云南省曲靖市第二中学、大理新世纪中学2021届高三第一次模拟考试数学（理）试题 PDF版含答案

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一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【答案】A
【解析】，，
则．
2．【答案】B
【解析】因为，，所以．
3．【答案】D
【解析】由题意，由，，，，组成的没有重复数字的五位数恰好为“凸数”的有：
，，，，，，共个基本事件，
所以恰好为“凸数”的概率为．
4．【答案】B
【解析】因为，所以，所以，
所以，
所以
5．【答案】C
【解析】依题意,，设的常数项为，则r=2.所以常数项为
6.【答案】A
【解析】f(−x)=(−x)3−(−x)|−x|+cs(−x)=−x3−x|x|+csx=−f(x)，
故f(x)在定义域上为奇函数，其图象关于原点对称，故排除BD；
且f(1)=0，而π2≈1.57，则；故选：A．
7.【答案】A
【解析】由题意，该几何体的直观图为三棱锥，如下图，
其中底面，，在△中，，
边上的高为2，所以三棱锥的体积为.
故选：A．
8．【答案】D
【解析】双曲线，∴焦点，∴，，∴，
直线，由，得，，
．
9．【答案】C
【解析】考查从第行起每行的第三个数：，，，，
归纳推理可知第（）行的第个数为，
在该数列中，第项为第行第个数，
所以该数列的第项为．
10．【答案】A
【解析】在中，由正弦定理及，
得，∴，
又，∴，
由正弦定理及，得，
∴由余弦定理得，即，∴．
11．【答案】D
【解析】设的坐标为，由左焦点，函数的导数，
则在处的切线斜率，即，得，则，
设右焦点为，则，即，
∵，∴双曲线的离心率．
12．【答案】B
【解析】∵，∴，
含，，
当时，，∴，
即函数在上单调递减，
∵，∴，
∴，，解得，故选B．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．【答案】
【解析】因为函数，所以，
所以，解得.故答案为：
14．【答案】-1 【解析】．
15．【答案】
【解析】当直线过点时，取得最小值，
故，从而圆的面积为．
16.【答案】
【解析】解：如图，设三棱锥P−ABC外接球的半径为r，则4πr2=15π，得r=152．
又等边三角形ABC的边长为3，设△ABC的外心为G，连接CG并延长，交AB于D，则CG=23CD=3，设三棱锥P−ABC外接球的球心为O，连接OG，则OG⊥平面ABC，可得OG=154−3=32．
连接PD，∵平面ABC⊥平面PAB，则要使三棱锥P−ABC体积最大，
则PD⊥底面ABC．PD=OG+OP2−DG2=32+154−34=332．
∴三棱锥P−ABC体积的最大值为V=13×12×3×3×32×332=278．
三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，
当时，，符合上式，
所以． 分
（2）由（1）得．
∴
． 分
18．【答案】（1）列联表见解析，在犯错误的概率不超过0．10的前提下，认为支付方式与年龄有关；（2）分布列见解析，．
【解析】（1）根据题意及列联表可得完整的列联表如下：
根据公式可得，
所以在犯错误的概率不超过0．10的前提下，认为支付方式与年龄有关． 分
（2）根据分层抽样，可知35岁以下（含35岁）的人数为8人，35岁以上的有2人，
所以获得奖励的35岁以下（含35岁）的人数为，
则的可能为1，2，3，且
，，，
其分布列为
． 分
19．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）因为平面，所以，
又因为，，，所以，
因此，所以，
因此平面，所以，
从而，即四边形为矩形． 分
（2）如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，
所以，，，．
平面的法向量，设平面的法向量为，
由，由，
令，，即，
所以，
所以二面角的余弦值是． 分
20.【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由已知可得，所以， 所以椭圆的方程为，
将点带入方程得，即，所以椭圆C的标准方程为. 分
（2）椭圆的右焦点为，
①若直线的斜率不存在，直线的方程为，则，，，
所以，，； 分
②若直线的斜率存在，设直线方程为，设，，
联立直线与椭圆方程，可得，
则，，
所以，
因为圆心到直线的距离，所以，
所以，
因为，所以，
综上，. 分
21．【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）．
【解析】（1）由题意知，，
令，当时，恒成立，
∴当时，；当时，，
∴函数在上单调递增，在上单调递减． 分
（2）∵，∴，
由题意知，存在，使得成立．
即存在，使得成立。 分
令，
∴． 分
①时，，则，∴函数在上单调递减，
∴成立，解得，∴；
②当时，令，解得；令，解得，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
又，∴，解得，∴无解；
③当时，，则，∴函数在上单调递增，
∴，不符合题意，舍去；
综上所述，的取值范围为． 分
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．【答案】（1）6；（2）13．
【解析】（1）由，得，
将，代入，得，
设两点对应的参数分别为，则，故． 分
（2）直线的普通方程为，
设圆的方程为()，
圆心到直线的距离为，
∵，∴，解得（，舍去），
则圆的半径为13． 分
23．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，解得；
当时，，解得，则；
当时，，解得，则，
综上知，不等式的解集为． 分
（2）由，
若对任意，不等式恒成立，
则，解得或，
则的取值范围是． 分35岁以下（含35岁）
35岁以上
合计
使用移动支付
40
10
50
不使用移动支付
10
40
50
合计
50
50
100
1
2
3