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2020-2021学年福建省宁德市九年级（上）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年福建省宁德市九年级（上）期末数学试卷，共1页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年福建省宁德市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）tan45°的值等于（ ）
A． B． C． D．1
2．（4分）已知＝，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，则sin∠ABC＝（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）方程x2﹣4x＝3的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有一个实数根
6．（4分）如图，D是△ABC边AB上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E．已知AD：DB＝2：3△ADE：S△ABC＝（ ）
A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．4：25
7．（4分）将抛物线向上平移2个单位长度，得到新抛物线的解析式是（ ）
A．y＝（x﹣4）2+7 B．y＝（x﹣2）2+5
C．y＝（x﹣6）2+5 D．y＝（x﹣4）2+3
8．（4分）“皮影戏”是我国一种历史悠久的民间艺术，下列关于它的说法正确的是（ ）
A．皮影戏的原理是利用平行投影将剪影投射到屏幕上
B．屏幕上人物的身高与相应人物剪影的身高相同
C．屏幕上影像的周长与相应剪影的周长之比等于对应点到光源的距离之比
D．表演时，也可以利用阳光把剪影投射到屏幕上
9．（4分）某商场将进货价为20元的玩具以30元售出，平均每天可售出300件，调查发现，平均每天就少售出10件．若商场要想平均每天获得3750元利润，则每件玩具应涨价多少元？设每件玩具应涨价x元（ ）
A．涨价后每件玩具的售价是（30+x）元
B．涨价后平均每天少售出玩具的数量是10x件
C．涨价后平均每天销售玩具的数量是（300﹣10x）件
D．根据题意可列方程为：（30+x）（300﹣10x）＝3750
10．（4分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）经过点A（﹣1，0）和点B（0，3），记m＝a+b+c，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜1 B．0＜m＜3 C．0＜m＜6 D．3＜m＜6
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，则CE＝ ．
12．（4分）方程x（x﹣5）＝0的根是 ．
13．（4分）如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝6（m）（m），在同一时刻阳光下DE的影长EF＝4（m），则DE的长为 米．
14．（4分）一个盒子中有5个红球和若干个白球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，共摸了100次球，发现有25次摸到红球 个．
15．（4分）如图，已知矩形OABC与矩形FEDO是位似图形，P是位似中心（0，6），点E的坐标为（2，3），则点B的坐标为 ．
16．（4分）如图，四边形OABC是矩形，对角线OB在y轴正半轴上的图象上，点C在反比例函数y＝，且点A在第一象限．过点A、C分别作x轴的垂线段，垂足分别为点E、F1k2＝﹣1，②＝||，③阴影部分面积是1+k2），④若四边形OABC是正方形，则k1+k2＝0，正确的是 ．（填序号）
三、解答题：本题共9小题，共86分．
17．（8分）解方程：x2﹣2x﹣1＝0．
18．（8分）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的点，垂足为F．求证：△ABC∽△ECD．
19．（8分）高尔夫球运动员将一个小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度y（m）（s）之间关系的部分数据如下表：
