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人教（2019）高中物理必修第二册知识点梳理及常考题型梳理解析
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人教版物理必修第二册知识点梳理及常考题型解析
一、教材考点知识梳理
考点11 曲线运动 万有引力
1、曲线运动：
（1）物体作曲线运动的条件：运动质点所受的合外力（或加速度）的方向跟它的速度方向不在同一直线；
（2）曲线运动的特点：质点在某一点的速度方向，就是通过该点的曲线的切线方向。质点的速度方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动；
（3）曲线运动的轨迹：做曲线运动的物体，其轨迹向合外力所指一方弯曲，若已知物体的运动轨迹，可判断出物体所受合外力的大致方向，如平抛运动的轨迹向下弯曲，圆周运动的轨迹总向圆心弯曲等。
2、运动的合成与分解：
（1）合运动与分运动的关系：①等时性；②独立性；③等效性。
（2）运动的合成与分解的法则：平行四边形定则。
（3）分解原则：根据运动的实际效果分解，物体的实际运动为合运动。
3、平抛运动：
（1）特点：具有水平方向的初速度，只受重力作用，是加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动。
（2）运动规律：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动：
①建立直角坐标系（一般以抛出点为坐标原点O，以初速度vo方向为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向）；
②由两个分运动规律来处理。
4、圆周运动 ：
（1）描述圆周运动的物理量：
①线速度：描述质点做圆周运动的快慢，大小v=s/t（s是t时间内通过的弧长），方向为质点在圆弧某点的线速度方向沿圆弧该点的切线方向；
②角速度：描述质点绕圆心转动的快慢，大小ω=φ/t（单位rad/s），φ是连接质点和圆心的半径在t时间内转过的角度，其方向在中学阶段不研究；
③周期T，频率f ：做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期；
做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数叫做频率；
④向心力：总是指向圆心，产生向心加速度，向心力只改变线速度的方向，不改变速度的大小。
［注意］
向心力是根据力的效果命名的。在分析做圆周运动的质点受力情况时，千万不可在物体受力之外再添加一个向心力。
（2）匀速圆周运动：线速度的大小恒定，角速度、周期和频率都是恒定不变的，向心加速度和向心力的大小也都是恒定不变的，是速度大小不变而速度方向时刻在变的变速曲线运动。
（3）变速圆周运动：速度大小方向都发生变化，不仅存在着向心加速度（改变速度的方向），而且还存在着切向加速度（方向沿着轨道的切线方向，用来改变速度的大小）。一般而言，合加速度方向不指向圆心，合力不一定等于向心力。合外力在指向圆心方向的分力充当向心力，产生向心加速度；合外力在切线方向的分力产生切向加速度。
5、万有引力定律：
（1）万有引力定律：宇宙间的一切物体都是互相吸引的。两个物体间的引力的大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。
公式：
（2）应用万有引力定律分析天体的运动：
①基本方法：把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。即
F引=F向 得：（应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析或计算）
②可以运用该定律估算天体质量M、密度ρ等。
（3）三种宇宙速度：
①第一宇宙速度：v 1 =7.9km/s，它是卫星的最小发射速度，也是地球卫星的最大环绕速度；
②第二宇宙速度（脱离速度）：:v 2 =11.2km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度；
③第三宇宙速度（逃逸速度）：v 3 =16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。
（4）地球同步卫星 ：所谓地球同步卫星，是相对于地面静止的，这种卫星位于赤道上方某一高度的稳定轨道上，且绕地球运动的周期等于地球的自转周期，即T=24h=86400s，离地面高度一定，同步卫星的轨道一定在赤道平面内，并且只有一条。所有同步卫星都在这条轨道上，以大小相同的线速度，角速度和周期运行着。
（5）卫星的超重和失重：
“超重”是卫星进入轨道的加速上升过程和回收时的减速下降过程，此情景与“升降机”中物体超重相同。“失重”是卫星进入轨道后正常运转时，卫星上的物体完全“失重”（因为重力提供向心力），此时，在卫星上的仪器，凡是制造原理与重力有关的均不能正常使用。
考点12 功 功率
1、功：
（1）功的定义：力和作用在力的方向上通过的位移的乘积。是描述力对空间积累效应的物理量，是过程量。
定义式：，其中F是力，s是力的作用点位移，θ是力与位移间的夹角。
（2）功的大小的计算方法：
①恒力的功可根据进行计算，本公式只适用于恒力做功；
②根据，计算一段时间内平均做功；
③利用动能定理计算力的功，特别是变力所做的功；
④根据功是能量转化的量度反过来可求功。
（3）摩擦力、空气阻力做功的计算：功的大小等于力和路程的乘积。
发生相对运动的两物体的这一对相互摩擦力做的总功：W=fd（d是两物体间的相对路程），且W=Q（摩擦生热）。
2、功率：
（1）功率的概念：功率是表示力做功快慢的物理量，是标量。求功率时一定要分清是求哪个力的功率，还要分清是求平均功率还是瞬时功率。
（2）功率的计算：
①平均功率：P=W/t（定义式） 表示时间t内的平均功率，不管是恒力做功，还是变力做功，都适用；
②瞬时功率：： P和v分别表示t时刻的功率和速度，α为两者间的夹角。
（3）额定功率与实际功率 ：
额定功率：发动机正常工作时的最大功率；
实际功率：发动机实际输出的功率，它可以小于额定功率，但不能长时间超过额定功率。
（4）交通工具的启动问题，通常说的机车的功率或发动机的功率实际是指其牵引力的功率。
①以恒定功率P启动：机车的运动过程是先作加速度减小的加速运动，后以最大速度v m=P/f 作匀速直线运动； .
②以恒定牵引力F启动：机车先作匀加速运动，当功率增大到额定功率时速度为v1=P/F，而后开始作加速度减小的加速运动，最后以最大速度vm=P/f作匀速直线运动。
考点13 动能定理 机械能守恒定律
1、动能：物体由于运动而具有的能量叫做动能。
表达式：Ek=mv2/2
（1）动能是描述物体运动状态的物理量；
（2）动能和动量的区别和联系：
①动能是标量，动量是矢量，动量改变，动能不一定改变；动能改变，动量一定改变；
②两者的物理意义不同：动能和功相联系，动能的变化用功来量度；动量和冲量相联系，动量的变化用冲量来量度；
③两者之间的大小关系为：Ek=P2/2m .
2、动能定理：外力对物体所做的总功等于物体动能的变化。
表达式：
（1）动能定理的表达式是在物体受恒力作用且做直线运动的情况下得出的。但它也适用于变力及物体作曲线运动的情况；
（2）功和动能都是标量，不能利用矢量法则分解，故动能定理无分量式；
（3）应用动能定理只考虑初、末状态，没有守恒条件的限制，也不受力的性质和物理过程的变化的影响。所以，凡涉及力和位移，而不涉及力的作用时间的动力学问题，都可以用动能定理分析和解答，而且一般都比用牛顿运动定律和机械能守恒定律简捷；
（4）当物体的运动是由几个物理过程所组成，又不需要研究过程的中间状态时，可以把这几个物理过程看作一个整体进行研究，从而避开每个运动过程的具体细节，具有过程简明、方法巧妙、运算量小等优点。
3、重力势能：
（1）定义：地球上的物体具有跟它的高度有关的能量，叫做重力势能
①重力势能是地球和物体组成的系统共有的，而不是物体单独具有的；
②重力势能的大小和零势能面的选取有关；
③重力势能是标量，但有“+”、“-”之分。
（2）重力做功的特点：重力做功只决定于初、末位置间的高度差，与物体的运动路径无关：
WG =mgh
（3）做功跟重力势能改变的关系：重力做功等于重力势能增量的负值，即。
4、弹性势能：物体由于发生弹性形变而具有的能量。
5、机械能守恒定律：
（1）动能和势能（重力势能、弹性势能）统称为机械能，E=E k +E p；
（2）机械能守恒定律的内容：在只有重力（及系统内弹簧的弹力）做功的情形下，物体动能和重力势能（及弹性势能）发生相互转化，但机械能的总量保持不变；
（3）机械能守恒定律的表达式： ；
（4）系统机械能守恒的三种表示方式：
①系统初态的总机械能E 1 等于末态的总机械能E 2 ，即E1 =E2 ；
②系统减少的总重力势能ΔE P减 等于系统增加的总动能ΔE k增 ，即ΔE P减 =ΔE k增 ;
③若系统只有A、B两物体，则A物体减少的机械能等于B物体增加的机械能，即
ΔE A减 =ΔE B增 .
