2021年广西桂林市高考数学第一次调研试卷（理科）（一模）_(带答案解析).docx

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2021年广西桂林市高考数学第一次调研试卷（理科）（一模）

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：120分钟；命题人：xxx

注意事项：

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2、请将答案正确填写在答题卡上

1.  若​，则复数​的实部与虚部之和为​

A.​ B.​ C.​ D.​

2.  已知集合​，​，若​，则​可能的值为​

A.​ B.​ C.​ D.​

3.  七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，其历史可以追溯到公元前一世纪​明、清两代这一在民间广受喜爱的游戏逐渐流传至海外并有了一个新的名字“唐图”，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》​如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为​

A.​  B.​

C.​  D.​

4.  在平面直角坐标系​中，已知抛物线​的顶点在坐标原点，焦点在​轴上，若曲线​经过点​，则其焦点到准线的距离为​

A.​  B.​

C.​  D.​

5.  曲线​在点​处的切线的方程为​

A.​ B.​ C.​ D.​

6.  设​，​，​，则​

A.​  B.​

C.​  D.​

7.  函数​的图象可能为​

A.

B.

C.

D.

8.  已知​，​是非零向量且满足​，​，则​的值是​

A.​ B.​ C.​ D.​

9.  在平面直角坐标系​中，圆​的方程​若直线​上存在一点​，使过点​所作的圆的两条切线相互垂直，则实数​的值可以是​

A.​ B.​ C.​ D.​

10. 函数​的图象向左平移​个单位长度得到函数​，​在​上有且只有​个零点，则​的取值范围是​

A.​

B.​

C.​

D.​

11. 已知某几何体的三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的体积为​

A.​  B.​

C.​  D.​

12. 已知定义在​上的函数​，​是​的导函数，且恒有​成立，则​

①​；②​；③​；④​

A.①③④ B.①②③ C.②③④ D.①②④

13. 已知实数​，​满足​，则目标函数​的最大值为 ______ .

14. ​展开式中​的系数是 ______ .

15. 在​中，内角​，​，​所对的边分别为​，​，​，已知​，​，​，则边长​的值为 ______ .

16. 某市民广场有一批球形路障球​如图​所示​现公园管理处响应市民要求，决定将每个路障球改造成方便市民歇脚的立方八面体石凳​如图​所示​其中立方八面体有​条棱、​个顶点、​个面​个正方形、​个正三角形​，它是将立方体“切”去​个“角”后得到的几何体经过测量，这批球形路障球每个直径为​，若每个路障球为改造后所得的立方八面体的外接球，则每个改造后的立方八面体表面积为 ______​

17. 《中华人民共和国道路交通安全法》规定：机动车行驶时，驾驶人、乘坐人员应当按规定使用安全带，摩托车驾驶人及乘坐人员应当按规定佩戴安全头盔​虽然电动自行车不属于机动车，但是电动自行车使用频率高且车速较快，据统计摩托车、电动自行车驾乘人员死亡事故中约​为颅脑损伤致死​为了维护电动自行车使用人的生命健康安全，全国多个地区出台各项规定要求电动自行车驾驶人和乘坐人都必须佩戴安全头盔​如表是某市一主干路段，交警对电动车驾驶人和乘坐人“不佩戴安全头盔”人数统计数据：

​请利用所给数据求出该路段电动自行车驾驶人和乘坐人“不佩戴安全头盔”人数​与月份​之间的线性回归方程​

​利用​中的回归方程，预测该路段​月份“不佩戴安全头盔”驾驶人和乘车人人数；

附：​，​

18. 设公差不为零的等差数列​满足​，且​，​，​成等比数列.

​求数列​的通项公式；

​若数列​的前​项和为​，求使得​成立的最小正整数​

19. 在平面直角坐标系​中，已知椭圆​中心在原点，焦距为​，右准线​的方程为​过​的直线交于​于​，​两点.

​求椭圆​的方程；

​若​，求直线​的方程.

