专题22.7 二次函数y=ax²+c(a≠0)的图象与性质（专项练习）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题22.7 二次函数y=ax²+c(a≠0)的图象与性质（专项练习）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共24页。试卷主要包含了对称轴为y轴的二次函数是，抛物线的顶点坐标是，二次函数在内的最小值是，关于二次函数下列说法正确的是，已知点，设点等内容，欢迎下载使用。

专题22.7 二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象与性质（专项练习）
一、 单选题

1．对称轴为y轴的二次函数是（ ）
A．y=(x+1)2 B．y=2(x-1)2 C．y=2x2+1 D．y=-(x-1)2
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数在内的最小值是（ ）
A．3 B．2 C．－29 D．－30
4．关于二次函数下列说法正确的是（ ）．
A．有最大值-2 B．有最小值-2 C．对称轴是 D．对称轴是
5．抛物线y＝，y＝﹣2018x2+2019，y＝2018x2共有的性质是（　　）
A．开口向上
B．对称轴是y轴
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．都有最低点
6．对于抛物线与抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．开口方向相同 B．对称轴相同
C．都有最高点 D．顶点坐标相同

7．已知点（﹣4，y1），（2，y2）均在抛物线y＝x2﹣1上，则y1，y2的大小关系为（　　）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≤y2 D．y1≥y2
8．设点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）是抛物线y＝﹣x2+a上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为（　　）
A．y3＞y2＞y1 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y2＞y3
9．已知抛物线上有两点，，且，则与的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．不能确定
10．若抛物线y＝﹣2x2+2x经过两点A（﹣1，y1）和B（3，y2），则下列关系式正确的是（　　）
A．0＜y2＜y1 B．y1＜y2＜0 C．y2＜0＜y1 D．y2＜y1＜0
11．已知点，均在抛物线上，则、 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
12．已知二次函数y＝2x2＋3的图象上有三点A(，y1)，B(5，y2)，C(－，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为( )
A．y2＞y1＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2

13．二次函数y＝x2＋1的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
14．二次函数y=-x2-2的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
15．二次函数y＝x2＋1的图象大致是( )
A． B． C． D．
16．二次函数y=﹣x2+2x的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
17．直线y=ax+c与抛物线y=ax2+c的图象画在同一个直角坐标系中，可能是下面的（ ）
A． B． C．D．
18．用min{a，b}表示a，b两数中的最小数，若函数，则y的图象为( )
A． B． C． D．

19．已知抛物线y=-x2+1，下列结论：
①抛物线开口向上；
②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）；
③抛物线的对称轴是y轴；
④抛物线的顶点坐标是（0，1）；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的．
其中正确的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
20．二次函数的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（ ）
A．抛物线开口向下 B．抛物线与轴有两个交点
C．抛物线的对称轴是直线=1 D．抛物线经过点（2,3）
21．若二次函数y＝x2+与y＝－x2+k的图象的顶点重合，则下列结论不正确的是（ ）
A．这两个函数图象有相同的对称轴 B．这两个函数图象的开口方向相反
C．方程－x2+k＝0没有实数根 D．二次函数y＝－x2＋k的最大值为
22．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②a－b＋c＜0；③2a＝b；④4a＋2b＋c＞0；⑤若点(－2，y1)和(－，y2)在该图象上，则y1＞y2. 其中正确的结论个数是 ( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
23．小张同学说出了二次函数的两个条件：
(1)当x＜1时，y随x的增大而增大；
(2)函数图象经过点(－2，4)．
则符合条件的二次函数表达式可以是(　 　)
A．y＝－(x－1)2－5 B．y＝2(x－1)2－14
C．y＝－(x＋1)2＋5 D．y＝－(x－2)2＋20
24．已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①当时，随增大而增大；②抛物线一定过原点；③ 方程的解为或；④当时，；⑤．其中结论错误的个数有（ ）个

A．1 B．2 C．3 D．4


二、 填空题

25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线于点B，C，则BC的长为________．

26．如图，抛物线与过点（0，-3）且平行于x轴的直线相交于点、，与轴交于点C，若 为直角，则a=_______

27．如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”，已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线的解析式为，则图中CD的长为__________．

28．如图，已知点M（p，q）在抛物线y＝x2－1上，以M为圆心的圆与x轴交于A、B两点，且A、B两点的横坐标是关于x的方程x2－2px＋q＝0的两根，则弦AB的长等于_______.