［注意］
解题时究竟选取哪一种表达形式，应根据题意灵活选取；需注意的是：选用①式时，必须规定零势能参考面，而选用②式和③式时，可以不规定零势能参考面，但必须分清能量的减少量和增加量。
（5）判断机械能是否守恒的方法：
①用做功来判断：分析物体或物体受力情况（包括内力和外力），明确各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹簧弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则机械能守恒；
②用能量转化来判定:若物体系中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒；
③对一些绳子突然绷紧，物体间非弹性碰撞等问题，除非题目特别说明，机械能必定不守恒，完全非弹性碰撞过程机械能也不守恒。
6、功能关系：
（1）当只有重力（或弹簧弹力）做功时，物体的机械能守恒；
（2）重力对物体做的功等于物体重力势能的减少：W G =E p1 -E p2 ；
（3）合外力对物体所做的功等于物体动能的变化：:W 合 =E k2 -E k1 （动能定理）；
（4）除了重力（或弹簧弹力）之外的力对物体所做的功等于物体机械能的变化：
W F =E 2 -E 1
二、经典例题赏析
例1 以初速度v0竖直向上抛出一质量为m的小物体。假定物块所受的空气阻力f大小不变。已知重力加速度为g，则物体上升的最大高度和返回到原抛出点的速率分别为（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
解析：A 本题考查动能定理.上升的过程中,重力做负功,阻力做负功,由动能定理得,,求返回抛出点的速度由全程使用动能定理重力做功为零,只有阻力做功为有,解得,A正确。
例2 小球由地面竖直上抛，上升的最大高度为H，设所受阻力大小恒定，地面为零势能面。在上升至离地高度h处，小球的动能是势能的两倍，在下落至离高度h处，小球的势能是动能的两倍，则h等于（ ）
A．H/9 B．2H/9 C．3H/9 D．4H/9
解析：D 小球上升至最高点过程：；小球上升至离地高度h处过程：，又；小球上升至最高点后又下降至离地高度h处过程：，又；以上各式联立解得，答案D正确。
例3 如图所示，两质量相等的物块A、B通过一轻质弹簧连接，B足够长、放置在水平面上，所有接触面均光滑。弹簧开始时处于原长，运动过程中始终处在弹性限度内。在物块A上施加一个水平恒力，A、B从静止开始运动到第一次速度相等的过程中，下列说法中正确的有 （ ）
A．当A、B加速度相等时，系统的机械能最大
B．当A、B加速度相等时，A、B的速度差最大
C．当A、B的速度相等时，A的速度达到最大
D．当A、B的速度相等时，弹簧的弹性势能最大
解析：BCD 处理本题的关键是对物体进行受力分析和运动过程分析，使用图象处理则可以使问题大大简化。对A、B在水平方向受力分析如图，F1为弹簧的拉力；当加速度大小相同为a时，对Ａ有，对Ｂ有，得，在整个过程中Ａ的合力（加速度）一直减小而Ｂ的合力（加速度）一直增大，在达到共同加速度之前A的合力（加速度）一直大于Ｂ的合力（加速度），之后A的合力（加速度）一直小于Ｂ的合力（加速度）。两物体运动的v-t图象如图，tl时刻，两物体加速度相等，斜率相同，速度差最大，t2时刻两物体的速度相等，Ａ速度达到最大值，两实线之间围成的面积有最大值即两物体的相对位移最大，弹簧被拉到最长；除重力和弹簧弹力外其它力对系统正功，系统机械能增加，tl时刻之后拉力依然做正功，即加速度相等时，系统机械能并非最大值。
P
地球
Q
轨道1
轨道2
例4 2008年9月25日至28日我国成功实施了“神舟”七号载入航天飞行并实现了航天员首次出舱。飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟。下列判断正确的是（ ）
A．飞船变轨前后的机械能相等
B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态
C．飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度
D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度
解析：BC 飞船点火变轨，前后的机械能不守恒，所以A不正确。飞船在圆轨道上时万有引力来提供向心力，航天员出舱前后都处于失重状态，B正确。飞船在此圆轨道上运动的周期90分钟小于同步卫星运动的周期24小时，根据可知，飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度，C正确。飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时只有万有引力来提供加速度，变轨后沿圆轨道运动也是只有万有引力来提供加速度，所以相等，D不正确。提示：若物体除了重力、弹性力做功以外，还有其他力(非重力、弹性力)不做功，且其他力做功之和不为零，则机械能不守恒。
根据万有引力等于卫星做圆周运动的向心力可求卫星的速度、周期、动能、动量等状态量。由得，由得，由得，可求向心加速度。
例5 图示为某探究活动小组设计的节能运动系统。斜面轨道倾角为30°，质量为M的木箱与轨道的动摩擦因数为。木箱在轨道端时，自动装货装置将质量为m的货物装入木箱，然后木箱载着货物沿轨道无初速滑下，与轻弹簧被压缩至最短时，自动卸货装置立刻将货物卸下，然后木箱恰好被弹回到轨道顶端，再重复上述过程。下列选项正确的是（ ）
A．m＝M
B．m＝2M
C．木箱不与弹簧接触时，上滑的加速度大于下滑的加速度
D．在木箱与货物从顶端滑到最低点的过程中，减少的重力势能全部转化为弹簧的弹性势能
解析：BC 受力分析可知，下滑时加速度为，上滑时加速度为，所以C正确。设下滑的距离为l，根据能量守恒有，得m＝2M。也可以根据除了重力、弹性力做功以外，还有其他力(非重力、弹性力)做的功之和等于系统机械能的变化量，B正确。在木箱与货物从顶端滑到最低点的过程中，减少的重力势能转化为弹簧的弹性势能和内能，所以D不正确。
例6 如图所示,一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球a和b,跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆上,质量为3m的a球置于地面上,质量为m的b球从水平位置静止释放,当a球对地面压力刚好为零时,b球摆过的角度为θ.下列结论正确的是 ( )
A.θ=90°
B.θ=45°
C.b球摆动到最低点的过程中,重力对小球做功的功率先增大后减小
D.b球摆动到最低点的过程中,重力对小球做功的功率一直增大
解析：AC b球下摆过程中,竖直方向速度先增大后减小,重力功率P=mgv⊥先增大后减小.a对地面的压力刚好为零,说明绳的拉力T=3mg,对b球设绕行半径为r,在最低点时,mgr=mvT′-mg=得T′=T=3mg所以b在最低点时,a球恰好对地面压力为零.
例7 运动员跳伞将经历加速下降和减速下降两个过程,将人和伞看成一个系统,在这两个过程中,下列说法正确的是 ( )
A.阻力对系统始终做负功 B.系统受到的合外力始终向下
C.重力做功使系统的重力势能增加 D.任意相等的时间内重力做的功相等
解析：A 运动员无论是加速下降还是减速下降,阻力始终阻碍系统的运动,所以阻力对系统始终做负功,故选项A正确;运动员加速下降时系统受到的合外力向下,减速下降时系统所受的合外力向上,故选项B错误;由WG=-ΔEp知,运动员下落过程中重力始终做正功,系统重力势能减少,故选项C错误;运动员在加速下降和减速下降的过程中,任意相等时间内所通过的位移不一定相等,所以任意相等时间内重力做功不一定相等,故选项D错误.
例8 某人造卫星运动的轨道可近似看作是以地心为中心的圆,由于阻力作用,人造卫星到地心的距离从r1慢慢变到r2,用Ek1、Ek2分别表示卫星在这两个轨道上的动能,则（ ）
A.r1 < r2,Ek1 < Ek2 B.r1 > r2,Ek1 < Ek2
C.r1 < r2,Ek1 > Ek2 D.r1 > r2,Ek1 > Ek2
解析：B 做匀速圆周运动的物体,满足,由于阻力作用,假定其半径不变,其动能减小,则,由上式可知,人造卫星必做向心运动,其轨迹半径必减小,由于人造卫星到地心距离慢慢变 化,其运动仍可看作匀速运动,
由可知,其运动的动能必慢慢增大.
例9 据媒体报道,“嫦娥一号”卫星环月工作轨道为圆轨道,轨道高度200 km,运行周期127分钟.若还知道引力常量和月球平均半径,仅利用以上条件不能求出的是（ ）
A.月球表面的重力加速度 B.月球对卫星的吸引力
C.卫星绕月运行的速度 D.卫星绕月运行的加速度
解析：B 设月球质量为M,平均半径为R,月球表面的重力加速度为g,卫星的质量为m,周期为T,离月球表面的高度为h,月球对卫星的吸引力完全提供向心力,由万有引力定律知
①
②
由①②可得,故选项A不正确;因卫星的质量未知,故不能求出月球对卫星的吸引力,故选项B正确;卫星绕月运行的速度,故选项C错误;卫星绕月运行的加速度,故选项D错误.
例10 如图是“嫦娥一号”奔月示意图,卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨,进入地月转移轨道,最终被月球引力捕获,成为绕月卫星,并开展对月球的探测.下列说法正确的是 ( )
A.发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度
B.在绕月圆轨道上,卫星周期与卫星质量有关
C.卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比
D.在绕月圆轨道上,卫星受地球的引力大于受月球的引力
解析：C “嫦娥一号”要想脱离地球的束缚而成为月球的卫星,其发射速度必须达到第二宇宙速度,若发射速度达到第三宇宙速度,“嫦娥一号”将脱离太阳系的束缚,故选项A错误;在绕月球运动时,月球对卫星的万有引力完全提供向心力,则即卫星周期与卫星的质量无关,故选项B错误;卫星所受月球的引力,故选项C正确;在绕月圆轨道上,卫星受地球的引力小于受月球的引力,故选项D错误.
例11 物体沿直线运动的v-t关系如图所示,已知在第1秒内合外力对物体做的功为W,则 （ ）
A.从第1秒末到第3秒末合外力做功为4 W
B.从第3秒末到第5秒末合外力做功为-2 W
C.从第5秒末到第7秒末合外力做功为W
D.从第3秒末到第4秒末合外力做功为-0.75 W
解析： CD 由v—t图象可以看出,若第1 s末速度为v1=v0则第3 s末速度为v3=v0,第4 s末速度为v4=第5 s末速度为v5=0第7 s末速度为v7=-v0,因为第1 s内合外力做功为W,则由动能定理可知:W=mv02第1 s末到第3 s末合外力做功W1=mv32-mv02=0;第3 s末到第5 s末合外力做功W2=mv52-mv32=-mv02=-W;第5 s末到第7 s末合外力做功W3=mv72-mv52=mv02=W;第3 s末到第4 s末合外力做功为W4=mv42-mv32=m()2-mv02=-×mv02=-0.75W.上所述,C、D选项正确.
例12 假定地球、月球都静止不动,用火箭从地球沿地月连线向月球发射一探测器.假定探测器在地球表面附近脱离火箭.用W表示探测器从脱离火箭处飞到月球的过程中克服地球引力做的功,用Ek表示探测器脱离火箭时的动能,若不计空气阻力,则 ( )
A.Ek必须大于或等于W,探测器才能到达月球 B.Ek小于W,探测器也可能到达月球
C.Ek=W,探测器一定能到达月球 D.Ek=W,探测器一定不能到达月球
解析：BD 假设没有月球的吸引力,当探测器的初动能为W时,探测器刚好到达月球,当探测器的动能Ek
A.A和B均做简谐运动
B.作用在A上的静摩擦力大小与弹簧的形变量成正比
C.B对A的静摩擦力对A做功,而A对B的静摩擦力对B不做功
D.B对A的静摩擦力始终对A做正功,而A对B的静摩擦力始终对B做负功
解析： AB A、B保持相对静止,其水平方向的运动等效于水平方向弹簧振子的运动,故A对;A物体做简谐运动的回复力是B对A的静摩擦力提供的,设B对A的静摩擦力为F时,弹簧伸长量为x,对A物体有：F=mAa,对A、B整体有：kx=(mA+mB)a,联立得：F=,由此可知B项正确；B对A的静摩擦力可以对A做正功,也可以对A做负功,故C、D错.
例14 如图所示, 固定的光滑竖直杆上套着一个滑块,用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮,以大小恒定的拉力F拉绳,使滑块从A点起由静止开始上升.若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1、W2,滑块经B、C两点时的动能分别为EkB、EkC,图中AB=BC,则一定（ ）
A.W1>W2 B.W1< W 2
C.EkB>EkC D.EkB
据W1=FΔs1,W2=FΔs2,可知W1>W2.
因F大小未知,则物体由A到C的过程是加速、减速情况难以确定.故A项正确.
例15 图示为某一皮带传动装置.主动轮的半径为r1,从转动的半径为r2.已知主动轮做顺时针转动,转速为n,转动过程中皮带不打滑,下列说法正确的是 ( )
A.从动轮做顺时针转动 B.从动轮做逆时针转动
C.从动轮的转速为 D.从动轮的转速为
解析：BC 因为皮带不打滑,两轮缘上各点的线速度等大,各点做圆周运动的速度方向为切线方向,则皮带上的M、
N点均沿MN方向运动,从动轮沿逆时针方向转动,B对A错.
