2018-2019学年山西省晋城市高平市九年级（上）期末数学试卷

2018-2019学年山西省晋城市高平市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）[来源：Zx

1．（2分）要使式子有意义，则的取值范围是　　

A． B．且 C．或 D．且

2．（2分）关于的一元二次方程的一个根为2，则的值是　　

A．1 B． C． D．

3．（2分）一元二次方程的两根分别是，，则等于　　

A．5 B．6 C． D．

4．（2分）抛物线的顶点坐标是　　

A． B． C． D．

5．（2分）抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是　　

A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 

B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 

C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 

D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位

6．（2分）在中，，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则的余弦值　　

A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．不变

7．（2分）在一个不透明的袋子里装有一个黑球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球，两次都摸到黑球的概率是　　

A． B． C． D．

8．（2分）已知：如图，，是的两条半径，且，点在上，则的度数为　　

A． B． C． D．

9．（2分）二次函数的图象如图所示．当时，自变量的取值范围是　　

A． B． C． D．或

10．（2分）已知矩形中，，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点，若四边形与矩形相似，则　　

A． B． C． D．2

11．（2分）如图，从热气球处测得地面、两点的俯角分别是、，如果此时热气球处的高度为100米，点、、在同一直线上，则两点的距离是　　

A．200米 B．米 C．米 D．米

12．（2分）如图所示，在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图．如果要使整幅挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是　　

A． B． 

C． D．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，把答案写在题中横线上）

13．（3分）的平方根是　　．

14．（3分）随意地抛一粒豆子，恰好落在图中的方格中（每个方格除颜色外完全一样），那么这粒豆子停在黑色方格中的概率是　　．

15．（3分）如图，在中，，，点为的中点，，垂足为点，求的长．

16．（3分）已知两圆相离，半径分别为、，则两圆圆心距范围为　　．

17．（3分）如图为二次函数的图象，在下列说法中：①；②方程的根是，，则；③；④当时，随的增大而增大．正确的说法有　　．（把正确的答案的序号都填在横线上）

18．（3分）如图，在中，，，．把绕边上的点顺时针旋转得到△，交于点．若，则△的面积是　 　．

三、解答题（本大题共8个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（6分）计算：．

20．（8分）先化简，再求值：，其中满足方程：．

21．（8分）如图是一片等边三角形形状的草地，为方便人们休闲，现决定在草地内部修建一座小亭，小亭离三个出口即三角形三个顶点、、的距离相等．

（1）用尺规作图的方法确定小亭的位置．

（2）若草地的边长，求小亭到出口的距离．

22．（8分）甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标有的三个数值为，，3．乙袋中的三张卡片所标的数值为，1，6．先从甲袋中随机取出一张卡片，用表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用表示取出卡片上的数值，把、分别作为点的横坐标和纵坐标．

（1）用适当的方法写出点的所有情况．

（2）求点落在第三象限的概率．

23．（10分）如图，中，，是边上一点，且．是边上的一点，以为直径的经过点．

（1）求证：是的切线；

（2）若的弦心距为1，，求的长．

24．（12分）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长（单位：在之间，每张薄板的成本价（单位：元）与它的边长（单位：满足关系式，每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据．

（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；

（2）已知：利润出厂价成本价

①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式；

②当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？

25．（12分）和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．

（1）如图①，当点在线段上，且时，求证：；

（2）如图②，当点在线段的延长线上时，求证：；并求当，时的长．

26．（14分）如图，点在轴上，，将线段绕点顺时针旋转至的位置．

（1）求点的坐标；

（2）求经过点、、的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．

2018-2019学年山西省晋城市高平市九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）[来源：Zx

1．（2分）要使式子有意义，则的取值范围是　　

A． B．且 C．或 D．且

【解答】解：由题意得，，，

解得，且，

故选：．

2．（2分）关于的一元二次方程的一个根为2，则的值是　　

A．1 B． C． D．

【解答】解：把代入方程，

得，

解得．

故选：．

3．（2分）一元二次方程的两根分别是，，则等于　　

A．5 B．6 C． D．

【解答】解：一元二次方程的两根分别是，，

；故选：．

4．（2分）抛物线的顶点坐标是　　

A． B． C． D．

【解答】解：由原方程，得

，

该抛物线的顶点坐标是：．

故选：．

5．（2分）抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是　　

A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 

B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 

C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 

D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位

【解答】解：抛物线向左平移2个单位可得到抛物线，

抛物线，再向下平移3个单位即可得到抛物线．

故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．

故选：．

6．（2分）在中，，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则的余弦值　　

A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．不变

【解答】解：在中，，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则的余弦值不变．

故选：．

7．（2分）在一个不透明的袋子里装有一个黑球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球，两次都摸到黑球的概率是　　

A． B． C． D．

【解答】解：画树状图得：

共有4种等可能的结果，两次都摸到黑球的只有1种情况，

两次都摸到黑球的概率是．

故选：．

8．（2分）已知：如图，，是的两条半径，且，点在上，则的度数为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，

．

故选：．

9．（2分）二次函数的图象如图所示．当时，自变量的取值范围是　　

A． B． C． D．或

【解答】解：当时，，

解得，．

结合图象可见，或时，．

故选：．

10．（2分）已知矩形中，，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点，若四边形与矩形相似，则　　

A． B． C． D．2

【解答】解：沿将向上折叠，使点落在上的点，

四边形是正方形，

，

设，则，，

四边形与矩形相似，

，

，

解得，（负值舍去），

经检验是原方程的解．

故选：．

11．（2分）如图，从热气球处测得地面、两点的俯角分别是、，如果此时热气球处的高度为100米，点、、在同一直线上，则两点的距离是　　

A．200米 B．米 C．米 D．米

【解答】解：由已知，得，，米，

于点．

在中，，，

（米

在中，，

（米，

米．

故选：．

12．（2分）如图所示，在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图．如果要使整幅挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：依题意，设金色纸边的宽为，

