2018年中考数学第一轮复习资料重新整理(超经典)

这是一份2018年中考数学第一轮复习资料重新整理(超经典)，共141页。试卷主要包含了实数的概念及分类，实数的倒数，平方根，科学记数法和近似数，实数大小的比较，实数的运算等内容，欢迎下载使用。






数 学





2018年中考一轮复习








第一部分　数与代数
第一章　数与式
第1讲　实数83
第2讲　代数式 84
第3讲　整式与分式85
第1课时　整式85
第2课时　因式分解86
第3课时　分式87
第4讲　二次根式89

第二章　方程与不等式
第1讲　方程与方程组90
第1课时　一元一次方程与二元一次方程组90
第2课时　分式方程91
第3课时　一元二次方程93
第2讲　不等式与不等式组94

第三章　函数
第1讲　函数与平面直角坐标系97
第2讲　一次函数99
第3讲　反比例函数101
第4讲　二次函数103

第二部分　空间与图形
第四章　三角形与四边形
第1讲　相交线和平行线106
第2讲　三角形108
第1课时　三角形108
第2课时　等腰三角形与直角三角形110
第3讲　四边形与多边形112
第1课时　多边形与平行四边形112
第2课时　特殊的平行四边形114
第3课时　梯形116

第五章　圆
第1讲　圆的基本性质118
第2讲　与圆有关的位置关系120
第3讲　与圆有关的计算122

第六章　图形与变换
第1讲　图形的轴对称、平移与旋转124
第2讲　视图与投影126
第3讲　尺规作图127
第4讲　图形的相似130
第5讲　解直角三角形132

第三部分　统计与概率
第七章　统计与概率
第1讲　统计135
第2讲　概率137

第一部分　数与代数
第一章 　数与式 第1讲　实数
考点一、实数的概念及分类 （3分）
1、实数的分类
正有理数
有理数 零 有限小数和无限循环小数
实数 负有理数
正无理数
无理数 无限不循环小数
负无理数
2、无理数
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；
（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
（4）某些三角函数，如sin60o等
考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 （3分）
1、相反数
实数与它的相反数时一对数（零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a= -b，反之亦成立。
2、绝对值
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
考点三、平方根、算数平方根和立方根 （3—10分）
1、平方根
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方根）。
一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数a的平方根记做“”。
2、算术平方根
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
（0）
； 注意的双重非负性：
-（<0） 0
3、立方根

如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
考点四、科学记数法和近似数 （3—6分）
1、有效数字
一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。

2、科学记数法
把一个数写做的形式，其中，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。
考点五、实数大小的比较 （3分）
1、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
2、实数大小比较的几种常用方法
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，



（3）求商比较法：设a、b是两正实数，
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。
（5）平方法：设a、b是两负实数，则。
考点六、实数的运算 （做题的基础，分值相当大）
1、加法交换律
2、加法结合律
3、乘法交换律
4、乘法结合律
5、乘法对加法的分配律
6、实数的运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。



A级　基础题　 　　　　　 　　　　　 　　　

1．在－1,0,1,2这四个数中，既不是正数也不是负数的是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2
2．－2的绝对值等于(　　) A．2 B．－2 C. D．±2
3．－4的倒数的相反数是(　　) A．－4 B．4 C．－ D.
4．－3的倒数是(　　) A．3 B．－3 C. D．－
5．无理数－的相反数是(　　) A．－ B. C. D．－
6．下列各式，运算结果为负数的是(　　)
A．－(－2)－(－3) B．(－2)×(－3) C．(－2)2 D．(－3)－3
7．某天最低气温是－5 ℃，最高气温比最低气温高8 ℃，则这天的最高气温是________℃.

8．如果x－y＜0，那么x与y的大小关系是x____y(填“＜”或“＞”)．

9．(山东泰安)已知一粒米的质量是0.000 021千克，这个数字用科学记数法表示为(　　)
A．21×10－4千克 B．2.1×10－6千克 C．2.1×10－5千克 D．2.1×10－4千克
10．(河北)计算：|－5|－(－3)0＋6×＋(－1)2.





图X1－1－1

B级　中等题
11．实数a，b在数轴上的位置如图X1－1－1所示，下列式子错误的是(　　)
A．a|b| C．－a<－b D．b－a>0

12．北京时间2011年3月11日，日本近海发生9.0级强烈地震．本次地震导致地球当天自转快了0.000 001 6秒．这里的0.000 001 6秒请你用科学记数法表示________________________秒．

13．将1，，，按下列方式排列．若规定(m，n)表示第m排从左向右第n个数，则(5,4)与(14,5)表示的两数之积是________．


14．计算：|－3 |－2cos30°－2－2＋(3－π)0. 15．计算：－22＋－2cos60°＋|－3|.






C级　拔尖题
16．如图X1－1－2，矩形ABCD的顶点A，B在数轴上，CD＝6，点A对应的数为－1，则点B所对应的数为__________．
图X1－1－2


17．观察下列等式：
第1个等式：a1＝＝×； 第2个等式：a2＝＝×；
第3个等式：a3＝＝×； 第4个等式：a4＝＝×；
…
请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第5个等式：
a5＝______________＝______________；
(2)用含有n的代数式表示第n个等式：
an＝______________＝______________(n为正整数)；
(3)求a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100的值．









选做题
18．请你规定一种适合任意非零实数a，b的新运算“a⊕b”，使得下列算式成立：
1⊕2＝2⊕1＝3，(－3)⊕(－4)＝(－4)⊕(－3)＝－，(－3)⊕5＝5⊕(－3)＝－，…
你规定的新运算a⊕b＝________(用a，b的一个代数式表示)．






第2讲　代数式
考点一、整式的有关概念 （3分）
1、代数式
用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
2、单项式
只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。
注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式。
考点二、多项式 （11分）
1、多项式
几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
单项式和多项式统称整式。
用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。
注意：（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。
（2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。
2、同类项
所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。

3、去括号法则
（1）括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号。
（2）括号前是“﹣”，把括号和它前面的“﹣”号一起去掉，括号里各项都变号。
4、整式的运算法则
整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。
整式的乘法：1. 2.
3. 4.
5. 6.
整式的除法：
注意：（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。
（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。
（3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。
（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。
（5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。
（6）
（7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。


A级　基础题
　 　　　　　 　　　　　 　　　
1．某省初中毕业学业考试的同学约有15万人，其中男生约有a万人，则女生约有(　　)

A．(15＋a)万人 B．(15－a)万人 C．15a万人 D.万人
2．若x＝－，y＝＋，则xy的值是(　　)
A．2 B。2 C．m＋n D．m－n

3．若x＝1，y＝，则x2＋4xy＋4y2的值是(　　) A．2 B．4 C. D .


4．已知a－b＝1，则代数式2a－2b－3的值是(　　) A．－1 B．1 C．－5 D．5

5．已知实数x，y满足＋(y＋1)2＝0，则x－y等于(　　)
A．3 B．－3 C．1 D．－1

6．若|x－3|＋|y＋2|＝0，则x＋y的值为__________．

7．通信市场竞争日益激烈，某通信公司的手机市话费标准按原标准每分钟降低a元后，再次下调了20%，现在收费标准是每分钟b元，则原收费标准每分钟是____________元．

8．已知代数式2a3bn＋1与－3am＋2b2是同类项，2m＋3n＝________.

9．如图X1－2－1，点A，B在数轴上对应的实数分别为m，n，则A，B间的距离是________(用含m，n的式子表示)．
图X1－2－1
10．已知2x－1＝3，求代数式(x－3)2＋2x(3＋x)－7的值．

B级　中等题
11．若a2－b2＝，a－b＝，则a＋b的值为(　　) A．－ B. C．1 D．2


12．化简得____________ ；当m＝－1时，原式的值为________ ．



13．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片[如图X1－2－1(1)]不重叠的放在一个底面为长方形(长为m cm，宽为n cm)的盒子底部[如图X1－2－1(2)]，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图X1－2－1(2)中两块阴影部分的周长和是(　　)
图X1－2－1

A．4m cm　　　　 B．4n cm C．2(m＋n) cm　　　　 D．4(m－n) cm
14．若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a＋b＋c就是完全对称式．下列三个代数式：
①(a－b)2；②ab＋bc＋ca；③a2b＋b2c＋c2a.
其中是完全对称式的是(　　)
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
15．已知A＝2x＋y，B＝2x－y，计算A2－B2.






C级　拔尖题
16．若3x＝4,9y＝7，则3x－2y的值为(　　) A. B. C．－3 D.



17．一组按一定规律排列的式子(a≠0)：
－a2，，－，，…，
则第n个式子是________(n为正整数)．


选做题
18．)已知，x＝2 009，y＝2 010，求代数式÷的值．






19．如图X1－2－3，从边长为(a＋1)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a－1)cm的正方形(a＞1)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则该矩形的面积是(　　)
图X1－2－3

A．2 cm2 B．2a cm2 C．4a cm2 D．(a2－1)cm2

第3讲　整式与分式
第1课时　整式

A级　基础题
1．计算(－x)2·x3的结果是(　　) A．x5 B．－x5 C．x6 D．－x6

2．下列运算正确的是(　　) A．3a－a＝3 B．a2·a3＝a5 C．a15÷a3＝a5(a≠0)D．(a3)3＝a6

3．下列运算正确的是(　　)A．a＋a＝a2 B．(－a3)2＝a5C．3a·a2＝a3 D．(a)2＝2a2

4．在下列代数式中，系数为3的单项式是(　　)A．xy2 B．x3＋y3 C．x3y D．3xy

5．下列计算正确的是(　　)
A．(－p2q)3＝－p5q3 B．(12a2b3c)÷(6ab2)＝2ab
C．3m2÷(3m－1)＝m－3m2 D．(x2－4x)x－1＝x－4

6．下列等式一定成立的是(　　)
A．a2＋a3＝a5 B．(a＋b)2＝a2＋b2
C．(2ab2)3＝6a3b6 D．(x－a)(x－b)＝x2－(a＋b)x＋ab

7．计算(－5a3)2的结果是(　　) A．－10a5 B．10a6 C．－25a5 D．25a6

8．(湖北荆州)将代数式x2＋4x－1化成(x＋p)2＋q的形式为(　　)
A．(x－2)2＋3 B．(x＋2)2－4 C．(x＋2)2－5 D．(x＋2)2＋4

9．计算：
(1)(＋1)(－1)＝____________； (2)(山东德州)化简：6a6÷3a3＝________.
(3)(－2a)·＝________.

10．化简：(a＋b)2＋a(a－2b)．




B级　中等题
11．已知一个多项式与3x2＋9x的和等于3x2＋4x－1，则这个多项式是(　　)
A．－5x－1 B．5x＋1
C．13x－1 D．13x＋1


12．(安徽芜湖)如图X1－3－1，从边长为(a＋4) cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a＋1) cm的正方形(a>0)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为(　　)．
图X1－3－1


A．(2a2＋5a) cm2 B．(3a＋15) cm2 C．(6a＋9) cm2 D．(6a＋15) cm2
13．(湖南株洲)先化简，再求值：(2a－b)2－b2，其中a＝－2，b＝3.



14．(吉林)先化简，再求值：(a＋b)(a－b)＋2a2，其中a＝1，b＝.



15．(山西)先化简，再求值：(2x＋3)(2x－3)－4x(x－1)＋(x－2)2，其中x＝－.






C级　拔尖题
16．(四川宜宾)将代数式x2＋6x＋2化成(x＋p)2＋q的形式为(　　)
A．(x－3)2＋11 B．(x＋3)2－7 C．(x＋3)2－11 D．(x＋2)2＋4
17．若＋|y＋2|＝0，求代数式[(x－y)2＋(x＋y)(x－y)]÷2x的值．





选做题
18．观察下列算式：
①1×3－22＝3－4＝－1；
②2×4－32＝8－9＝－1；
③3×5－42＝15－16＝－1；
④__________________________.
……
(1)请你按以上规律写出第4个算式；
(2)把这个规律用含字母的式子表示出来；
(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．




19．(江苏苏州)若3×9m×27m＝311，则m的值为____________．



第2课时　因式分解
考点三、因式分解 （11分）
1、因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
2、因式分解的常用方法
（1）提公因式法：
（2）运用公式法：


（3）分组分解法：
（4）十字相乘法：
3、因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式
（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。

A级　基础题
1．(四川凉山州)下列多项式能分解因式的是(　　)
A．x2＋y2 B．－x2－y2 C．－x2＋2xy－y2 D．x2－xy＋y2


2．(年山东济宁)下列式子变形是因式分解的是(　　)
A．x2－5x＋6＝x(x－5)＋6 B．x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)
C．(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6 D．x2－5x＋6＝(x＋2)(x＋3)
3．(内蒙古呼和浩特)下列各因式分解正确的是(　　)
A．－x2＋(－2)2＝(x－2)(x＋2) B．x2＋2x－1＝(x－1)
C．4x2－4x＋1＝(2x－1)2 D．x2－4x＝x(x＋2)(x－2)
4．(湖南邵阳)因式分解：a2－b2＝______ 5．(辽宁沈阳)分解因式：m2－6m＋9＝______.

6．(广西桂林)分解因式：4x2－2x＝________.7．(浙江丽水)分解因式：2x2－8＝　________.

8．(贵州六盘水)分解因式：2x2＋4x＋2＝________.

9．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)[如图X1－3－2(1)]，把余下的部分拼成一个矩形[如图X1－3－2(2)]，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证(　　)
图X1－3－2


A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．a2－b2＝(a＋b)(a－b) D．(a＋2b)(a－b)＝a2＋ab－2b2
10．若m2－n2＝6且m－n＝3，则m＋n＝________.


B级　中等题
11．对于任意自然数n，(n＋11)2－n2是否能被11整除，为什么？






12．(山东临沂)分解因式：a－6ab＋9ab2＝____________.

13．(四川内江)分解因式：ab3－4ab＝______________.

14．(山东潍坊)分解因式：x3－4x2－12x＝______________.

15．(江苏无锡)分解因式(x－1)2－2(x－1)＋1的结果是(　　)
A．(x－1)(x－2) B．x2 C．(x＋1)2 D．(x－2)2


16．(山东德州)已知：x＝＋1，y＝－1，求的值．









C级　拔尖题
17． (江苏苏州)若a＝2，a＋b＝3，则a2＋ab＝________.
18．(湖北随州)设a2＋2a－1＝0，b4－2b2－1＝0，且1－ab2≠0，则＝________.




选做题
19．分解因式：x2－y2－3x－3y＝______________.

20．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．






21． (贵州黔东南州)分解因式x3－4x＝______________________.


第3课时　分式
考点一、分式 （8~10分）
1、分式的概念
一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。
2、分式的性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
（2）分式的变号法则：
分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
3、分式的运算法则
（1）， （2）。
（3） （4）


A级　基础题
1．(浙江湖州)要使分式有意义，x的取值范围满足(　　)
A．x＝0 B．x≠0 C．x＞0 D．x＜0

2．(四川德阳)使代数式有意义的x的取值范围是(　　)
A．x≥0 B．x≠ C．x≥0且x≠ D．一切实数

3．在括号内填入适当的代数式，是下列等式成立：
(1)＝ b (2)＝


4．约分：＝____________； ＝____________.


5．已知＝，则＝__________. 6．当x＝______时，分式的值为零．
7．(福建漳州)化简：÷.




8．(浙江衢州)先化简＋，再选取一个你喜欢的数代入求值．





9．先化简，再求值：－，其中x＝2.





10．(山东泰安)化简：÷＝____________________.



B级　中等题
11．若分式有意义，则x应满足的条件是(　　)
A．x≠1 B．x≠2 C．x≠1且x≠2 D．以上结果都不对



12．先化简，再求值：÷.






13．(湖南常德)先化简，再求值.
÷，其中x＝2.
14．(四川资阳)先化简，再求值：÷，其中a是方程x2－x＝6的根．






C级　拔尖题
15．先化简再求值：＋，其中＋36a2＋b2－12ab＝0.









选做题
16．已知x2－3x－1＝0，求x2＋的值．







第4讲　二次根式
考点一、二次根式 （初中数学基础，分值很大）
1、二次根式
式子叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。
2、最简二次根式
若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：
（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
3、同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
4、二次根式的性质

（1）

（2）



（3） （4）

5、二次根式混合运算
二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。

A级　基础题
1．下列二次根式是最简二次根式的是(　　)
A. B. C. D.

2．下列计算正确的是(　　)
A.＝2 B.·＝ C.－＝ D.＝－3

3．若a＜1，化简－1＝(　　)
A．a－2 B．2－a C．a D．－a

4．(广西玉林)计算：3 －＝(　　) A．3 B. C．2 D．4

5．如图X1－3－3，数轴上A、B两点表示的数分别为－1和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为(　　)
图X1－3－3
A．－2－ B．－1－ C．－2＋ D．1＋
6．(湖南衡阳)计算：＋＝__________.7．(辽宁营口)计算－2 ＝________.


8．已知一个正数的平方根是3x－2和5x＋6，则这个数是__________．



9．若将三个数－，，表示在数轴上，其中能被如图X1－3－4所示的墨迹覆盖的数是__________．
图X1－3－4

10．(四川内江)计算：tan30°－(π－2 011)0＋－|1－|.






B级　中等题
11．(安徽)设a＝－1，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是(　　)
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5

12．(山东烟台)如果＝1－2a，则(　　)
A．a＜ B．a≤ C．a＞ D．a≥


13．(浙江)已知m＝1＋，n＝1－，则代数式的值为(　　)
A．9 B．±3 C．3 D．5


14．(福建福州)若是整数，则正整数n的最小值为________．


15．(贵州贵阳)如图X1－3－5，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是(　　)
图X1－3－5
A．2.5 B．2 C. D.
16．(四川凉山州)计算：(sin30°)－2＋－|3－|＋83×(－0.125)3.







C级　拔尖题
17．(湖北荆州)若与|x－y－3|互为相反数，则x＋y的值为(　　)
A．3 B．9 C．12 D．27



18．(山东日照)已知x，y为实数，且满足－(y－1)＝0，那么x2 011－y2 011＝______.


选做题

19．(四川凉山州)已知y＝＋－3，则2xy的值为(　　)
A．－15 B．15 C．－ D.