20. 如图所示，在三棱锥​中，侧棱​平面​，​为线段​中点，​，​，​

​证明：​平面​；

​设​是线段​上一点，二面角​的正弦值为​，求​的值.

21. 设函数​

​求函数​的极小值；

​求证：​在​上有且仅有一个零点.

22. 在直角坐标系​中，直线​的参数方程为​为参数​，以坐标原点​为极点，​轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线​的极坐标方程为​

​求​的极坐标方程和​的直角坐标方程；

​若曲线​的极坐标方程为​，​与​的交点为​，与​异于极点的交点为​，求​

23. 已知函数​，​

​若​的最小值为​，求实数​的值；

​若关于​的不等式​的解集为​，若​，求实数​的取值范围.

参考答案及解析

一、 单选题

1.  【答案】C

 【解析】解：​，

则实部与虚部之和​

故选：​

利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出．

本题考查了复数的运算法则、实部与虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

2.  【答案】D

 【解析】解：​，​，

​

故选：​

求得集合​，再由交集定义，即可得到所求．

本题考查集合的运算，主要是交集运算，属于基础题．

3.  【答案】A

 【解析】解：设正方形边长为​，则其面积​，阴影部分面积​，

​所求概率​

故选：​

先求出正方形的面积，然后求出阴影部分的面积，然后根据与面积有关的几何概率公式可求．

本题主要考查了与面积有关的几何概率公式的求解，属于基础题．

4.  【答案】D

 【解析】解：设抛物线方程：​，代入​得​，其焦点到准线的距离为​

故选：​

设出抛物线方程，利用点的坐标，求解​即可．

本题考查抛物线方程的求法，简单性质的应用，是基础题．

5.  【答案】B

 【解析】解：曲线​，可得​，​，

则切线方程为​

故选：​

求出函数的导数，求出切点坐标，切线的斜率，然后求解切线方程．

本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是基础题．

6.  【答案】D

 【解析】解：​，​，

​，​，

​，​，

所以​

故选：​

利用对数函数和指数函数的性质求解．

本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．

7.  【答案】D

 【解析】解：因为​，故函数​是奇函数，排除选项​，​；

取​，则​，排除选项​

故选：​

由函数的奇偶性排除选项​，由​时，​排除选项​，进而得解．

本题考查由函数解析式确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题．

8.  【答案】B

 【解析】解：设​，​的夹角为​；​，​，​

又​，​，​

故选：​

利用向量的垂直，转化求解向量的数量积，推出结果即可．

本题考查向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．

9.  【答案】C

 【解析】解：由​，得​，

圆心​，半径​，

​过点​所作的圆的两条切线相互垂直，​，​及两切点构成正方形，则​，

又​在直线​上，​圆心到直线的距离​

解得：​

结合选项可得，实数​的值可以是​

故选：​

化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，结合题意可得圆心到直线​的距离小于等于​，再由点到直线的距离公式列式求得​的范围，结合选项得答案．