根据线速度与角速度的关系式：v=rω,ω=2πn
所以n∶n2=r2∶r1,n2=,C对D错.
例16 如图所示,轻杆的一端有一个小球,另一端有光滑的固定轴O,现给球一初速度,使球和杆一起绕O轴在竖直面内转动,不计空气阻力,用F表示球到达最高点时杆对小球的作用力,则F ( )
A.一定是拉力 B.一定是推力
C.一定等于零 D.可能是拉力,可能是推力,也可能等于零
解析：D 最高点球受重力mg与杆的作用力F,由牛顿第二定律知mg+F=ma向=m（v为球在最高点的速度,R为球做圆周运动的半径）当v=时,F=0；当v>时,F>0,即拉力；当v<时,F<0,即推力.故D对.
例17 如图所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A,小车下装有吊着物体B的吊钩,在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时,吊钩将物体B向上吊起,A、B之间的距离以d =H - 2t2（SI）（SI表示国际单位制,式中H为吊臂离地面的高度）规律变化,则物体做 ( )
A.速度大小不变的曲线运动 B.速度大小增加的曲线运动
C.加速度大小方向均不变的曲线运动 D.加速度大小方向均变化的曲线运动
解析：BC B物体参与了两个运动,一个是水平方向的匀速运动,另一个是在竖直方向上的运动,由d =H-2t2可知,A、B之间距离匀加速减小,且加速度a=4 m/s2,因此B在竖直方向上做匀加速运动,两个运动的合成为匀加速曲线运动.
例18 如图所示,一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上.物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角满足 ( )
A.tan=sinθ
B.tan=cosθ
C.tan=tanθ
D.tan=2tanθ
解析：D 物体做平抛运动,水平方向上的分运动是匀速直线运动,水平分速度为vx=v0,水平分位移x =v0t,竖直方向上做自由落体运动,竖直分速度vy=gt,竖直分位移为,根据平行四边形定则和几何知识得：tan
tan 所以：tan=2tan.
例19 牛顿以天体之间普遍存在着引力为依据，运用严密的逻辑推理，建立了万有引力定律。在创建万有引力定律的过程中，牛顿（ ）
A．接受了胡克等科学家关于“吸引力与两中心距离的平方成反比”的猜想
B．根据地球上一切物体都以相同加速度下落的事实，得出物体受地球的引力与其质量成正比，即Fµm的结论
C．根据Fµm和牛顿第三定律，分析了地月间的引力关系，进而得出Fµm1m2
D．根据大量实验数据得出了比例系数G的大小
解析：AB 题干要求“在创建万有引力定律的过程中”，牛顿知识接受了平方反比猜想，和物体受地球的引力与其质量成正比，即Fµm的结论，而提出万有引力定律后，后来利用卡文迪许扭称测量出万有引力常量G的大小，只与C项也是在建立万有引力定律后才进行的探索，因此符合题意的只有AB。
例20 英国《新科学家（New Scientist）》杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ1650-500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径约45km，质量和半径的关系满足（其中为光速，为引力常量），则该黑洞表面重力加速度的数量级为（ ）
A． B．
C． D．
解析：C 处理本题要从所给的材料中，提炼出有用信息，构建好物理模型，选择合适的物理方法求解。黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，对黑洞表面的某一质量为m物体有：，又有，联立解得，带入数据得重力加速度的数量级为，C项正确。
例21 据报道，2009年4月29日，美国亚利桑那州一天文观测机构发现一颗与太阳系其它行星逆向运行的小行星，代号为2009HC82。该小行星绕太阳一周的时间为3.39年，直径2～3千米，其轨道平面与地球轨道平面呈155°的倾斜。假定该小行星与地球均以太阳为中心做匀速圆周运动，则小行星和地球绕太阳运动的速度大小的比值为（ ）
A. B. C. D.
解析：A 小行星和地球绕太阳作圆周运动，都是由万有引力提供向心力，有＝，可知小行星和地球绕太阳运行轨道半径之比为R1:R2＝，又根据V＝，联立解得V1:V2＝，已知＝，则V1:V2＝。
例22 如图所示，某货场而将质量为m1=100 kg的货物（可视为质点）从高处运送至地面，为避免货物与地面发生撞击，现利用固定于地面的光滑四分之一圆轨道，使货物中轨道顶端无初速滑下，轨道半径R=1.8 m。地面上紧靠轨道次排放两声完全相同的木板A、B，长度均为l=2m，质量均为m2=100 kg，木板上表面与轨道末端相切。货物与木板间的动摩擦因数为1，木板与地面间的动摩擦因数=0.2。（最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，取g=10 m/s2）
（1）求货物到达圆轨道末端时对轨道的压力。
（2）若货物滑上木板4时，木板不动，而滑上木板B时，木板B开始滑动，求1 应满足的条件。
（3）若1=0。5，求货物滑到木板A末端时的速度和在木板A上运动的时间。
解析：（1）设货物滑到圆轨道末端是的速度为，对货物的下滑过程中根据机械能守恒定律得，①设货物在轨道末端所受支持力的大小为,根据牛顿第二定律得，②
联立以上两式代入数据得③
根据牛顿第三定律，货物到达圆轨道末端时对轨道的压力大小为3000N，方向竖直向下。
（2）若滑上木板A时，木板不动，由受力分析得④
若滑上木板B时，木板B开始滑动，由受力分析得⑤
联立④⑤式代入数据得⑥。
（3），由⑥式可知，货物在木板A上滑动时，木板不动。设货物在木板A上做减速运动时的加速度大小为，由牛顿第二定律得⑦
设货物滑到木板A末端是的速度为，由运动学公式得⑧
联立①⑦⑧式代入数据得⑨
设在木板A上运动的时间为t，由运动学公式得⑩
联立①⑦⑨⑩式代入数据得。
⑦
例23 如图中有一个竖直固定在地面的透气圆筒,筒中有一个劲度为k的轻弹簧,其下端固定,上端连接一质量为m的薄滑块,圆筒内壁涂有一层新型智能材料——ER流体,它对滑块的阻力可调.起初,滑块静止,ER流体对其阻力为0,弹簧的长度为L.现有一质量也为m的物体从距地面2L处自由落下,与滑块碰撞后粘在一起向下运动.为保证滑块做匀减速运动,且下移距离为时速度减为0,ER流体对滑块的阻力须随滑块下移而变.试求（忽略空气阻力）：
（1）下落物体与滑块碰撞过程中系统损失的机械能;
（2）滑块向下运动过程中加速度的大小;
（3）滑块下移距离d时ER流体对滑块阻力的大小。
解析： (1)设物体下落末速度为v0,由机械能守恒定律mgL=mv02,得v0=,
设碰后共同速度为v1,由动量守恒定律2mv1=mv0,得v1=.碰撞过程中系统损失的机械能为ΔE=mv02-×2mv12=mgL.
(2)设加速度大小为a,有2as=v12,得a=.
(3)设弹簧弹力为FN,ER流体对滑块的阻力为FER,受力分析如图所示：
FN+FER-2mg=2ma,FN=kx,x=d+mg/k,得FER=mg+-kd.
例24 如图所示,一水平圆盘绕过圆心的竖直轴转动,圆盘边缘有一质量m=1.0 kg的小滑块.当圆盘转动的角速度达到某一数值时,滑块从圆盘边缘滑落,经光滑的过渡圆管进入轨道ABC.已知AB段斜面倾角为53°,BC段斜面倾角为37°,滑块与圆盘及斜面间的动摩擦因数均为μ=0.5,A点离B点所在水平面的高度h=1.2 m.滑块在运动过程中始终未脱离轨道,不计在过渡圆管处和B点的机械能损失,最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力,取g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8.
(1)若圆盘半径R=0.2 m,当圆盘的角速度多大时,滑块从圆盘上滑落？
(2)若取圆盘所在平面为零势能面,求滑块到达B点时的机械能.
(3)从滑块到达B点时起,经0.6 s正好通过C点,求BC之间的距离.
解析： (1)滑块在圆盘上做圆周运动时,静摩擦力充当向心力,根据牛顿第二定律,可得:
μmg=mω2R
代入数据解得：ω==5 rad/s
(2)滑块在A点时的速度：vA=ωR=1 m/s
从A到B的运动过程由动能定理得
mgh-μmgcos 53° ·=mvB2-mvA2
在B点时的机械能：EB=mvB2-mgh=-4 J
(3)滑块在B点时的速度：vB=4 m/s
滑块沿BC段向上运动时的加速度大小：
a1=g(sin 37°+μcos 37°)=10 m/s2
返回时的加速度大小
a2=g(sin 37°-μcos 37°)=2 m/s2
BC间的距离：sBC==0.76 m
例25 如图所示,一轻绳吊着粗细均匀的棒,棒下端离地面高H,上端套着一个细环.棒和环的质量均为m,相互间最大静摩擦力等于滑动摩擦力kmg(k>1).断开轻绳,棒和环自由下落.假设棒足够长,与地面发生碰撞时,触地时间极短,无动能损失.棒在整个运动过程中始终保持竖直,空气阻力不计.求：
(1)棒第一次与地面碰撞弹起上升过程中,环的加速度.
(2)从断开轻绳到棒与地面第二次碰撞的瞬间,棒运动的路程s.
(3)从断开轻绳到棒和环都静止,摩擦力对环及棒做的总功W.
解析： (1)设棒第一次上升过程中,环的加速度为a环
环受合力F环=kmg-mg ①
由牛顿第二定律F环=ma环 ②
由①②得a环=(k-1)g,方向竖直向上
(2)设以地面为零势能面,向上为正方向,棒第一次落地的速度大小为v1.
由机械能守恒得：×2mv12=2mgH
解得v1=
设棒弹起后的加速度a棒
由牛顿第二定律a棒=-(k+1)g
棒第一次弹起的最大高度H1=-
解得H1=
棒运动的路程s=H+2H=
(3)解法一：棒第一次弹起经过t1时间,与环达到相同速度v1′
环的速度v1′=-v1+a环t1
棒的速度v1′=v1+a棒t1
环的位移h环1=-v1t1+a环t12
棒的位移h棒1=v1t1+a棒t12
x1=h环1-h棒1
解得：x1=-
棒环一起下落至地
v22-v1′2=2gh棒1
解得：v2=
同理,环第二次相对棒的位移
x2=h环2-h棒2=-
……
xn=-
环相对棒的总位移
x=x1+x2+……+xn+……
W=kmgx
得W=-
解法二：设环相对棒滑动距离为l
根据能量守恒mgH+mg(H+l)=kmgl
摩擦力对棒及环做的总功
W=-kmgl
解得W=-
例26 如图所示,位于竖直平面内的光滑轨道,由一段斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连接而成,圆形轨道的半径为R.一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑,然后沿圆形轨道运动.要求物块能通过圆形轨道最高点,且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg(g为重力加速度).求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围.