x（s）
…
0.5
1
1.5
2
…
y（m）
…
8.75
15
18.75
20
…
（1）根据表格信息，下列三个函数关系式：①y＝x+x，③y＝﹣5x2+20x中，刻画y与x的关系最准确的是 ．（填序号）
（2）请利用（1）中选取的函数关系式分析，经过多少秒小球落回地面？
20．（8分）某商场在元旦期间举行“大酬宾”活动，在商场消费满168元的顾客有一次抽奖机会，抽奖规则为：
方案一：投掷一枚骰子，将所得的点数作为一个获奖号码，再由获奖号码对应圆盘上的数字得到相应奖品；
方案二：投掷两枚骰子，将所得的点数之和作为一个获奖号码，再由获奖号码对应圆盘上的数字得到相应奖品；
（1）利用表格写出方案二中投掷两枚骰子所有可能出现的结果；
（2）利用概率知识作出判断：选择哪一种方案更合算，请说明理由．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边BC在x轴上（2，4），点M是AB的中点，反比例函数y＝，交CD于点N．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若反比例函数图象上的一个动点P（m，n）在正方形ABCD的内部（含边界），求△POC面积的最小值．
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6
（1）尺规作图：作菱形AECF，使点E，F分别落在BC；（保留作图痕迹，不写作法，不必证明）
（2）求菱形AECF的周长．
23．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，BC＝CD．
（1）若BD＝13，AB＝10，求cos∠CBD的值；
（2）设△ABD的面积为S1，△BCD的面积为S2，求证：＝4cos2∠CBD．
24．（13分）如图，在正方形ABCD中，点E是AD边上的一个动点，以BE为斜边在正方形ABCD内部构造等腰直角三角形BEF，连接CF．
（1）求证：∠DEF+∠CBF＝90°；
（2）若AB＝3，△BCF的面积为，求△BEF的面积；
（3）求证：DE＝CF．
25．（13分）已知抛物线y＝（x﹣n）（x+n）+c经过坐标原点O．
（1）请用含n的代数式表示c；
（2）若直线y＝kx+2与抛物线交于B、C两点，连接OB，OC．设直线OB为y＝k1x，直线OC为y＝k2x．
①当B，C两点关于抛物线的对称轴对称时，求k1•k2的值；
②求证：无论k为何值时，k1•k2的值不变．
2020-2021学年福建省宁德市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）tan45°的值等于（ ）
A． B． C． D．1
【解答】解：tan45°＝1．
故选：D．
2．（4分）已知＝，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由＝得到：a＝b，则
＝＝．
故选：B．
3．（4分）已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：从左面看易得是一个矩形，矩形的中间有一条横向的虚线．
故选：A．
4．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，则sin∠ABC＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∴sin∠ABC＝＝，
故选：B．
5．（4分）方程x2﹣4x＝3的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有一个实数根
【解答】解：由方程x2﹣4x＝8得到：x2﹣4x﹣7＝0，
∵Δ＝b2﹣8ac＝（﹣4）2﹣5×1×（﹣3）＝28＞2，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
6．（4分）如图，D是△ABC边AB上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E．已知AD：DB＝2：3△ADE：S△ABC＝（ ）
A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．4：25
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD：DB＝2：3，
∴AD：AB＝4：5，
∴S△ADE：S△ABC＝4：25．
