黑龙江省牡丹江市第三高级中学2022届高三上学期期末考试数学（文）含答案

2021—2022学年度第一学期期末考试

高三数学(文科)试题

考试时间：120分钟   分值：150 

一、   选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.若(为虚数单位)是纯虚数，则实数                                  (    )

2．已知命题，命题若，则，则下列命题为真命题的是 (   )

3．若，则(     )

4．在正方体中，分别为棱的中点 ，则异面直线与所成角的余弦值                                                                 (     )   A             B           C              D

5. 若点 G是的重心，则 (　  )

A.0       B.    C. D.

6. 函数f(x)＝cos x－sin x在[0，]上的单调递减区间是(  　　)

A. B. C. D.

7．下列结论错误的个数是   （     ）

(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 (2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条 (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行. (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面

A. 0              B.1               C.3               D .2

8．一个正方体的顶点都在球面上，若球的表面积为4π，则正方体的棱长为(　　)

A.B.C. D.

9.设命题 , ,则命题 成立是命题 成立的(  )

A. 充分不必要条件  B. 必要不充分条件            

C. 充要条件    D. 既不充分也不必要条件

10.某几何体的三视图如图所示，图中每一个小方格均为正方形，且边长为1，则该几何体的体积为（   ）
A.     B.    C.     D. 

11．已知函数lnx + 1,若存在,对任意，都有，则实数的取值范围是(   )

12.祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的，祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知两个平行平面间有三个几何体，分别是三棱锥，四棱锥，圆锥(高度都为)，其中三棱锥的底面是边长为的正三角形，四棱锥的底面是边长为，有一个角为的菱形，圆锥的体积为，现用平行于这两个平行平面的平面去截三个几何体，如果截得的面积总相等，那么，下列关系式正确的是                            (     )

，

，，

，，

，，

Ⅱ 非选择题（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20 分.请将正确答案填在答题卡的横线上. 

13.   已知球O的半径为1，则球的体积为-------

      14 .  x>0,y>0若x+y=5,则xy的最大值是----------

      15． 已知平面向量则=_________.

      16．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，则异面直线AC和BC1所成角的余弦值是_________.

三．解答题本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（12分）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，  为 的中点, 为 的中点.求证： 平面 ；   

18.（12分）的内角A，B，C的对边分别为，且

（1）求角A的大小；

（2）若，的面积，求的周长.

19. （12分）如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．

(1)求证：AB∥平面EFGH (2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．

20．（12分）已知{an}是各项均为正数的等比数列,且.

 (I)求数列{an}通项公式；(II){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,

已知,求数列的前n项和.

21、已知函数，曲线在处的切线方程为

(1)求的值； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22. 选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线的参数方程为(t为参数，0≤<π).

(1)若＝，求l的普通方程，直接写出C的直角坐标方程；

(2)若l与C有两个不同的交点A，B，且P(2，1)为AB的中点，求|AB|.

23.（10分）已知函数f(x)＝|2x|－|x＋3|.

(1)若对于任意的实数x，都有f(x)≥2m2－7m成立，求m的取值范围；

(2)若g(x)＝ax，方程f(x)＝g(x)有两个不同的实数根，求a的取值范围.

2021—2022学年度第一学期期末考试

高三数学(文科)试题答案

考试时间：120分钟   分值：150 

二、   选择题:       ACDAB     CCBAB   CA

Ⅱ 非选择题（共90分）

二、填空题：   13.   已知球O的半径为1，则球的体积为------- ∏

      14 .  x>0,y>0若x+y=5,则xy的最大值是----------6.25

      15、 已知平面向量则=_________. -4

      16、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，则异面直线AC和BC1所成角的余弦值是_________.

解析　如图，连接AD1，CD1，则∠D1AC(或其补角)就是异面直线AC和BC1所成的角，易知AC＝5，AD1＝2，CD1＝，由余弦定理得

cos ∠D1AC＝＝.

