2020届湖南省株洲高三一模数学试卷-理科（含答案解析）

2020届株洲市高三一模考试

数学（理）试卷

★祝考试顺利★

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、单项选择题：每题均有四个选项，其中只有一个正确的，本大题共12小题，每小题5分，共60分。

【1】若复数为纯虚数，则实数等于（     ）

（A）                （B）                 （C）                （D）

【2】已知全集，，，则（      ）

（A）               （B）               （C）              （D）

【3】南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知，程序框图设计的是求的值，在处应填的执行语句是（     ）

（A）       （B）         （C）            （D）

【4】在如图所示的正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（     ）

（附：⁓，则，。）

（A）               （B）               （C）             （D）

【5】将函数的图象向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到的图象，下面四个结论正确的是（     ）

（A）函数在上的最大值为                     

（B）将函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称                   

（C）点是函数图象的一个对称中心                   

（D）函数在区间上为增函数

【6】设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（    ）

（A）                 （B）                  （C）                （D）

【7】在中，，，，在边的中线上，则的最小值为（     ）

（A）                   （B）                （C）                 （D）

【8】如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的外接球的体积为（       ）

（A）         （B）             （C）           （D）

【9】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数。例如：，，已知函数，则函数的值域为（      ）

（A）             （B）             （C）            （D）

【10】已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在点使，则该双曲线的离心率的取值范围是（       ）

（A）                      （B）               

（C）                             （D）

【11】在中，已知，，，是边上的一点，将沿折叠，得到三棱锥，若该三棱锥的顶点在底面的射影在线段上，设，则的取值范围是（      ）

（A）           （B）            （C）          （D）

【12】已知抛物线：的焦点为，直线过焦点与抛物线分别交于两点，且直线不与轴垂直，线段的垂直平分线与轴交于点，则（       ）

（A）                   （B）                （C）              （D）

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

【13】已知等比数列为单调递增数列，设其前项和为，若，，则的值为      。

【14】已知，则         。

【15】二项式的展开式中的系数为，则         。

【16已知函数，若函数有两个极值点，且，则实数的取值范围是            。

三、解答题：本大题共70分，请写出解答的详细过程。

【17】（本小题满分12分）已知数列中，，，前项和为，若

且。

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）记，求数列的前项和。

【18】（本小题满分12分）如图，等腰直角中，，平面平面，，，。

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的正弦值。

【19】（本小题满分12分）目前，浙江和上海已经成为新高考综合试点的“排头兵”，有关其它省份新高考改革的实施安排，教育部部长在十九大上做出明确表态：到2020年，我国将全面建立起新的高考制度。新高考规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目。若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定。例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案。

某校为了解高一年级名学生选考科目的意向，随机选取名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：

（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？

（Ⅱ）将列联表填写完整，并通过计算判定能否有％把握认为选历史是否与性别有关？

（Ⅲ）从选考方案确定的名男生中随机选出名，设随机变量，求的分布列及数学期望。

【20】（本小题满分12分）在直角坐标系中，已知圆：与直线：相切，点为圆上一动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线。

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）设是曲线上两动点，线段的中点为，的斜率分别为，且，求的取值范围。

【21】（本小题满分12分）已知函数，，。

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若恒成立，求的最小值。

【22】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为为参数。直线与曲线分别交于两点。

（Ⅰ）若点的极坐标为，求的值；

（Ⅱ）求曲线的内接矩形周长的最大值。

【23】（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数，。

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）已知恒成立，求的取值范围。

2020届湖南省株洲市2017级高三一模考试

数学（理）参考答案

一、单项选择题

二、填空题

2020届湖南省株洲市2017级高三一模考试数学（理）试卷