解析：设物块在圆形轨道最高点的速度为v,由机械能守恒定律得
mgh=2mgR+mv2 ①
物块在最高点受的力为重力mg、轨道的压力N.重力与压力的合力提供向心力,有
mg+N=m ②
物块能通过最高点的条件是
N≥0 ③
由②③式得
v≥ ④
由①④式得
h≥R ⑤
按题目要求,N≤5 mg,由②式得
v≤ ⑥
由①⑥式得
h≤5R ⑦
h的取值范围是
R≤h≤5R ⑧
例27 如图所示,水平光滑地面上停放着一辆小车,左侧靠在竖直墙壁上,小车的四分之一圆弧轨道AB是光滑的,在最低点B与水平轨道BC相切,BC的长度是圆弧半径的10倍,整个轨道处于同一竖直平面内.可视为质点的物块从A点正上方某处无初速下落,恰好落入小车圆弧轨道滑动.然后沿水平轨道滑行至轨道末端C处恰好没有滑出.已知物块到达圆弧轨道最低点B时对轨道的压力是物块重力的9倍,小车的质量是物块的3倍,不考虑空气阻力和物块落入圆弧轨道时的能量损失.求:
(1)物块开始下落的位置距水平轨道BC的竖直高度是圆弧半径的几倍.
(2)物块与水平轨道BC间的动摩擦因数μ.
解析：(1)设物块的质量为m,其开始下落处的位置距BC的竖直高度为h,到达B点时的速度为v,小车圆弧轨道半径为R.由机械能守恒定律,有
mgh=mv2 ①
根据牛顿第二定律,有
9mg-mg=m ②
解得h=4R ③
即物块开始下落的位置距水平轨道BC的竖直高度是圆弧半径的4倍.
(2)设物块与BC间的滑动摩擦力的大小为F,物块滑到C点时与小车的共同速度为v′,物块在小车上由B运动到C的过程中小车对地面的位移大小为s.依题意,小车的质量为3m,BC长度为10 R.由滑动摩擦定律,有
F=μmg ④
由动量守恒定律,有mv=(m+3m)v′ ⑤
对物块、小车分别应用动能定理,有
-F(10R+s)=mv′2-mv2 ⑥
Fs=(3m)v′2-0 ⑦
解得μ=0.3 ⑧
例28 一个质量为4 kg的物体静止在足够大的水平地面上,物体与地面间的动摩擦因数μ=0.1.从t=0开始,物体受到一个大小和方向呈周期性变化的水平力F作用,力F随时间的变化规律如图所示.求83秒内物体的位移大小和力F对物体所做的功(g取10 m/s2).
解析： 第1个2s内,其加速度:
a1== m/s2=2 m/s2
第1个2 s末的速度:
v1=a1t=2×2 m/s=4 m/s
第1个2 s内的位移:
s1=
第2个2 s内做减速运动,其加速度大小:
a2=
第2个2 s末的速度:v2=v1-a2t=0
第2个2 s内的位移:s2=
故物体先匀加速2 s达最大速度4 m/s,后又匀减速运动2 s速度变为零,以后将重复这个运动.
前84 s内物体的位移s=21(s1+s2)=168 m
最后1 s内物体的位移s′=
故83秒内物体的位移为168 m-1 m=167 m
第83秒末的速度与第3秒末的速度相等,故v=v1
所以力F对物体所做的功W=mv2+fs83=8 J+668 J=676 J
例28 某滑板爱好者在离地h=1.8 m高的平台上滑行，水平离开A点后落在水平地面的B点，其水平位移s1=3 m.着地时由于存在能量损失，着地后速度变为v=4 m/s，并以此为初速沿水平地面滑s2=8 m后停止.已知人与滑板的总质量m=60 kg.求：
（1）人与滑板在水平地面滑行时受到的平均阻力大小；
（2）人与滑板离开平台时的水平初速度.（空气阻力忽略不计，g取10 m/s2）
解析：（1）设滑板在水平地面滑行时受到的平均阻力为f，
根据动能定理有-fs2=0-mv2 ①
由①式解得f==N=60N ②
（2）人和滑板一起在空中做平抛运动，设初速为v0，飞行时间为t，根据平抛运动规律有
h=gt2 ③
v0= ④
由③④两式解得
v0== m/s=5 m/s
例29 如图，质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态.一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩.开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向.现在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升.若将C换成另一个质量为（m1+m3）的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g.
解析：解法一 开始时，A、B静止，设弹簧压缩量为x1，有
kx1=m1g ①
挂C并释放后，C向下运动，A向上运动，设B刚要离地时弹簧伸长量为x2，有
kx2=m2g ②
B不再上升表示此时A和C的速度为零，C已降到其最低点.由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增加量为ΔE=m3g(x1+x2)-m1g(x1+x2) ③
C换成D后，当B刚离地时弹簧弹性势能的增量与前一次相同，设此时A、D速度为v，由能量关系得
（m3+m1）v2+m1v2=(m3+m1)g(x1+x2)-m1g(x1+x2)-ΔE ④
由①~④式得
v=g
解法二 能量补偿法
据题设，弹簧的总形变量即物体A上升的距离为
h= ①
第二次释放D与第一次释放C相比较，根据能量守恒，可得
m1gh=(2m1+m3)v2 ②
由①②得
v=g
例30 过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径、。一个质量为kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以的初速度沿轨道向右运动，A、B间距m。小球与水平轨道间的动摩擦因数，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠。重力加速度取，计算结果保留小数点后一位数字。试求
（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；
（2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距应是多少；
（3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径应满足的条件；小球最终停留点与起点的距离。
解析：（1）设小于经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v1根据动能定理
①
小球在最高点受到重力mg和轨道对它的作用力F，根据牛顿第二定律
②
由①②得 ③
（2）设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v2，由题意
④
⑤
由④⑤得 ⑥
（3）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：
I．轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v3，应满足
⑦
⑧
由⑥⑦⑧得
II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R3，根据动能定理
解得
为了保证圆轨道不重叠，R3最大值应满足
解得 R3=27.9m
综合I、II，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件
或
当时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L′，则
当时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L〞，则
例31 如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为；石油密度远小于，可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏高。重力加速度在原坚直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点附近重力加速度反常现象。已知引力常数为G。
（1）设球形空腔体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），=x，求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常
（2）若在水平地面上半径L的范围内发现：重力加速度反常值在与（k>1）之间变化，且重力加速度反常的最大值出现在半为L的范围的中心,如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积。
解析：本题考查万有引力部分的知识.
（1）如果将近地表的球形空腔填满密度为的岩石,则该地区重力加速度便回到正常值.因此,重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力………①来计算,式中的m是Q点处某质点的质量,M是填充后球形区域的质量,……………②
而r是球形空腔中心O至Q点的距离………③
在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q点处重力加速度改变的大小.Q点处重力加速度改变的方向沿OQ方向,重力加速度反常是这一改变在竖直方向上的投影………④
联立以上式子得
,…………⑤
（2）由⑤式得,重力加速度反常的最大值和最小值分别为……⑥
……………⑦
由提设有、……⑧
联立以上式子得,地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为
,
例32 已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响。
（1）推导第一宇宙速度v1的表达式；
（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T。
解析：（1）设卫星的质量为m,地球的质量为M,
在地球表面附近满足
得 ①
卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力
②
①式代入②式，得到
（2）考虑式，卫星受到的万有引力为
③
由牛顿第二定律 ④
③、④联立解得
例33 2008年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A*”的质量与太阳质量的倍数关系。研究发现，有一星体S2绕人马座A*做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50102天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上。观测得到S2星的运行周期为15.2年。
（1）若将S2星的运行轨道视为半径r=9.50102天文单位的圆轨道，试估算人马座A*的质量MA是太阳质量Ms的多少倍(结果保留一位有效数字)；
（2）黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚。由于引力的作用，黑洞表面处质量为m的粒子具有势能为Ep=-G(设粒子在离黑洞无限远处的势能为零)，式中M、R分别表示黑洞的质量和半径。已知引力常量G=6.710-11N·m2/kg2，光速c=3.0108m/s，太阳质量Ms=2.01030kg，太阳半径Rs=7.0108m，不考虑相对论效应，利用上问结果，在经典力学范围内求人马座A*的半径RA与太阳半径之比应小于多少（结果按四舍五入保留整数）。
解析：本题考查天体运动的知识。其中第2小题为信息题，如“黑洞”“引力势能”等陌生的知识都在题目中给出，考查学生提取信息，处理信息的能力，体现了能力立意。
（1）S2星绕人马座A*做圆周运动的向心力由人马座A*对S2星的万有引力提供，设S2星的质量为mS2，角速度为ω，周期为T，则
①
②
设地球质量为mE，公转轨道半径为rE，周期为TE，则
③
综合上述三式得
式中 TE=1年 ④
rE=1天文单位 ⑤
代入数据可得
⑥
（2）引力对粒子作用不到的地方即为无限远，此时料子的势能为零。“处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚”，说明了黑洞表面处以光速运动的粒子在远离黑洞的过程中克服引力做功，粒子在到达无限远之前，其动能便减小为零，此时势能仍为负值，则其能量总和小于零，则有
⑦
依题意可知
，
可得
⑧
代入数据得
⑨
⑩
例34 神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体,探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时,发现了LMCX-3双星系统,它由可见星A和不可见的暗星B构成. 两星视为质点,不考虑其他天体的影响,A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动,它们之间的距离保持不变,如图所示.引力常量为G,由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T.
(1)可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体（视为质点）对它的引力,设A和B的质量分别为m1、m2,试求m′(用m1、m2表示);
（2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式；
（3）恒星演化到末期,如果其质量大于太阳质量ms的2倍,它将有可能成为黑洞.若可见星A的速率v=2.7×105 m/s,运行周期T=4.7π×104 s,质量m1=6 ms,试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？(G=6.67×10-11 N·m2/kg2,ms=2.0×1030 kg)
解析： （1）设A、B的圆轨道半径分别为r1、r2,由题意知,A、B做匀速圆周运动的角速度相同,设其为ω.由牛顿运动定律,有
FA=m1ω2r1
FB=m2ω2r2
FA=FB
设A、B之间的距离为r,又r =r1+r2,由上述各式得
r = ①
由万有引力定律,有
FA=
将①代入得FA=G
令FA=
比较可得m′= ②
（2）由牛顿第二定律,有 ③
又可见星A的轨道半径r1= ④
由②③④式解得 ⑤
（3）将m1=6 ms代入⑤式,得
代入数据得
⑥
设m2=nms(n > 0),将其代入⑥式,得
⑦
可见,的值随n的增大而增大,试令n=2,
得 ⑧
若使⑦式成立,则n必大于2,即暗星B的质量m2必大于2ms,由此得出结论：暗星B有可能是黑洞.