第二章　方程与不等式
第1讲　方程与方程组
第1课时　一元一次方程与二元一次方程组
考点一、一元一次方程的概念 （6分）
1、方程
含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解
能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。
3、等式的性质
（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。
4、一元一次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程 叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项。

考点二、二元一次方程组 （8~10分）
1、二元一次方程
含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是（
2、二元一次方程的解
使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。
3、二元一次方程组
两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
4二元一次方程组的解
使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
5、二元一次方正组的解法
（1）代入法（2）加减法
6、三元一次方程
把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。
7、三元一次方程组
由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组



A级　基础题
1．(山东枣庄)“五一”节期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折(标价的80%)销售，售价为2 080元．设该电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是(　　)
A．x(1＋30%)×80%＝2 080 　B．x×30%×80%＝2 080
C．2 080×30%×80%＝x D．x×30%＝2 080×80%
2．(广西桂林)二元一次方程组的解是(　　)
A. B. C. D.
3．(湖南衡阳)为了丰富同学们的课余生活，体育委员小强到体育用品商店购羽毛球拍和乒乓球拍，若购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小强一共用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍．若设每副羽毛球拍为x元，每副乒乓球拍为y元，列二元一次方程组得(　　)
A. B. C. D.
4．(贵州铜仁)铜仁市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完．设原有树苗x棵，则根据题意列出方程正确的是(　　)
A．5(x＋21－1)＝6(x－1) B．5(x＋21)＝6(x－1)
C．5(x＋21－1)＝6x D．5(x＋21)＝6x
5．已知关于x的方程3x－2m＝4的解是x＝m，则m的值是________．
6．方程组的解是__________．

7．(湖南湘潭)湖南省2011年赴台旅游人数达7.6万人．我市某九年级一学生家长准备中考后全家3人去台湾旅游，计划花费20 000元．设每人向旅行社缴纳x元费用后，共剩5 000元用于购物和品尝台湾美食．根据题意，列出方程为__________________．






8．(年江苏苏州)我国是一个淡水资源严重缺乏的国家．有关数据显示，中国人均淡水资源占有量仅为美国人均淡水资源占有量的，中、美两国人均淡水资源占有量之和为13 800 m3.问中、美两国人均淡水资源占有量各为多少(单位：m3)?









B级　中等题
9．(贵州黔西南)已知－2xm－1y3与xnym＋n是同类项，那么(n－m)2 012＝______.



10．(山东菏泽)已知是二元一次方程组的解则2m－n的算术平方根为(　　) A．± 2 B.　 C．2　 　 D．4




11．(湖北咸宁)某宾馆有单人间和双人间两种房间，入住3个单人间和6个双人间共需1 020元，入住1个单人间和5个双人间共需700元，则入住单人间和双人间各5个共需____________元．




12．(内蒙古呼和浩特)解方程组：






C级　拔尖题
13．如图X2－1－1，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，b)．
(1)求b的值．
(2)不解关于x，y的方程组请你直接写出它的解．
(3)直线l3：y＝nx＋m是否也经过点P？请说明理由．
图X2－1－1
14．(江西南昌)小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．
妈妈说：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两样菜只要36元”；
爸爸说：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨的单价上涨20%”；
小明说：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？”
请你通过列方程(组)求解这天萝卜、排骨的单价(单位：元/斤)．
选做题
15．(上海)解方程组：





16．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x＋3y＝6的解，则k的值为(　　)
A．－　　 B.　 C.　　　　　 D．－

第2课时　分式方程
考点一、分式方程 （8分）
1、分式方程
分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
2、分式方程的一般方法
解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：
（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母
（2）解所得的整式方程
（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
3、分式方程的特殊解法
换元法：
换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。

A级　基础题
　 　　　　　 　　　　　 　　　

1．(广西北海)分式方程＝1的解是(　　) A．－1 B．1　 C．8　 D．15



2．(浙江丽水)把分式方程＝ 化为一元一次方程时，方程两边需同乘以(　　)
A．x　 B．2x C．x＋4 D．x(x＋4)

3．(湖北随州)分式方程＝的解是(　　)
A．v＝－20　 B．v＝5　 C．v＝－5　 D．v＝20
4．(四川成都)分式方程＝的解为(　　)
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4



5．(四川内江)甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用的时间相同．已知乙车每小时比甲车多行驶15千米，设甲车的速度为x千米/时，依题意列方程正确的是(　　)
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝



6．方程 ＝0的解是________．


7．(江苏连云港)今年6月1日起，国家实施了《中央财政补贴条例》，支持高效节能电器的推广使用．某款定速空调在条列实施后，每购买一台，客户可获财政补贴200元，若同样用1万元所购买的此款空调台数，条例实施后比条例实施前多10%，则条例实施前此款空调的售价为 __________元．





8．(山东德州)解方程：＋＝1.



9．(江苏泰州)当x为何值时，分式的值比分式的值大3?





10．(北京)据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1 000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同．求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．





B级　中等题
11．(山东莱芜)对于非零实数a，b，规定a⊕b＝－.若2⊕(2x－1)＝1，则x的 值为(　　)
A.　　 B. C.　 D．－


12．(四川巴中)若关于x的方程＋＝2有增根，则m的值是________．




13．(山东菏泽改编)我市某校为了创建书香校园，去年购进一批图书．经了解，科普书的单价比文学书的单价多4元，用12 000元购进的科普书与用8 000元购进的文学书的本数相等．







C级　拔尖题
15．(江苏无锡)某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：
投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购．投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：
方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的10%；
方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．
(1)请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么(注：投资收益率＝×100%)?
(2)对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？





选做题
14．(山东日照)某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用文具包，文具店规定一次购买400个以上，可享受8折优惠．若给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1 936元；若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1 936元．请问该学校九年级学生有多少人？

15．(湖北黄冈)某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8 800 件投入市场，服装厂有A，B两个制衣车间，A车间每天加工的数量是B车间的1.2 倍，A，B 两车间共同完成一半后，A车间出现故障停产，剩下全部由B车间单独完成，结果前后共用20 天完成，求A，B两车间每天分别能加工多少件．




第3课时　一元二次方程
考点一、一元二次方程 （6分）
1、一元二次方程
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。
考点二、一元二次方程的解法 （10分）
1、直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法
配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。
3、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程的求根公式：

4、因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
考点三、一元二次方程根的判别式 （3分）
根的判别式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即
考点四、一元二次方程根与系数的关系 （3分）
如果方程的两个实数根是，那么，。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

A级　基础题
1．(江苏泰州)一元二次方程x2＝2x的根是(　　)
A．x＝2　　 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝－2

2．方程x2－4＝0的根是(　　)
A．x＝2　　　 B．x＝－2 C．x1＝2，x2＝－2　　　 D．x＝4

3．(安徽)一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是(　　)
A．－1　　　 B．2 C．1和2　　 D．－1和2


4．(贵州安顺)已知1是关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0的一个根，则m的值是(　　)
A．1 B．－1 C．0 D．无法确定



5．(湖北武汉)若x1，x2是一元二次方程x2－3x＋2＝0的两根，则x1＋x2的值是(　　)
A．－2 B．2　 C．3 D．1



6．(湖南常德)若一元二次方程x2＋2x＋m＝0有实数解，则m的取值范围是(　　)
A．m≤－1 B．m≤1 C．m≤4 D．m≤



7．(江西南昌)已知关于x的一元二次方程x2＋2x－a＝0有两个相等的实数根，则a的值是(　　)
A．1　 B．－1　 C. D．－



8．(上海)如果关于x的一元二次方程x2－6x＋c＝0(c是常数)没有实根，那么c的取值范围是__________．




9．(山东滨州)某商品原售价为289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的分率为x, 可列方程为_______________________________________________。



10．解方程： (x－3)2＋4x(x－3)＝0.

B级　中等题
11．(内蒙古呼和浩特)已知：x1，x2是一元二次方程x2＋2ax＋b＝0的两个根，且x1＋x2＝3，x1x2＝1，则a，b的值分别是(　　)
A．a＝－3，b＝1　 B．a＝3，b＝1 C．a＝－，b＝－1 D．a＝－，b＝1

12．(山东潍坊)关于x的方程x2＋2kx＋k－1＝0的根的情况描述正确的是(　　)
A．k为任何实数，方程都没有实数根
B．k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根
C．k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根
D．根据 k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种



13．(山东德州)若x1，x2是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，则x＋x＝__________.




14．(2011年江苏苏州)已知a，b是一元二次方程x2－2x－1＝0的两个实数根，则代数式(a－b)(a＋b－2)＋ab的值等于________．



15．(山西)山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克．若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2 240元，请回答：
(1)每千克核桃应降价多少元？
(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？




16．(湖南湘潭)如图X2－1－2，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m2.
X2－1－2





C级　拔尖题
17．(湖北襄阳)如果关于x的一元二次方程kx2－x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是(　　)
A．k＜ B．k＜且k≠0 C．－≤k＜ D．－≤k＜且k≠0




选做题
18．(江苏南通)设α，β是一元二次方程x2＋3x－7＝0的两个根，则α2＋4α＋β＝________.





19．三角形的每条边的长都是方程x2－6x＋8＝0的根，则三角形的周长是________．





第2讲　不等式与不等式组
考点一、不等式的概念 （3分）
1、不等式
用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
2、不等式的解集
对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。
求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
3、用数轴表示不等式的方法
考点二、不等式基本性质 （3~5分）
1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
考试题型：
考点三、一元一次不等式 （6~8分）
1、一元一次不等式的概念
一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2、一元一次不等式的解法
解一元一次不等式的一般步骤：
（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1
考点四、一元一次不等式组 （8分）
1、一元一次不等式组的概念
几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。
求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
2、一元一次不等式组的解法
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集
A级　基础题
　 　　　　　 　　　　　 　
1．不等式3x－6≥0的解集为(　　)
A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2



2．(湖南长沙)一个不等式组的解集在数轴上表示出来如图X2－2－1，则下列符合条件的不等式组为(　　)
图X2－2－1 图X 2－2


A. B. C. D.
3．函数y＝kx＋b的图象如图X2－2－2，则当y＜0时，x的取值范围是(　　)
A．x＜－2 B．x＞－2 C．x＜－1 D．x＞－1
　　　

4．直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x＋c在同一平面直角坐标系中的图象如图X2－2－3，则关于x的不等式k1x＋b＜k2x＋c的解集为( 　　)
A．x＞1 B．x＜1 C．x＞－2 D．x＜－2

5．若关于x的不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是________．


6．(江苏扬州)在平面直角坐标系中，点P(m，m－2)在第一象限内，则m的取值范围是________．


7． 不等式组的整数解是__________
8． 8．(江苏苏州)解不等式组：




9．某校志愿者团队在重阳节购买了一批牛奶到“夕阳红”敬老院慰问孤寡老人．如果给每个老人分5盒，则剩下38盒，如果给每个老人分6盒，则最后一个老人不足5盒，但至少分得1盒．
(1)设敬老院有x名老人，则这批牛奶共有多少盒(用含x的代数式表示)?
(2)该敬老院至少有多少名老人？最多有多少名老人？








B级　中等题
11．(湖北荆门)已知点M(1－2m，m－1)关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是(　　)
　


12．(湖北恩施)某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中损失10%，假设不计超市其他费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高(　　)
A．40% B．33.4% C．33.3% D．30%



13．(湖北黄石)若关于x的不等式组有实数解，则实数a的取值范围是____________．
14．为了对学生进行爱国主义教育，某校组织学生去看演出，有甲、乙两种票，已知甲、乙两种票的单价比为4∶3，单价和为42元．
(1)甲乙两种票的单价分别是多少元？
(2)学校计划拿出不超过750元的资金，让七年级一班的36名学生首先观看，且规定购买甲种票必须多于15张，有哪几种购买方案？





C级　拔尖题
15．试确定实数a的取值范围，使不等式组恰有两个整数解．






16．(四川德阳)今年南方某地发生特大洪灾，政府为了尽快搭建板房安置灾民，给某厂下达了生产A种板材48 000 m2和B种板材24 000 m2的任务．
(1)如果该厂安排210人生产这两种板材，每人每天能生产A种板材60 m2或B种板材40 m2.请问：应分别安排多少人生产A种板材和B种板材，才能确保同时完成各自的生产任务？
(2)某灾民安置点计划用该厂生产的两种板材搭建甲、乙两种规格的板房共400间，已知建设一间甲型板房和一间乙型板房所需板材及安置人数如下表所示：
板房
A种板材/m2
B种板材/m2
安置人数/人
甲型
108
61
12
乙型
156
51
10
问这400间板房最多能安置多少灾民？






选做题
17．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y＜2，则实数a的取值范围为______．



18．(2011年福建泉州)某电器商城“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价和售价如下表所示：
类别
冰箱
彩电
进价(元/台)
2 320
1 900
售价(元/台)
2 420
1 980
(1)按国家政策，农民购买“家电下乡”产品享受售价13%的政府补贴．农民田大伯到该商场购买了冰箱、彩电各一台，可以享受多少元的补贴？
(2)为满足农民需求，商场决定用不超过85 000元采购冰箱、彩电共40台，且冰箱的数量不少于彩电数量的.若使商场获利最大，请你帮助商场计算应该购进冰箱、彩电各多少台？最大获利是多少？

第三章　函数
第1讲　函数与平面直角坐标系
考点一、平面直角坐标系 （3分）
1、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念
点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。
考点二、不同位置的点的坐标的特征 （3分）
1、各象限内点的坐标的特征
点P(x,y)在第一象限 点P(x,y)在第二象限
点P(x,y)在第三象限 点P(x,y)在第四象限

2、坐标轴上的点的特征
点P(x,y)在x轴上，x为任意实数 点P(x,y)在y轴上，y为任意实数
点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）
3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数
4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数
点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数
点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数
6、点到坐标轴及原点的距离
点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：
（1）点P(x,y)到x轴的距离等于
（2）点P(x,y)到y轴的距离等于
（3）点P(x,y)到原点的距离等于
A级　基础题
1．(山东荷泽)点(－2,1)在平面直角坐标系中所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限


2．(四川成都)在平面直角坐标系xOy中，点P(－3,5)关于y轴的对称点的坐标为(　　)
A．(－3，－5) B．(3,5) C．(3，－5) D．(5，－3)



3．已知y轴上的点P到x轴的距离为3，则点P的坐标为(　　)
A．(3,0) B．(0,3) C．(0,3)或(0，－3) D．(3,0)或(－3,0)




4．(浙江绍兴)在如图X3－1－1所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的▱ABCD，点A的坐标是(0,2)．现将这张胶片平移，使点A落在点A′(5，－1)处，则此平移可以是(　　)
图X3－1－1 图X3－1－2


A．先向右平移5个单位，再向下平移1个单位
B．先向右平移5个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移4个单位，再向下平移1个单位
D．先向右平移4个单位，再向下平移3个单位

5．(山东枣庄)在平面直角坐标系中，点P(－2，x2＋1)所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限




6．(湖北孝感)如图X3－1－2，△ABC在平面直角坐标系中第二象限内，顶点A的坐标是(－2,3)，先把△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，再作△A1B1C1关于x轴的对称图形△A2B2C2，则顶点A2的坐标是(　　)
A．(－3,2) B．(2，－3) C．(1，－2) D．(3，－1)


7.(贵州毕节)如图X3－1－3，在平面直角坐标系中，以原点O为中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O.若点A的坐标是(1,2)，则点A′的坐标是(　　)
A．(2,4) B．(－1，－2) C．(－2，－4) D．(－2，－1)
X3－1－3
8．(浙江衢州)小亮同学骑车上学，路上要经过平路、下坡、上坡和平路(如图X3－1－4)．若小亮上坡、平路、下坡的速度分别为v1、v2、v3，且v1 图X3－1－4

9．(山东潍坊)甲、乙两位同学用围棋子做游戏，如图X3－1－5，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形．则下列下子方法不正确的是(　　)
[说明：棋子的位置用数对表示，如A点在(6,3)]
图X3－1－5
A．黑(3,7)；白(5,3) B．黑(4,7)；白(6,2)
C．黑(2,7)；白(5,3) D．黑(3,7)；白(2,6)
10．(山东德州)点P(1,2)关于原点的对称点P′的坐标为__________．



B级　中等题
11．(四川内江)已知点A(1,5)，B(3，－1)，点M在x轴上，当AM－BM最大时，点M的坐标为____________．


13．(四川达州)将边长分别为1,2,3,4，…，19,20的正方形置于直角坐标系第一象限，如图X3－1－6中的方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为__________．
图X3－1－6　　图X3－1－7
14．(江苏南京)在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿着x轴翻折，再向右平移两个单位称为一次变换．如图X3－1－7，已知等边三角形ABC的顶点B、C的坐标分别是(－1，－1)，(－3，－1)，把△ABC经过连续九次这样的变换得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是__________．
15．(吉林)在平面直角坐标系中，点A关于y轴的对称点为点B，点A关于原点O的对称点为点C.
(1)若点A的坐标为(1,2)，请你在给出的图X3－1－8，坐标系中画出△ABC.设AB与y轴的交点为D，则＝__________；
(2)若点A的坐标为(a，b)(ab≠0)，则△ABC的形状为____________．
图X3－1－8
C级　拔尖题
16．(贵州贵阳)【阅读】在平面直角坐标系中，以任意两点P(x1，y1)、Q(x2，y2)为端点的线段中点坐标为.
【运用】(1)如图X3－1－9，矩形ONEF的对角线交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为(4,3)，求点M的坐标；
(2)在直角坐标系中，有A(－1,2)，B(3,1)，C(1,4)三点，另有一点D与点A，B，C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．
图X3－1－9



选做题
17．(江苏苏州)已知在平面直角坐标系中放置了5个如图X3－1－10所示的正方形(用阴影表示)，点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是(　　)
图X3－1－10
A. B. C. D.

