解答题专练之概率与统计解析版

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(1)求b的值，并估计100名学生对线上课程评分的平均值；(每组数据用该组的区间中点值为代表)
(2)结合频率分布直方图，请完成以下2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”。
附：随机变量K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，
解 (1)由已知得(0.015＋b＋0.03)×10＝0.85，
解得b＝0.04，
又(0.005＋a)×10＝1－0.85，
解得a＝0.01，
所以评分的平均值为55×0.05＋65×0.1＋75×0.3＋85×0.4＋95×0.15＝80。
(2)由题意可得，2×2列联表如下表：
因此K2＝eq \f(100×20×15－35×302,55×45×50×50)≈9.091>6.635，
所以能有99%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”。
2．(2021·北京高考)为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测。现有100人，已知其中2人感染病毒。
(1)①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；
②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为eq \f(1,11)，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X)；
(2)若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)。
解 (1)①共检测两轮：第一轮，100人分10组，故检测了10次；第二轮，对两名患者所在组的每个人都进行一次检测，共10次，故总检测次数为10＋10＝20次。
②由①知，两名感染患者在同一组时，共需检测20次；若两名患者不在一组，需要检测10＋10＋10＝30次，故X可取值为20,30，则P(X＝20)＝eq \f(1,11)，P(X＝30)＝1－eq \f(1,11)＝eq \f(10,11)，故X的分布列为
所以E(X)＝20×eq \f(1,11)＋30×eq \f(10,11)＝eq \f(20＋300,11)＝eq \f(320,11)。
(2)E(X)