第22讲 相似三角形的性质-讲义（学生版+教师版）2021-2022学年九年级数学人教版下册学案

第22讲  相似三角形的性质

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1.相似三角形的对应边成比例，对应角相等.

2.相似三角形对应边的比，对应高的比，对应角平分线的比，对应周长的比等于相似比.

3.相似三角形面积的比等于相似比的平方.

方法技巧

1.利用相似三角形的相似比进行比例转化.

2.用函数或方程思想处理相似三角形有关向题.

题型一  相似三角形对应边的比等于相似比

【例1】从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引一条射线与对边相交，顶点与交点之同的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.

(1)如图1，在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD，则∠ACB＝          ；

(2)如图2，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长.

题型二  相似三角形对应高的比等于相似比

【例2】一块三角形ABC的空地，BC＝30米，BC边上的高AD＝20米，现计划在这块空地上修建一个矩形游泳池EFGH，使EF在BC边上，H，G分别在AB，AC边上，设EH为x米，矩形的面积为S.

(1)求S关于x的函数关系式.并写出自变量的取值范围.

(2)别墅区管理处计划投资26000元.若游泳池EFGH毎平方米造价100元，将△BEH和△OGF种植草皮，草皮每平方米40元，将△AHG修建休闲区，每平方米造价80元.请你通过计算说明别墅区管理处对该项目的投资是否够用?

题型三  相似三角形面积的比等于相似比的平方

【例3】在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE，AB＝2AC，AD＝2AE.若△ABC的面积为32，△ABD的面积为12，求阴影部分图形的面积.

针对练习

1.如图，已知菱形ABCD，AB＝2，点P是边AB延长线上的一点，连接PC并延长交AD的延长线于点Q，连接BQ交CD于点E，连接PD分别交BC，BQ于点F，O，设BP＝x，＝y.

(1)用含x的代数式表示DQ；

(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

(3)当△FCD与△DCQ相似时，求y的值.

2.如图，在锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8.

(1)矩形EFGH的边GH在边BC上，其余两个顶点E，F分别在边AB，AC上，EF交AD于点K.

①求AK的值；②设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；

(2)若AB＝AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长.

3.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，DE⊥BC于点E，连接AE，FE⊥AE交CD于点F.

(1)求证：△AED∽△FEC；

(2)若AD＝CD，＝2，求的值.