三、 解答题

29．已知二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c．
（1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；
（2）若这两个函数图象的形状相同，则a＝　 　；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，则c＝　 　；
（3）二次函数y＝﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表：
x
﹣2
1
5
y
m
n
p
表中m、n、p的大小关系为　 　（用“＜”连接）．







30．探究函数y=x+4x的图象与性质
(1)函数y=x+4x的自变量x的取值范围是___；
(2)下列四个函数图象中,函数y=x+4x的图象大致是___；
A． B． C． D．
(3)对于函数y=x+4x，求当x>0时，y的取值范围。
请将下面求解此问题的过程补充完整：
解：∵x>0
∴y=x+4x=(x)2+(2x)2
=(x−2x)2+___
∵(x−2x)2≥0
∴y=____.
（拓展应用）
(4) 若函数y=x2+5x+4x，求y的取值范围.




31．如图，在平面直角坐标系中，为原点，四边形是矩形，点、的坐标分别是和，点为对角线上一动点（不与、重合），连结，作，交轴于点，以线段、为邻边作矩形.

（1）填空：点的坐标为______；
（2）当是等腰三角形时，试求出的长；
（3）设，矩形的面积为，求关于的函数关系式，并求出的最小值.

参考答案
1．C
【分析】
由已知可知对称轴为x＝0，从而确定函数解析式y＝ax2+bx+c中，b＝0，由选项入手即可．
解：二次函数的对称轴为y轴，
则函数对称轴为x＝0，
即函数解析式y＝ax2+bx+c中，b＝0，
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
2．C
【分析】
根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标．
解：∵y=-2x2-1，
∴该抛物线的顶点坐标为（0，-1），
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次和函数的性质解答．
3．C
【分析】
根据图象，直接代入计算即可解答
解：由图可知，当x=4时，函数取得最小值y最小值=-2×16+3=-29．