故选：D．
7．（4分）将抛物线向上平移2个单位长度，得到新抛物线的解析式是（ ）
A．y＝（x﹣4）2+7 B．y＝（x﹣2）2+5
C．y＝（x﹣6）2+5 D．y＝（x﹣4）2+3
【解答】解：将抛物线向上平移5个单位长度+7（x﹣3）2+7．
故选：A．
8．（4分）“皮影戏”是我国一种历史悠久的民间艺术，下列关于它的说法正确的是（ ）
A．皮影戏的原理是利用平行投影将剪影投射到屏幕上
B．屏幕上人物的身高与相应人物剪影的身高相同
C．屏幕上影像的周长与相应剪影的周长之比等于对应点到光源的距离之比
D．表演时，也可以利用阳光把剪影投射到屏幕上
【解答】解：A．“皮影戏”是根据中心投影将剪影投射到屏幕上；
B．由中心投影的性质可知幕上人物的身高与相应人物剪影的身高成比例；
C．由中心投影的性质可知屏幕上影像的周长与相应剪影的周长之比等于相似比，因此选项C符合题意；
D．表演时，因此选项D不符合题意；
故选：C．
9．（4分）某商场将进货价为20元的玩具以30元售出，平均每天可售出300件，调查发现，平均每天就少售出10件．若商场要想平均每天获得3750元利润，则每件玩具应涨价多少元？设每件玩具应涨价x元（ ）
A．涨价后每件玩具的售价是（30+x）元
B．涨价后平均每天少售出玩具的数量是10x件
C．涨价后平均每天销售玩具的数量是（300﹣10x）件
D．根据题意可列方程为：（30+x）（300﹣10x）＝3750
【解答】解：设涨价x元，根据题意可得：
A、∵（30+x）表示涨价后玩具的单价，不符合题意；
B、∵10x表示涨价后少售出玩具的数量，不符合题意；
C、∵（300﹣10x）表示涨价后销售玩具的数量，不符合题意；
D、∵可列方程（30+x﹣20）（300﹣10x）＝3750，符合题意，
故选：D．
10．（4分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）经过点A（﹣1，0）和点B（0，3），记m＝a+b+c，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜1 B．0＜m＜3 C．0＜m＜6 D．3＜m＜6
【解答】解：将A（﹣1，0）和点B（22+bx+c得：
，
解得：，
∴m＝a+b+c＝a+（a+2）+3＝2a+3，抛物线y＝ax2+（a+3）x+6，
∵抛物线的顶点在第一象限，
∴＞6①且，
由②得＞0，
∵（a﹣3）7≥0，
∴4a＜5，即a＜0，
由a＜0，＞0可得a+4＞0，
∴a＞﹣3，
∴a的范围是﹣5＜a＜0，
∴0＜7a+6＜6，即7＜m＜6，
故选：C．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，则CE＝ 5 ．
【解答】解：由直角三角形的性质，得
CE＝AB＝8，
故答案为：5．
12．（4分）方程x（x﹣5）＝0的根是 x1＝0，x2＝5 ．
【解答】解：x（x﹣5）＝0，
x＝8，x﹣5＝0，
解得：x4＝0，x2＝6，
故答案为：x1＝0，x5＝5．
13．（4分）如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝6（m）（m），在同一时刻阳光下DE的影长EF＝4（m），则DE的长为 8 米．
【解答】解：DE在阳光下的投影是EF如图所示；
∵△ABC∽△DEF，AB＝6m，EF＝4m，
∴，
∴
∴DE＝8，
∴DE＝8（m）．
故答案是：8．
14．（4分）一个盒子中有5个红球和若干个白球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，共摸了100次球，发现有25次摸到红球 15 个．
【解答】解：设盒子中白球大约有x个，
根据题意，得：，
解得x＝15，
经检验x＝15是分式方程的解，
所以估计盒子中白球大约有15个，
故答案为：15．
15．（4分）如图，已知矩形OABC与矩形FEDO是位似图形，P是位似中心（0，6），点E的坐标为（2，3），则点B的坐标为 （﹣4，6） ．
【解答】解：∵点A的坐标为（0，6），2），
∴OD＝3，AD＝3，
∵矩形OABC与矩形FEDO是位似图形，P是位似中心，
∴DE∥OP，OD∥BC，
∵AD＝DO，
∴OP＝AB＝OC，
∵DE∥OP，
∴△ADE∽△AOP，
∴＝，即＝，
解得，OP＝7，
∵OD∥BC，
∴△POD∽△PCB，
∴＝，即＝，
解得，BC＝6，
∴点B的坐标为（﹣4，2），
故答案为：（﹣4，6）．