本题考查直线与圆位置关系的应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．

10. 【答案】D

 【解析】解：依题意得​，​，

如图所示：

因为​，

​，

所以​，解得​，

故选：​

求出函数​的解析式，画出图像，根据​在​上有且只有​个零点，得到关于​的不等式，解出即可．

本题考查了三角函数的性质，考查数形结合思想，转化思想，是中档题．

11. 【答案】D

 【解析】解：由三视图可知，该几何体是由正方体截取四个角所得，三棱锥的体积为：​，

其体积为​

故选：​

借助常见的正方体模型解决．由三视图知，该几何体由正方体沿面​与面​截去两个角所得，其正方体体积减去被截取部分体积即可．

本题主要考查空间几何体的表面积，根据三视图确定对应几何体的边长关系是解决本题的关键，是中档题．

12. 【答案】A

 【解析】解：设​，则​，

因为​时，​，

所以​时，​，

因此​在​上单调递增，

所以​，​，​，

即​，①正确；

​，③正确；

​，④正确．

故选：​

设​，求出​，由已知可得​，可得函数​为增函数，从而可得​，​，​，计算即可得解．

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数值大小的比较，构造函数​是解题的关键，属于中档题．

二、 填空题

13. 【答案】9

 【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：

由​，解得​，

由​，得​表示斜率为​，纵截距为​的一组平行直线，

平移直线​，当直线经过点​时，

此时直线​截距最大，​最大，此时​

故答案为：​

画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求出最优解，然后推出结果即可．

本题主要考查线性规划的应用，利用​的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，是中档题．

14. 【答案】945

 【解析】解：​展开式的通项公式​，

令​，解得：​，​系数为​，

故答案为：​

在二项展开式的通项公式中，令​的幂指数等于​，求出​的值，即可求得​的系数．

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．

15. 【答案】​

 【解析】解：​，

​，

​由​解得​或​舍去​，

​，

​

故答案为：​

根据​可得出​，进而可得出​，然后联立​即可求出​，​的值，然后根据余弦定理即可求出​的值．

本题考查了向量数量积的运算及计算公式，向量加法的几何意义，余弦定理，考查了计算能力，属于基础题．

16. 【答案】

 【解析】解：由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，

则立方八面体表面有​个正三角形，再加上​个小正方形，且正方形边长与正三角形边长相等，

当立方八面体外接于路障球时体积最大，即路障球为立方八面体的外接球．

设立方八面体棱长为​，外接球直径​，则​，

所以立方八面体表面积​

故答案为：​

由题意可得立方八面体表面有​个正三角形，再加上​个小正方形，且正方形边长与正三角形边长相等，当立方八面体外接于路障球时体积最大，即路障球为立方八面体的外接球．设立方八面体棱长为​，求得外接球的直径，可得​，再由表面积公式计算可得所求值．

本题考查立方八面体与其外接球的关系，以及表面积的求法，考查空间想象能力和运算能力、推理能力，属于中档题．

三、 解答题

17. 【答案】解：（1），，，，

所以，y与x之间的回归直线方程为；

（2）当x=12时，=-10×12+174=54，

预测该路段12月份的“不佩戴安全头盔”驾驶人与乘车人为54人．

 【解析】

​求出样本中心坐标，回归直线方程的系数，得到回归直线方程即可．

​通过​时，代入回归直线方程，求解预报值，即可得到结果．

本题考查回归直线方程的求法与应用，是基本知识的考查，基础题．

18. 【答案】解：​设等差数列​的公差为​

因为​，​，​成等比数列，所以​，

即​，整理得​①．

又因为​②．

所以联立①②，解得​，​

所以​

​由​可得​，

所以​

​…​

​，

​，​，​，

由​在​是单调减函数，

​是单调减函数，则​是单调递减数列．

又​，​，

则能使得​成立的最小正整数为​

 【解析】

​设等差数列​的公差为​通过​，​，​成等比数列，结合​求出首项与公差，然后求解通项公式．

​化简​，利用分组求和，求解数列的和，通过构造函数，判断函数的单调性，转化求解​的最小值即可．

本题考查数列的通项公式的求法，数列求和，数列的函数的特征，数列的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．

19. 【答案】解：（1）设椭圆方程为（a＞b），

其中，

解得：a2=3，c=1，

∴b2=a2-1=2，故所求椭圆方程为．

（2）设AB方程为x=my+1，

代入椭圆2x2+3y2=6中得：2（my+1）2+3y2=6，即（2m2+3）y2+4my-4=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，