第2讲　一次函数
函数及其相关概念 （3~8分）
1、变量与常量
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。
2、函数解析式
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点
（1）解析法
两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
（2）列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（3）图像法
用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
考点一、正比例函数和一次函数 （3~10分）
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地，如果（k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数。
特别地，当一次函数中的b为0时，（k为常数，k0）。这时，y叫做x的正比例函数。
2、一次函数的图像
所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：
一次函数的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线。

k的符号
b的符号
函数图像
图像特征
k>0
b>0
y



0 x




图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。
b<0
y



0 x




图像经过一、三、四象限，y随x的增大而增大。
K<0
b>0
y




0 x



图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小
b<0

y



0 x



图像经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。
注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。


4、正比例函数的性质
一般地，正比例函数有下列性质：
（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；
（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。
5、一次函数的性质
一般地，一次函数有下列性质：
（1）当k>0时，y随x的增大而增大
（2）当k<0时，y随x的增大而减小
6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。

A级　基础题
1．(江西)已知一次函数y＝－x＋b的图象经过第一、二、四象限，则b的值可能是(　　)
A．－2 B．－1 C．0 D．2

2．(重庆)直线y＝x－1的图象经过的象限是(　　)
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限

3．(广西桂林)直线y＝kx－1一定经过点(　　)
A．(1,0) B．(1，k) C．(0，k) D．(0，－1)

4．(湖南怀化)在平面直角坐标系中，把直线y＝x向左平移一个单位长度后，其直线解析式为(　　)
A．y＝x＋1 B．y＝x－1 C．y＝x D．y＝x－2
5．(黑龙江牡丹江)在平面直角坐标系中，点O为原点，直线y＝kx＋b交x轴于点A(－2,0)，交y轴于点B.若△AOB的面积为8，则k的值为(　　) A．1 B．2 C.－2或4 D．4或－4



6．(湖南张家界)关于的一次函数y＝kx＋k2＋1的图象可能是(　　)

7．(山东济南)一次函数y＝(k－2)x＋b的图象如图X3－2－1所示，则k的取值范围是(　　) A．k＞2 B．k＜2 C．k＞3 D．k＜3

图X3－2－2
图X3－2－1
8．(湖南怀化)一次函数y＝－2x＋3中，y的值随x值增大而__________(填“增大”或“减小”)．

9．(浙江义乌)一次函数y＝2x－1的图象经过点(a,3)，则a＝________.
10．(江苏淮安)国家和地方政府为了提高农民种粮的积极性，每亩地每年发放种粮补贴120元．种粮大户老王今年种了150亩地，计划明年再承租50～150亩土地种粮以增加收入．考虑各种因素，预计明年每亩种粮成本y(单位：元)与种粮面积x(单位：亩)之间的函数关系如图X3－2－2所示：
(1)今年老王种粮可获得补贴多少元？
(2)根据图象，求y与x之间的函数关系式．


B级　中等题
11．(山西)如图X3－2－3，一次函数y＝(m－1)x－3的图象分别与x轴、y轴的负半轴相交于A，B，则m的取值范围是(　　)A．m＞1 B．m＜1 C．m＜0 D．m＞0
图X3－2－4 图X3－2－5
图X3－2－3
12．(广西玉林)一次函数y＝mx＋|m－1|的图象过点(0,2)且y随x的增大而增大，则m＝(　　)
A．－1 B．3 C．1 D．－1或3
13．如图X3－2－4，直线y1＝与y2＝－x＋3相交于点A，若y1＜y2，那么(　　)
A．x＞3 B．x＜2 C．x＞1 D．x＜1
　
14．(湖南衡阳)如图经3－2－5，一次函数y＝kx＋b的图象与正比例函数y＝2x的图象平行且经过点A(1，－2)，则kb＝________


C级　拔尖题
15．(广西北海)如图X3－2－6，点A的坐标为(－1,0)，点B在直线y＝2x－4上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是__________．图X3－2－6

16．某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为每件25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件．
(1)当售价定为每件30元时，一个月可获利多少元？
(2)当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？





17．(山东济宁)“五一”期间，为了满足广大人民的消费需求，某商店计划用160 000元购进一批家电，这批家电的进价和售价如下表：
类别
彩电(元/台)
冰箱(元/台)
洗衣机(元/台)
进价
2 000
1 600
1 000
售价
2 200
1 800
1 100
(1)若全部资金用来购买彩电和洗衣机共100台，问商家可以购买彩电和洗衣机各多少台？
(2)若在现有资金160 000元允许的范围内，购买上表中三类家电共100台，其中彩电台数和冰箱台数相同，且购买洗衣机的台数不超过购买彩电的台数，请你算一算有几种进货方案？哪种进货方案能使商店销售完这批家电后获得的利润最大？请求出最大利润(利润＝售价－进价)．





选做题
18．某电器商城“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价和售价如下表所示：
类别
冰箱
彩电
进价(元/台)
2 320
1 900
售价(元/台)
2 420
1 980
(1)按国家政策，农民购买“家电下乡”产品享受售价13%的政府补贴．农民田大伯到该商场购买了冰箱、彩电各一台，可以享受多少元的补贴？
(2)为满足农民需求，商场决定用不超过85 000元采购冰箱、彩电共40台，且冰箱的数量不少于彩电数量的.若使商场获利最大，请你帮助商场计算应该购进冰箱、彩电各多少台？最大获利是多少？
第3讲　反比例函数
1、 反比例函数的概念:(考点、反比例函数 3~10分）
一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
2、反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
3、反比例函数的性质
反比例函数


k的符号
K > 0
K < 0

图像

Y






O x











y







O x




性质
①x的取值范围是x0，
y的取值范围是y0；
②当k>0时，函数图像的两个分支分别
在第一、三象限。在每个象限内，y
随x 的增大而减小。
①x的取值范围是x0，
y的取值范围是y0；
②当k<0时，函数图像的两个分支分别
在第二、四象限。在每个象限内，y
随x 的增大而增大。


4、反比例函数解析式的确定
确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。
5、反比例函数中反比例系数的几何意义
如下图，过反比例函数图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=。
。
A级　基础题　 　　　　　 　　　　　 　　
1．(甘肃兰州)如图X3－3－1，某反比例函数的图象过点(－2,1)，则此反比例函数表达式为(　　)
图X3－3－1 A．y＝ B．y＝－ C．y＝ D．y＝－
2．(山东枣庄)对反比例函数y＝，下列结论中不正确的是(　　)
A．图象经过点(－1，－1) B．图象在第一、三象限
C．当x>1时，0 3．(江苏南京)若反比例函数y＝与一次函数y＝x＋2的图象没有交点，则k的值可能是(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2


4．(山西)已知直线y＝ax(a≠0)与双曲线y＝(k≠0)的一个交点坐标为(2,6)，则它们的另一个交点坐标是(　　)
A．(－2,6) B．(－6，－2) C．(－2，－6) D．(6,2)

5． (江苏淮安)已知反比例函数的图象y＝如图X3－3－2所示，则实数m的取值范围是(　　) A．m>1 B．m>0 C．m<1 D．m<0

图X3－3－2

6．(江苏无锡)若双曲线y＝与直线y＝2x＋1一个交点的横坐标为－1，则k的值为(　　)
A．－1 B．1 C．－2 D．2


7．(四川南充)矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系用图象表示大致为(　　)

8．(四川达州)一次函数y1＝kx＋b(k≠0)与反比例函数y2＝(m≠0)，在同一直角坐标系中的图象如图X3－3－3所示，若y1>y2，则x的取值范围是(　　)
图X3－3－3 A．－21 B．x<－2或01 D．－2 9． (四川泸州)已知反比例函数y＝的图象经过点(1，－2)，则k＝________.

10．(贵州黔西南州)已知反比例函数的图象经过点(m,2)和(－2,3)，则m的值为__________．




11．(内蒙古呼和浩特)如图X3－3－4，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝(x>0)的图象交于A(m,6)，B(n,3)两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出，当kx＋b－>0时，x的取值范围．
图X3－3－4






B级　中等题
12.(山东青岛)点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)都在反比例函数y＝的图象上，若x1 A．y3
C．y3
13．(贵州贵阳)如图X3－3－5，反比例函数y1＝和正比例函数y2＝k2x的图象交于A(－1，－3)，B(1,3)两点，若＞k2x，则x的取值范围是(　　)
A．－1＜x＜0 B．－1＜x＜1
C．x＜－1或0＜x＜1 D．－1＜x＜0或x＞1
图X3－3－5 图X3－3－6 图X3－3－7

14．(江苏连云港)如图X3－3－6，直线y＝k1x＋b与双曲线y＝交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x＜＋b的解集是____________．

15．(湖北黄冈)如图X3－3－7，点A在双曲线y＝上，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积S△AOB＝2，则k＝________.


16．(四川巴中)如图X3－3－8在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝k1x＋1的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与反比例y2＝的图象分别交于点M，N，已知△AOB的面积为1，点M的纵坐标为2.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)直接写出y1＞y2时，x取值范围．
图X3－3－8

C级　拔尖题
17．(2012年广西玉林)如图X3－3－9，在平面直角坐标系xOy中，梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，过点A的双曲线y＝的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D，交边BC于点E.
(1)填空：双曲线的另一支在第________象限，k的取值范围是________；
(2)若点C的坐标为(2,2)，当点E在什么位置时？阴影部分面积S最小？
(3)若＝，S△OAC＝2，求双曲线的解析式．
图X3－3－9

18．(安徽)甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“满200减100”的促销方式，即购买商品的总金额满200元但不足400元，少付100元；满400元但不足600元，少付200元；…，乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销．
(1)若顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付多少钱？
(2)若顾客在甲商场购买商品的总金额为x(400≤x＜600)元，优惠后得到商家的优惠率为p(p＝)，写出p与x之间的函数关系式，并说明p随x的变化情况；
(3)品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲乙两商场的标价都是x(200≤x＜400)元，你认为选择哪家商场购买商品花钱较少？请说明理由．








选做题
19．(浙江嘉兴)如图X3－3－10，一次函数y1＝kx＋b的图象与反比例函数y2＝的图象相交于点A(2,3)和点B，与x轴相交于点C(8,0)．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)当x取何值时，y1>y2.
图X3－3－10

20．(四川攀枝花)据媒体报道，近期“手足口病”可能进入发病高峰期，某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“手足口病”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧机释放过程中，室内空气中每立方米含药量(单位；毫克)与燃烧时间(单位；分钟)之间的关系如图X3－3－11所示(即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分)，根据图象所示信息，解答下列问题：
(1)写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在多长时间内，师生不能进入教室？
图X3－3－11

第4讲　二次函数
考点一、二次函数的概念和图像 （3~8分）
1、二次函数的概念
一般地，如果，那么y叫做x 的二次函数。
叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法
五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴
（2）求抛物线与坐标轴的交点：
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
考点二、二次函数的解析式 （10~16分）
二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：
（2）顶点式：
（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。
考点三、二次函数的最值 （10分）
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。
如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，。

考点四、二次函数的性质 （6~14分）

1、二次函数的性质





函数
二次函数

图像
a>0
a<0

y







0 x









y






0 x


性质
（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；
（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；
（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而增大，简记左减右增；
（4）抛物线有最低点，当x=时，y有最小值，
（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；
（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；
（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而减小，简记左增右减；
（4）抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，

2、二次函数中，的含义：
表示开口方向：>0时,抛物线开口向上
<0时，抛物线开口向下
与对称轴有关：对称轴为x=
表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，）
3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。
当>0时，图像与x轴有两个交点；
当=0时，图像与x轴有一个交点；
当<0时，图像与x轴没有交点。
补充：
1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）
如图：点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2）
则AB间的距离，即线段AB的长度为 A
2、 函数平移规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，
对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）
左加右减、上加下减

0 x

A级　基础题
1．(上海)抛物线y＝－(x＋2)2－3的顶点坐标是(　　)
A．(2，－3) B．(－2,3) C．(2,3) D．(－2，－3)

2．(山东泰安)将抛物线y＝3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为(　　)
A．y＝3(x＋2)2＋3 B．y＝3(x－2)2＋3 C．y＝3(x＋2)2－3 D．y＝3(x－2)2－3



3．(重庆)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图X3－4－1所示，则下列结论中，正确的是(　　)
A．a＞0 B B．b＜0 C．c＜0 D．a＋b＋c＞0
图X3－4－1 图X3-4－2

4．(山东泰安)二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象如图X3－4－2，则一次函数y＝mx＋n的图象经过(　　)
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
5．(山东济南)如图X3－4－3，二次函数的图象经过(－2，－1)，(1,1)两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是(　　)
A．y的最大值小于0 B．当x＝0时，y的值大于1
C．当x＝－1时，y的值大于1 D．当x＝－3时，y的值小于0
图X3－4－3 　　图X3－4－4

6．(山东日照)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图X3－4－4所示，给出下列结论：①b2－4ac>0；②2a＋b<0；③4a－2b＋c＝0；④a∶b∶c＝－1∶2∶3.其中正确的是(　　)
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
7．(广西玉林)已知拋物线y＝－x2＋2，当1≤x≤5时，y的最大值是(　　)
A．2 B. C. D.


8．(山东滨州)抛物线y＝－3x2－x＋4与坐标轴的交点个数是(　　)
A．3 B．2 C．1 D．0


9．(江苏淮安)抛物线y＝x2－2x－3的顶点坐标是__________．



10．(山东枣庄)二次函数y＝x2－2x－3的图象如图X3－4－5所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是____________． 图X3－4－5

11．(江苏盐城)已知二次函数y＝－x2－x＋.
(1)在如图X3－4－6的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
(2)根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围；
(3)若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．
图X3－4－6
B级　中等题
12．(山东枣庄)抛物线y＝ax2＋bx－3经过点(2,4)，则代数式8a＋4b＋1的值为(　　)
A．3 B．9 C．15 D．－15


13．(湖北襄阳)已知二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　)
A．k<4 B．k≤4 C．k<4且k≠3 D．k≤4且k≠3



14．(甘肃兰州)如图X3－4－7所示的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：(1)b2－4ac>0；(2)c>1；(3)2a－b<0；(4)a＋b＋c<0.你认为其中错误的有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
图X3－4－7 　　图X3－4－8


15．(安徽芜湖)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图X3－4－8所示，则反比例函数y＝与一次函数y＝bx＋c在同一坐标系中的大致图象是(　　)
A B　 C D




16．某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个．
(1)假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是__________元；这种篮球每月的销售量是__________个；(用含x的代数式表示)
(2)8 000元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并求出此时篮球的售价应定为多少元．









C级　拔尖题
17．(山东济南)如图X3－4－10，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴相交于点A(－3,0)，B(－1,0)，与y轴相交于点C，⊙O1为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D.
(1)求抛物线的解析式； (2)求cos∠CAB的值和⊙O1的半径；
(3)如图X3－4－11，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
图X3－4－10
　图X3－4－11







18．(广东肇庆)已知二次函数y＝mx2＋nx＋p图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)，x1<0 (1)求证：n＋4m＝0；
(2)求m，n的值；
(3)当p>0且二次函数图象与直线y＝x＋3仅有一个交点时，求二次函数的最大值．




















选做题
19．(浙江温州)如图X3－4－12，经过原点的抛物线y＝－x2＋2mx(m>0)与x轴的另一个交点为A.过点P(1，m)作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C(B，C不重合)．连结CB，CP.
(1)当m＝3时，求点A的坐标及BC的长；
(2)当m>1时，连结CA，问m为何值时CA⊥CP?
(3)过点P作PE⊥PC且PE＝PC，问是否存在m，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并写出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由．
图X3－4－12









20．(广东广州)如图X3－4－13，抛物线y＝－x2－x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.
(1)求点A，B的坐标；
(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；
(3)若直线l过点E(4,0)，M为直线l上的动点，当以A，B，M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．
图X3－4－13






第二部分　空间与图形
第四章　三角形与四边形
第1讲　相交线和平行线
考点一、直线、射线和线段 （3分）
1、几何图形
从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。
立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。
平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。
2、点、线、面、体
（1）几何图形的组成
点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。
线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。
面：包围着体的是面，分为平面和曲面。
体：几何体也简称体。
（2）点动成线，线动成面，面动成体。
3、直线的概念
一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的。
4、射线的概念
直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。
5、线段的概念
直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。这两个点叫做线段的端点。
6、点、直线、射线和线段的表示
在几何里，我们常用字母表示图形。
一个点可以用一个大写字母表示。
一条直线可以用一个小写字母表示。
一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。
一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。
注意：
（1）表示点、直线、射线、线段时，都要在字母前面注明点、直线、射线、线段。
（2）直线和射线无长度，线段有长度。
（3）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点。
（4）点和直线的位置关系有线面两种：
①点在直线上，或者说直线经过这个点。
②点在直线外，或者说直线不经过这个点。
7、直线的性质
（1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线。它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线。
（2）过一点的直线有无数条。
（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。
（4）直线上有无穷多个点。
（5）两条不同的直线至多有一个公共点。
8、线段的性质
（1）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短。也可简单说成：两点之间线段最短。
（2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。
（3）线段的中点到两端点的距离相等。
（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。
9、线段垂直平分线的性质定理及逆定理
垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
考点二、角 （3分）
1、角的相关概念
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。
当角的两边在一条直线上时，组成的角叫做平角。
平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做锐角；大于直角且小于平角的角叫做钝角。
如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角。
如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角。
2、角的表示
角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体的有一下四种表示方法：
①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。
②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。
③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等。
④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。
注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。
3、角的度量
角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”。
把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。
把1’ 的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。
1°=60’=60”
4、角的性质
（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。
（2）角的大小可以度量，可以比较
（3）角可以参与运算。
5、角的平分线及其性质
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
角的平分线有下面的性质定理：
（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
考点三、相交线 （3分）
1、相交线中的角
两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角。我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做临补角。
临补角互补，对顶角相等。
直线AB，CD与EF相交（或者说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截），构成八个角。其中∠1与∠5这两个角分别在AB，CD的上方，并且在EF的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角；∠3与∠5这两个角都在AB，CD之间，并且在EF的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；∠3与∠6在直线AB，CD之间，并侧在EF的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角。
2、垂线
两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。
垂线的性质：
性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。
考点四、平行线 （3~8分）
1、平行线的概念
在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”。
同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。
注意：
（1）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。
（2）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。
2、平行线公理及其推论
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
3、平行线的判定
平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。简称：同位角相等，两直线平行。
平行线的两条判定定理：
（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。简称：内错角相等，两直线平行。
（2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。简称：同旁内角互补，两直线平行。
补充平行线的判定方法：
（1）平行于同一条直线的两直线平行。
（2）垂直于同一条直线的两直线平行。
（3）平行线的定义。
4、平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等。
（2）两直线平行，内错角相等。
（3）两直线平行，同旁内角互补。
考点五、命题、定理、证明 （3~8分）
1、命题的概念
判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：
（1）命题必须是个完整的句子； （2）这个句子必须对某件事情做出判断。
2、命题的分类（按正确、错误与否分）
真命题（正确的命题）
命题
假命题（错误的命题）
所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
3、公理
人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
4、定理
用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
5、证明
判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
6、证明的一般步骤
（1）根据题意，画出图形。
（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
考点六、投影与视图 （3分）
1、投影
投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。
平行投影：由平行光线（如太阳光线）形成的投影称为平行投影。
中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。
2、视图
当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。
主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图。
俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图。
左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图。
A级　基础题
1．(广西桂林)如图X4－1－1，与∠1是内错角的是(　　)
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
图X4－1－1 图X4－1－2

2．(福建福州)如图X4－1－2，直线a∥b，∠1＝70°，那么∠2的度数是(　　)
A．50° B．60° C．70° D．80°
3．(吉林长春)如图X4－1－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°.D为边CA延长线上的一点，DE∥AB，∠ADE＝42°，则∠B的大小为(　　)
A．42° B．45° C．48° D．58°
图X4－1－3 图X4－1－4


4．如图X4－1－4，已知直线a∥b，∠1＝40°，∠2＝60°.则∠3＝(　　)
A．100° B．60° C．40° D．20°



5．(浙江丽水)如图X4－1－5，小明在操场上从点A出发，先沿南偏东30°方向走到点B，再沿南偏东60°方向走到点C.这时，∠ABC的度数是(　　)
A．120° B．135° C．150° D．160°
图X4－1－5 　图X4－1－6