　三．解答题本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（12分）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，  为 的中点, 为 的中点.求证： 平面 ；   

      证明：∵ 为 的中点, 为 的中点，
∴ .又 ，∴ ．∵ 平面 , 平面 ，
∴ 面
18.（12分）的内角A，B，C的对边分别为，且

（3）求角A的大小；

（4）若，的面积，求的周长.

解：（1）由已知得

（2）由已知及余弦定理得，周长为

19. 如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．

(1)求证：AB∥平面EFGH (2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．

(1)证明　∵四边形EFGH为平行四边形，

∴EF∥HG.

∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，

∴EF∥平面ABD.

又∵EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，

∴EF∥AB，又∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，

∴AB∥平面EFGH.

(2)解　设EF＝x(0<x<4)，

∵EF∥AB，FG∥CD，∴＝，

则＝＝＝1－，∴FG＝6－x.

∵四边形EFGH为平行四边形，

∴四边形EFGH的周长l＝2＝12－x.

又∵0<x<4，∴8<l<12，

即四边形EFGH周长的取值范围是(8,12)．

20．（本题满分12分）已知{an}是各项均为正数的等比数列,且.

 (I)求数列{an}通项公式；(II){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,

已知,求数列的前n项和.

【答案】(I)；(II)

21、已知函数，曲线在处的切线方程为

(1)求的值；

解：f(x)＝ex(ax＋1)，则f′(x)＝ex(ax＋1)＋ex·a＝ex(ax＋1＋a)，

由题意知解得∴a＝1，b＝3e.

(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.

解：g(x)＝f(x)－3ex－m＝ex(x－2)－m，函数g(x)＝ex(x－2)－m有两个零点，

相当于函数u(x)＝ex·(x－2)的图像与直线y＝m有两个交点，

u′(x)＝ex·(x－2)＋ex＝ex(x－1)，当x∈(－∞，1)时，u′(x)<0，

∴u(x)在(－∞，1)上是减少的；当x∈(1，＋∞)时，u′(x)>0，

∴u(x)在(1，＋∞)上是增加的，∴当x＝1时，u(x)取得极小值u(1)＝－e.

又当x→＋∞时，u(x)→＋∞，当x<2时，u(x)<0，

∴实数m的取值范围为{m|－e<m<0}．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线的参数方程为(t为参数，0≤<π).

(1)若＝，求l的普通方程，直接写出C的直角坐标方程；

(2)若l与C有两个不同的交点A，B，且P(2，1)为AB的中点，求|AB|.

解　(1)由直线l的参数方程(t为参数)及α＝可得其直角坐标方程为x＋y－3＝0，由曲线C的极坐标方程ρ＝，

得其直角坐标方程为y2＝2x.

(2)把直线l的参数方程(t为参数)，

代入抛物线方程y2＝2x得t2sin2α＋2t(sin α－cos α)－3＝0(*)，

设A，B所对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－.

∵P(2，1)为AB的中点，∴P点所对应的参数为＝－＝0，

∴sin α－cos α＝0，即α＝.则(*)变为t2－3＝0，此时t2＝6，t＝±，

∴|AB|＝2.

23.（10分）已知函数f(x)＝|2x|－|x＋3|.

(1)若对于任意的实数x，都有f(x)≥2m2－7m成立，求m的取值范围；

(2)若g(x)＝ax，方程f(x)＝g(x)有两个不同的实数根，求a的取值范围.

解　(1)由于f(x)＝|2x|－|x＋3|＝

所以f(x)的最小值为f(0)＝－3.

又因为对任意的实数x，都有

f(x)≥2m2－7m成立，

所以只需2m2－7m≤－3，

即2m2－7m＋3≤0，解得≤m≤3，

故m的取值范围为.

(2)方程f(x)＝g(x)有两个不同的实数根，

即函数y＝f(x)与y＝g(x)的图像有两个不同的交点，作出这两个函数的图像，由图像可知，a的取值范围是[－1，1)∪{－2}.