一、教材考点知识梳理
考点11 曲线运动 万有引力
1、曲线运动：
（1）物体作曲线运动的条件：运动质点所受的合外力（或加速度）的方向跟它的速度方向不在同一直线；
（2）曲线运动的特点：质点在某一点的速度方向，就是通过该点的曲线的切线方向。质点的速度方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动；
（3）曲线运动的轨迹：做曲线运动的物体，其轨迹向合外力所指一方弯曲，若已知物体的运动轨迹，可判断出物体所受合外力的大致方向，如平抛运动的轨迹向下弯曲，圆周运动的轨迹总向圆心弯曲等。
2、运动的合成与分解：
（1）合运动与分运动的关系：①等时性；②独立性；③等效性。
（2）运动的合成与分解的法则：平行四边形定则。
（3）分解原则：根据运动的实际效果分解，物体的实际运动为合运动。
3、平抛运动：
（1）特点：具有水平方向的初速度，只受重力作用，是加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动。
（2）运动规律：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动：
①建立直角坐标系（一般以抛出点为坐标原点O，以初速度vo方向为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向）；
②由两个分运动规律来处理。
4、圆周运动 ：
（1）描述圆周运动的物理量：
①线速度：描述质点做圆周运动的快慢，大小v=s/t（s是t时间内通过的弧长），方向为质点在圆弧某点的线速度方向沿圆弧该点的切线方向；
②角速度：描述质点绕圆心转动的快慢，大小ω=φ/t（单位rad/s），φ是连接质点和圆心的半径在t时间内转过的角度，其方向在中学阶段不研究；
③周期T，频率f ：做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期；
做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数叫做频率；
④向心力：总是指向圆心，产生向心加速度，向心力只改变线速度的方向，不改变速度的大小。
［注意］
向心力是根据力的效果命名的。在分析做圆周运动的质点受力情况时，千万不可在物体受力之外再添加一个向心力。
（2）匀速圆周运动：线速度的大小恒定，角速度、周期和频率都是恒定不变的，向心加速度和向心力的大小也都是恒定不变的，是速度大小不变而速度方向时刻在变的变速曲线运动。
（3）变速圆周运动：速度大小方向都发生变化，不仅存在着向心加速度（改变速度的方向），而且还存在着切向加速度（方向沿着轨道的切线方向，用来改变速度的大小）。一般而言，合加速度方向不指向圆心，合力不一定等于向心力。合外力在指向圆心方向的分力充当向心力，产生向心加速度；合外力在切线方向的分力产生切向加速度。
5、万有引力定律：
（1）万有引力定律：宇宙间的一切物体都是互相吸引的。两个物体间的引力的大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。
公式：
（2）应用万有引力定律分析天体的运动：
①基本方法：把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。即
F引=F向 得：（应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析或计算）
②可以运用该定律估算天体质量M、密度ρ等。
（3）三种宇宙速度：
①第一宇宙速度：v 1 =7.9km/s，它是卫星的最小发射速度，也是地球卫星的最大环绕速度；
②第二宇宙速度（脱离速度）：:v 2 =11.2km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度；
③第三宇宙速度（逃逸速度）：v 3 =16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。
（4）地球同步卫星 ：所谓地球同步卫星，是相对于地面静止的，这种卫星位于赤道上方某一高度的稳定轨道上，且绕地球运动的周期等于地球的自转周期，即T=24h=86400s，离地面高度一定，同步卫星的轨道一定在赤道平面内，并且只有一条。所有同步卫星都在这条轨道上，以大小相同的线速度，角速度和周期运行着。
（5）卫星的超重和失重：
“超重”是卫星进入轨道的加速上升过程和回收时的减速下降过程，此情景与“升降机”中物体超重相同。“失重”是卫星进入轨道后正常运转时，卫星上的物体完全“失重”（因为重力提供向心力），此时，在卫星上的仪器，凡是制造原理与重力有关的均不能正常使用。
考点12 功 功率
1、功：
（1）功的定义：力和作用在力的方向上通过的位移的乘积。是描述力对空间积累效应的物理量，是过程量。
定义式：，其中F是力，s是力的作用点位移，θ是力与位移间的夹角。
（2）功的大小的计算方法：
①恒力的功可根据进行计算，本公式只适用于恒力做功；
②根据，计算一段时间内平均做功；
③利用动能定理计算力的功，特别是变力所做的功；
④根据功是能量转化的量度反过来可求功。
（3）摩擦力、空气阻力做功的计算：功的大小等于力和路程的乘积。
发生相对运动的两物体的这一对相互摩擦力做的总功：W=fd（d是两物体间的相对路程），且W=Q（摩擦生热）。
2、功率：
（1）功率的概念：功率是表示力做功快慢的物理量，是标量。求功率时一定要分清是求哪个力的功率，还要分清是求平均功率还是瞬时功率。
（2）功率的计算：
①平均功率：P=W/t（定义式） 表示时间t内的平均功率，不管是恒力做功，还是变力做功，都适用；
②瞬时功率：： P和v分别表示t时刻的功率和速度，α为两者间的夹角。
（3）额定功率与实际功率 ：
额定功率：发动机正常工作时的最大功率；
实际功率：发动机实际输出的功率，它可以小于额定功率，但不能长时间超过额定功率。
（4）交通工具的启动问题，通常说的机车的功率或发动机的功率实际是指其牵引力的功率。
①以恒定功率P启动：机车的运动过程是先作加速度减小的加速运动，后以最大速度v m=P/f 作匀速直线运动； .
②以恒定牵引力F启动：机车先作匀加速运动，当功率增大到额定功率时速度为v1=P/F，而后开始作加速度减小的加速运动，最后以最大速度vm=P/f作匀速直线运动。
考点13 动能定理 机械能守恒定律
1、动能：物体由于运动而具有的能量叫做动能。
表达式：Ek=mv2/2
（1）动能是描述物体运动状态的物理量；
（2）动能和动量的区别和联系：
①动能是标量，动量是矢量，动量改变，动能不一定改变；动能改变，动量一定改变；
②两者的物理意义不同：动能和功相联系，动能的变化用功来量度；动量和冲量相联系，动量的变化用冲量来量度；
③两者之间的大小关系为：Ek=P2/2m .
2、动能定理：外力对物体所做的总功等于物体动能的变化。
表达式：
（1）动能定理的表达式是在物体受恒力作用且做直线运动的情况下得出的。但它也适用于变力及物体作曲线运动的情况；
（2）功和动能都是标量，不能利用矢量法则分解，故动能定理无分量式；
（3）应用动能定理只考虑初、末状态，没有守恒条件的限制，也不受力的性质和物理过程的变化的影响。所以，凡涉及力和位移，而不涉及力的作用时间的动力学问题，都可以用动能定理分析和解答，而且一般都比用牛顿运动定律和机械能守恒定律简捷；
（4）当物体的运动是由几个物理过程所组成，又不需要研究过程的中间状态时，可以把这几个物理过程看作一个整体进行研究，从而避开每个运动过程的具体细节，具有过程简明、方法巧妙、运算量小等优点。
3、重力势能：
（1）定义：地球上的物体具有跟它的高度有关的能量，叫做重力势能
①重力势能是地球和物体组成的系统共有的，而不是物体单独具有的；
②重力势能的大小和零势能面的选取有关；
③重力势能是标量，但有“+”、“-”之分。
（2）重力做功的特点：重力做功只决定于初、末位置间的高度差，与物体的运动路径无关：
WG =mgh
（3）做功跟重力势能改变的关系：重力做功等于重力势能增量的负值，即。
4、弹性势能：物体由于发生弹性形变而具有的能量。
5、机械能守恒定律：
（1）动能和势能（重力势能、弹性势能）统称为机械能，E=E k +E p；
（2）机械能守恒定律的内容：在只有重力（及系统内弹簧的弹力）做功的情形下，物体动能和重力势能（及弹性势能）发生相互转化，但机械能的总量保持不变；
（3）机械能守恒定律的表达式： ；
（4）系统机械能守恒的三种表示方式：
①系统初态的总机械能E 1 等于末态的总机械能E 2 ，即E1 =E2 ；
②系统减少的总重力势能ΔE P减 等于系统增加的总动能ΔE k增 ，即ΔE P减 =ΔE k增 ;
③若系统只有A、B两物体，则A物体减少的机械能等于B物体增加的机械能，即
ΔE A减 =ΔE B增 .