6．(四川内江)如图X4－1－6，a∥b，∠1＝65°，∠2＝140°，则∠3＝(　　)
A．100° B．105° C．110° D．115°

7．下列命题中，属于真命题的是(　　)
A．相等的角是直角 B．不相交的两条线段平行
C．两直线平行，同位角互补 D．经过两点有且只有一条直线


8．(四川宜宾)如图X4－1－7，已知∠1＝∠2＝∠3＝59°，则∠4＝________.
图X4－1－7 图X4－1－8


9．(浙江湖州)如图X4－1－8，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A＝46°，∠1＝52°，则∠2＝______度．
10．(四川绵阳)如图X4－1－9，AB∥CD，AD与BC交于点E，EF是∠BED的平分线，若∠1＝30°，∠2＝40°，则∠BEF＝________度．
图X4－1－9 图X4－1－10


11．(湖南长沙)如图X4－1－10，AB∥CD∥EF，那么∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝________度．




12．(山东淄博)如图X4－1－11，直线AB，CD分别与直线AC相交于点A，C，与直线BD相交于点B，D.若∠1＝∠2，∠3＝75°，求∠4的度数．
图X4－1－11




B级　中等题
13．(2012年湖北襄阳)如图X4－1－12，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1＝25°，则∠2的度数为(　　)

图X4－1－12 A．20° B．25° C．30° D．35°

1

4．(四川广元)一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行行驶，那么两个拐弯的角度为(　　)
A．先向左转130°，再向左转50° B．先向左转50°，再向右转50°
C．先向左转50°，再向右转40° D．先向左转50°，再向左转40°


15．观察下列各图(如图X4－1－13)，寻找对顶角(不含平角)：
① 　② 　③
图X4－1－13
(1)如图①，图中共有________ 对对顶角；
(2)如图②，图中共有________ 对对顶角；
(3)如图③，图中共有________ 对对顶角；
(4)研究(1)～(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成________对对顶角；
(5)若有2 008条直线相交于一点，则可形成______对对顶角．


C级　拔尖题
16．如图X4－1－14，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，射线OM平分∠AOC，ON平分∠BOC.
(1)求∠MON的度数；
(2)如果(1)中，∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数；
(3)如果(1)中，∠BOC＝β(β为锐角)，其他条件不变，求∠MON的度数；

(4)从(1)，(2)，(3)的结果中，你能看出什么规律？
图X4－1－14


选做题
17．如图X4－1－15①，已知直线m∥n，点A，B在直线n上，点C，P在直线m上．
(1)写出图X4－1中面积相等的各对三角形：________________________________；
(2)如图①，A，B，C为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有____________与△ABC的面积相等；
(3)如图②，一个五边形ABCDE，你能否过点E作一条直线交BC(或其延长线)于点M，使四边形ABME的面积等于五边形ABCDE的面积．
　　　
图X4－1－15
第2讲　三角形
考点一、三角形 （3~8分）
1、三角形的概念
由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2、三角形中的主要线段
（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
3、三角形的稳定性
三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。
4、三角形的特性与表示
三角形有下面三个特性：
（1）三角形有三条线段
（2）三条线段不在同一直线上 三角形是封闭图形
（3）首尾顺次相接
三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。
5、三角形的分类
三角形按边的关系分类如下：

不等边三角形
三角形 底和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
三角形按角的关系分类如下：

直角三角形（有一个角为直角的三角形）
三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）
斜三角形
钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）
把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。
6、三角形的三边关系定理及推论
（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
（2）三角形三边关系定理及推论的作用：
①判断三条已知线段能否组成三角形
②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
7、三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论：
①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。
8、三角形的面积
三角形的面积=×底×高
考点二、全等三角形 （3~8分）
1、全等三角形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形。
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。
2、全等三角形的表示和性质
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。
注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3、三角形全等的判定
三角形全等的判定定理：
（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）
（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）
（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

直角三角形全等的判定：
对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
4、全等变换
只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包括一下三种：
（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。
（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。
考点三、等腰三角形 （8~10分）
1、等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的性质定理及推论：
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。
（2）等腰三角形的其他性质：
①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°
②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则 ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=
2、等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理及推论：
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。





等腰三角形的性质与判定

等腰三角形性质
等腰三角形判定
中线
1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角；
2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等。
1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形；
2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边（平分这个边的对角），那么这个三角形是等腰三角形
角平分线
1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边；
2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点的距离相等。
1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边（平分对边），那么这个三角形是等腰三角形；
2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形。
高线
1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边；
2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等。
1、如果一个三角形一边上的高平分这条边（平分这条边的对角），那么这个三角形是等腰三角形；
2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。
角
等边对等角
等角对等边
边
底的一半<腰长<周长的一半
两边相等的三角形是等腰三角形

4、三角形中的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。
（2）要会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
三角形中位线定理的作用：
位置关系：可以证明两条直线平行。
数量关系：可以证明线段的倍分关系。
常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。
结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。


第1课时　三角形
A级　基础题
1．已知在△ABC中，∠A＝70°－∠B，则∠C＝(　　)
A．35° B．70° C．110° D．140°
2．已知如图X4－2－1中的两个三角形全等，则角α的度数是(　　)
图X4－2－1
A．72° B．60° C．58° D．50°
3．(湖南怀化)如图X4－2－2，∠A，∠1，∠2的大小关系是(　　)
A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A
C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1
图X4－2－2
　　　图X4－2－3

4．(四川绵阳)王师傅用四根木条钉成一个四边形木架，如图X4－2－3.要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条(　　)
A．0根 B．1根 C．2根 D．3根
5．(上海)下列命题中，真命题的是(　　)
A．周长相等的锐角三角形都全等 B．周长相等的直角三角形都全等
C．周长相等的钝角三角形都全等 D．周长相等的等腰直角三角形都全等
6．(江苏连云港)小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4,9,12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是(　　)

A 　 B 　C 　D


7．(山东德州)不一定在三角形内部的线段是(　　)
A．三角形的角平分线 B．三角形的中线
C．三角形的高 D．三角形的中位线
8．(山东济宁)用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图X4－2－3所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是(　　)
A．SSS B．ASA C．AAS D．角平分线上的点到角两边的距离相等
图X4－2－3 图X4－2－4 图X4－2－5


9．(山东临沂)如图X4－2－4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2 cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF＝5 cm，则AE＝________cm.



10．(湖北十堰)如图X4－2－5，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB.求证：BD＝CE.








11．(四川宜宾)如图X4－2－6，点A，B，D，E在同一直线上，AD＝EB，BC∥DF，∠C＝∠F.求证：AC＝EF.
图X4－2－6


12．(四川广元)如图X4－2－7，在△AEC和△DFB中，∠E＝∠F，点A，B，C，D在同一直线上，有如下三个关系式：①AE∥DF；②AB＝CD；③CE＝BF.
(1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题(用序号写出命题书写形式：“如果⊗，⊗，那么⊗”)；
(2)选择(1)中你写出的一个命题，说明它正确的理由．
图X4－2－7






13．如图X4－2－8所示，两根旗杆间相距12 m，某人从点B沿BA走向点A，一定时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM，已知旗杆AC的高为3 m，该人的运动速度为1 m/s，求这个人运动了多长时间？
图X4－2－8






B级　中等题
14．(黑龙江绥化)如图X4－2－9所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B，D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，BF＝5，则EF的长为________(提示：∠EAD＋∠FAB＝90°)．
图X4－2－9 图X4－2－10 图X4－2－11



15．(年黑龙江)如图X4－2－10，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE的度数是(　　)
A．15° B．20° C．25° D．30°


16．(湖南衡阳)如图X4－2－11，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为________．

C级　拔尖题


17．(辽宁阜新)(1)如图X4－2－12，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°.
①当点D在AC上时，如图X4－2－12(1)，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；
②将图X4－2－12(1)中的△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°＜α＜90°)，如图X4－2－12(2)，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
(2)当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，能使线段BD，CE在(1)中的位置关系仍然成立？不必说明理由．
甲：AB∶AC＝AD∶AE＝1，∠BAC＝∠DAE≠90°；
乙：AB∶AC＝AD∶AE≠1，∠BAC＝∠DAE＝90°；
丙：AB∶AC＝AD∶AE≠1，∠BAC＝∠DAE≠90°.
　　　　　　　
　　　　图X4－2－12





选做题
18．(山东滨州)如图X4－2－13(1)，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻两条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的四个顶点A，B，C，D都在这些平行线上．过点A作AF⊥l3于点F，交l2于点H，过点C作CE⊥l2于点E，交l3于点G.
(1)求证：△ADF≌△CBE；
(2)求正方形ABCD的面积；
(3)如图X4－2－13(2)，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3表示正方形ABCD的面积S.
　
图X4－2－13
第2课时　等腰三角形与直角三角形
A级　基础题
1． (浙江东阳)已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个
等腰三角形的顶角为(　　)
A．40° B．100°
C．40°或100° D．70°或50°

2．(四川攀枝花)已知实数x，y满足|x－4|＋＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是(　　)
A．20或16 B．20
C．16 D．以上答案均不对
3．(广东深圳)如图X4－2－14所示，△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°，则∠B的度数是(　　)
A．40° B．35° C．25° D．20°
图X4－2－14 图X4－2－15


4．(山东济宁)如图X4－2－15，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(－2,3)，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于(　　)
A．－4和－3之间 B．3和4之间
C．－5和－4之间 D．4和5之间
5．如图X4－2－16，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠1＝50°，则∠B的度数为(　　)
A．50° B．60° C．30° D．40°
图X4－2－16 图X4－2－17




6．(河北)如图X4－2－17，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，D，E分别在AB，AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为(　　)
A.　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4
7．(吉林)如图X4－2－18，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD＝________.
图X4－2－18
图X4－2－19 图X4－2－20

8．(江苏无锡)如图X4－2－19，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD＝5 cm，则EF＝_________cm.
9．(四川凉山州)把命题“如果直角三角形的两条直角边边长分别为a，b，斜边边长为c，那么a2＋b2＝c2”的逆命题改写成“如果……，那么……”的形式：________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
10．(江苏淮安)如图X4－2－20，△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，已知∠BDC＝45°，BD＝10 ，AB＝20.求∠A的度数．






11．(辽宁沈阳)如图X4－2－21，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°.
(1)求∠DAC的度数；
(2)求证：DC＝AB.
图X4－2－21





12．(湖南湘潭)如图X4－2－22，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使点B与点C重合，得到△DCE，连接BD，交AC于点F.
(1)猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；
(2)求线段BD的长．
图X4－2－22








B级　中等题
13．(贵州黔东南州)如图X4－2－23，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M的坐标为(　　)
A．(2,0) B．(－1,0)
C．(－1,0) D．(，0)
图X4－2－23 图X4－2－24



14．(贵州黔西南州)如图X4－2－24，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，CE＝4，则四边形ACEB的周长为______．
15．(2011年山东枣庄)如图X4－2－25，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
图X4－2－25

(1)画线段AD∥BC且使AD＝BC，连接CD；
(2)线段AC的长为________，CD的长为________，AD的长为________；
(3)△ACD为________三角形，四边形ABCD的面积为________；
(4)若E为BC的中点，则tan∠CAE的值是______．
C级　拔尖题
16．(山东枣庄)如图X4－2－26，将一副三角尺叠放在一起，若AB＝14 cm，则阴影部分的面积是______cm2.
图X4－2－26

选做题
17．(浙江绍兴)小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真的探索．
【思考题】如图X4－2－27，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直墙壁AC上，这时B到墙脚C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯脚将从点B往外移动多少米？
图X4－2－27


(1)请你将小明对“思考题”的解答补充完整：
解：设梯脚将从点B往外移动x米到达点B1，即BB1＝x，
则B1C＝x＋0.7，
A1C＝AC－AA1＝－0.4＝2.
而A1B1＝2.5，在Rt△A1B1C中，由B1C2＋A1C2＝A1B，得方程____________________，
解方程，得x1＝________，x2＝________，
∴点B将向外移动________米．
(2)解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：
【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？
【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？
请你解答小聪提出的这两个问题．







第3讲　四边形与多边形
考点一、四边形的相关概念 （3分）
1、四边形
在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接的图形叫做四边形。
2、凸四边形
把四边形的任一边向两方延长，如果其他个边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形。
3、对角线
在四边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线。
4、四边形的不稳定性
三角形的三边如果确定后，它的形状、大小就确定了，这是三角形的稳定性。但是四边形的四边确定后，它的形状不能确定，这就是四边形所具有的不稳定性，它在生产、生活方面有着广泛的应用。
5、四边形的内角和定理及外角和定理
四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。
四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。
推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于180°；
多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。
6、多边形的对角线条数的计算公式
设多边形的边数为n，则多边形的对角线条数为。
考点二、平行四边形 （3~10分）
1、平行四边形的概念
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形用符号“□ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。
2、平行四边形的性质
（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。
（2）平行四边形的对边平行且相等。
推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
（3）平行四边形的对角线互相平分。
（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。
3、平行四边形的判定
（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4、两条平行线的距离
两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。
平行线间的距离处处相等。
5、平行四边形的面积
S平行四边形=底边长×高=ah


第1课时　多边形与平行四边形
A级　基础题
1．(广东)正八边形的每个内角为(　　)
A．120° B．135° C．140° D．144°
2．(湖南益阳)如图X4－3－1，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，则四边形ABCD一定是(　　)
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．梯形
图X4－3－1图X4－3－2图X4－3－3


3．(四川广元)若以A(－0.5,0)，B(2,0)，C(0,1)三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．(2011年湖南郴州)如图X4－3－2，下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(　　)
A．AB＝DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD∥BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．AB∥DC，AB＝DC
5．(2012年江苏南京)如图X4－3－3，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A＝120°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________.
6．(2011年山东德州)如图X4－3－4，D，E，F分别为△ABC三边的中点，则图中平行四边形的个数为________．
图X4－3－4图X4－3－5图X4－3－6


7．(湖南怀化)如图X4－3－5，在□ABCD中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF＝____________________________________.


8．(山东临沂)如图X4－3－6，□ABCD中，E是BA延长线上一点，AB＝AE，连接CE交AD于点F，若CF平分∠BCD，AB＝3，则BC的长为________．


9．(四川德阳)已知一个多边形的内角和是外角和的，则这个多边形的边数是________．
10．(2012年湖南郴州)如图X4－3－7，已知：点P是□ABCD的对角线AC的中点，经过点P的直线EF交AB于点E，交DC于点F.求证：AE＝CF.
图X4－3－7









11．(福建南平)如图X4－3－8，已知四边形ABCD是平行四边形，若点E，F分别在边BC，AD上，连接AE，CF.请再从下列三个备选条件中，选择添加一个恰当的条件，使四边形AECF是平行四边形，并予以证明．
备选条件：AE＝CF，BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，
我选择添加的条件是：__________.
图X4－3－8


(注意：请根据所选择的条件在图中画出符合要求的示意图，并加以证明)．





12．(江苏泰州)如图X4－3－9，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE＝CF.求证：四边形ABCD是平行四边形．
图X4－3－9





B级　中等题
13．(重庆潼南)如图X4－3－10，在平行四边形 ABCD中(AB≠BC)，直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD，BC于点M，N，交BA，DC的延长线于点E，F，下列结论：①AO＝BO；②OE＝OF; ③△EAM∽△EBN；④△EAO≌△CNO，其中正确的是(　　)

图X4－3－10
A． ①② B．②③
C．②④ D．③④



14．(辽宁沈阳)如图X4－3－11，在□ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN.
(1)求证：△AEM≌△CFN；
(2)求证：四边形BMDN是平行四边形．
图X4－3－11











C级　拔尖题
15．(2012年山东威海)(1)如图X4－3－12(1)，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F.
(1)求证：AE＝CF.
(2)如图X4－3－12(2)，将▱ABCD(纸片)沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I.
求证：EI＝FG.
(1)
(2)


图X4－3－12







选做题
16．如图X4－3－13，已知四边形ABCD是平行四边形．
(1)求证：△MEF ∽△MBA；
(2)若AF，BE分别为∠DAB，∠CBA的平分线，求证：DF＝EC.

图X4－3－13









第2课时　特殊的平行四边形
考点三、矩形 （3~10分）
1、矩形的概念:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质:（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等
（4）矩形是轴对称图形
3、矩形的判定:（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
4、矩形的面积: S矩形=长×宽=ab
考点四、菱形 （3~10分）
1、菱形的概念: 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2、菱形的性质:
（1）具有平行四边形的一切性质 （2）菱形的四条边相等
（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 （4）菱形是轴对称图形
3、菱形的判定
（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形
（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4、菱形的面积:
S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半
考点五、正方形 （3~10分）
1、正方形的概念
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的性质
（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质
（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴
（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形
（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
3、正方形的判定
（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：
先证它是矩形，再证有一组邻边相等。
先证它是菱形，再证有一个角是直角。
（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：
先证明它是平行四边形；
再证明它是菱形（或矩形）；
最后证明它是矩形（或菱形）
4、 正方形的面积 设正方形边长为a，对角线长为 S正方形=
5、 A级　基础题
1．(湖北宜昌)如图X4－3－14，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则△ABC的周长等于(　　)


图X4－3－14A．20 B．15 C．10 D．5
2．(四川绵阳)下列关于矩形的说法中正确的是(　　)
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．矩形的对角线相等且互相平分
3．(江苏无锡)菱形具有而矩形不一定具有的性质是(　　)
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角互补
4．(湖南张家界)顺次连接矩形四边的中点所得的四边形一定是(　　)
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
5．(天津)如图X4－3－15，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为(　　)

图X4－3－15
A.－1 B．3－
C.＋1 D.－1
6．(湖南益阳)如图X4－3－16，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C，D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是(　　)
A．矩形 B．菱形
C．正方形 D．等腰梯形
图X4－3－16图X4－3－17图X4－3－18


7．(吉林长春)如图X4－3－17，□ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E，F不重合，若△ACD的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为________．






8．(黑龙江哈尔滨)如图X4－3－18，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED＝2∠CED，点G是DF的中点，若BE＝1，AG＝4，则AB的长为________．





9．(陕西)如图X4－3－19，在正方形ABCD中，点G是BC上任意一点，连接AG，过B，D两点分别作BE⊥AG，DF⊥AG，垂足分别为E，F两点，求证：△ADF≌△BAE.
图X4－3－19






10．(浙江温州)如图X4－3－20，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm.将△ABC沿射线BC方向平移10 cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．
图X4－3－20







11．(湖北恩施)如图X4－3－21，在△ABC中，AD⊥BC于D，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．求证：四边形AEDF是菱形．
图X4－3－21





12．如图X4－3－22，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．
图X4－3－22


B级　中等题
13．(湖南衡阳)如图X4－3－23，菱形ABCD的周长为20 cm，且tan∠ABD＝，则菱形ABCD的面积为________cm2.
图X4－3－23 图X4－3－24


14． (四川宜宾)如图X4－3－24，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝____________.