16．（4分）如图，四边形OABC是矩形，对角线OB在y轴正半轴上的图象上，点C在反比例函数y＝，且点A在第一象限．过点A、C分别作x轴的垂线段，垂足分别为点E、F1k2＝﹣1，②＝||，③阴影部分面积是1+k2），④若四边形OABC是正方形，则k1+k2＝0，正确的是 ②④ ．（填序号）
【解答】解：∵四边形OABC是矩形，
∴△OCB≌△BAO，
∵CF⊥x轴，AE⊥x轴，
∴∠CFO＝∠AEO＝90°，OF和OE分别对应△OCB和△BAC的高，
∴OE＝OF，
∵点A、C分别在反比例函数y＝的图象上，
∴OE•AE＝|k8|，OF•CF＝|k2|，
∴||＝＝；
∴|k1k2|＝OE•AE•OF•CF＝OE8•AE•CF，
∵OE，AE，
∴k1k2的大小也不确定，故①不符合题意；
由图象可知，k8＞0，k2＜8，
∴S阴影＝S△CFO+S△OEA＝（k4﹣k2），故③不符合题意；
若四边形OABC是正方形，则OC＝OA，
∵∠FCO+∠COF＝90°，∠COF+∠AOE＝90°，
∴∠AOE＝∠FCO，
又∵∠CFO＝∠AEO，OC＝OA，
∴△CFO≌△OEA（AAS），
∴CF＝OE＝OF＝AE，
∵OE•AE＝|k1|，OF•CF＝|k8|，
∴|k1|＝|k2|，
∵k8＞0，k2＜5，
∴k1＝﹣k2，
∴k6+k2＝0，故④符合题意；
故答案为：②④．
三、解答题：本题共9小题，共86分．
17．（8分）解方程：x2﹣2x﹣1＝0．
【解答】解：解法一：∵a＝1，b＝﹣2
∴b3﹣4ac＝4﹣3×1×（﹣1）＝3＞0
∴
∴，；
解法二：∵x2﹣7x﹣1＝0，
则x2﹣2x+1＝5
∴（x﹣1）2＝5，
开方得：，
∴，．
18．（8分）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的点，垂足为F．求证：△ABC∽△ECD．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BCD＝90°．
∴∠ACB+∠ACD＝90°．
又∵AC⊥DE，
∴∠CDE+∠ACD＝90°．
∴∠ACB＝∠CDE．
∴△ABC∽△ECD．
19．（8分）高尔夫球运动员将一个小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度y（m）（s）之间关系的部分数据如下表：
x（s）
…
0.5
1
1.5
2
…
y（m）
…
8.75
15
18.75
20
…
（1）根据表格信息，下列三个函数关系式：①y＝x+x，③y＝﹣5x2+20x中，刻画y与x的关系最准确的是 ③ ．（填序号）
（2）请利用（1）中选取的函数关系式分析，经过多少秒小球落回地面？
【解答】解：（1）根据表格信息，刻画y与x的关系最准确的是③，
故答案为：③；
（2）根据题意得，﹣5x2+20x＝3，
解得：x1＝4，x7＝0（不合题意，舍去），
答：经过4秒小球落回地面．
20．（8分）某商场在元旦期间举行“大酬宾”活动，在商场消费满168元的顾客有一次抽奖机会，抽奖规则为：
方案一：投掷一枚骰子，将所得的点数作为一个获奖号码，再由获奖号码对应圆盘上的数字得到相应奖品；
方案二：投掷两枚骰子，将所得的点数之和作为一个获奖号码，再由获奖号码对应圆盘上的数字得到相应奖品；
（1）利用表格写出方案二中投掷两枚骰子所有可能出现的结果；
（2）利用概率知识作出判断：选择哪一种方案更合算，请说明理由．
【解答】解：（1）根据题意列表如下：
（2）选择方案二更合算．
理由如下：选择方案一：掷一枚骰子，一共有6种等可能的结果，即点数为5时；
选择方案二：掷两枚骰子，由表格可知，其中有9种结果获得奖品，和为6的4种，所以＝．
∵＞，
∴选择方案二更合算．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边BC在x轴上（2，4），点M是AB的中点，反比例函数y＝，交CD于点N．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若反比例函数图象上的一个动点P（m，n）在正方形ABCD的内部（含边界），求△POC面积的最小值．
【解答】解：（1）∵点A坐标为（2，4），
∴OB＝6，AB＝4，
∵M是AB的中点，
∴点M的坐标是（2，8），
把点M（2，2）代入y＝，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）∵四边形ABCD是正方形，点A的坐标是（2，
∴点C的坐标是（6，6），
当x＝6时，y＝＝＝；
∴点N的坐标是（6，），