故选：C．
【点拨】本题考查二次函数最小（大）值的求法．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
4．A
【分析】
利用二次函数的性质即可判断各个选项中的结论是否正确．
解：∵二次函数y＝﹣x2﹣2，
∴a＝﹣1，开口向下，有最大值y＝﹣2，
∴选项A正确，选项B错误；
∵二次函数y＝﹣x2﹣2的对称轴为直线x＝0，
∴选项C、D错误，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
5．B
【分析】
根据二次函数 的性质逐个判断即可.
解：抛物线y＝，y＝﹣2018x2+2019，y＝2018x2共有的性质是对称轴都是y轴，故选项B正确；
y＝的开口向上，y＝﹣2018x2+2019的开口向下，y＝2018x2的开口向上，故选项A错误；
在y＝中，当x＞0时，y随x的增大而增大，在y＝﹣2018x2+2019中，当x＞0时，y随x的增大而减小，在y＝2018x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项C错误；
抛物线y＝和y＝2018x2有最低点，抛物线y＝﹣2018x2+2019有最高点，故选项D错误；
故选：B．
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6．D
【分析】
根据二次函数的性质，结合两函数顶点式形式，即可得出两二次函数的开口方向、顶点坐标以及对称轴和是否有最高点，分别分析即可．
解：∵抛物线，
∴此函数顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，a<0，开口向下，有最高点
∵，，
∴此函数顶点坐标为（0，1），对称轴为y轴，a<0，开口向下，有最高点
A. 开口方向相同，正确，不符合题意；
B.对称轴相同，正确，不符合题意；
C. 都有最高点，正确，不符合题意；
D. 顶点坐标相同，不正确，符合题意．
故选：D．
【点拨】此题主要考查了二次函数的性质，根据顶点式得出二次函数性质是中考考查重点，同学们应熟练掌握．
7．B
【解析】
【分析】
先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=0，然后比较两个点离直线x=0的远近得到y1、y2的大小关系．
∵二次函数的解析式为y=x2-1，
∴抛物线的对称轴为直线x=0，
∵（-4，y1）、B（2，y2），
∴点（-4，y1）离直线x=0远，点（2，y2）离直线x=0近，
而抛物线开口向上，
∴y1＞y2．
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
8．D
【分析】
由题意可得对称轴为y轴，则（-1，y1）关于y轴的对称点为（1，y1），根据二次函数的增减性可得函数值的大小关系．
∵抛物线y＝﹣x2+a
∴对称轴为y轴
∴（﹣1，y1）关于对称轴y轴对称点为（1，y1）
∵a＝﹣1＜0
∴当x＞0时，y随x的增大而减小
∵1＜2＜3
∴y1＞y2＞y3
故选D．
【点拨】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的增减性，利用增减性比较函数值的大小是本题的关键.
9．D
【分析】
先判断抛物线的开口方向及对称轴，再根据函数的增减性进行判断即可.
解∵抛物线的对称轴是y轴，开口向上
∴当x>0时，y随x的增大而增大；当x<0时，y随x增大而减小，
∵由条件不能判断出,是大于0还是小于0,
∴不能确定与的大小关系.
故答案是：D.
【点拨】本题考查了二次函数的增减性，增减性由开口方向和对称轴即可作出判断.
10．D
【解析】
【分析】
分别求出y1、y2的值即可判断．
x＝﹣1时，y1＝﹣2﹣2＝﹣4，
x＝3时，y2＝﹣18+6＝﹣12，
∴y2＜y1＜0，
故选D．
【点拨】考查的是二次函数的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
11．A
【解析】
∵抛物线开口向上，对称轴为直线（即y轴），点比点到对称轴的距离近，
∴.
点拨：（1）当抛物线的开口向上时，抛物线上的点距对称轴越近，其纵坐标越小；（2）当抛物线开口向下时，抛物线上的点距对称轴越近，其纵坐标越大.
12．B
【解析】
∵y=2x2＋3，a=2>0，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，
在图象上的三点A(，y1)，B(5，y2)，C(－，y3)，
∵<|−|<5，
∴y1 故选：B.
点拨：此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练的运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键.
13．B
【分析】
利用二次函数的开口方向和顶点坐标，结合图象找出答案即可．
解：二次函数y＝x2＋1中，
a＝1＞0，图象开口向上，顶点坐标为（0，1），
符合条件的图象是B．
故选B．
【点拨】此题考查二次函数的图象，掌握二次函数的性质，图象的开口方向和顶点坐标是解决问题的关键．
14．D
【分析】
根据抛物线与解析式中系数的关系可知开口向下，对称轴是y轴，与y轴交于（0，-2），观察图象进行选择．
解：∵a=-1＜0，图象开口向下，可以排除A、B；
∵二次函数y=-x2-2的顶点坐标是（0，-2），可以排除C．
故选D．
主要考查了二次函数图象的性质
15．C
【解析】
二次函数y=x2+1中，