15．(河南)如图X4－3－25，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.
(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；
(2)填空：①当AM的值为________时，四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为______时，四边形AMDN是菱形．
图X4－3－25







C级　拔尖题
16．(江苏南通)在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．
(1)如图X4－3－26(1)，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；
(2)如图X4－3－26(2)，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．
　　　
图X4－3－26




选做题
17．(黑龙江)在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，若点D在线段BC上，以AD为边长作正方形ADEF，如图X4－3－27(1)，易证：∠AFC＝∠ACB＋∠DAC；
(1)若点D在BC的延长线上，其他条件不变，写出∠AFC，∠ACB，∠DAC的关系，并结合图X4－3－27(2)给出证明；
(2)如图X4－3－27(3)，若点D在CB的延长线上，其他条件不变，直接写出∠AFC，∠ACB，∠DAC的关系式．
　　
图X4－3－27









第3课时　梯形
考点一、梯形 （3~10分）
1、梯形的相关概念
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。
梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。
梯形的两底的距离叫做梯形的高。
两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。

一般地，梯形的分类如下：
一般梯形
梯形 直角梯形
特殊梯形
等腰梯形
2、梯形的判定
（1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。
（2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形。
3、等腰梯形的性质
（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。
（3）等腰梯形的对角线相等。
（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。

4、等腰梯形的判定
（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形
（2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。
5、梯形的面积
（1）如图，
（2）梯形中有关图形的面积：
①；
②；
③
6、梯形中位线定理
梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

A级　基础
1．（四川乐山)下列命题是假命题的是(　　)
A．平行四边形的对边相等 B．四条边都相等的四边形是菱形
C．矩形的两条对角线互相垂直 D．等腰梯形的两条对角线相等
2．(山东滨州)如图X4－3－28，在一张△ABC纸片中， ∠C＝90°， ∠B＝60°，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有一个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数为(　　)
A．1　　 B．2　 C．3　 D．4
图X4－3－28 图X4－3－29


3．(福建漳州)如图X4－3－29所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠B＝80°，则∠D的度数是(　　)
A．120° B．110° C．100° D．80°





4．（广西来宾)在直角梯形ABCD中(如图X4－3－30所示)，已知AB∥DC，∠A＝90°，∠B＝60°，EF为中位线，且BC＝EF＝4，那么AB等于(　　)
A．3 B．5 C．6 D．8
图X4－3－30 图X4－3－31




5．(江苏无锡)如图X4－3－31，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，AB＝5，BC＝9，CD的垂直平分线交BC于点E，连接DE，则四边形ABED的周长等于(　　)
A．17 B．18 C．19 D．20



6．(山东烟台)如图X4－3－32，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且点B的坐标为(4,0)，点D的坐标为(0,3)，则AC长为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．不能确定
图X4－3－32 图X4－3－33


7．(江苏南通)如图X4－3－33，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠A＋∠B＝90°，AB＝7 cm，BC＝3 cm，AD＝4 cm，则CD＝______cm.



8．(四川内江)如图X4－3－34，四边形ABCD是梯形，BD＝AC且BD⊥AC，若AB＝2，CD＝4，则S梯形ABCD＝________.
图X4－3－34 图X4－3－35


9． (湖南长沙)如图X4－3－35，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2，∠B＝60°，则BC的长为________．




10．(湖北襄阳)如图X4－3－36，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC＝2AD，EA＝ED，AC与ED相交于点F.求证：梯形ABCD是等腰梯形．
图X4－3－36




11．(2012年江苏盐城)如图X4－3－37所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BDC＝90°，E为BC上一点，∠BDE＝∠DBC.
(1)求证：DE＝EC；
(2)若AD＝BC，试判断四边形ABED的形状，并说明理由．
图X4－3－37
12．（江苏苏州)如图X4－3－38，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB＝CD，延长线段CB到点E，使得BE＝AD，连接AE，AC.
(1)求证：△ABE≌△CDA；
(2)若∠DAC＝40°，求∠EAC的度数．
图X4－3－38





B级　中等题
13．(湖北咸宁)如图X4－3－39，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BE平分∠ABC且交CD于E，E为CD的中点，EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G，当AD＝2，BC＝12时，四边形BGEF的周长为________．
图X4－3－39 图X4－3－40


14．(四川达州)如图X4－3－40，在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AB，CD的中点，则下列结论：
①EF∥AD；②S△ABO＝S△DCO；③△OGH是等腰三角形；④BG＝DG；⑤EG＝HF.
其中正确的个数是(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个



15．(河北)如图X4－3－41，某市A，B两地之间有两条公路，一条是市区公路AB，另一条是外环公路AD－DC－CB，这两条公路围城等腰梯形ABCD，其中DC∥AB，AB∶AD∶CD＝10∶5∶2.
(1)求外环公路的总长和市区公路长的比；
(2)某人驾车从A地出发，沿市区公路去B地，平均速度是40 km/h，返回时沿外环公路行驶，平均速度是80 km/h，结果比去时少用了 h，求市区公路的长．
图X4－3－41



C级　拔尖题
16．(山东枣庄)如图X4－3－42所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝AD＝6，DE⊥DC交AB于点E，DF平分∠EDC交BC于点F，连接EF.
(1)证明：EF＝CF；
(2)当tan∠ADE＝时，求EF的长．
图X4－3－42







17．（山东滨州)我们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线”，“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”．类似地，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图X4－3－43，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是AB，CD的中点，那么EF就是梯形ABCD的中位线．通过观察、测量，猜想EF和AD，BC有怎样的位置和数量关系？并证明你的结论．
图X4－3－43















第五章 圆§4.1 圆的认识及有关概念
一、知识要点
圆的有关概念，点和圆的位置关系，圆的对称性（中心对称性：弧、弦、圆心角的关系，轴对称性：垂径定理），圆周角定理及推论，确定圆的条件，三角形的外心.
二、课前演练
1. 如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则线段OM的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD，如果∠BOC=70，那么∠A的度数为（ ）
（第1题图） （第2题图） （第3题图） （第4题图）



A. 70 B. 35 C. 30 D. 20




3．如图，过D、A、C三点的圆的圆心为E，过B、E、F三点的圆的圆心为D，如果∠A=63 º，那么∠B= º．
4．如图，点A、B、C在圆O上，且∠BAC=40°，则∠BOC= °．
三、例题分析[来源*:中&~#^教网]
例1 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，以AB为直径的⊙O 交BC于D，交AC于E．
（1）求∠EBC的度数； （2）求证：BD=CD．






例2 如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且AC=CD．
（1）求证：OC∥BD；
（2）若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，试确定四边形OBDC的形状．




四、巩固练习
1．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）
C
B
A
1
56º
l2
l1
B
C
D
A
（第1题图） （第2题图） （第3题图） （第4题图）


M
R
Q

A
B
C
P
B
C
A
D
P
O
A．点P B．点Q C．点R D．点M




2．如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于点B、C，连接AC、BC．若∠ABC=56º，则∠1= ( )
A．36º B．68º C．72º D．78º
3. 如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若∠A=30°，∠APD=70°，则∠B（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于_________________。
5．如图，CD切⊙O于点D，OC交⊙O于B，弦AB⊥OD于点E，若⊙O的半径为10，sin∠COD=.
求：（1）弦AB的长； （2）CD的长.
A
B
C
O
E
D





6. 如图，△ABC内接于⊙O，AD是的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连BE．
A
B
E
O
D
C
⑴试说明：△ABE与△ADC相似；
⑵若AB=2BE=4DC=8，求△ADC的面积.






§4.2 直线和圆的位置关系（1）
一、知识要点
直线和圆的位置关系（相离、相切、相交），切线的性质与判定，切线长定理.
二、课前演练
1．（2012•宜昌）已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是（　　）


A B C D
O
B
C
D
A
2. 已知圆O的半径为R，AB是直径，D是AB延长线上一点，DC是
切线，C是切点，连结AC，若∠CAB=30°，则BD的长为（ ）
A．2R B．R C．R D．R
3．（2012•漳州）如图，⊙O的半径为3cm，当圆心0到直线AB
的距离为______　cm时，直线AB与⊙0相切．
4. 如图，PA是⊙O的切线，直线PBC过点O，交⊙O于B、C，
若PA=8cm，PB=4cm，则⊙O的直径为_________cm．
三、例题分析：
图1
A
B
C
M
D
E
．
Ｏ
例1 如图1，AB是⊙O的直径，射线BM⊥AB，垂足为B，点C为射线BM上的一个动点（点C与点B不重合），连接AC交⊙O于D，切线DE交BC于E.
（1）在点C运动过程中，当DE∥AB时（如图2），求∠ACB的度数；
（2）在点C运动过程中，试比较线段CE与BE的大小，并说明理由；

图2
A
B
C
M
D
E
．
Ｏ






例2 如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．求证：(1)△BCD∽△ADE； (2)DF是⊙O的切线．








四、练习巩固
1．已知⊙O的直径为12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 无法确定
2. 设⊙O的半径为r，点O到直线a的距离为d，若⊙O与直线a至多只有一个公共点，则d与r的关系是（ ）
A. d≤r B. d＜r C. d≥r D. d=r


3．如图，∠APB=30°，圆心在边PB上的⊙O
的半径为1cm，OP=3cm，若⊙O沿BP方向平移，当⊙O
与直线PA相切时，圆心O平移的距离为　_____　cm．

4．在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3，0)，⊙P是以点P为圆心，2为半径的圆，若一次函数y=kx+b的图象过点A(-1，0)且与⊙P相切，则k+b的值为___　．




5．已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B．
（1）如图①，若∠BAC=25°，求∠AMB的大小；
（2）如图②，过点B作BD⊥AC于E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB的大小.









6．（2012•无锡）如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts．
（1）当P异于A、C时，请说明PQ∥BC；
（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？






§4.3 直线和圆的位置关系（2）
一、 知识要点
切线的性质和判定，三角形的内切圆（内心和外心的区别）。
二、 课前演练
1．如图1，AB与⊙O切于点B，AO=6㎝，AB=4㎝，则⊙O的半径为（ 　　）　
A.4㎝ 　 B.2㎝ C.2㎝ 　D. ㎝
2．如图2，⊙0的直径AB与弦AC的夹角为35°，切线PC交AB的延长线于P，则∠P（ ）
图1 图2 图3


A．150 B．200 C．250 D．300




3．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则△ABC的内切圆半径为 ．
4．如图3，⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，∠A=100°，∠C=30°，则∠DFE= ．
三、 例题分析：
例1（2012·自贡）如图AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C.
（1）若AB=2，∠P=30°，求AP的长；
（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．






例2（2012·济宁）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC、BC．
（1）猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论．
（2）求证：PC是⊙O的切线．





四、 巩固练习：
1. 如图，BC是⊙O直径，AD切⊙O于A，若∠C=40°，则∠DAC=（ ）
A.50° B.40° C.25° D.20°

2．如图，正方形ABCD的边长为2，⊙O过顶点A、B，且与CD相切，则圆的半径为（ ）
O
x
y
B
A
(第1题图) (第2题图) (第3题图)


P
A. B. C. D.1





3. 如图，直线y=x+错误！未找到引用源。与x轴、y轴分别相交于A、B两点，圆心P的坐标为(1,0)，⊙P与y轴相切于点O．若将⊙P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5



4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．
（1）若∠A+∠CDB=90°，求证：直线BD与⊙O相切；
（2）若AD:AE=4:5，BC=6，求⊙O的直径．





5. 如图，⊙O直径AB=4 ，∠ABC=30°，BC=4, D是线段BC中点．
（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O切线．







6．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线与BC交于点D，点E在AB上，DE=DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．
（1）AC与⊙D相切吗？并说明理由．
（2）你能找到AB、BE、AC之间的数量关系吗？为什么？



§4.4 圆与圆的位置关系
一、知识要点
圆与圆的5种位置关系；与圆心距、两圆半径有关的计算.
二、课前演练
（第1题图）
1．如图是一个小熊的头像，图中反映出圆与圆的四种
位置关系，但还有一种位置关系没有反映出来，它是两圆 ．
2．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm、5cm，且它们
的圆心距为10cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（　 　）
A．外切 B．相交 C．内切 D．外离
3.圆心距为2的两圆相切，若一圆的半径为1，则另一圆的半径为（ ）
A．1 B．3 C．1或2 D．1或3
三、例题分析
例1 三角形三边长为5cm、12cm、13cm，以三角形三个顶点为圆心的三个圆两两外切，求此三个圆的半径.





例2如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为ts．
（1）当t=1.2s时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；
（2）已知⊙O为△ABC的外接圆．若⊙P与⊙O相切，求t的值．













四、巩固练习
1．相交两圆的半径分别为1和3，把这两个的圆心距的取值范围在数轴上表示正确的是（　　 ）

A B C D
2．已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距d的取值是( )
A．d＞8 　 B．d＞2 C．0≤d＜2　　 D．d＞8或0≤d＜2
3．（已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根，且O1O2 =t+2，若这两个圆相切，则t= ．
4．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），⊙A的半径是2，⊙P的半径是1，满足与⊙A及x轴都相切的⊙P有 个．
5．如图，某城市公园的雕塑是由3个直径为1m的圆两两相垒立在水平的地面上，求雕塑的最高点到地面的距离.





6如图，点A，B在直线MN上，AB=11cm，⊙A、⊙B的半径均为1cm．
⊙A以2cm/s的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（cm）与时间t（s）之间的关系式为r=1+t（t≥0）．
（1）试写出点A、B之间的距离d（cm）与时间t（s）之间的函数关系式；
（2）问点A出发后多少秒两圆相切？















§4.5 正多边形与圆
一、 知识要点
正多边形的概念；正多边形与圆的有关计算；正多边形平面镶嵌.
二、课前演练
1．若一个正六边形的周长为24，则该六边形的面积为___________.
2．半径为r的圆内接正三角形的边长为________.（结果可保留根号）．
3．如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，
则阴影部分的面积为（　　）
A. - B. - C. 2- D. 2-
4．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（ ）
A．(4+)cm B．9cm C．4cm D．6cm
三、例题分析
例1 如图，已知⊙O的周长等于12πcm，求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积.
B
C
D
E
F
A
O
·A






例2 （1）如图1，已知△PAC是⊙O的内接正三角形，那么∠OAC=____________；
（2）如图2，设AB是⊙O的直径，AC是圆的任意一条弦，∠OAC=α.
①如果α=45°，那么AC能否成为圆内接正多边形的一条边？若有可能，那么此多边
形是正几边形？请说明理由;
②若AC是圆的内接正n边形的一边，则用含n的代数式表示α应为________.
﹒






新课 标第 一 网

四、巩固练习
1．一正多边形绕它的中心旋转45°后，就第一次与原图形重合，那么这个多边形 （ ）
A．是轴对称图形，但不是中心对称图形 B．是中心对称图形，但不是轴对称图形
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
2．用两种正多边形镶嵌，不能与正三角形匹配的正多边形是 （　　）
A．正方形 B．正六边形 C．正十二边形 D．正十八边形
3．一个多边形的每个外角与它相邻的内角比都是1：3，这个多边形是_________边形．
4．如果一个正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是__________．
5．如图，已知⊙O和两个正六边形T1，T2． T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和⊙O相切（我们称T1、T2分别为⊙O的内接正六边形和外切正六边形）．
（1）设T1、T2的边长分别为a，b，⊙O的半径为r，求r：a及r：b的值；
（2）求正六边形T1、T2的面积比S1：S2的值．




6．（1）已知：如图1，△ABC为正三角形，点M为BC边上任意一点，点N为CA边上任意一点，且BM=CN，BN、AM相交于Q点，试求∠BQM的度数．
（2）如果将（1）中的正三角形改为正方形ABCD（如图2），点M为BC上任意一点，点N为CD边上任意一点，且BM=CN，BNAM相交于Q点，那么∠BQM等于多少度呢？说明理由．





（3）如果将(1)中的“正三角形”改为正五边形…正n边形(如图3),其余条件都不变,请你根据(1)、(2)的求解思路,将你推断的结论填入下表：(注：的各个角都相等)

正五边形
…
正n边形
∠BQM的度数

…





冈西初中数学组
§4.6 圆的有关计算
一、 知识要点
圆周长、弧长、扇形面积等计算；圆锥的侧面积与全面积的求法.
二、 课前演练
1．如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角= °.
2．一扇形的圆心角为120°,半径为3,则此扇形面积为_______（结果保留π）.
3．一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2．则这个扇形的半径是_____.
4.已知圆锥的底面直径和母线长都是10cm，则圆锥的侧面积为________.
三、例题分析
例1 如图，有一直径是1cm的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角
是90°的扇形CAB．
（1）被剪掉的阴影部分的面积是多少？
（2）若用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少（结果可用根号表示）．





例2 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC=60°，OC=2．
（1）求OE和CD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．﹒










四、巩固练习
1．一扇形圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为（　　）
A．6cm B．12cm C．2cm D．cm

2．如图,一枚直径为4cm的圆形古钱币沿直线滚动一周,圆心移动的距离是( )
A．2πcm B．4πcm C．8πcm D．16πcm




3．如图，半径为1cm，圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．πcm2 B．πcm2 C．cm2 D．cm2




4．（2012舟山）如图，已知⊙O的半径为2，弦AB⊥半径OC，沿AB将弓形ACB翻折，使点C与圆心O重合，则月牙形（图中实线围成的部分）的面积是________．




(第2题图) (第2题图) (第3题图)





5．（2012•岳阳）如图，⊙O中，弧AD=弧AC ，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC．
（1）求证：AC2=AB•AF；
（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B=60°，求图中阴影部分面积．



6．（2012•莱芜）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠A=60°，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E．
（1）求证：⊙D与边BC也相切；
（2）设⊙D交BD于H，交CD于F，连接HF，求图中阴影部分的面积（结果保留π）；
（3）⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当S△HDF=S△MDF时，求动点M经过的弧长（结果保留π）．






§4.7 锐角三角函数 解直角三角形
一、知识要点
三角函数的定义，特殊角的三角函数值.
二、课前演练
1．计算: - tan45°的值是 ．
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=2BC，则tanA的值是
A. B. 2 C. D.
3. 在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知α为锐角，且cos(90°-α)=，则α的度数为（ ）
A．30° B．60° C．45° D．75°
三、例题分析
例1 如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是∠CAB的平分线，tanB=，求CD∶DB.







例2 在Rt△ABC中，∠C=900，∠A=300，E为AB上一点，且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，
连接FB，求tan∠CFB的值.









四、巩固练习
1. 已知α为锐角，tan(90°-α)=，则α的度数为（ 　）
A．30° 　　　　　 B．45° 　　　　 C．60° 　　　　 D．75°
2. 如图1，小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为9.0m，眼睛与地面的距离为1.6m，那么这棵树的高度大约为（　 ）
A．5.2 m B．6.8 m C．9.4 m D．17.2 m
A
C
B
图1 图2 图3 图4
9.0ｍ
a
B
A
C





3. 已知A是锐角，且sinA =，则cos(90°-A)=___________．
4. 计算：sin230°-cos45°·tan60°.


5. 在△ABC中，∠A、∠B都是锐角,且sinA=，tanB=，AB=10，求△ABC的面积.