∵反比例函数y＝图象上的动点P（m，
∴n随m的增大而减少，且2≤m≤6，
∴当m＝6时，n有最小值，
∴△POC面积的最小值为×6×．
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6
（1）尺规作图：作菱形AECF，使点E，F分别落在BC；（保留作图痕迹，不写作法，不必证明）
（2）求菱形AECF的周长．
【解答】解：（1）作图如图所示：
∴菱形AECF就是所求作的图形．
（2）由（1）得四边形AECF是菱形，
∴AE＝CE，
设AE＝CE＝x，则BE＝8﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
在Rt△ABE中，AB2+BE6＝AE2，
即67+（8﹣x）2＝x3，
解得 x＝
∴菱形AECF的周长＝4×＝25．
23．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，BC＝CD．
（1）若BD＝13，AB＝10，求cos∠CBD的值；
（2）设△ABD的面积为S1，△BCD的面积为S2，求证：＝4cos2∠CBD．
【解答】解：（1）过点D作DE⊥AB于E，
∵∠AED＝∠ABC＝90°，
∴DE∥BC，
∴∠CBD＝∠BDE，
∵BD＝AD，DE⊥AB，
∴BE＝AE＝5，
在Rt△BED中，DE＝＝，
∴cos∠CBD＝cos∠BDE＝＝．
（2）过点C作CF⊥BD于点F，则∠BFC＝∠BED＝90°，
由（1）得∠CBD＝∠BDE，
∴△DEB∽△BFC，
∴＝＝（）2＝4×（）2＝4×（）6，
由（1）得cos∠BDE＝，
∴＝8cos2∠CED．
24．（13分）如图，在正方形ABCD中，点E是AD边上的一个动点，以BE为斜边在正方形ABCD内部构造等腰直角三角形BEF，连接CF．
（1）求证：∠DEF+∠CBF＝90°；
（2）若AB＝3，△BCF的面积为，求△BEF的面积；
（3）求证：DE＝CF．
【解答】证明：（1）过点F作MN⊥AD于点M，交BC于点N，
∴∠MEF+∠EFM＝90°，
∵∠EFB＝90°，
∴∠BFN+∠EFM＝90°，
∴∠MEF＝∠BFN，
在正方形ABCD中，AD∥BC．
∴MN⊥BC，
∴∠FBN+∠BFN＝90°，
∴∠FBN+∠MEF＝90°，
即∠DEF+∠CBF＝90°；
证法二：在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DEB+∠CBE＝180°，
即∠DEF+∠BEF+∠EBF+∠CBF＝180°，
∵∠EFB＝90°，
∴∠BEF+∠EBF＝90°，
∴∠DEF+∠CBF＝90°；
（2）由（1）得MN⊥AD，
∴正方形ABCD的性质得四边形MNCD是矩形，
∴MN＝CD＝AB＝3，
在△BFN与△FEM中，
由（1）得∠MEF＝∠BFN，∠EMF＝∠FNB＝90°，
∵△BEF为等腰直角三角形，
∴BF＝EF，
在△BFN与△FEM中，
，
∴△BFN≌△FEM（AAS），
∵BC＝AB＝3，
∴S△BCF＝，
∴FN＝6．
∴BN＝FM＝MN﹣FN＝2，
在Rt△BFN中，
EF＝＝＝，
∴BF2＝＝；
（3）在△BFN与△FEM中
由（2）△BFN≌△FEM，MD＝NC，
∴BN＝FM，EM＝FN，
∵MN＝AB＝BC，
∴FM+FN＝BN+NC，
∴FN＝NC＝MD＝EM，
∴∠FCN＝45°，DE＝7MD＝2CN，
在Rt△FNC中，CN＝，
∴DE＝2×＝．
25．（13分）已知抛物线y＝（x﹣n）（x+n）+c经过坐标原点O．
（1）请用含n的代数式表示c；
（2）若直线y＝kx+2与抛物线交于B、C两点，连接OB，OC．设直线OB为y＝k1x，直线OC为y＝k2x．
①当B，C两点关于抛物线的对称轴对称时，求k1•k2的值；
②求证：无论k为何值时，k1•k2的值不变．
【解答】解：（1）∵y＝（x﹣n）（x+n）+c经过坐标原点O，
∴4＝（3﹣n）（0+n）+c，
整理得c＝n2，
（2）①由（1）知抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为y轴，
设B（x1，kx1+7），点C（x2，kx2+4），
∵B，C两点关于y轴对称轴，
∴x1＝﹣x2，kx7+2＝kx2+7，
∴k＝0，
∴直线BC和x轴平行，
∴，
解得x＝﹣或x＝，
∴B（﹣2，7），2），
∴直线OB的解析式为y＝﹣x，直线OC的解析式为y＝x，
∴，，
∴，
②证明：联立抛物线和直线BC得：，