a=1>0,图象开口向上,顶点坐标为(0,1)，
符合条件的图象是C.
故选C.
16．B
【分析】
利用排除法解决：首先由a=﹣1＜0，可以判定抛物线开口向下，去掉A、C；再进一步由对称轴x=﹣=1，可知B正确，D错误；由此解决问题．
∵y=﹣x2+2x，a＜0，
∴抛物线开口向下，A、C不正确，
又∵对称轴x=﹣=1，而D的对称轴是x=0，
∴只有B符合要求．
故选B．
17．A
【解析】
两图象与y轴的交点相同,故排除了B、D,若a>0,选A,C中两个函数中的a符号相反.
18．C
【分析】
根据题意，把问题转化为二次函数问题.
根据题意，min{x2+1，1-x2}表示x2+1与1-x2中的最小数，
不论x取何值，都有x2+1≥1-x2，
所以y=1-x2；
可知，当x=0时，y=1；当y=0时，x=±1；
则函数图象与x轴的交点坐标为（1，0），（-1，0）；与y轴的交点坐标为（0，1）．
故选C．
【点拨】考核知识点：二次函数的性质.
19．B
【分析】
根据a确定抛物线的开口方向；令y=0解方程得到与x轴的交点坐标；根据抛物线的对称轴、顶点坐标以及平移的性质，对各小题分析判断后即可得解．
①∵a=-1＜0，∴抛物线开口向下，故本小题错误；
②令y=0，则-x2+1=0，解得x1=1，x2=-1，所以，抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0），故本小题正确；
③抛物线的对称轴=0，是y轴，故本小题正确；
④抛物线的顶点坐标是（0，1），故本小题正确；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到，故本小题正确；
综上所述，正确的有②③④⑤共4个．
故选B．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，理解二次函数图象与系数关系是关键.
20．B
A、a=2，则抛物线y=2x2-3的开口向上，所以A选项错误；
B、当y=0时，2x2-3=0，此方程有两个不相等的实数解，即抛物线与x轴有两个交点，所以B选项正确；
C、抛物线的对称轴为直线x=0，所以C选项错误；
D、当x=2时，y=2×4-3=5，则抛物线不经过点（2，3），所以D选项错误，
故选B．
21．C
【分析】
利用二次函数的性质以及解方程的知识解题．
∵二次函数y=x2+与y=-x2+k的图象的顶点重合，
∴k=，
∴A、B、D正确；
C、错误，因为方程-x2+k=0有实数根．
故选C．
【点拨】主要考查二次函数的性质．
22．B
【分析】
根据二次函数的图象与性质即可判断．
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c>0，
∵对称轴x=>0，
∴b>0，
∴abc＜0，故①不正确；
∵对称轴x==1，
∴b=−2a，
∴令x=−1时，此时y=a−b+c，
由图象可知a−b+c<0，
∴a+2a+c=3a+c<0，故②正确，③错误；
∵抛物线的对称轴为x=1，
∴−1与3关于x=1对称，0与2关于x=1对称，
令x=2时，此时y=4a+2b+c>0，故④正确；
当x<1时，y随着x的增大而增大，
∴−2<−，
∴y 故选B.
【点拨】本题考查二次函数图形与系数的关系，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质.
23．D
【解析】【分析】可可求得答案.分别求出各选项的对称轴，判断抛物线开口方向，结合图象，判断函数值的增减；把点(－2，4)代入解析式可得答案.
【详解】A.对称轴是x=1，开口向下，当x<1时,y随x的增大而增大, 当x=-2时，y≠4, 不符合条件；
B. 对称轴是x=1，开口向上，当x<1时,y随x的增大而减小, ,不符合条件；
C. 对称轴是x=-1，开口向下，当-1 D. 对称轴是x=2，开口向下，当x<1时,y随x的增大而增大, 当x=-2时，y=4,故符号条件；
故选：D.
【点拨】本题考核知识点：二次函数的性质.解题的关键在于求出函数的对称轴，结合开口方向，判断函数值的变化情况.
24．B
【分析】
根据题目的图像，利用二次函数的相关性质进行判断即可.
解：∵由图像可知，抛物线与x轴有2个交点，对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，
∴另一个交点为，所以②、③正确；
由图像可知，当时，随增大而减小，所以①错误；
当时，，即，所以④正确；
当时，，由图像可知，当时，，即：，所以⑤错误；
综上所述，错误的有：①、⑤，
故选：B.
【点拨】本题考查的是二次函数的图像的性质，熟悉相关性质是解题的关键.
25．6
【解析】
试题分析：∵抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，∴A点坐标为（0，3）．
当y=3时，，解得x=±3．
∴B点坐标为（﹣3，3），C点坐标为（3，3）．
∴BC=3﹣（﹣3）=6．
26．
【分析】
直线AB与y轴交于点D，如图，则D（0，-3），利用二次函数的性质得到C（0，1），再证明△ABC为等腰直角三角形得到CD=AD=BD=4，所以B（4，-3），然后把B点坐标代入y=ax2+1即可得到a的值．
直线AB与y轴交于点D，如图，则D（0，-3），
∵C（0，1），
∴CD=4，
∵AB过点（0，-3）且平行于x轴，
∴△ABC为等腰三角形，
∵∠ACB=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴CD=AD=BD=4，
∴B（4，-3），