6. 如图5，将一副三角尺如图摆放在一起，连接AD，试求∠ADB的余切值.
C
A
B
D
图5
D
B
A
C







§4.8 锐角三角函数的应用
一、知识要点：仰角、俯角、方位角、坡角、坡度的概念.
二、课前演练
1．野外生存训练中，第一小组从营地出发向北偏东60°的方向前进了3km，第二小组向南偏东30°的方向前进了3km，经联系,第一小组准备向第二小组靠拢，则他们的行走方向和距离分别为( )
A. 南偏西15°，3km B. 北偏东15°，3km
C. 南偏西15°，3km D. 南偏西45°，3km
A
A
B
B
C
C
30°
2. 如图，为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备的水管的长为（ ）
A．17.5m B．35m
C．35m D．70m
三、例题分析

例1 如图，一条小船从港口A出发，沿北偏东40°方向航行20海里后到达B处，然后又沿北偏西30°方向航行10海里后到达C处，则此时小船距港口A多少海里?(结果保留整数，提示：sin40°≈0.6428，cos40°≈0.7660，tan40°≈0.8391，)





例2 如图，我市某中学数学课外活动小组的同学利用所学知识去测量沱江流经我市某段的河宽．小凡同学在点A处观测到对岸C点，测得∠CAD=45°，又在距A处60米远的B处测得∠CBA=30°，请你根据这些数据算出河宽是多少?(结果保留小数点后两位)









四、巩固练习
1. 如图，某校教学楼的后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，BC∥AD，斜坡AB的长为22 m，坡角∠BAD=68°，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．

(1)求改造前坡顶与地面的距离；
(2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC改到F点处，则BF至少是多少米?(结果保留小数点后一位，参考数据：sin 68°≈0.9272，cos 68°≈0.3746，tan68°≈2.4751，sin50°≈0.7660，cos50°≈0.6428，tan50°≈1.1918)






2. 如图，A，B两城市相距100 km．现计划在这两座城市中间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50 km为半径的圆形区域内．请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区．为什么?(参考数据：≈1.732，≈1.414)





3. 小鹃学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图，
把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12 mm的横格纸中，恰好
四个顶点都在横格线上．已知α=36°，求长方形卡片的周长．”
请你帮小艳解答这道题．(结果保留整数；参考数据：sin36°≈0.6，
cos36°≈0.8，tan36°≈0.7)





4. 如图，某居民楼I高20米，窗户朝南．该楼内一楼住户的窗台离地面距离CM为2米，窗户CD高1．8米．现计划在I楼的正南方距1楼30米处新建一居民楼Ⅱ．当正午时刻太阳光线与地面成30°角时，要使Ⅱ楼的影子不影响I楼所有住户的采光，新建Ⅱ楼最高只能盖多少米?



第五章 图形与变换
§5.1 从三个方向看、图形的展开与折叠
一、知识要点
几何体的三视图，直棱柱、圆锥的侧面展开图．
二、课前演练
1．(2012台州)如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是( )



2．(2012宁波)如图是某物体的三视图，则这个物体的形状是( )
A．四面体　 　 B．直三棱柱　 　
A B C D
C．直四棱柱 　　D．直五棱柱
3．在下面的图形中，不是正方体
表面展开图的是( )
Ｄ．
4．(2010广州)长方体的主视图与俯视图如
图所示，则这个长方体的体积是( )
A．52 B．32 C．24 D．9
三、例题分析
例1 如图，是由一些大小相同的小正方体组合成的简单几何体.画出这个几何体的三视图.



主视方向
例2 (2012济宁)如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是( )
A．3个或4个 B．4个或5个
C．5个或6个 D．6个或7个



四、巩固练习
1．图中所示几何体的俯视图是( )
主视方向
A B C D




主视图
左视图
俯视图
1． 由大小相同的正方体木块堆成的几何体的三视图如右图
所示，则该几何体中正方体木块的个数是( )
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
3．右图是由四个相同的小立方体组成的立体图形的主视图和左视图,那么原立体图形可能是_ ____ (把下图中正确的立体图形的序号都填在横线上).


① ② ③ ④
4．有一正方体木块，它的六个面分别标上数字1——6，这是这个正方体木块从不同面所观察到的数字情况．请问数字1和5对面的数字各是多少？





Ｄ
Ｃ
A
B
5. 如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为2，若一只小虫
从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短
路程是_____________(结果保留根号) .
6. (2012自贡)画出下面左边立体图的三视图．





§5.2 图形的轴对称
一、知识要点
轴对称的概念，轴对称图形的基本性质，按要求作简单图形经过轴对称(两次以内)后的图形．
二、课前演练
1. (2012广元)下面的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有( )

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2. 点P(3，-5)关于x轴对称的点的坐标为( )
A．(-3，-5) B．(5，3) C．(-3，5) D．(3，5)
3. 如图给出了一个图案的一半，其中的虚线就是这个图案的对称轴，
请画出这个图案的另一半．
5. 若等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为35°．则这个三角形的顶角为　 ．
三、例题分析
例1 (2012丽水)如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边
长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方
向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是 ( )
A．① B．② C．⑤ D．⑥
例2 (2012绥化)如图方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，O、M也在格点上．
(1)画出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1；
(2)画出将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90o后所得
的△A2B2C2；
(3)△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形吗？
如果是轴对称图形，请画出对称轴．





四、巩固练习
1．(2012宜昌)以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形的是


A B C D
2. 如图，坐标平面内一点A(2，-1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( )
(第2题图) (第3题图) (第4题图)
　　 A．2 B．3 C．4 D．5




3. (2012遵义)在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有
种．
4. (2012扬州)如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD
的F处，如果=，那么tan∠DCF的值是 ．
5. 如图所示，△ABC中，点E在AC上，点N在BC上，在AB上找
一点F，使△ENF的周长最小，并说明理由．
6. (2012岳阳)(1)操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动
点(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发
现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．
(2)类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与(1)
相同，猜想AF与BD在(1)中的结论是否仍然成立？
(3)深入探究：X K b1. C om
Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时(点D与点B不重合)连接DC，以DC
为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′
与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．
Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中
的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．





§5.3 图形的平移
一、知识要点
平移的基本性质，按要求作出简单的平面图形．
二、课前演练
（第1题图） （第2题图） （第3题图）
1．如图，将△ABC 沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，若∠CAB=50°，∠ABC=100°，则∠CBE的度数为__________．




2. 如图，C、B、E分别是等边△ADF三边的中点，则图中共有____个等边三角形．其中，有______个是由△ABC平移得到的．
3．如图，由2个边长为6的正方形拼成一个长方形，
则图中阴影部分的面积为 ．
4．将图中三角形向右平移3格，作出平移后的图形．
三、例题分析
例1 一块长105m、宽60m的长方形土地，上面修了两条道路互相垂直的小路，宽都是5m，将阴影部分种上草坪，则草坪的面积是多少？




例2 如图，抛物线y1=-x2＋1、y2=-x2-1，求过点，且平行于y轴的两条平行线与两抛物线围成的阴影部分的面积．








四、巩固练习
1．如图，当半径为30cm的转动轮转过120°角时，传送带上的物体A平移的距离为 cm．




（第1题图） （第2题图） （第3题图）
2．如图在8×6的网格图(每个小正方形的边长均为1个单位长度)中，⊙A的半径为2个单位长度，⊙B的半径为1个单位长度，要使运动的⊙B与静止的⊙A内切，应将⊙B由图示位置向左平移________个单位长度．
3．如图，EF是△ABC的中位线，将△AEF 沿AB方向平移到
△EBD的位置， 点D在BC上，已知△AEF的面积为5，则
图中阴影部分的面积为_______．
4．如图，半圆AB平移到半圆CD的位置时所扫过的面积为________．
5．如图，将Rt△ABC沿射线BC的方向平移得到△DEF．求图中阴影部分的面积.





x
y
o
A
B
D
C
-1
5
-2.5

6．已知：抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示：
(1)求此抛物线的解析式；
(2)将抛物线作怎样的一次平移，才能使它与坐标轴仅有
两个交点,并写出此时抛物线的解析式．






§5.4 图形的旋转
一、知识要点
图形的旋转及其基本性质，作出简单的平面图形．
二、课前演练
1．(2012天津) 将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转900，所得图形一定与原图形重合的是 (　 　)
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
2．如图1，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为(　 　)
A．30° B．45° C．90° D．135°
图1 图2 图3


B
C
A






3．如图2，Rt△ABC中，∠ABC=90°, ∠BAC=30°,AB=2cm，将△ABC绕顶点C顺时针旋转至△A′B′C′的位置，且A、C、B′三点共线，则点A经过的最短路线的长度是( )
A．8cm B．4cm C．πcm D．πcm
4．如图3，△ABC的三个顶点都在5×5的网格(每个小正方形的边长均为1个单位长度)的格点上，将△ABC绕点B顺时针旋转到△A′BC′的位置，且点A′、C′仍落在格点上，则线段AB扫过的图形的面积是 __________平方单位(结果保留π)．
三、例题分析
例1（2010连云港）如图，正方形网格中每一个小正方形的边长都是1，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，O为AD的中点，若把四边形ABCD绕着点O顺时针旋转.试解决下列问题：
A

B
C
D
O
（1）画出四边形ABCD旋转后的图形；
（2）求点C旋转过程中所经过的路径长；
（3）设点B旋转后的对应点为B′，求tan∠DAB′的值．


例2 (2010鸡西)平面内有一等腰直角三角板(∠ACB=90°)和一直线MN.过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F.当点E与点A重合时(如图1)，易证：AF+BF=2CE.当三角板绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．





四．巩固练习
1．(2012枣庄)如图，该图形围绕点O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是( )
图1 图2 图3
A．72° B. 108° C. 144° D. 216°





2．(2011大连) 如图，等腰Rt△ABC的直角边AB的长为6cm，将△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积等________cm2．
3．如图，在方格纸中的△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是（ ）
A．把△ABC向右平移6格
B．把△ABC向右平移4格，再向上平移1格
C．把△ABC绕着点A顺时针旋转90°，再向右平移6格
D．把△ABC绕着点A逆时针旋转90°，再向右平移6格
4．按要求分别画出旋转图形：
(1)画△ABC绕O点顺时针方向旋转
90°后得到△A′B′C′;
(2)把四边形ABCD绕O点逆时针方
向旋转90°后得四边形A′B′C′D′．

5．已知△ABC，以AB、AC为边分别作正方形ADEB、ACGF，连接DC、BF.
(1) 利用旋转的观点，在此题中，△ADC绕着 点旋转 度可以得到△ ；
(2) CD与BF相等吗？请说明理由．
(3) CD与BF互相垂直吗？请说明理由．




6．如图，点E为正方形ABCD的边CD上一点，AB=6，AE=2，△DAE旋转后能与△DCF重合.
(1)旋转中心是哪一点？
(2)旋转了多少度？
(3)如果连接EF，那么△DEF是怎样的三角形？
(4)求四边形DEBF的周长和面积？





§5.5 图形的相似(1)
一、 知识要点
比与比例及比例中项等概念；比例的基本性质及比例的变换；比例线段及黄金分割的概念；黄金三角形和黄金矩形；相似三角形的判定．
二、 课前演练
1. 线段2cm、8cm的比例中项为 cm．
2. 若x ：y ：z = 3 ：5 ：7，则 的值为 .
(第4题图)
3. (2012柳州)小张用手机拍摄得到甲图，经放大后得到乙图，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是( )
A．FG B．FH C．EH D．EF

4. 如图，等腰△ABC中，顶角∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，BD、CE相交于点O，则图中的黄金三角形有( )
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
三、例题分析
例1 (2012铁岭)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，
AB=AD=25，BC=32．连接BD，AE⊥BD，垂足为E．
(1)求证：△ABE∽△DBC；
(2)求线段AE的长．



例2 (2012武汉)已知△ABC中，AB=2，AC=4，BC=6．
(1)如图1，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求线段MN的长；
(2)如图2，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形．
①请你在所给的网格中画出格点△A1B1C1与△ABC全等(画出一个即可，不需证明)；
②试直接写出所给的网格中与△ABC相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中一个(不需证明)．





四、巩固练习

1. 若3x-4y=0，则= ， = .
2. 已知图中的两个三角形相似，则x= .
3. 给出下列四个命题，其中真命题有(　 　)
(1)等腰三角形都是相似三角形； (2)直角三角形都是相似三角形；
(3)等腰直角三角形都是相似三角形；(4)等边三角形都是相似三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4. 如图，将方格纸分成6个三角形，在②、③、④、⑤、
⑥5个三角形中，与三角形①相似的三角形有 .
5．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，
△DEF的顶点E位于边BC的中点上．
(1)如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；
(2)如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除(1)中的一对外相似三角形，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．







6.(2012泰安)如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC、CD于点M、F，BG⊥AC，垂足为C，BG交AE于点H．
(1)求证：△ABE∽△ECF；
(2)找出与△ABH相似的三角形，并证明；
(3)若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长．








§5.6 图形的相似(2)
一、知识要点
相似三角形的性质、相似多边形(三角形)相似比、周长的比、与面积比的关系.
二、课前演练
1．将一副三角板按如图叠放，△ABC是等腰直角三角形，△BCD是有一个角为30°的直角三角形，则△AOB与△DCO的面积之比等于 .
2．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，若AO：CO=2：3，AD=4，则BC= ．
3．(2012北海)如图，梯形ABCD中AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，若AO∶CO=2：3，AD=4，则BC等于 ( )
A．12 B．8 C．7 D．6
4．(2012绥化)如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF= (　 )
A．2：5：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．4：10：25
（第1题图） （第2题图） （第3题图） （第4题图）




三、例题分析
例 (2012河南)如图1，在□ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G．若=3, 求的值．
(1)尝试探究：在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是 ，CG和EH的数量关系是 ，的值是 ．
(2)类比延伸：如图2，在原题的条件下，若=m (m＞0)，则的值是 (用含有m的代数式表示)，试写出解答过程．
(3)拓展迁移：如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上的一点，AE和BD相交于点F．若=a, =b (a＞0，b＞0)，则的值是 ab(用含a、b的代数式表示)．






四、巩固练习
1. 如图，在□ABCD中，点E在DC上，若EC：AB=2：3，EF=4，则BF= 6．
2. 如图所示，△ABC中，E、F、D分别是边AB、AC、BC上的点，且满足==，则△EFD与△ABC的面积比为 ．
3. 如图，在Rt△ABC内有边长分别为a，b，c的三个正方形，则a，b，c满足的关系式是(　　)
A．b=a+c B．b=ac C．b2=a2+c2 D．b=2a=2c
4. (2011•潼南)如图，在□ABCD中(AB≠BC)，直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：①AO=BO；②OE=OF；③△EAM∽△EBN；④△EAO≌△CNO，其中正确的是(　　)
（第1题图） （第2题图） （第3题图） （第4题图）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④




5. 如图，点E为△ABC的BC上一点，过点E作ED∥AB，AC交DE于F点，若△ABC与△DEC的面积相等，且EF=9，AB=12，求DF的长．





6.(2012朝阳)如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上一动点(不与B、C重合)．连接AE，过点E作EF⊥AE，交DC于点F．
(1)求证：△ABE∽△ECF；
(2)连接AF，试探究当点E在BC什么位置时，∠BAE=∠EAF，请证明你的结论．






§5.6 相似的应用
一、知识要点
平行投影，中心投影，运用相似三角形解决简单的实际问题.
二、课前演练
1．若一棵树的影长是30m，同一时刻一根长1.5m的标杆的影长为3m，则此树高度是( )
A．15m B．60m C．20m D．10m
2．(2012湛江)某一时刻，身高1.6m的小明在阳光下的影子是0.4m．同一时刻同一地点，测得某旗杆的影长是5m，则该旗杆的高度为 ( )
A．1.25m　　　　 B．10m　　　　 C．20m　　　　 D．8m
3．如图所示阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影长
DE=1.8m，窗户下檐距地面的距离BC=1m，EC=1.2m，那么窗户的高
AB为 ．
4．(2012娄底)如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处
的运动员林丹把球从N点击到了对方内的B点，已知网
高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，则林丹起跳后击球点
N离地面的距离NM 米.
三、例题分析
例1 如图，小明为了测量一座高楼MN的高，在离N点20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜中看到楼顶M点，若AC=1.5m，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度(精确到0.1m).




例2 八年级数学学习合作小组在学过《图形的相似》这一章后，发现可将的定义、判定以及性质拓展到矩形、菱形的中去．如：我们可以定义：“长和宽之比相等的矩形是矩形．”矩形也有以下的性质：矩形的对角线之比等于比，周长比等于比，面积比等于比的平方等等．请你参与这个学习小组，一同探索这类问题：
(1)写出判定菱形的一种判定方法：若有一组角对应相等
(或两组对角线对应成比例)，则这两个菱形；
(2)如图，将菱形ABCD沿着直线AC向右平移后得到菱形
A′B′C′D′，试证明：四边形A′FCE是菱形，且菱形ABCD∽菱形A′FCE；
(3)若AC=2，菱形A′FCE的面积是菱形ABCD面积的一半，求平移的距离AA′的长．

http:// www .xkb1 .com


四、巩固练习
1．一油桶AB高1米，为了测量桶内余油DB的深度，将一木棒斜插入桶底，测得木棒在桶内的长度为1.5米，浸油部分长度为1.2米，则油的深度是 米．
2．(2012·青海)如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14m，则楼高CD为 m.





第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
3．相邻两根电线杆都用钢索在地面上固定(固定点M、N恰好为两电线杆的底部)，如图，一根电线杆钢索系在离地面4m的A处，另一根电线杆钢索系在离地面6m的B处，则中间两根钢索相交处点P离地面( )
A. 2.4m B. 2.8m C. 3m D. 高度不能确定
4．如图是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影(圆形)的示意图．已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面1m，若灯泡距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为( )
A. 0.36πm2 B. 0.81πm2 C. 2πm2 D. 3.24πm2
5．我侦察员在距敌方200米的地方发现敌人的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住．若此时眼睛到食指的距离约为40cm，食指的长约为8cm,你能根据上述条件计算出敌方建筑物的高度吗？请说出你的思路．





6．(2011陕西)一天，某校数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度，来评估这些深坑对河道的影响．如图是同学们选择(确保测量过程中无安全隐患)的测量对象，测量方案如下：
①先测量出沙坑坑沿圆周的周长约为34.54m；
②甲同学直立于沙坑坑沿圆周所在平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于点B时，恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上的一点A看到坑底S(甲同学的视线起点C与点A、点S三点共线).经测量：AB=1.2m，BC=1.6m.
根据以上测量数据，求“圆锥形坑”的深度(圆锥的高).(π取3.14，结果精确到0.1m)


§5.7 尺规作图
一、知识要点
基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作角的平分线；作线段的垂直平分线；利用基本作图作三角形；过一点、两点及不共线三点作圆.
二、课前演练
1.(2012绍兴)如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正△ABC，甲、乙两人的作法分别是：
甲：①作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点;
②连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形.
乙：①以D为圆心，OD长为半径作弧交⊙O于B、C；
②连接AB、BC、CA.△ABC即为所求的三角形.
对于甲、乙两人的作法，可判断( )
A．甲、乙均对 B．甲、乙均错 C．甲对、乙错 D.甲错、乙对
2.(2012河北)如图,点C在∠AOB的边OB上，
用尺规作出了CN∥OA，作图痕迹中，弧FG是( )
A．以点C为圆心，OD为直径的弧 B．以点C为圆心，DM为直径的弧
C．以点E为圆心，OD为直径的弧 D．以点E为圆心，DM为直径的弧
3. 作图题(保留作图痕迹,不写作法)
已知: △ABC.
求作：⊙O,使它经过点B、C,且圆心在AB上.
三、例题分析
例1 (2012铜仁)某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个
音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，
且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C
的位置如图所示，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置.
(要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹)
例2( 2011重庆江津)A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是(2，2)，点B的坐标是(7,3).
(1)一辆汽车由西向行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A、B两校的距离相等，如果有?请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标.
(2)若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之各最小，通过作图在图中找出建游乐场的位置，并求出它的坐标.
.A(2, 2)
.B(7, 3)
y
O
x








四、巩固练习
1．(2012北海)已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°．
(1)作∠B的平分线BD，交AC于点D；作AB的中点E.
(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明)；
(2)连接DE，求证：△ADE≌△BDE．


2.(2012珠海)如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC
外角∠CAE的平分线.
(1)用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；(保留作图痕迹，
不写作法和证明)
(2)设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状.(只写结果)
3.(2012青岛)已知：线段a，c，∠α.
求作：△ABC，使BC=a, AB=c，∠ABC=∠α.