得：x2﹣4kx﹣4＝0，
∴x1+x6＝4k，x1x5＝﹣8，
∵点B在直线OB上，
∴kx1+8＝k1x1，即k6＝，
∵点C在直线OC上，
∴kx2+2＝k3x2，即k2＝，
∴k6k2＝•＝＝，
∴无论k为何值时，k1•k2的值不变．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/12/10 15:02:07；用户：初中数学3；邮箱：jse034@xyh.com；学号：39024124
2020-2021学年福建省宁德市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）tan45°的值等于（ ）
A． B． C． D．1
2．（4分）已知＝，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，则sin∠ABC＝（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）方程x2﹣4x＝3的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有一个实数根
6．（4分）如图，D是△ABC边AB上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E．已知AD：DB＝2：3△ADE：S△ABC＝（ ）
A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．4：25
7．（4分）将抛物线向上平移2个单位长度，得到新抛物线的解析式是（ ）
A．y＝（x﹣4）2+7 B．y＝（x﹣2）2+5
C．y＝（x﹣6）2+5 D．y＝（x﹣4）2+3
8．（4分）“皮影戏”是我国一种历史悠久的民间艺术，下列关于它的说法正确的是（ ）
A．皮影戏的原理是利用平行投影将剪影投射到屏幕上
B．屏幕上人物的身高与相应人物剪影的身高相同
C．屏幕上影像的周长与相应剪影的周长之比等于对应点到光源的距离之比
D．表演时，也可以利用阳光把剪影投射到屏幕上
9．（4分）某商场将进货价为20元的玩具以30元售出，平均每天可售出300件，调查发现，平均每天就少售出10件．若商场要想平均每天获得3750元利润，则每件玩具应涨价多少元？设每件玩具应涨价x元（ ）
A．涨价后每件玩具的售价是（30+x）元
B．涨价后平均每天少售出玩具的数量是10x件
C．涨价后平均每天销售玩具的数量是（300﹣10x）件
D．根据题意可列方程为：（30+x）（300﹣10x）＝3750
10．（4分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）经过点A（﹣1，0）和点B（0，3），记m＝a+b+c，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜1 B．0＜m＜3 C．0＜m＜6 D．3＜m＜6
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，则CE＝ ．
12．（4分）方程x（x﹣5）＝0的根是 ．
13．（4分）如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝6（m）（m），在同一时刻阳光下DE的影长EF＝4（m），则DE的长为 米．
14．（4分）一个盒子中有5个红球和若干个白球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，共摸了100次球，发现有25次摸到红球 个．
15．（4分）如图，已知矩形OABC与矩形FEDO是位似图形，P是位似中心（0，6），点E的坐标为（2，3），则点B的坐标为 ．
16．（4分）如图，四边形OABC是矩形，对角线OB在y轴正半轴上的图象上，点C在反比例函数y＝，且点A在第一象限．过点A、C分别作x轴的垂线段，垂足分别为点E、F1k2＝﹣1，②＝||，③阴影部分面积是1+k2），④若四边形OABC是正方形，则k1+k2＝0，正确的是 ．（填序号）
三、解答题：本题共9小题，共86分．
17．（8分）解方程：x2﹣2x﹣1＝0．
18．（8分）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的点，垂足为F．求证：△ABC∽△ECD．
19．（8分）高尔夫球运动员将一个小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度y（m）（s）之间关系的部分数据如下表：