把B（4，-3）代入y=ax2+1得16a+1=-3，解得a=-．
故答案为-．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质和等腰直角三角形的性质．
27．
【分析】
根据二次函数的解析式可知对称轴为y轴，分别令x=0，y=0，可得出A、B、D的坐标，可得OD、OA、OB的长，根据AB为直径，可求出OC的长，进而可求出CD的长，
∵抛物线的解析式为，
∴对称轴为y轴，
当x=0时，y=，
当y=0时，=0，
解得：x1=1，x2=-1，
∴A（-1，0），B（1，0），D（0，），
∴OA=OB=1，OD=，
∵AB为直径，y轴为对称轴，
∴原点O为圆心，
∴OC=OA=1，
∴CD=OC+OD=1+=．
故答案为：
【点拨】本题考查二次函数图象与坐标轴交点问题，正确求出A、B、D三点坐标是解题关键．
28．2
【解析】
M（p，q）在抛物线y=x2-1上，
故有q=p2-1，即p2-q=1；
设A，B两点的横坐标为m、n；
则有m+n=2p，mn=q；
而弦AB的长的等于|m-n|
故|m-n|2=（m+n）2-4mn=4p2-4q=4（p2-q）=4．
∴|m-n|=2
故答案为2．
29．（1）二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图象随着c的变化，开囗大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；（2）±2，﹣2；（3）p＜m＜n
【分析】
(1)根据二次函数的性质即可得到结论；
(2)由函数图象的形状相同得到a=±2，根据上加下减的平移规律即可求得函数 y =ax2-2，根据完全重合，得到c =-2．
(3)由二次函数的解析式得到开口方向和对称轴，然后根据点到对称轴的距离即可判断．
解：（1）二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图象随着c的变化，开囗大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；
（2）∵函数y＝ax2与函数y＝﹣2x2+c的形状相同，
∴a＝±2，
∵抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位得到y＝ax2﹣2，与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，
∴c＝﹣2，
故答案为：±2，﹣2．
（3）由函数y＝﹣2x2+c可知，抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∵1﹣0＜0﹣（﹣2）＜5﹣0，
∴p＜m＜n，
故答案为：p＜m＜n．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
30．（1）x≠0；（2）C；（3）2，2；（4）y⩾7.
【解析】
【分析】
（1）根据分母不能等于零，可以解答本题；
（2）根据函数解析式可以判断函数图象所在的位置，本题得以解决；
（3）根据题目中的解答过程可以将没写的补充完整；
（4）根据（3）的特点可以解答本题．
(1)∵y=x+4x，
∴x≠0，
故答案为：x≠0；
(2)∵y=x+4x，
∴x>0时，y>0，
当x<0时，y<0，故选项B. D错误，
∵x≠0，
∴选项A错误，
故选C；
(3)∵x>0
∴y=x+4x=(x)2+(2x)2
(x−2x)2+2
∵(x−2x)2≥0，
∴y⩾2，
故答案为：2，2；
(4) y=x2+5x+4x=x+5+4x=(x+4x)+5⩾7，
故答案为：y⩾7.
【点拨】此题考查二次函数的性质，一次函数图象与系数的关系，二次函数的图象，解题关键在于掌握运算法则利用二次函数的性质进行解答.
31．（1）；（2）满足条件的的长为2或；（3），有最小值.
【解析】
【分析】
（1）求出AB、BC的长即可解决问题；
（2）存在．连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．首先证明B、D、E、C四点共圆，可得∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，由tan∠ACO=∠ACO=，推出∠ACO=30°，∠ACD=60°由△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，推出∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，推出∠DBC=∠BCD=60°，可得△DBC是等边三角形，推出DC=BC=2，由此即可解决问题；
（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，推出∠DBC=∠DCE=30°，由此即可解决问题；
②作DH⊥AB于H．想办法用x表示BD、DE的长，构建二次函数即可解决问题；
解答
（1）∵四边形是矩形，∴，，，∴.
（2）如图1，在中，.∵是等腰三角形，故有如下三种情况：
①若，则.
②若，过作于，则.在中，由，得，∵，∴.在中，，∴.
③若，则，∴，这与矛盾，∴.
综上所述，满足条件的的长为2或.
（3）如图2，连结，取的中点，连结、.
∵，∴，以为圆心，为直径作圆，则、、、四点在同一圆上，∴，∴.则.

如图3，作于.
在中，∵，，
∴，，
∴.
在中，，
∴，
∴矩形的面积，
即.
∵，∴时，有最小值.

【点拨】本题考查相似型综合题，熟练掌握计算法则是解题关键.