4.(2012德州)有公路 同侧、 异侧的两个城镇A，B，如图．电信
部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇
的距离必须相等，到两条公路 的距离也必须相等，发射塔C应
修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点
C的位置．(保留作图痕迹，不要求写出画法)
5. 如图是一块残缺的圆轮片，点A、B、C在圆弧上.
(1)作出弧AC所在的⊙O;
(2)若AB=BC=60cm,∠ABC=120°,求弧AC所在⊙O的半径.



6. 如图，Rt△ABC中，∠C=90º，∠BAC的角平分线AD交BC于D．
(1)以AB上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O(不写作法，保
留作图痕迹)，再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若(1)中的⊙O与AB边的另一个交点为E，AB=6，BD=2,
求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积.(结果保留根号和π)





第六章 函数
§6.1 数量、位置的变化
一、知识要点
点与坐标，图形变换后的坐标的变化；确定物体的位置.
二、课前演练
1．已知点P在第二象限，且到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则P点坐标为_______.
2．点P（m-1，2m+1）在第二象限，则m的取值范围是___________
3．已知点A(2，-3)它关于x轴的对称点为A1，它关于y轴的对称点为A2，则A1、A2的位置关系是___________.
4．将点M（1，2）向左平移2个长度单位后得到点N，则点N的坐标是（ ）
A．（-1，2） B．（3，2） C．（1，4） D．（1，0）
三、例题分析
例1 如图，点A(-1，0)，点B在直线y=2x-4上运动，
当线段AB最短时，求点B的坐标.




例2 如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1，2)、B(-3，0)、C(0，0).
（1）请直接写出点A关于x轴对称的点A′的坐标；
（2）以C为位似中心，在x轴下方作△ABC的位似图形△A1B1C1，使放大前后位似比为
1：2，请画出图形，并求出△A1B1C1的面积；
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．











四、巩固练习
1. 已知点P(-3，2)，点A与点P关于y轴对称，则A点的坐标为 .
2. 已知点P(1-m，2-n)，如果m＞1，n＜2，那么点P在第( )象限．
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
3. 点P关于轴对称的点的坐标是(-sin60°,cos60°), 则点P关于x轴的对称点为（ ）
A．(,-) B．(-,) C．（-,-） D．（-,-）
4. 如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，点P从点B出发，沿B—C—D向终点D匀速运动，设点P走过的路程为x，△ABP的面积为S，能正确反映S与x之间函数关系的图象是( )





5. 如图，若用(3，3)表示点A的位置，用(6，2)表示
点B的位置.
（1）点C、D、E的位置可以怎么表示？
（2）连接AE、CE，作出点C关于直线AE的对称点F，
则点F的位置可表示为( ， ).


6. 如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-2，3）、B（-6，0）、C（-1，0）．
（1）请直接写出点A关于y轴对称的点的坐标；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90度．画出图形，直接写出点B的对应点的坐标.









§6.2 函数、一次函数
一、 知识要点
函数的概念、表示法及其图像，正比例函数、一次函数的概念、图像和性质，待定系数法.
二、课前演练
1.（2012山西）如图，一次函数y=(m-1)x-3的图象分别与x轴、
y轴的负半轴相交于A．B，则m的取值范围是（ ）
A．m＞1 B．m＜1 C．m＜0 D．m＞0
2.（2012陕西）下列四组点中，可以在同一个正比例函数图象上的一组点是（ ）
A．（2．-3），（-4，6） B．（-2，3），（4，6）
C．（-2，-3），（4，-6） D．（2，3），（-4，6）
3. 已知一次函数y=x+b的图像经过一、二、三象限，则b的值可以是（ ）
A.-2 B.-1 C.0 D.2
4.（2012宁德）一次函数y1＝x＋4的图象如图所示，则一次函数
y2=-x+b的图象与y1=x+4的图象的交点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
三、例题分析
例1 （2012常州 有改动）已知点P（3，0），⊙P是以点P为圆心，2为半径的圆. 若一次函数y=kx+b的图象过点A(-1，0)且与⊙P相切，求k+b的值.





例2 如图，直线y=kx+b经过A(3，1)和B(6，0)两点，
求不等式组0＜kx+b＜x的解集．




X k B 1 . c o m


四、巩固练习
1.（2012南京）已知一次函数y=kx+k-3的图像经过点（2，3），则k的值为______.
2.（2012贵阳）在正比例函数y=﹣3mx中，函数y的值随x值的增大而增大，则P(m，5)在第________象限．
3.（2012苏州）若点(m，n)在函数y=2x+1的图象上，则2m-n的值是（ ）
A.2 B.-2 C.1 D. -1
4. 一次函数y=6x+1的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5. 函数y=中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥-3 B．x≥-3且x≠1 C．x≠1 D．x≠-3且x≠1
6.（2012吉林）如图1，A，B，C为三个超市，在A通往C的道路（粗实线部分）上有一D点，D与B有道路（细实线部分）相通．A与D，D与C，D与B之间的路程分别为25km，10km，5km．现计划在A通往C的道路上建一个配货中心H，每天有一辆货车只为这三个超市送货．该货车每天从H出发，单独为A送货1次，为B送货1次，为C送货2次．货车每次仅能给一家超市送货，每次送货后均返回配货中心H，设H到A的路程为xkm，这辆货车每天行驶的路程为ykm．用含x的代数式填空：
（1）用含的代数式填空：当0≤x≤25时，货车从H到A往返1次的路程为2xkm，货车从H到B往返1次的路程为____ km，货车从H到C往返2次的路程为_____km，这辆货车每天行驶的路程y=______．当25＜x≤35时，这辆货车每天行驶的路程y=__________；
（2）请在图2中画出y与x（0≤x≤35）的函数图象；
（3）配货中心H建在哪段，这辆货车每天行驶的路程最短？




恒







§6.3 反比例函数
一、知识要点
反比例函数的概念、图象和性质；待定系数法.
二、课前演练
A
(第2题图)
1．若函数y=- 的图象上有两点A(1,y1)，B(2,y2)，则y1 y2
（填“＞”或“”或“＜”）．
2．(2011常德)如图所示的曲线是一个反比例函数图象的一支，
点A在此曲线上，则该反比例函数的解析式为 　　 ．
3．如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系对应的图象所在的象限是（ ）
输入x
取倒数
×(-5)
输出y


A．第一象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第一、四象限
4．对于反比例函数y= ，下列说法不正确的是（ ）X |k |B| 1 . c|O |m
A．点(-2，-1)在它的图象上 B．它的图象在第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．当x＜0时，y随x的增大而减小
三、例题分析]
例1已知A(n，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b的图象和
反比例函数y= 的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C.
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）求△AOC的面积；
（3）求不等式kx+b-＜0的解集（直接写出答案）.




例2如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y= 的图象在第一象限交于点C，CD垂直于x轴，垂足为D.若OA=OB=OD=1.
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）一次函数和反比例函数的解析式.





四、巩固练习
1．反比例函数 y＝的图象在第一、三象限，则m的取值范围是________．
2．(2011南充)过反比例函数y＝(k≠0)图象上一点A，分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为B、C，如果△ABC的面积为3.则k的值为________．
3. (2011广东)已知一次函数y=x-b与反比例函数y=的图象，
有一个交点的纵坐标是2，则b的值为________．
4. (2011芜湖)如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC，
反比例函数y=经过正方形AOBC对角线的交点，半径为
4-2的圆内切于△ABC，则k的值为________．
5．(2011北京)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-2x的图象与反比例函数
y=的图象的一个交点为A(-1，n)．
(1)求反比例函数y＝的解析式；新 |课 |标|第 |一| 网
(2)若点P在坐标轴上且满足PA=OA，直接写出点P的坐标．







6．如图，直线AB交x轴于点C，与双曲线y=交于A(3，)、
B(-5，a)两点．AD⊥x轴于点D，BE∥x轴且与y轴交于点E.
(1)求点B的坐标及直线AB的解析式；
(2)判断四边形CBED的形状，并说明理由．





§6.4 二次函数（1）
一、知识要点
二次函数的概念、图象、性质.
二、课前演练
1．填写下表：
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
最大(小)值
与x轴交点坐标
y=x2





y=-x2+1





y=2(x-3)2





y=-2(x-1)2+8





y=x2+4x-4





2．将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数关系式是__________________________.
3．把二次函数y=-(x-1)2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象解析式为 .
4．已知点A(x1,y1), B(x2,y2)在二次函数y=-(x-1)2+1的图象上，若x1＞x2＞1，则y1___y2 .
三、例题分析
例1（2012咸宁）对于二次函数y=x2-2mx-3，有下列说法：
①它的图象与x轴有两个公共点；新- 课 -标-第 -一- 网
②如果当x≤1时,y随x的增大而减小，则m=1；
③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1；
④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3．
其中正确的说法是 ．（把你认为正确说法的序号都填上）
例2已知：抛物线y=(x-1)2-3.
（1）写出抛物线的开口方向、对称轴；
（2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值；
（3）设抛物线与x轴的右交点为A、与y轴的交点为B、顶点为C，求△ABC的面积；
（4）将此抛物线作怎样的一次平移,使它与坐标轴仅有两个交点？并求平移后的抛物线的解析式．





四、巩固练习
（第1题图）
1．若二次函数y=ax2+bx+a2-1（a≠0）的图像如图所示，
则a的值是________．
2．已知下列函数 ①y=x2; ②y=-x2; ③y=(x-1)2+2，其中，
图象通过平移可以得到函数y=x2+2x-3的图像的有
y
-1
x

图4
x=1
（第3题图）
（填写所有正确选项的序号）.
3．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列
4个结论：①abc＜0；②b＞a+c；③2a-b=0；④b2-4ac＜0.
其中正确的结论有__ ___个.
4. 抛物线y=ax2+bx+c上部分点(x, y)的对应值如下表：
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
下列说法：①抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)；②函数的最大值为6；③抛物线的对称轴是直线x=；④在对称轴的左侧，y随x的增大而增大. 正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5．（2012佳木斯）如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A(2，0)．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）写出顶点坐标及对称轴；
（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=3，求点B的坐标．




X |k |B| 1 . c|O |m

6．(2012日照)如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm2）.
（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求△PBQ的面积的最大值.



§6.5 二次函数（2）
一、知识要点
确定二次函数的关系式.
二、课前演练w W w x K b 1.c o M
1. 抛物线顶点坐标是(-2,1),且过点(1,-2).则此抛物线解析式是 .
2. 抛物线过A(-1,0),B(2,0),C(0,-2)三点.则此抛物线解析式是 .
3. 抛物线过A(1,4),B(-1,-1),C(3，-1)三点.则此抛物线解析式是 .
4. 已知直线y=x-2和抛物线y=ax2+bx+c的两个交点分别在x轴和y轴上，抛物线的对称轴是直线x=3，求抛物线的解析式.



三、例题分析
例1（2012滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c
经过A(-2，-4)，O(0，0)，B(2，0)三点．
（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；
（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．




例2(2012株洲)如图,直线y=- x+2分别交y轴、x 轴于点A、B,抛物线y=-x2+bx+c过点A、B.
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N. 求当t 取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标.







四、巩固练习
1. 已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象的顶点在直线y=x+1上，并且图象过点(3，-6)，求其解析式.




2. 已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点是(-1,2)，且a+b+c+2=0，求其解析式.





3. 把抛物线y=ax2+bx+c向下平移1个单位，再向左平移5个单位后顶点坐标为(-2，0)，且a+b+c=0.求a、b、c的值.






4.（2012铜仁）如图，直线y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C(1，0)三点.
（1）求抛物线的解析式;
（2）若点D的坐标为(-1，0)，在直线y=-x+3上有一点P,
使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标；
（3）在(2)的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在
点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？
若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．







§6.6 函数的应用（1）
一、知识要点
（第1题图）
一次函数、反比例函数的应用.
二、课前演练
1.（2010上海）一辆汽车在行驶过程中，路程y（千米）与
时间x（小时）之间的函数关系如图所示 当时 0≤x≤1，
y关于x的函数解析式为y=60x，那么当 1≤x≤2时，y
（第2题图）
关于x的函数解析式为_____ _______________.
2.（2012丽水）甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米
的地方参加植树活动. 图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人
前往目的地所行驶的路程S(千米)随时间t(分)变化的函
数图象，则每分钟乙比甲多行驶 　千米．
三、例题分析
30
50
1950
3000
80
x/min
O
y/m
例1 (2011南京)小颖和小亮上山游玩，小颖乘缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小颖在小亮出发后50min才乘上缆车，缆车的平均速度为180m/min．设小亮出发xmin后行走的路程为ym．图中的折线表示小亮在整个行走过程中y与x的函数关系．
⑴小亮行走的总路程是_______㎝,他途中休息了______min．
⑵①当50≤x≤80时,求y与x的函数关系式；
②当小颖到达缆车终点为时,小亮离缆车终点的路程是多少？





例2（2011成都）如图，反比例函数y=(k≠0)的图象经过点（，8），直线y=-x+b经过该反比例函数图象上的点Q(4，m)．
(1)求上述反比例函数和直线的函数表达式；
(2)设该直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数
图象的另一个交点为P，连接0P、OQ，求△OPQ的面积．

四、巩固练习
1. 拖拉机开始行驶时,油箱中有油4升，如果每小时耗油0.5升，那么油箱中余油y（升）与它工作的时间t（时）之间的函数关系的图象是（ ）
A B C D




2. 已知等腰三角形的周长为10㎝，将底边长y㎝表示为腰长x㎝的关系式是y=10－2x,则其自变量x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜5 B．＜x＜5 C．一切实数 D．x＞０
3.(2012连云港)我市某医药公司要把药品运往外地，现有两种运输方式可供选择:
方式一：使用快递公司的邮车运输，装卸收费400元，另外每公里再加收4元；
方式二：使用铁路运输公司的火车运输，装卸收费820元，另外每公里再加收2元，
(1)分别写出邮车、火车运输的总费用y1(元)、y2(元)与运输路程x(km)之间的函数关系式；
(2)你认为选用哪种运输方式较好，为什么？





4. 制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作．设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（分钟）．据了解，设该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图）．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．
（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；
（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？





§6.7 函数的应用（2）
一、知识要点
二次函数在实际问题中的应用.
二、课前演练
(第1题图)
1.（2011株洲）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，
以水平地面为x轴，出水点为原点，建立直角坐标系，
水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x（单位：米）的
一部分，则水喷出的最大高度是( )
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
(第2题图)
2.（2011梧州）2011年5月22日—29日在美丽的青岛市
举行了苏迪 曼杯羽毛球混合团体锦标赛．在比赛中，某
次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=-x2+bx+c的一
部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落
地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是( )
A．y=-x2+x+1 B.y=-x2+x-1 C.y=-x2-x+1 D.y=-x2-x-1
三、例题分析
例1（2011沈阳）一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍（本题中0＜x≤11）．
(1)用含的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为________元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为_________元．
(2)求今年这种玩具的每件利润y元与x之间的函数关系式．
(3)设今年这种玩具的年销售利润为w万元，求当x为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？
注：年销售利润=（每件玩具的出厂价－每件玩具的成本）×年销售量．




四、巩固练习
第1题图
1.（2011西宁）西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管
的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图
所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（ ）
A．y=-(x-)2+3 B．y=-3(x+)2+3 C．y=-12(x-)2+3 D．y=-12(x+)2+3
2.（2011聊城）某公园草坪的防护栏由100段形状
2
0.5
0.4
第2题图
相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段
护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护
栏的最高点距底部0.5m(如图)，则这条防护栏需
要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）
A．50m B．100m C．160m D．200m
3.（2011甘肃）如图，正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．




4. 某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件）可近似看作一次函数y=kx+b的关系（如图）.
（1）根据图象，求出一次函数的解析式；
（2）设公司获得的毛利润为S元.
①试用销售单价x表示毛利润S；
②请结合S与x的函数图象说明：销售单价定为多少时，该公司可获得最大利润？最大利润是多少？此时销售量是多少？
5.（2011曲靖）一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y=-x2+x+，铅球运行路线如图.
（1）求铅球推出的水平距离；
（2）通过计算说明铅球行进高度能否达到4m.