x（s）
…
0.5
1
1.5
2
…
y（m）
…
8.75
15
18.75
20
…
（1）根据表格信息，下列三个函数关系式：①y＝x+x，③y＝﹣5x2+20x中，刻画y与x的关系最准确的是 ．（填序号）
（2）请利用（1）中选取的函数关系式分析，经过多少秒小球落回地面？
20．（8分）某商场在元旦期间举行“大酬宾”活动，在商场消费满168元的顾客有一次抽奖机会，抽奖规则为：
方案一：投掷一枚骰子，将所得的点数作为一个获奖号码，再由获奖号码对应圆盘上的数字得到相应奖品；
方案二：投掷两枚骰子，将所得的点数之和作为一个获奖号码，再由获奖号码对应圆盘上的数字得到相应奖品；
（1）利用表格写出方案二中投掷两枚骰子所有可能出现的结果；
（2）利用概率知识作出判断：选择哪一种方案更合算，请说明理由．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边BC在x轴上（2，4），点M是AB的中点，反比例函数y＝，交CD于点N．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若反比例函数图象上的一个动点P（m，n）在正方形ABCD的内部（含边界），求△POC面积的最小值．
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6
（1）尺规作图：作菱形AECF，使点E，F分别落在BC；（保留作图痕迹，不写作法，不必证明）
（2）求菱形AECF的周长．
23．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，BC＝CD．
（1）若BD＝13，AB＝10，求cos∠CBD的值；
（2）设△ABD的面积为S1，△BCD的面积为S2，求证：＝4cos2∠CBD．
24．（13分）如图，在正方形ABCD中，点E是AD边上的一个动点，以BE为斜边在正方形ABCD内部构造等腰直角三角形BEF，连接CF．
（1）求证：∠DEF+∠CBF＝90°；
（2）若AB＝3，△BCF的面积为，求△BEF的面积；
（3）求证：DE＝CF．
25．（13分）已知抛物线y＝（x﹣n）（x+n）+c经过坐标原点O．
（1）请用含n的代数式表示c；
（2）若直线y＝kx+2与抛物线交于B、C两点，连接OB，OC．设直线OB为y＝k1x，直线OC为y＝k2x．
①当B，C两点关于抛物线的对称轴对称时，求k1•k2的值；
②求证：无论k为何值时，k1•k2的值不变．
2020-2021学年福建省宁德市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）tan45°的值等于（ ）
A． B． C． D．1
【解答】解：tan45°＝1．
故选：D．
2．（4分）已知＝，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由＝得到：a＝b，则
＝＝．
故选：B．
3．（4分）已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：从左面看易得是一个矩形，矩形的中间有一条横向的虚线．
故选：A．
4．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，则sin∠ABC＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∴sin∠ABC＝＝，
故选：B．
5．（4分）方程x2﹣4x＝3的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有一个实数根
【解答】解：由方程x2﹣4x＝8得到：x2﹣4x﹣7＝0，
∵Δ＝b2﹣8ac＝（﹣4）2﹣5×1×（﹣3）＝28＞2，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
6．（4分）如图，D是△ABC边AB上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E．已知AD：DB＝2：3△ADE：S△ABC＝（ ）
A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．4：25
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD：DB＝2：3，