，

整理，得．

故选：．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，把答案写在题中横线上）

13．（3分）的平方根是　　．

【解答】解：，

的平方根是．

故答案为：．

14．（3分）随意地抛一粒豆子，恰好落在图中的方格中（每个方格除颜色外完全一样），那么这粒豆子停在黑色方格中的概率是　　．

【解答】解：共有12个方格，其中黑色方格占4个，

这粒豆子停在黑色方格中的概率是．

15．（3分）如图，在中，，，点为的中点，，垂足为点，求的长．

【解答】解：连接，

中，，，为中点，

，，

，

又，

，

，

解得：．

16．（3分）已知两圆相离，半径分别为、，则两圆圆心距范围为　或　．

【解答】解：两圆半径分别为和，两圆相离，

它们的圆心距满足：或，

故答案为：或．

17．（3分）如图为二次函数的图象，在下列说法中：①；②方程的根是，，则；③；④当时，随的增大而增大．正确的说法有　①④　．（把正确的答案的序号都填在横线上）

【解答】解：抛物线开口向上、与轴的交点在轴的下方，

，，

，故①正确；

方程的根是，，则对称轴为直线，

，故②不正确；

由图象可知当时，，

，故③不正确；

抛物线对称轴为直线，且抛物线开口向上，

当时，随的增大而增大，故④正确；

综上可知说法正确的有①④，

故答案为①④．

18．（3分）如图，在中，，，．把绕边上的点顺时针旋转得到△，交于点．若，则△的面积是　6　．

【解答】解：中，由勾股定理求，

由旋转的性质，设，则，

绕边上的点顺时针旋转得到△，

，，

△，

，即，解得，

，

故答案为：6．

三、解答题（本大题共8个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（6分）计算：．

【解答】解：原式

20．（8分）先化简，再求值：，其中满足方程：．

【解答】解：

，

满足方程，

，

解得：，，

当时，原式的分母为0，故舍去；

当时，原式．

21．（8分）如图是一片等边三角形形状的草地，为方便人们休闲，现决定在草地内部修建一座小亭，小亭离三个出口即三角形三个顶点、、的距离相等．

（1）用尺规作图的方法确定小亭的位置．

（2）若草地的边长，求小亭到出口的距离．

【解答】解：（1）如图所示：点即为所求；

（2）由题意可得：，在中，，

，

则，

解得：，

答：小亭到出口的距离为．

22．（8分）甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标有的三个数值为，，3．乙袋中的三张卡片所标的数值为，1，6．先从甲袋中随机取出一张卡片，用表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用表示取出卡片上的数值，把、分别作为点的横坐标和纵坐标．

（1）用适当的方法写出点的所有情况．

（2）求点落在第三象限的概率．

【解答】解：（1）如下表，

点共9种情况；

（2）点落在第三象限共有，，两种情况，

点落在第三象限的概率是．

23．（10分）如图，中，，是边上一点，且．是边上的一点，以为直径的经过点．

（1）求证：是的切线；

（2）若的弦心距为1，，求的长．

【解答】（1）证明：连接，如图1所示：

，

，

又为的外角，

，

又，

，

，

，

，

，

，

又在上，

是的切线；

（2）过点作于点，如图1，

，，

，

，

，

，

又为的外角，

，

，

在中，，，

，

，，

在中，根据勾股定理得：．

24．（12分）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长（单位：在之间，每张薄板的成本价（单位：元）与它的边长（单位：满足关系式，每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据．

（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；

（2）已知：利润出厂价成本价

①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式；

②当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？

【解答】解：（1）根据题意，出厂价与边长之间满足一次函数关系式，设

由表中数据可得：

解得：

；

（2）①由题意得，

一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式为；

②

当时，

又时，满足

当边长为时，出厂一张薄板利润最大，最大利润为35元．

25．（12分）和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．

（1）如图①，当点在线段上，且时，求证：；

（2）如图②，当点在线段的延长线上时，求证：；并求当，时的长．

【解答】（1）证明：是等腰直角三角形，

，，

，

，

是的中点，

，

在和中，

，

；

（2）解：和是两个全等的等腰直角三角形，

，

，

即，

，

，

，

，

，，，

，

，

．

26．（14分）如图，点在轴上，，将线段绕点顺时针旋转至的位置．

（1）求点的坐标；

（2）求经过点、、的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）如图，过点作轴，垂足为，则，

，

，

又，

，，

点的坐标为；

（2）抛物线过原点和点、，

可设抛物线解析式为，

将，．代入，得：

，

解得，

此抛物线的解析式为；

（3）存在；

方法一、如图，抛物线的对称轴是直线，直线与轴的交点为，设点的坐标为，

①若，

则，

解得，

当时，在△中，，，

，

，

即、、三点在同一直线上，

不符合题意，舍去，

点的坐标为

②若，则，

解得，

故点的坐标为，

③若，则，

解得，

故点的坐标为，

综上所述，符合条件的点只有一个，其坐标为．

方法二：

（3）设，，，

为等腰三角形，

，，，

，，

，或，

当时，，，，，三点共线故舍去，

，，

符合条件的点只有一个，．

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日期：2021/12/9 23:59:30；用户：初中数学1；邮箱：jse032@xyh.com；学号：39024122