［注意］
解题时究竟选取哪一种表达形式，应根据题意灵活选取；需注意的是：选用①式时，必须规定零势能参考面，而选用②式和③式时，可以不规定零势能参考面，但必须分清能量的减少量和增加量。
（5）判断机械能是否守恒的方法：
①用做功来判断：分析物体或物体受力情况（包括内力和外力），明确各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹簧弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则机械能守恒；
②用能量转化来判定:若物体系中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒；
③对一些绳子突然绷紧，物体间非弹性碰撞等问题，除非题目特别说明，机械能必定不守恒，完全非弹性碰撞过程机械能也不守恒。
6、功能关系：
（1）当只有重力（或弹簧弹力）做功时，物体的机械能守恒；
（2）重力对物体做的功等于物体重力势能的减少：W G =E p1 -E p2 ；
（3）合外力对物体所做的功等于物体动能的变化：:W 合 =E k2 -E k1 （动能定理）；
（4）除了重力（或弹簧弹力）之外的力对物体所做的功等于物体机械能的变化：
W F =E 2 -E 1
二、经典例题赏析
例1 以初速度v0竖直向上抛出一质量为m的小物体。假定物块所受的空气阻力f大小不变。已知重力加速度为g，则物体上升的最大高度和返回到原抛出点的速率分别为（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
解析：A 本题考查动能定理.上升的过程中,重力做负功,阻力做负功,由动能定理得,,求返回抛出点的速度由全程使用动能定理重力做功为零,只有阻力做功为有,解得,A正确。
例2 小球由地面竖直上抛，上升的最大高度为H，设所受阻力大小恒定，地面为零势能面。在上升至离地高度h处，小球的动能是势能的两倍，在下落至离高度h处，小球的势能是动能的两倍，则h等于（ ）
A．H/9 B．2H/9 C．3H/9 D．4H/9
解析：D 小球上升至最高点过程：；小球上升至离地高度h处过程：，又；小球上升至最高点后又下降至离地高度h处过程：，又；以上各式联立解得，答案D正确。
例3 如图所示，两质量相等的物块A、B通过一轻质弹簧连接，B足够长、放置在水平面上，所有接触面均光滑。弹簧开始时处于原长，运动过程中始终处在弹性限度内。在物块A上施加一个水平恒力，A、B从静止开始运动到第一次速度相等的过程中，下列说法中正确的有 （ ）
A．当A、B加速度相等时，系统的机械能最大
B．当A、B加速度相等时，A、B的速度差最大
C．当A、B的速度相等时，A的速度达到最大
D．当A、B的速度相等时，弹簧的弹性势能最大
解析：BCD 处理本题的关键是对物体进行受力分析和运动过程分析，使用图象处理则可以使问题大大简化。对A、B在水平方向受力分析如图，F1为弹簧的拉力；当加速度大小相同为a时，对Ａ有，对Ｂ有，得，在整个过程中Ａ的合力（加速度）一直减小而Ｂ的合力（加速度）一直增大，在达到共同加速度之前A的合力（加速度）一直大于Ｂ的合力（加速度），之后A的合力（加速度）一直小于Ｂ的合力（加速度）。两物体运动的v-t图象如图，tl时刻，两物体加速度相等，斜率相同，速度差最大，t2时刻两物体的速度相等，Ａ速度达到最大值，两实线之间围成的面积有最大值即两物体的相对位移最大，弹簧被拉到最长；除重力和弹簧弹力外其它力对系统正功，系统机械能增加，tl时刻之后拉力依然做正功，即加速度相等时，系统机械能并非最大值。
P
地球
Q
轨道1
轨道2
例4 2008年9月25日至28日我国成功实施了“神舟”七号载入航天飞行并实现了航天员首次出舱。飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟。下列判断正确的是（ ）
A．飞船变轨前后的机械能相等
B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态
C．飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度
D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度
解析：BC 飞船点火变轨，前后的机械能不守恒，所以A不正确。飞船在圆轨道上时万有引力来提供向心力，航天员出舱前后都处于失重状态，B正确。飞船在此圆轨道上运动的周期90分钟小于同步卫星运动的周期24小时，根据可知，飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度，C正确。飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时只有万有引力来提供加速度，变轨后沿圆轨道运动也是只有万有引力来提供加速度，所以相等，D不正确。提示：若物体除了重力、弹性力做功以外，还有其他力(非重力、弹性力)不做功，且其他力做功之和不为零，则机械能不守恒。
根据万有引力等于卫星做圆周运动的向心力可求卫星的速度、周期、动能、动量等状态量。由得，由得，由得，可求向心加速度。
例5 图示为某探究活动小组设计的节能运动系统。斜面轨道倾角为30°，质量为M的木箱与轨道的动摩擦因数为。木箱在轨道端时，自动装货装置将质量为m的货物装入木箱，然后木箱载着货物沿轨道无初速滑下，与轻弹簧被压缩至最短时，自动卸货装置立刻将货物卸下，然后木箱恰好被弹回到轨道顶端，再重复上述过程。下列选项正确的是（ ）
A．m＝M
B．m＝2M
C．木箱不与弹簧接触时，上滑的加速度大于下滑的加速度
D．在木箱与货物从顶端滑到最低点的过程中，减少的重力势能全部转化为弹簧的弹性势能
解析：BC 受力分析可知，下滑时加速度为，上滑时加速度为，所以C正确。设下滑的距离为l，根据能量守恒有，得m＝2M。也可以根据除了重力、弹性力做功以外，还有其他力(非重力、弹性力)做的功之和等于系统机械能的变化量，B正确。在木箱与货物从顶端滑到最低点的过程中，减少的重力势能转化为弹簧的弹性势能和内能，所以D不正确。
例6 如图所示,一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球a和b,跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆上,质量为3m的a球置于地面上,质量为m的b球从水平位置静止释放,当a球对地面压力刚好为零时,b球摆过的角度为θ.下列结论正确的是 ( )
A.θ=90°
B.θ=45°
C.b球摆动到最低点的过程中,重力对小球做功的功率先增大后减小
D.b球摆动到最低点的过程中,重力对小球做功的功率一直增大
解析：AC b球下摆过程中,竖直方向速度先增大后减小,重力功率P=mgv⊥先增大后减小.a对地面的压力刚好为零,说明绳的拉力T=3mg,对b球设绕行半径为r,在最低点时,mgr=mvT′-mg=得T′=T=3mg所以b在最低点时,a球恰好对地面压力为零.
例7 运动员跳伞将经历加速下降和减速下降两个过程,将人和伞看成一个系统,在这两个过程中,下列说法正确的是 ( )
A.阻力对系统始终做负功 B.系统受到的合外力始终向下
C.重力做功使系统的重力势能增加 D.任意相等的时间内重力做的功相等
解析：A 运动员无论是加速下降还是减速下降,阻力始终阻碍系统的运动,所以阻力对系统始终做负功,故选项A正确;运动员加速下降时系统受到的合外力向下,减速下降时系统所受的合外力向上,故选项B错误;由WG=-ΔEp知,运动员下落过程中重力始终做正功,系统重力势能减少,故选项C错误;运动员在加速下降和减速下降的过程中,任意相等时间内所通过的位移不一定相等,所以任意相等时间内重力做功不一定相等,故选项D错误.
例8 某人造卫星运动的轨道可近似看作是以地心为中心的圆,由于阻力作用,人造卫星到地心的距离从r1慢慢变到r2,用Ek1、Ek2分别表示卫星在这两个轨道上的动能,则（ ）
A.r1 < r2,Ek1 < Ek2 B.r1 > r2,Ek1 < Ek2
C.r1 < r2,Ek1 > Ek2 D.r1 > r2,Ek1 > Ek2
解析：B 做匀速圆周运动的物体,满足,由于阻力作用,假定其半径不变,其动能减小,则,由上式可知,人造卫星必做向心运动,其轨迹半径必减小,由于人造卫星到地心距离慢慢变 化,其运动仍可看作匀速运动,
由可知,其运动的动能必慢慢增大.
例9 据媒体报道,“嫦娥一号”卫星环月工作轨道为圆轨道,轨道高度200 km,运行周期127分钟.若还知道引力常量和月球平均半径,仅利用以上条件不能求出的是（ ）
A.月球表面的重力加速度 B.月球对卫星的吸引力
C.卫星绕月运行的速度 D.卫星绕月运行的加速度
解析：B 设月球质量为M,平均半径为R,月球表面的重力加速度为g,卫星的质量为m,周期为T,离月球表面的高度为h,月球对卫星的吸引力完全提供向心力,由万有引力定律知
①
②
由①②可得,故选项A不正确;因卫星的质量未知,故不能求出月球对卫星的吸引力,故选项B正确;卫星绕月运行的速度,故选项C错误;卫星绕月运行的加速度,故选项D错误.
例10 如图是“嫦娥一号”奔月示意图,卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨,进入地月转移轨道,最终被月球引力捕获,成为绕月卫星,并开展对月球的探测.下列说法正确的是 ( )
A.发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度
B.在绕月圆轨道上,卫星周期与卫星质量有关
C.卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比
D.在绕月圆轨道上,卫星受地球的引力大于受月球的引力
解析：C “嫦娥一号”要想脱离地球的束缚而成为月球的卫星,其发射速度必须达到第二宇宙速度,若发射速度达到第三宇宙速度,“嫦娥一号”将脱离太阳系的束缚,故选项A错误;在绕月球运动时,月球对卫星的万有引力完全提供向心力,则即卫星周期与卫星的质量无关,故选项B错误;卫星所受月球的引力,故选项C正确;在绕月圆轨道上,卫星受地球的引力小于受月球的引力,故选项D错误.
例11 物体沿直线运动的v-t关系如图所示,已知在第1秒内合外力对物体做的功为W,则 （ ）
A.从第1秒末到第3秒末合外力做功为4 W
B.从第3秒末到第5秒末合外力做功为-2 W
C.从第5秒末到第7秒末合外力做功为W
D.从第3秒末到第4秒末合外力做功为-0.75 W
解析： CD 由v—t图象可以看出,若第1 s末速度为v1=v0则第3 s末速度为v3=v0,第4 s末速度为v4=第5 s末速度为v5=0第7 s末速度为v7=-v0,因为第1 s内合外力做功为W,则由动能定理可知:W=mv02第1 s末到第3 s末合外力做功W1=mv32-mv02=0;第3 s末到第5 s末合外力做功W2=mv52-mv32=-mv02=-W;第5 s末到第7 s末合外力做功W3=mv72-mv52=mv02=W;第3 s末到第4 s末合外力做功为W4=mv42-mv32=m()2-mv02=-×mv02=-0.75W.上所述,C、D选项正确.
例12 假定地球、月球都静止不动,用火箭从地球沿地月连线向月球发射一探测器.假定探测器在地球表面附近脱离火箭.用W表示探测器从脱离火箭处飞到月球的过程中克服地球引力做的功,用Ek表示探测器脱离火箭时的动能,若不计空气阻力,则 ( )
A.Ek必须大于或等于W,探测器才能到达月球 B.Ek小于W,探测器也可能到达月球
C.Ek=W,探测器一定能到达月球 D.Ek=W,探测器一定不能到达月球
解析：BD 假设没有月球的吸引力,当探测器的初动能为W时,探测器刚好到达月球,当探测器的动能Ek
A.A和B均做简谐运动
B.作用在A上的静摩擦力大小与弹簧的形变量成正比
C.B对A的静摩擦力对A做功,而A对B的静摩擦力对B不做功
D.B对A的静摩擦力始终对A做正功,而A对B的静摩擦力始终对B做负功
解析： AB A、B保持相对静止,其水平方向的运动等效于水平方向弹簧振子的运动,故A对;A物体做简谐运动的回复力是B对A的静摩擦力提供的,设B对A的静摩擦力为F时,弹簧伸长量为x,对A物体有：F=mAa,对A、B整体有：kx=(mA+mB)a,联立得：F=,由此可知B项正确；B对A的静摩擦力可以对A做正功,也可以对A做负功,故C、D错.
例14 如图所示, 固定的光滑竖直杆上套着一个滑块,用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮,以大小恒定的拉力F拉绳,使滑块从A点起由静止开始上升.若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1、W2,滑块经B、C两点时的动能分别为EkB、EkC,图中AB=BC,则一定（ ）
A.W1>W2 B.W1< W 2
C.EkB>EkC D.EkB
据W1=FΔs1,W2=FΔs2,可知W1>W2.
因F大小未知,则物体由A到C的过程是加速、减速情况难以确定.故A项正确.
例15 图示为某一皮带传动装置.主动轮的半径为r1,从转动的半径为r2.已知主动轮做顺时针转动,转速为n,转动过程中皮带不打滑,下列说法正确的是 ( )
A.从动轮做顺时针转动 B.从动轮做逆时针转动
C.从动轮的转速为 D.从动轮的转速为
解析：BC 因为皮带不打滑,两轮缘上各点的线速度等大,各点做圆周运动的速度方向为切线方向,则皮带上的M、
N点均沿MN方向运动,从动轮沿逆时针方向转动,B对A错.
