)|是偶函数
B．－f (x)是奇函数
C．f (x)|f (x)|是奇函数
D．f (|x|)f (x)是偶函数
ABC　解析：因为f (x)＝，所以f (－x)＝＝－f (x)．所以f (x)是奇函数，所以|f (x)|是偶函数，－f (x)是奇函数．因为f (|－x|)＝f (|x|)，所以f (|x|)是偶函数，所以f (|x|)·f (x)是奇函数．故选ABC．
2．已知函数f (x)＝则该函数的奇偶性是________．
奇函数　解析：当x>0时，－x<0，所以f (－x)＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f (x)；当x<0时，－x>0，f (－x)＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f (x)，所以f (x)是奇函数．

判断函数奇偶性的常用方法
(1)定义法，即根据奇、偶函数的定义来判断．
(2)图象法，即利用奇、偶函数的对称性来判断；
(3)性质法，即利用在公共定义域内奇函数、偶函数的和、差、积的奇偶性来判断．

考点2　函数奇偶性的简单应用——基础性

1．若函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f (x)＝log2(x＋2)－1，则f (－6)＝(　　)
A．2 B．4 C．－2 D．－4
C　解析：根据题意得f (－6)＝－f (6)＝1－log2(6＋2)＝1－3＝－2.
2．(2019·全国卷Ⅱ)设f (x)为奇函数，且当x≥0时，f (x)＝ex－1，则当x<0时，f (x)＝(　　)
A．e－x－1 B．e－x＋1 C．－e－x－1 D．－e－x＋1
D　解析：当x<0时，－x>0.因为当x≥0时，f (x)＝ex－1，所以 f (－x)＝e－x－1. 又因为 f (x)为奇函数，所以f (x)＝－f (－x)＝－e－x＋1.
3．若函数f (x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.
1　解析：令g(x)＝ln(x＋)，若f (x)＝x·g(x)为偶函数，则必有g(x)为奇函数，所以g(0)＝ln＝0，所以a＝1.经验证，a＝1满足题意．

应用函数奇偶性可解决的问题及解题方法
(1)求函数值
将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求解析式
先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或利用奇偶性构造关于f (x)的方程(组)，从而得到f (x)的解析式．
(3)求函数解析式中参数的值
利用待定系数法求解，根据f (x)±f (－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．

考点3　函数的周期性——综合性

(1)设f (x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f (x＋4)＝f (x)．当x∈[0,2]时，f (x)＝2x－x2，则f (2 023)＝________.
－1　解析：因为f (x＋4)＝f (x)，所以函数f (x)的周期T＝4. 又f (1)＝1，所以f (2 023)＝f (－1＋4×506)＝f (－1)＝－f (1)＝－1.
(2)已知函数f (x)是定义在R上的偶函数．若对于x≥0，都有f (x＋2)＝－，且当x∈[0,2)时，f (x)＝log2(x＋1)，则f (－2 019)＋f (2 021)的值为________．
0　解析：当x≥0时，f (x＋2)＝－，所以f (x＋4)＝f (x)，即4是f (x)(x≥0)的一个周期．所以f (－2 019)＝f (2 019)＝f (3)＝－＝－1，f (2 021)＝f (1)＝log22＝1，所以f (－2 019)＋f (2 021)＝0.

1．若本例(1)中的条件不变，则f (x)(x∈[2,4])的解析式是________．
f (x)＝x2－6x＋8　解析：当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]．由已知得f (－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.又f (x)是奇函数，所以f (－x)＝－f (x)＝－2x－x2. 所以f (x)＝x2＋2x.又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，所以f (x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f (x)是周期为4的周期函数，所以f (x)＝f (x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.故x∈[2,4]时，f (x)＝x2－6x＋8.
2．若将本例(2)中“f (x＋2)＝－”变为“f (x＋2)＝－f (x)”，则f (－2 019)＋f (2 021)＝________.
0　解析：由f (x＋2)＝－f (x)可知T＝4，所以f (－2 019)＝－1，f (2 021)＝1，
所以f (－2 019)＋f (2 021)＝0.


函数周期性有关问题的求解策略
(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
(2)周期函数的图象具有周期性，如果发现一个函数的图象具有两个对称性(注意：对称中心在平行于x轴的直线上，对称轴平行于y轴)，那么这个函数一定具有周期性．

1．已知函数f (x)的图象关于原点对称，且周期为4，若f (－1)＝2，则f (2 021)＝(　　)
A．2 B．0 C．－2 D．－4
C　解析：因为函数f (x)的图象关于原点对称，且周期为4，所以f (x)为奇函数，所以f (2 021)＝f (505×4＋1)＝f (1)＝－f (－1)＝－2.故选C．
2．设定义在R上的函数f (x)同时满足以下条件：
①f (x)＋f (－x)＝0；②f (x)＝f (x＋2)；③当0≤x<1时，f (x)＝2x－1.
则f ＋f (1)＋f ＋f (2)＋f ＝________.
－1　解析：依题意知函数f (x)为奇函数且周期为2，则f (1)＋f (－1)＝0，f (－1)＝f (1)，即f (1)＝0.
所以f ＋f (1)＋f ＋f (2)＋f
＝f ＋0＋f ＋f (0)＋f
＝f －f ＋f (0)＋f
＝f ＋f (0)
＝2－1＋20－1＝－1.

考点4　函数性质的综合应用——应用性

考向1　函数的奇偶性与单调性综合
已知奇函数f (x)在R上是增函数，g(x)＝xf (x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a C．b C　解析：易知g(x)＝xf (x)在R上为偶函数，
因为奇函数f (x)在R上单调递增，且f (0)＝0.
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又3>log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，
所以g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，即c>a>b.
考向2　函数奇偶性与周期性的综合
定义在R上的偶函数f (x)满足f (x＋3)＝f (x)．若f (2)>1，f (7)＝a，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
D　解析：因为f (x＋3)＝f (x)，所以f (x)是定义在R上的以3为周期的函数，所以f (7)＝f (7－9)＝f (－2)．又因为函数f (x)是偶函数，所以f (－2)＝f (2)，所以f (7)＝f (2)>1，所以a>1，即a∈(1，＋∞)．故选D．
考向3　函数单调性、奇偶性与周期性的综合
定义在R上的偶函数f (x)满足f (x＋2)＝f (x)，且在[－1,0]上单调递减．设a＝f (－2.8)，b＝f (－1.6)，c＝f (0.5)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．c>a>b
C．b>c>a D．a>c>b
D　解析：因为偶函数f (x)满足f (x＋2)＝f (x)，所以函数f (x)的周期为2.所以a＝f (－2.8)＝f (－0.8)，b＝f (－1.6)＝f (0.4)＝f (－0.4)，c＝ f (0.5)＝f (－0.5)．因为－0.8<－0.5<－0.4，且函数f (x)在[－1,0]上单调递减，所以a>c>b.故选D．

解决函数的周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解．

1．设f (x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f (x)＝2x(1－x)，则f ＝________.
－　解析：由题意可知，f ＝f ＝－f ＝－2××＝－.
2．已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f (x)＝若f (6－x2)>f (x)，则实数x的取值范围是________．
(－3,2)　解析：因为g(x)是奇函数，所以当x>0时，g(x)＝－g(－x)＝ln(1＋x)．易知f (x)在R上是增函数，由f (6－x2)>f (x)，可得6－x2>x，即x2＋x－6<0，所以－3