由得-y1=2y2，解得．

则直线AB的方程为．

 【解析】

​设出椭圆方程，利用焦距以及准线方程，求解​，​，求出​，得到椭圆方程．

​设​方程为​，代入椭圆​，设​，​，利用韦达定理以及向量关系，求解直线​的方程即可．

本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．

20. 【答案】（1）证明：因为BC=CD，F为线段BD中点，所以CF⊥BD．

因为AB⊥平面BCD，CF⊂平面BCD，所以CF⊥AB．

又因为AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，AB∩BD=B，

所以CF⊥平面ABD．

（2）解：作FE⊥BQ于E，连接CE，设∠DBQ=θ，∠CEF=α，

由（1）知CF⊥平面ABD，所以CF⊥BQ，CF⊥FE，

所以BQ⊥平面EFC，所以BQ⊥EC，

所以∠CEF为二面角D-BQ-C的平面角，

因为二面角D-BQ-C与二面角A-BQ-C为互补二面角，

所以sinα=，cosα=，tanα===，

所以，于是sinθ=，sin（-θ）=，

==，

所以，即的值为．

 【解析】

​根据直线与平面垂直判定定理证明；

​寻找互补二面角的平面角，求其正弦值，再用面积比求解．

本题考查了直线与平面位置关系，考查了二面角计算问题，属于较难题．

21. 【答案】解：（1）f'（x）=ex+xex=（x+1）ex，

由f'（x）＞0，得x＞-1，所以函数f（x）在区间（-1，+∞）上是增函数，

由f'（x）＜0，得x＜-1，所以函数f（x）在区间（-∞，-1）上是减函数，

故f（x）在x=-1处取得极小值，且．

（2）证明：g（x）=f（x）-aex=（x-a）ex-1，g'（x）=ex+（x-a）ex=（x-a+1）ex，

由g'（x）＞0，得x＞a-1，所以函数g（x）在区间（a-1，+∞）上是增函数，

由g'（x）＜0，得x＜a-1，所以函数g（x）在区间（-∞，a-1）上是减函数，

故g（x）在x=a-1处取得最小值，且g（a-1）=-ea-1-1＜0，

当x＜a-1时，x-a＜-1则g（x）=（x-a）ex-1＜-ex-1＜0，

当x＞a-1时，由a2+2＞0则a2+a+1＞a-1，

此时，

又∵（a2+1）＞1，，∴，

又∵g（x）图象不间断，∴g（x）在（-∞，a-1）时没有零点，

g（x）在（a-1，+∞）有且仅有一个零点；

综上所述，g（x）=f（x）-aex在R上有且仅有一个零点．

 【解析】

​求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；

​求出函数​的导数，求出​在​处取得最小值，且​，结合零点判定定理证明结论成立即可．

本题考查了函数的单调性，极值，零点问题，考查导数的应用以及转化思想，是难题．

22. 【答案】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），

消去参数t，可得直线l的普通方程为，

又x=ρcosθ，y=ρsinθ，

故直线l的极坐标方程为；

由曲线C1的极坐标方程为ρ=6cosθ，得ρ2-6ρcosθ=0，

即x2+y2-6x=0，化为（x-3）2+y2=9．

故曲线C1的直角坐标方程为（x-3）2+y2=9．

（2）由题意设，，

则，解得；

又，

∴|AB|=|ρA-ρB|=．

 【解析】

​直接把直线参数方程中的参数消去，可得直线​的普通方程，结合极坐标与直角坐标的互化公式，可得直线​的极坐标方程；把​两边同时乘以​，结合极坐标与直角坐标的互化公式，可得​的直角坐标方程；

​由题意设出​，​的极坐标，求解极坐标方程可得​，​的极径，作差取绝对值得答案．

本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是中档题．

23. 【答案】解：（1）f（x）+2g（x）=|2x-a|+|2x+4|

≥|2x-a-2x-4|=|-a-4|，∴|a+4|=2，

解得a=-2或-6．

（2）由f（x）+g（x）＜6，得|2x-a|+|x+2|＜6，

当x∈[1，2]时，|2x-a|+|x+2|=|2x-a|+x+2＜6，

即|2x-a|＜4-x，∴，∴，

由[1，2]⊆A，可知，解得2＜a＜5．

即a的取值范围为（2，5）．

 【解析】

​利用绝对值三角不等式，可知​，然后由​的最小值为​，求出​的值；

​先求出集合​，根据​，可知​，再求出​的取值范围．

本题考查了利用绝对值三角不等式求最值和根据集合与集合的关系求参数的范围，考查了转化思想，属中档题．