根据线速度与角速度的关系式：v=rω,ω=2πn
所以n∶n2=r2∶r1,n2=,C对D错.
例16 如图所示,轻杆的一端有一个小球,另一端有光滑的固定轴O,现给球一初速度,使球和杆一起绕O轴在竖直面内转动,不计空气阻力,用F表示球到达最高点时杆对小球的作用力,则F ( )
A.一定是拉力 B.一定是推力
C.一定等于零 D.可能是拉力,可能是推力,也可能等于零
解析：D 最高点球受重力mg与杆的作用力F,由牛顿第二定律知mg+F=ma向=m（v为球在最高点的速度,R为球做圆周运动的半径）当v=时,F=0；当v>时,F>0,即拉力；当v<时,F<0,即推力.故D对.
例17 如图所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A,小车下装有吊着物体B的吊钩,在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时,吊钩将物体B向上吊起,A、B之间的距离以d =H - 2t2（SI）（SI表示国际单位制,式中H为吊臂离地面的高度）规律变化,则物体做 ( )
A.速度大小不变的曲线运动 B.速度大小增加的曲线运动
C.加速度大小方向均不变的曲线运动 D.加速度大小方向均变化的曲线运动
解析：BC B物体参与了两个运动,一个是水平方向的匀速运动,另一个是在竖直方向上的运动,由d =H-2t2可知,A、B之间距离匀加速减小,且加速度a=4 m/s2,因此B在竖直方向上做匀加速运动,两个运动的合成为匀加速曲线运动.
例18 如图所示,一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上.物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角满足 ( )
A.tan=sinθ
B.tan=cosθ
C.tan=tanθ
D.tan=2tanθ
解析：D 物体做平抛运动,水平方向上的分运动是匀速直线运动,水平分速度为vx=v0,水平分位移x =v0t,竖直方向上做自由落体运动,竖直分速度vy=gt,竖直分位移为,根据平行四边形定则和几何知识得：tan
tan 所以：tan=2tan.
例19 牛顿以天体之间普遍存在着引力为依据，运用严密的逻辑推理，建立了万有引力定律。在创建万有引力定律的过程中，牛顿（ ）
A．接受了胡克等科学家关于“吸引力与两中心距离的平方成反比”的猜想
B．根据地球上一切物体都以相同加速度下落的事实，得出物体受地球的引力与其质量成正比，即Fµm的结论
C．根据Fµm和牛顿第三定律，分析了地月间的引力关系，进而得出Fµm1m2
D．根据大量实验数据得出了比例系数G的大小
解析：AB 题干要求“在创建万有引力定律的过程中”，牛顿知识接受了平方反比猜想，和物体受地球的引力与其质量成正比，即Fµm的结论，而提出万有引力定律后，后来利用卡文迪许扭称测量出万有引力常量G的大小，只与C项也是在建立万有引力定律后才进行的探索，因此符合题意的只有AB。
例20 英国《新科学家（New Scientist）》杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ1650-500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径约45km，质量和半径的关系满足（其中为光速，为引力常量），则该黑洞表面重力加速度的数量级为（ ）
A． B．
C． D．
解析：C 处理本题要从所给的材料中，提炼出有用信息，构建好物理模型，选择合适的物理方法求解。黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，对黑洞表面的某一质量为m物体有：，又有，联立解得，带入数据得重力加速度的数量级为，C项正确。
例21 据报道，2009年4月29日，美国亚利桑那州一天文观测机构发现一颗与太阳系其它行星逆向运行的小行星，代号为2009HC82。该小行星绕太阳一周的时间为3.39年，直径2～3千米，其轨道平面与地球轨道平面呈155°的倾斜。假定该小行星与地球均以太阳为中心做匀速圆周运动，则小行星和地球绕太阳运动的速度大小的比值为（ ）
A. B. C. D.
解析：A 小行星和地球绕太阳作圆周运动，都是由万有引力提供向心力，有＝，可知小行星和地球绕太阳运行轨道半径之比为R1:R2＝，又根据V＝，联立解得V1:V2＝，已知＝，则V1:V2＝。
例22 如图所示，某货场而将质量为m1=100 kg的货物（可视为质点）从高处运送至地面，为避免货物与地面发生撞击，现利用固定于地面的光滑四分之一圆轨道，使货物中轨道顶端无初速滑下，轨道半径R=1.8 m。地面上紧靠轨道次排放两声完全相同的木板A、B，长度均为l=2m，质量均为m2=100 kg，木板上表面与轨道末端相切。货物与木板间的动摩擦因数为1，木板与地面间的动摩擦因数=0.2。（最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，取g=10 m/s2）
（1）求货物到达圆轨道末端时对轨道的压力。
（2）若货物滑上木板4时，木板不动，而滑上木板B时，木板B开始滑动，求1 应满足的条件。
（3）若1=0。5，求货物滑到木板A末端时的速度和在木板A上运动的时间。
解析：（1）设货物滑到圆轨道末端是的速度为，对货物的下滑过程中根据机械能守恒定律得，①设货物在轨道末端所受支持力的大小为,根据牛顿第二定律得，②
联立以上两式代入数据得③
根据牛顿第三定律，货物到达圆轨道末端时对轨道的压力大小为3000N，方向竖直向下。
（2）若滑上木板A时，木板不动，由受力分析得④
若滑上木板B时，木板B开始滑动，由受力分析得⑤
联立④⑤式代入数据得⑥。
（3），由⑥式可知，货物在木板A上滑动时，木板不动。设货物在木板A上做减速运动时的加速度大小为，由牛顿第二定律得⑦
设货物滑到木板A末端是的速度为，由运动学公式得⑧
联立①⑦⑧式代入数据得⑨
设在木板A上运动的时间为t，由运动学公式得⑩
联立①⑦⑨⑩式代入数据得。
⑦
例23 如图中有一个竖直固定在地面的透气圆筒,筒中有一个劲度为k的轻弹簧,其下端固定,上端连接一质量为m的薄滑块,圆筒内壁涂有一层新型智能材料——ER流体,它对滑块的阻力可调.起初,滑块静止,ER流体对其阻力为0,弹簧的长度为L.现有一质量也为m的物体从距地面2L处自由落下,与滑块碰撞后粘在一起向下运动.为保证滑块做匀减速运动,且下移距离为时速度减为0,ER流体对滑块的阻力须随滑块下移而变.试求（忽略空气阻力）：
（1）下落物体与滑块碰撞过程中系统损失的机械能;
（2）滑块向下运动过程中加速度的大小;
（3）滑块下移距离d时ER流体对滑块阻力的大小。
解析： (1)设物体下落末速度为v0,由机械能守恒定律mgL=mv02,得v0=,
设碰后共同速度为v1,由动量守恒定律2mv1=mv0,得v1=.碰撞过程中系统损失的机械能为ΔE=mv02-×2mv12=mgL.
(2)设加速度大小为a,有2as=v12,得a=.
(3)设弹簧弹力为FN,ER流体对滑块的阻力为FER,受力分析如图所示：
FN+FER-2mg=2ma,FN=kx,x=d+mg/k,得FER=mg+-kd.
例24 如图所示,一水平圆盘绕过圆心的竖直轴转动,圆盘边缘有一质量m=1.0 kg的小滑块.当圆盘转动的角速度达到某一数值时,滑块从圆盘边缘滑落,经光滑的过渡圆管进入轨道ABC.已知AB段斜面倾角为53°,BC段斜面倾角为37°,滑块与圆盘及斜面间的动摩擦因数均为μ=0.5,A点离B点所在水平面的高度h=1.2 m.滑块在运动过程中始终未脱离轨道,不计在过渡圆管处和B点的机械能损失,最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力,取g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8.
(1)若圆盘半径R=0.2 m,当圆盘的角速度多大时,滑块从圆盘上滑落？
(2)若取圆盘所在平面为零势能面,求滑块到达B点时的机械能.
(3)从滑块到达B点时起,经0.6 s正好通过C点,求BC之间的距离.
解析： (1)滑块在圆盘上做圆周运动时,静摩擦力充当向心力,根据牛顿第二定律,可得:
μmg=mω2R
代入数据解得：ω==5 rad/s
(2)滑块在A点时的速度：vA=ωR=1 m/s
从A到B的运动过程由动能定理得
mgh-μmgcos 53° ·=mvB2-mvA2
在B点时的机械能：EB=mvB2-mgh=-4 J
(3)滑块在B点时的速度：vB=4 m/s
滑块沿BC段向上运动时的加速度大小：
a1=g(sin 37°+μcos 37°)=10 m/s2
返回时的加速度大小
a2=g(sin 37°-μcos 37°)=2 m/s2
BC间的距离：sBC==0.76 m
例25 如图所示,一轻绳吊着粗细均匀的棒,棒下端离地面高H,上端套着一个细环.棒和环的质量均为m,相互间最大静摩擦力等于滑动摩擦力kmg(k>1).断开轻绳,棒和环自由下落.假设棒足够长,与地面发生碰撞时,触地时间极短,无动能损失.棒在整个运动过程中始终保持竖直,空气阻力不计.求：
(1)棒第一次与地面碰撞弹起上升过程中,环的加速度.
(2)从断开轻绳到棒与地面第二次碰撞的瞬间,棒运动的路程s.
(3)从断开轻绳到棒和环都静止,摩擦力对环及棒做的总功W.
解析： (1)设棒第一次上升过程中,环的加速度为a环
环受合力F环=kmg-mg ①
由牛顿第二定律F环=ma环 ②
由①②得a环=(k-1)g,方向竖直向上
(2)设以地面为零势能面,向上为正方向,棒第一次落地的速度大小为v1.
由机械能守恒得：×2mv12=2mgH
解得v1=
设棒弹起后的加速度a棒
由牛顿第二定律a棒=-(k+1)g
棒第一次弹起的最大高度H1=-
解得H1=
棒运动的路程s=H+2H=
(3)解法一：棒第一次弹起经过t1时间,与环达到相同速度v1′
环的速度v1′=-v1+a环t1
棒的速度v1′=v1+a棒t1
环的位移h环1=-v1t1+a环t12
棒的位移h棒1=v1t1+a棒t12
x1=h环1-h棒1
解得：x1=-
棒环一起下落至地
v22-v1′2=2gh棒1
解得：v2=
同理,环第二次相对棒的位移
x2=h环2-h棒2=-
……
xn=-
环相对棒的总位移
x=x1+x2+……+xn+……
W=kmgx
得W=-
解法二：设环相对棒滑动距离为l
根据能量守恒mgH+mg(H+l)=kmgl
摩擦力对棒及环做的总功
W=-kmgl
解得W=-
例26 如图所示,位于竖直平面内的光滑轨道,由一段斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连接而成,圆形轨道的半径为R.一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑,然后沿圆形轨道运动.要求物块能通过圆形轨道最高点,且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg(g为重力加速度).求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围.
