北师大版2021-2022学年八年级数学上册考点专项训练——巧用勾股定理求最短路径的长（附参考答案）

巧用勾股定理求最短路径的长

方法指导：

求最短距离的问题，第一种情况是通过计算和比较解最短距离问题；第二种情况是平面图形，将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中，然后借助勾股定理解决；第三种情况是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离)．

 技巧1：  用计算法求平面中的最短问题

1．如图，A，B两块试验田相距200 m，C为水源地，AC＝160 m，BC＝120 m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．

甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到试验田A，B；

乙方案：过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到线段AB上的H处，再从H分别向试验田A，B修筑水渠．

(1)试判断△ABC的形状，并说明理由．

(2)两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．

 (第1题)

 技巧2： 用平移法求平面中的最短问题

2．如图，小明在广场上先向东走10 m，又向南走40 m，再向西走20 m，又向南走40 m，再向东走70 m．则小明到达的终点与原出发点的距离是________．

 (第2题)

3．如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则AF的长是________．

　　         　(第3题)

 技巧3： 用对称法求平面中的最短问题

4．某岛争端持续，我海监船加大对该岛海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA＝45 n mile，OB＝15 n mile，该岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向此岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．

(1)请用直尺和圆规作出C处的位置；

(2)求我国海监船行驶的航程BC的长．

 (第4题)

5．高速公路的同一侧有A，B两城镇，如图所示，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′＝2 km，BB′＝4 km，且A′B′＝8 km.要在高速公路上A′，B′之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最短．求这个最短距离．

 (第5题)

用展开法求立体图形中的最短问题

 圆柱中的最短问题

6．有一只蚂蚁要从一个圆柱形玻璃杯的点A爬到与A相对的点B处，如图所示，已知杯子高8 cm，点B距杯口3 cm，杯子底面半径为4 cm.蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为多少？(π取3)

                                                                           (第6题)

 圆锥中的最短问题

7．如图，观察图形解答下面的问题：

(1)此图形的名称为________．

(2)请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它的侧面沿AS剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个________．

(3)如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食物，但它又不能直接沿AC爬到C处，只能沿此立体图形的侧面爬行．你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？

(4)SA的长为10，侧面展开图的圆心角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程的平方．

                                                                          (第7题)

 长方体中的最短问题

8．如图，桌子上放着一个长方体盒子，长、宽、高分别是12 cm，8 cm，30 cm，在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处沿盒子表面爬到C处去吃．求小虫爬行的最短路程．

                                   (第8题)

9．有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深AE＝40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60 cm.一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵．

(1)小虫应该走怎样的路线才能使爬的路线最短呢？请你在图中画出它爬行的路线，并用箭头标注．

(2)求小虫爬行的最短路线长．

                                                               (第9题)

参考答案

1．解：(1)△ABC是直角三角形．理由如下：

因为AC2＋BC2＝1602＋1202＝40 000，AB2＝2002＝40 000，

所以AC2＋BC2＝AB2.

所以△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°.

(2)甲方案所修的水渠较短．

因为△ABC是直角三角形，

所以△ABC的面积＝AB·CH＝AC·BC.

所以CH＝＝＝96(m)．

因为AC＋BC＝160＋120＝280(m)，CH＋AH＋BH＝CH＋AB＝96＋200＝296(m)，

所以AC＋BC<CH＋AH＋BH.

所以甲方案所修的水渠较短．

2．100 m　解析：如图，作AC⊥BC于C.因为AC＝40＋40＝80(m)，BC＝70－10＝60(m)，所以AB2＝602＋802＝1002，则AB＝100 m.

(第2题)

3．10

4．解：(1)如图，连接AB，作AB的垂直平分线与OA交于点C，C点即为所求．

(2)如图，连接BC，设BC＝x n mile，则CA＝x n mile，

在Rt△OBC中，OB2＋OC2＝BC2，

所以152＋(45－x)2＝x2.

解得x＝25.

即我国海监船行驶的航程BC的长为25 n mile.

(第4题)

5．解：如图，作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则点P即为所建的出口．此时A，B两城镇到出口P的距离之和最短，最短距离为AC的长．作AD⊥BB′于点D，在Rt△ADC中，AD＝A′B′＝8 km，DC＝6 km，所以AC2＝AD2＋DC2＝100.所以AC＝10 km.所以这个最短距离为10 km.

　(第5题)

6．解：从点A处竖直向上剪开，此圆柱的侧面展开图如图所示，其中AC为圆柱的底面周长，

则AC＝2πr≈2×3×4＝24(cm)，

则E′B＝E′D′＝AC≈12(cm)．

又因为EA＝8 cm，EE′＝3 cm，

所以AE′＝EA－EE′＝8－3＝5(cm)．

在Rt△ABE′中，AB2＝AE′2＋E′B2＝52＋122＝132，

所以AB＝13 cm.

即蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为13 cm.

(第6题)

　(第7题)

7．解：(1)圆锥　(2)扇形

(3)把此立体图形的侧面展开，如图所示，连接AC，则AC为蜗牛爬行的最短路线．

(4)在Rt△ASC中，由勾股定理，得AC2＝102＋52＝125.

故蜗牛爬行的最短路程的平方为125.

8．解：分为三种情况．

情况一　如图①，连接EC.

在Rt△EBC中，EB＝12＋8＝20(cm)，BC＝×30＝15(cm)．

由勾股定理，得EC2＝202＋152＝625，所以EC＝25 cm.

情况二　如图②，连接EC.

根据勾股定理可求得EC2＝82＋(30＋12＋15)2＝3 313.

情况三　如图③，连接EC.

根据勾股定理可求得EC2＝122＋(30＋8＋15)2＝2 953.

所以小虫爬行的最短路程是25 cm.

　(第8题)

9．解：(1)如图，作点A关于BC的对称点A′，连接A′G，与BC交于点Q，连接AQ.

则AQ＋QG为最短路程．

(第9题)

 (2)因为AE＝40 cm，AA′＝120 cm，

所以A′E＝80 cm.

又EG＝60 cm，所以在Rt△A′EG中，

A′G2＝802＋602＝10 000，所以A′G＝100 cm.

所以AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝100 cm.

即最短路线长为100 cm.