第七章 统计
§7.1 数据的统计
一、知识要点
总体，个体，样本和样本容量；频数，频率，统计图表；确定事件，不确定事件；调查方式.
二、课前演练
1．(2012•滨州)以下问题，不适合用全面调查的是( )
A．了解全班同学每周体育锻炼的时间 B．鞋厂检查生产的鞋底能承受的弯折次数
C．学校招聘老师，对应聘人员面试 D．黄河三角洲中学调查全校753名学生的身高
2．从正五边形的五个顶点中，任取四个顶点连成四边形，对于事件M：这个四边形是等腰梯形．下列推断正确的是( )
A．事件M是不可能事件 B．事件M是必然事件
C．事件M发生的概率为 D．事件M发生的概率为
3．要反映台州市某一周每天的最高气温的变化趋势，宜采用( )
A．条形统计图 B．扇形统计图 C．折线统计图 D．频数分布直方图
4．下面是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则下列说法正确的是( )

A．甲比乙成绩稳定
B．乙比甲成绩稳定
C．甲与乙成绩一样稳定
D．无法判断甲与乙成绩谁更稳定
三、例题分析
例1 已知下列说法：
（1）众数所在的组的频率最大； （2）各组频数之和为1；
（3）如果一组数据的最大值与最小值的差是15，组距为3，那么这组数据应分为5组；
（4）频率分布直方图中,每个小长方形的高与这一组的频数成正比例．
正确的说法是（ ）
A．（1）（3） B.（2）（3） C.（3）（4） D.（4）
例2 (2011福州)在结束了380课时初中阶段数学内容的教学后,某校计划安排60课时用于总复习,根据数学内容所占课时比例,绘制如下统计图表(图1～3),根据图表提供的信息,回答下列问题：
（1）图1中“统计与概率”所在扇形的圆心角为　　　　　度；
（2）图2、3中的a=　　　　　，b=　　　　　；
统计与概率
数与代数
45%
空间与图形40%
5%
实践与综合应用
图1
A一次方程
B一次方程组
C不等式与不等式组
D二次方程
E分式方程
图3
0
3
6
9
12
15
18
18
13
12
3
A
B
C
D
E
课时数
方程(组)与
不等式(组)
b
数与代数(内容)
数与式
方程（组）
与不等式（组）
课时数
67
44
图2
函数
a
（3）在60课时的总复习中，唐老师应安排多少课时复习“数与代数”内容？





四、巩固练习
1．抽查了某学校六月份里5天的日用电量，结果如下(单位：Kw)：400，410，395，405，390. 根据以上数据，估计这所学校六月份的总用电量为（ ）
A．12 400kW B．12 000kW C．2 000kW D．400kW
2．(2012茂名)下列调查中，适宜采用全面调查(普查)方式的是 ( )
A．对一批圆珠笔使用寿命的调查 B．对全国九年级学生身高现状的调查
C．对某品牌烟花爆竹燃放安全的调查 D．对一枚发射卫星的运载火箭各零部件的检查
3．一批灯泡共有2万个，为了考察这批灯泡的使用寿命，从中抽查了50个灯泡的使用寿命，在这个问题中，总体是 ，
月基本费
4%
短信费
本地话费
45%
长途话费
31%
个体是 , 样本容量是__________.
4.“任意打开一本200页的数学书，正好是第35页”，
这是 事件(选填“随机”或“必然”)．
5．如图，将小王某月手机费中各项费用的情况制成扇形统
计图，则表示短信费的扇形圆心角的度数为 ．
6．(2011南平)在“5·12防灾减灾日”之际，某校随机抽取部分学生进行“安全逃生知识”测验，根据这部分学生的测验成绩（单位：分）绘制成如下统计图（不完整）：
频数分布表 频数分布直方图
分组
频数
2
4
6
8
10
60
12
分数
频数/人
0
14
16
18
70
80
90
100
频率
60≤x＜70
2
0.05
70≤x＜80
10

80≤x＜90

0.40
90≤x≤100
12
0.30
合计

1.00

请根据上述图表提供的信息，完成下列问题：
（1）分别补全频数分布表和频数分布直方图；
（2）若从该校随机抽取1名学生进行这项测验,估计其成绩不低于80分的概率约为 ．




§7.2 数据的集中程度
一、知识要点
众数，中位数，平均数，加权平均数.
二、课前演练
1．某校篮球代表队中，5名队员的身高如下（单位：厘米）：185，178，184，183，180，则这些队员的平均身高为 .
2．(2011牡丹江) 一组数据1，2，a的平均数为2，另一组数据-1，a，1，2，b的唯一众数为-1，则数据-1，a，1，2，b的中位数为_____________.
3．某校规定学生的平时的成绩占学期成绩的30％，期中考试成绩占30％，期末考试成绩占40％，一学生的平时考试，期中考试和期末考试的数学成绩分别是85分、91分和90分，求该生这学期的数学成绩约为分 （精确到个位）．
4. 某商场用加权平均数来确定什锦糖的单价，由单价为15元/千克的甲种糖果10千克，单价为12元/千克的乙种糖果20千克，单价为10元/千克的丙种糖果30千克混合成的什锦糖果的单价应定为（ ）
A．11元/千克　　　B．11.5元/千克　　　C．12元/千克　　　D．12.5元/千克
三、例题分析
例1 从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中，各抽出8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，结果如下（单位：年）:
甲: 3,4,5,6,8,8,8,10. 乙:4,6,6,6,8,9,12,13. 丙:3,3,4,7,9,10,11,12.
三家广告中都称这种产品的使用寿命是8年．请根据调查结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中哪一种反映集中趋势的特征数.





例2 某商店将甲、乙两种糖果混合销售，并按以下公式确定混合糖果的单价：单价=（元/千克），其中m1、m2 分别为甲、乙两种糖果的重量（千克），a1、a2分别为甲、乙两种糖果的单价（元/千克）．已知甲种糖果单价为20元/千克，乙种糖果单价为16元/千克．现将10千克乙种糖果和一箱甲种糖果混合（搅拌均匀）销售，售出5千克后，又在混合糖果中加入5千克乙种糖果，再出售时，混合糖果的单价为17.5元/千克．这箱甲种糖果有多少千克？
四、巩固练习
1．如果x1与x2的平均数是4，那么x1＋1与x2＋5的平均数是_______．
2. 数学老师布置10道选择题作业，批阅后得到如下统计表:
答对题数
7
8
9
10
人数
4
18
16
7
根据表中数据可知，这45名同学答对题数组成的样本的中位数是_______题．
3. 数据9.30，9.05，9.10，9.40，9.20，9.10的众数是_______；中位数是______．
4.“爱护地球、绿化祖国”的创建活动中，组织学生开展植树造林活动．为了解全校学生的植树情况，学校随机抽查了100名学生的植树情况，将调查数据整理如下表:
植树数量(单位:棵)
4
5
6
8
10
人数
30
22
25
15
8
则这100名同学平均每人植树_______棵；
若该校共有1000名学生，请根据以上调查结果估计该校学生的植树总数是_______棵．
5. 在我市开展的“好书伴我成长”读书活动中，某中学为了解八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册书，统计数据如下表所示：
(1)求这50个样本数据的平均数、众数和中位数；
(2)根据样本数据，估计该校八年级300名学生在
本次活动中读书多于2册的人数．

6. (2011湖州) 班主任张老师为了了解学生课堂发言情况，对前一天本班男、女生的发言次数进行了统计，并绘制成如下频数分布折线图（图1）．
(1)请根据图1，回答下列问题：
这个班共有______名学生，发言次数是5次的男生有______人、女生有______人；
男、女生发言次数的中位数分别是______次和______次.
次数不变的
人数20%
增加1次
人数40%
增加2次
人数30%
增加3次
人数30%
图2
第二天全班发言次数变化人数的扇形统计图
前一天男、女生发言次数的频数分布折线图
图1
(2)通过张老师的鼓励，第二天的发言次数比前一天明显增加，全班发言次数变化的人数的扇形统计图如图2所示．求第二天发言次数增加3次的学生人数和全班增加的发言总次数．








§7.3 数据的离散程度
一、知识要点
极差、方差及标准差的概念及计算．
二、课前演练
1. 数据90，91，92，93的标准差是 .
2. 小明在计算一组数据的标准差时，不小心将墨水遮住了
s=中的“▲”部分，则这组数据的个数是 ，这组数据的平均数是 ．
3. 甲、乙两人各射靶5次，已知甲所中环数是8、7、9、7、9，乙所中的环数的平均数x=8，方差S2乙=0.4，那么，对甲、乙的射击成绩的正确判断是（ ）
A．甲的射击成绩较稳定 B. 乙的射击成绩较稳定
C. 甲、乙的射击成绩同样稳定 D. 甲、乙的射击成绩无法比较
4. 已知样本数据x1，x2，…，xn的方差为4，则数据2x1+3，2x2+3，…，2xn+3的方差为（ ）
A. 11 B. 9 C. 4 D. 16
三、例题分析
例1 从同一家工厂生产的20瓦日光灯中抽出6支，40瓦日光灯中抽出8支进行使用寿命（单位：小时）测试，结果如下：
20瓦：457、443、459、451、464、438
40瓦：466、452、438、467、455、459、464、439
哪种日光灯的寿命长？哪种日光灯的质量比较稳定？





例2 一个样本中，数据15和13各有4个，数据14有2个，求这个样本的平均数、方差、标准差和极差（标准差保留两个有效数字）.





四、巩固练习
1.（2012德阳）已知一组数据10，8，9，，5的众数是8，则这组数据的方差是( )
A. 2.8 B. C. 2 D. 5
2. 方差计算公式s2=[(x1-20)2+(x2-20)2+…+(xn-20)2]中，数字10和20分别表示（ ）
A．样本容量和方差 B．平均数和样本容量 C．样本容量和平均数 D．方差和平均数
3.（2012随州）某校为了丰富校园文化，举行初中生书法大赛，决赛设置了6个获奖名额，共有11名选手进入决赛，选手决赛得分均不相同。若知道某位选手的决赛的得分，要判断他是否获奖，只需知道这11名学生决赛得分的（ ）w W w x K b 1.c o M
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
4.（2012盐城）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.4环，方差分别是S2甲2=0.90，S乙2=1.22，S丙2=0.43，S丁2=1.68，在本次射击测试中，成绩最稳定的是（ ）
A．甲　 B．乙　　 C．丙　 D． 丁
5.（2012株洲）市运会举行射击比赛，校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参赛.在选拔赛中，每人射击10次，计算他们10发成绩的平均数（环）及方差如下表.请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是 .

甲
乙
丙
丁
平均数
8.2
8.0
8.0
8.2
方差
2.1
1.8
1.6
1.4
6. ( 2012宁波)某学校要成立一支由6名女生
组成的礼仪队，初三两个班各选6名女生，
分别组成甲队和乙队参加选拔，每位女生的
身高 (cm)统计如下，部分统计量如下表：
（1）求甲队身高的中位数；
（2）求乙队身高的平均数及身高不小于1.70米的概率;
（3）如果选拔标准是身高越整齐越好，那么甲乙两个队哪个队被录取？请说明理由.






§7.4 统计的应用
一、 知识要点
平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差特征量的应用.
二、课前演练
1．根据生物学研究结果，青春期男女生身高增长速度呈现如下图规律，由图可以判断，下列说法错误的是( )
A．男生在13岁时身高增长速度最快 B．女生在10岁以后身高增长速度放慢
C．11岁时男女生身高增长速度基本相同 D．女生身高增长的速度总比男生慢
2．有13位同学参加学校组织的才艺表演比赛已知他们所得的分数互不相同，共设7个获奖名额．某同学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在下列13名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是 ( )
A．众数 B．方差
C．中位数 D．平均数
3.株洲市关心下一代工作委员会为了了解全市初三学生的视力状况，从全市30000名初三学生中随机抽取了500人进行视力测试，发现其中视力不良的学生有100人，则可估计全市30000名初三学生中视力不良的约有 ( )
　 A．100人 　　 B．500人 　　　　 C．6000人 　　 D．15000人
三、例题分析
例1（2012江西）我们约定：如果身高在选定标准的%范围之内都称为“普通身高”．为了解某校九年级男生中具有“普通身高”的人数，我们从该校九年级男生中随机选出10名男生，测量出他们的身高（单位:cm），收集并整理如下统计表:
男生序号
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
身高（cm）
163
171
173
159
161
174
164
166
169
164
根据以上表格信息解决如下问题:
(1)计算这组数据的三个统计量：平均数、中位数和众数；
(2)请你选择其中一个统计量作为选定标准，并按此选定标准找出这10名男生具有“普通身高”的男生是哪几位？
(3)若该年级共有280名男生，按（2）中选定标准请你估算出该年级男生中具有“普通身高”的人数约有多少名？


四、巩固练习
1. 市运会举行射击比赛，校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参赛。在选拔赛中，每人射击10次，计算他们10发成绩的平均数（环）及方差如下表。请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是 .

甲
乙
丙
丁
平均数
8.2
8.0
8.0
8.2
方差
2.1
1.8
1.6
1.4
2. (2012临沂）“最美的女教师”张丽莉，为了抢救两名学生，以致双腿高位截肢，社会各界纷纷为她捐款，我市某中学九年级一班全体同学也积极参加了捐款活动，该班同学捐款情况的部分统计如图所示：
(1)求该班的总人数；
(2)请将条形图补充完整，并写出捐款金额的众数；
(3)该班平均每人捐款多少元？



3.（2012丽水）小明参加班长竞选，需进行演讲答辩与民主测评，民主测评时一人一票，按“优秀、良好、一般”三选一投票.如图是7位评委对小明“演讲答辩”的评分统计图及全班50位同学民主测评票数统计图.
(1)求评委给小明演讲答辩分数的众数及民主测评为“良好”票数的扇形的圆心角度数；
(2)求小明的综合得分是多少？
(3)在竞选中，小亮的民主测评得分为82分，如果他的综合得分不小于小明的综合得分，他的演讲答辩得分至少要多少分？
演讲答辩评委评分统计表 民主测评票数统计表
人数
评委
评分规则:
(1)辩得分按“按去掉一个最高分和一个最低分，计算平均分”的方法确定。
(2)民主测评得分“优秀”×2+“良好”×1+“一般”×0.
(3)综合得分=演讲答辩得分×0.4+民主测评得分×0.6










第八章 概 率
§8.1 概 率
一、知识要点
随机事件、必然事件、不可能事件、频率、概率的定义；概率计算：树状图、列表、公式
二、课前演练
1．在一个只装有红球和白球的口袋中，摸出一个球为黑球是( )
A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．无法确定
2．（2011•江苏徐州）下列事件中属于随机事件的是（　 　）
A．抛出的篮球会落下 B．从装有黑球，白球的袋里摸出红球
C．367人中有2人是同月同日出生 D．买1张彩票，中500万大奖
3．（2011连云港）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法正确的是（ ）
A．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
B．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上
C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现下面朝上50次
D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
4．在100张奖券中，有4张能中奖，小红从中任抽一张，她中奖的概率是 .
三、例题分析
例1 （2011滨州）四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形四个图案. 现把它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为( )
A. B. C. D. 1
例2 “石头、剪刀、布”是广为流传的游戏，游戏时，甲、乙双方每次出“石头”“剪刀”布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种手势不分胜负．假定甲、乙两人每次都是等可能地出这三种手势，用画树形图和列表的方法分别求一次游戏中两人出同种手势的概率和甲获胜的概率．(提示：为书写方便，解答时可以用表示“石头”，用表示“剪刀”，用月表示“布”)






四、巩固练习
1.（2011•贺州）在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中黄球1个，红球1个，白球2个，“从中任意摸出2个球，它们的颜色相同”这一事件是（　　）
A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定事件
2．（2011•柳州）袋子中装有2个红球和4个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机从袋子中摸出1个球，则这个球是红球的概率是（　　）
A. B. C. D.
3．(2011钦州) 在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中黄球1个，红球1个，白球2个，“从中任意摸出2个球，它们的颜色相同”这一事件是 （ ）
A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定事件
4．（2011广安）在一只不透明的口袋中放人只有颜色不同的白球6个，黑球4个，黄球个，搅匀后随机从中摸取—个恰好是黄球的概率为，则放人的黄球总数=______．
5．（2011綦江）在不透明的口袋中，有四个形状、大小、质地完全相同的小球，四个小球上分别标有数字，2，4，-，现从口袋中任取一个小球，并将该小球上的数字作为平面直角坐标系中点P的横坐标，且点P在反比例函数y=图象上，则点P落在正比例函数y＝x图象上方的概率是 ．
6．(2011常德) 在1个不透明的口袋里，装有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中有白球2个，黄球1个.若从中任意摸出一个球，这个球是白球的概率为0.5.
（1）求口袋中红球的个数；
（2）若摸到红球记0分,摸到白球记1分，摸到黄球记2分，甲从口袋中摸出一个球，不放回，再摸出一个．请用画树状图的方法求甲摸得两个球且得2分的概率.









§8.2 概率的简单应用
一、知识要点
估计随机事件发生的概率的方法，利用概率模型解决相关的实际问题.
二、课前演练
1．如图 是一个被分成6等份的扇形的转盘，小明转了2次，结果指针都停
留在红色区域．小明第3次再转动，指针停留在红色区域的概率是（ ）
A. 1 B. 0 C. D.
2．冰柜里装有四种饮料：5 瓶特种可乐、12瓶普通可乐、9瓶橘子水、6瓶啤酒，其中特种可乐和普通可乐是含有咖啡因的饮料，那么从冰柜里随机取一瓶饮料，该饮料含有咖啡因的概率是（ ）
A. B. C. D.
3．盒子里有10个除颜色外完全相同的球，若摸到红球的概率是0.8，则其中有红球（ ）
A．8个 B．6个 C．4个 D．无法确定
4．小华与父母一同从重庆乘火车到广安邓小平故居参观．火车车厢里每排有左、中、右二个座位，小华一家三口随意坐某排的三个座位，则小华恰好坐在中间的概率是（ ）
A. B. C. D.
三、例题分析新课 标第 一 网
例1 抛掷两枚分别标有 1，2，3，4的四面体骰子，写出这个实验中的一个可能事件
为 ；再写出这个实验中的一个必然事件为 .
例2 小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画出半径分另为2m和
3m的同心圆（如图），蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子，
掷中阴影小红胜，否则小明胜，未掷人圈内不算，你来当裁判．
(1)你认为游戏公平吗？为什么？
(2)游戏结束，小明边走边想，“反过来，能否用频率估计概率的方法，来估算非规则图形的面积呢?”请你设计方案，解决这一问题．（要求画出图形，说明设计步骤、原理，写出公式）








四、巩固练习
1. 军军的文具盒中有两支蜡笔，一支红色的、一支绿色的；三支水彩笔，分别是黄色、黑色、红色，任意拿出一支蜡笔和一支水彩笔，正好都是红色的概率为（ ）
A. B. C. D.
2. 小华与父母一同从重庆乘火车到广安邓小平故居参观．火车车厢里每排有左、中、右二个座位，小华一家三口随意坐某排的三个座位，则小华恰好坐在中间的概率是（ ）
A. B. C. D.
3. 一只小鸟自由自在地在空中飞行，然后随意落在图所示的某个方格中
（每个方格除颜色外完全一样），那么小鸟停在黑色方格中的概率是 .
4. 某灯泡厂的一次质量检查，从2000个灯泡中抽查了100个，其中有8个不合格，则出现不合格灯泡的频率为______，在这2000个灯泡中，估计有______个灯泡为不合格产品.
5．为了估计鱼塘中有多少条鱼，先从塘中捞出100条做上标记，再放回塘中，待有标记的鱼完全混人鱼群后，再捞出200条鱼，其中有标记的有20条，问你能否估计出鱼塘中鱼的数量？若能，鱼塘中有多少条鱼？若不能，请说明理由．





6．李红和张明正在玩掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子．
（1）当两枚骰子点数之积为奇数时，李红得3分，否则，张明得1分，这个游戏对双方公平吗？为什么？
（2）当两枚骰子的点数之和大于 7时，李红得 1分，否则张明得 1分，这个游戏对双方公平吗？为什么？如果不公平，请你提出一个对双方公平的意见．