解析：设物块在圆形轨道最高点的速度为v,由机械能守恒定律得
mgh=2mgR+mv2 ①
物块在最高点受的力为重力mg、轨道的压力N.重力与压力的合力提供向心力,有
mg+N=m ②
物块能通过最高点的条件是
N≥0 ③
由②③式得
v≥ ④
由①④式得
h≥R ⑤
按题目要求,N≤5 mg,由②式得
v≤ ⑥
由①⑥式得
h≤5R ⑦
h的取值范围是
R≤h≤5R ⑧
例27 如图所示,水平光滑地面上停放着一辆小车,左侧靠在竖直墙壁上,小车的四分之一圆弧轨道AB是光滑的,在最低点B与水平轨道BC相切,BC的长度是圆弧半径的10倍,整个轨道处于同一竖直平面内.可视为质点的物块从A点正上方某处无初速下落,恰好落入小车圆弧轨道滑动.然后沿水平轨道滑行至轨道末端C处恰好没有滑出.已知物块到达圆弧轨道最低点B时对轨道的压力是物块重力的9倍,小车的质量是物块的3倍,不考虑空气阻力和物块落入圆弧轨道时的能量损失.求:
(1)物块开始下落的位置距水平轨道BC的竖直高度是圆弧半径的几倍.
(2)物块与水平轨道BC间的动摩擦因数μ.
解析：(1)设物块的质量为m,其开始下落处的位置距BC的竖直高度为h,到达B点时的速度为v,小车圆弧轨道半径为R.由机械能守恒定律,有
mgh=mv2 ①
根据牛顿第二定律,有
9mg-mg=m ②
解得h=4R ③
即物块开始下落的位置距水平轨道BC的竖直高度是圆弧半径的4倍.
(2)设物块与BC间的滑动摩擦力的大小为F,物块滑到C点时与小车的共同速度为v′,物块在小车上由B运动到C的过程中小车对地面的位移大小为s.依题意,小车的质量为3m,BC长度为10 R.由滑动摩擦定律,有
F=μmg ④
由动量守恒定律,有mv=(m+3m)v′ ⑤
对物块、小车分别应用动能定理,有
-F(10R+s)=mv′2-mv2 ⑥
Fs=(3m)v′2-0 ⑦
解得μ=0.3 ⑧
例28 一个质量为4 kg的物体静止在足够大的水平地面上,物体与地面间的动摩擦因数μ=0.1.从t=0开始,物体受到一个大小和方向呈周期性变化的水平力F作用,力F随时间的变化规律如图所示.求83秒内物体的位移大小和力F对物体所做的功(g取10 m/s2).
解析： 第1个2s内,其加速度:
a1== m/s2=2 m/s2
第1个2 s末的速度:
v1=a1t=2×2 m/s=4 m/s
第1个2 s内的位移:
s1=
第2个2 s内做减速运动,其加速度大小:
a2=
第2个2 s末的速度:v2=v1-a2t=0
第2个2 s内的位移:s2=
故物体先匀加速2 s达最大速度4 m/s,后又匀减速运动2 s速度变为零,以后将重复这个运动.
前84 s内物体的位移s=21(s1+s2)=168 m
最后1 s内物体的位移s′=
故83秒内物体的位移为168 m-1 m=167 m
第83秒末的速度与第3秒末的速度相等,故v=v1
所以力F对物体所做的功W=mv2+fs83=8 J+668 J=676 J
例28 某滑板爱好者在离地h=1.8 m高的平台上滑行，水平离开A点后落在水平地面的B点，其水平位移s1=3 m.着地时由于存在能量损失，着地后速度变为v=4 m/s，并以此为初速沿水平地面滑s2=8 m后停止.已知人与滑板的总质量m=60 kg.求：
（1）人与滑板在水平地面滑行时受到的平均阻力大小；
（2）人与滑板离开平台时的水平初速度.（空气阻力忽略不计，g取10 m/s2）
解析：（1）设滑板在水平地面滑行时受到的平均阻力为f，
根据动能定理有-fs2=0-mv2 ①
由①式解得f==N=60N ②
（2）人和滑板一起在空中做平抛运动，设初速为v0，飞行时间为t，根据平抛运动规律有
h=gt2 ③
v0= ④
由③④两式解得
v0== m/s=5 m/s
例29 如图，质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态.一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩.开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向.现在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升.若将C换成另一个质量为（m1+m3）的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g.
解析：解法一 开始时，A、B静止，设弹簧压缩量为x1，有
kx1=m1g ①
挂C并释放后，C向下运动，A向上运动，设B刚要离地时弹簧伸长量为x2，有
kx2=m2g ②
B不再上升表示此时A和C的速度为零，C已降到其最低点.由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增加量为ΔE=m3g(x1+x2)-m1g(x1+x2) ③
C换成D后，当B刚离地时弹簧弹性势能的增量与前一次相同，设此时A、D速度为v，由能量关系得
（m3+m1）v2+m1v2=(m3+m1)g(x1+x2)-m1g(x1+x2)-ΔE ④
由①~④式得
v=g
解法二 能量补偿法
据题设，弹簧的总形变量即物体A上升的距离为
h= ①
第二次释放D与第一次释放C相比较，根据能量守恒，可得
m1gh=(2m1+m3)v2 ②
由①②得
v=g
例30 过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径、。一个质量为kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以的初速度沿轨道向右运动，A、B间距m。小球与水平轨道间的动摩擦因数，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠。重力加速度取，计算结果保留小数点后一位数字。试求
（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；
（2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距应是多少；
（3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径应满足的条件；小球最终停留点与起点的距离。
解析：（1）设小于经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v1根据动能定理
①
小球在最高点受到重力mg和轨道对它的作用力F，根据牛顿第二定律
②
由①②得 ③
（2）设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v2，由题意
④
⑤
由④⑤得 ⑥
（3）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：
I．轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v3，应满足
⑦
⑧
由⑥⑦⑧得
II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R3，根据动能定理
解得
为了保证圆轨道不重叠，R3最大值应满足
解得 R3=27.9m
综合I、II，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件
或
当时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L′，则
当时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L〞，则
例31 如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为；石油密度远小于，可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏高。重力加速度在原坚直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点附近重力加速度反常现象。已知引力常数为G。
（1）设球形空腔体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），=x，求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常
（2）若在水平地面上半径L的范围内发现：重力加速度反常值在与（k>1）之间变化，且重力加速度反常的最大值出现在半为L的范围的中心,如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积。
解析：本题考查万有引力部分的知识.
（1）如果将近地表的球形空腔填满密度为的岩石,则该地区重力加速度便回到正常值.因此,重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力………①来计算,式中的m是Q点处某质点的质量,M是填充后球形区域的质量,……………②
而r是球形空腔中心O至Q点的距离………③
在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q点处重力加速度改变的大小.Q点处重力加速度改变的方向沿OQ方向,重力加速度反常是这一改变在竖直方向上的投影………④
联立以上式子得
,…………⑤
（2）由⑤式得,重力加速度反常的最大值和最小值分别为……⑥
……………⑦
由提设有、……⑧
联立以上式子得,地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为
,
例32 已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响。
（1）推导第一宇宙速度v1的表达式；
（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T。
解析：（1）设卫星的质量为m,地球的质量为M,
在地球表面附近满足
得 ①
卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力
②
①式代入②式，得到
（2）考虑式，卫星受到的万有引力为
③
由牛顿第二定律 ④
③、④联立解得
例33 2008年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A*”的质量与太阳质量的倍数关系。研究发现，有一星体S2绕人马座A*做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50102天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上。观测得到S2星的运行周期为15.2年。
（1）若将S2星的运行轨道视为半径r=9.50102天文单位的圆轨道，试估算人马座A*的质量MA是太阳质量Ms的多少倍(结果保留一位有效数字)；
（2）黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚。由于引力的作用，黑洞表面处质量为m的粒子具有势能为Ep=-G(设粒子在离黑洞无限远处的势能为零)，式中M、R分别表示黑洞的质量和半径。已知引力常量G=6.710-11N·m2/kg2，光速c=3.0108m/s，太阳质量Ms=2.01030kg，太阳半径Rs=7.0108m，不考虑相对论效应，利用上问结果，在经典力学范围内求人马座A*的半径RA与太阳半径之比应小于多少（结果按四舍五入保留整数）。
解析：本题考查天体运动的知识。其中第2小题为信息题，如“黑洞”“引力势能”等陌生的知识都在题目中给出，考查学生提取信息，处理信息的能力，体现了能力立意。
（1）S2星绕人马座A*做圆周运动的向心力由人马座A*对S2星的万有引力提供，设S2星的质量为mS2，角速度为ω，周期为T，则
①
②
设地球质量为mE，公转轨道半径为rE，周期为TE，则
③
综合上述三式得
式中 TE=1年 ④
rE=1天文单位 ⑤
代入数据可得
⑥
（2）引力对粒子作用不到的地方即为无限远，此时料子的势能为零。“处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚”，说明了黑洞表面处以光速运动的粒子在远离黑洞的过程中克服引力做功，粒子在到达无限远之前，其动能便减小为零，此时势能仍为负值，则其能量总和小于零，则有
⑦
依题意可知
，
可得
⑧
代入数据得
⑨
⑩
例34 神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体,探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时,发现了LMCX-3双星系统,它由可见星A和不可见的暗星B构成. 两星视为质点,不考虑其他天体的影响,A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动,它们之间的距离保持不变,如图所示.引力常量为G,由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T.
(1)可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体（视为质点）对它的引力,设A和B的质量分别为m1、m2,试求m′(用m1、m2表示);
（2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式；
（3）恒星演化到末期,如果其质量大于太阳质量ms的2倍,它将有可能成为黑洞.若可见星A的速率v=2.7×105 m/s,运行周期T=4.7π×104 s,质量m1=6 ms,试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？(G=6.67×10-11 N·m2/kg2,ms=2.0×1030 kg)
解析： （1）设A、B的圆轨道半径分别为r1、r2,由题意知,A、B做匀速圆周运动的角速度相同,设其为ω.由牛顿运动定律,有
FA=m1ω2r1
FB=m2ω2r2
FA=FB
设A、B之间的距离为r,又r =r1+r2,由上述各式得
r = ①
由万有引力定律,有
FA=
将①代入得FA=G
令FA=
比较可得m′= ②
（2）由牛顿第二定律,有 ③
又可见星A的轨道半径r1= ④
由②③④式解得 ⑤
（3）将m1=6 ms代入⑤式,得
代入数据得
⑥
设m2=nms(n > 0),将其代入⑥式,得
⑦
可见,的值随n的增大而增大,试令n=2,
得 ⑧
若使⑦式成立,则n必大于2,即暗星B的质量m2必大于2ms,由此得出结论：暗星B有可能是黑洞.