∴AD：AB＝4：5，
∴S△ADE：S△ABC＝4：25．
故选：D．
7．（4分）将抛物线向上平移2个单位长度，得到新抛物线的解析式是（ ）
A．y＝（x﹣4）2+7 B．y＝（x﹣2）2+5
C．y＝（x﹣6）2+5 D．y＝（x﹣4）2+3
【解答】解：将抛物线向上平移5个单位长度+7（x﹣3）2+7．
故选：A．
8．（4分）“皮影戏”是我国一种历史悠久的民间艺术，下列关于它的说法正确的是（ ）
A．皮影戏的原理是利用平行投影将剪影投射到屏幕上
B．屏幕上人物的身高与相应人物剪影的身高相同
C．屏幕上影像的周长与相应剪影的周长之比等于对应点到光源的距离之比
D．表演时，也可以利用阳光把剪影投射到屏幕上
【解答】解：A．“皮影戏”是根据中心投影将剪影投射到屏幕上；
B．由中心投影的性质可知幕上人物的身高与相应人物剪影的身高成比例；
C．由中心投影的性质可知屏幕上影像的周长与相应剪影的周长之比等于相似比，因此选项C符合题意；
D．表演时，因此选项D不符合题意；
故选：C．
9．（4分）某商场将进货价为20元的玩具以30元售出，平均每天可售出300件，调查发现，平均每天就少售出10件．若商场要想平均每天获得3750元利润，则每件玩具应涨价多少元？设每件玩具应涨价x元（ ）
A．涨价后每件玩具的售价是（30+x）元
B．涨价后平均每天少售出玩具的数量是10x件
C．涨价后平均每天销售玩具的数量是（300﹣10x）件
D．根据题意可列方程为：（30+x）（300﹣10x）＝3750
【解答】解：设涨价x元，根据题意可得：
A、∵（30+x）表示涨价后玩具的单价，不符合题意；
B、∵10x表示涨价后少售出玩具的数量，不符合题意；
C、∵（300﹣10x）表示涨价后销售玩具的数量，不符合题意；
D、∵可列方程（30+x﹣20）（300﹣10x）＝3750，符合题意，
故选：D．
10．（4分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）经过点A（﹣1，0）和点B（0，3），记m＝a+b+c，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜1 B．0＜m＜3 C．0＜m＜6 D．3＜m＜6
【解答】解：将A（﹣1，0）和点B（22+bx+c得：
，
解得：，
∴m＝a+b+c＝a+（a+2）+3＝2a+3，抛物线y＝ax2+（a+3）x+6，
∵抛物线的顶点在第一象限，
∴＞6①且，
由②得＞0，
∵（a﹣3）7≥0，
∴4a＜5，即a＜0，
由a＜0，＞0可得a+4＞0，
∴a＞﹣3，
∴a的范围是﹣5＜a＜0，
∴0＜7a+6＜6，即7＜m＜6，
故选：C．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，则CE＝ 5 ．
【解答】解：由直角三角形的性质，得
CE＝AB＝8，
故答案为：5．
12．（4分）方程x（x﹣5）＝0的根是 x1＝0，x2＝5 ．
【解答】解：x（x﹣5）＝0，
x＝8，x﹣5＝0，
解得：x4＝0，x2＝6，
故答案为：x1＝0，x5＝5．
13．（4分）如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝6（m）（m），在同一时刻阳光下DE的影长EF＝4（m），则DE的长为 8 米．
【解答】解：DE在阳光下的投影是EF如图所示；
∵△ABC∽△DEF，AB＝6m，EF＝4m，
∴，
∴
∴DE＝8，
∴DE＝8（m）．
故答案是：8．
14．（4分）一个盒子中有5个红球和若干个白球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，共摸了100次球，发现有25次摸到红球 15 个．
【解答】解：设盒子中白球大约有x个，
根据题意，得：，
解得x＝15，
经检验x＝15是分式方程的解，
所以估计盒子中白球大约有15个，
故答案为：15．
15．（4分）如图，已知矩形OABC与矩形FEDO是位似图形，P是位似中心（0，6），点E的坐标为（2，3），则点B的坐标为 （﹣4，6） ．
【解答】解：∵点A的坐标为（0，6），2），
∴OD＝3，AD＝3，
∵矩形OABC与矩形FEDO是位似图形，P是位似中心，
∴DE∥OP，OD∥BC，
∵AD＝DO，
∴OP＝AB＝OC，
∵DE∥OP，
∴△ADE∽△AOP，
∴＝，即＝，
解得，OP＝7，
∵OD∥BC，
∴△POD∽△PCB，
∴＝，即＝，
解得，BC＝6，
∴点B的坐标为（﹣4，2），
故答案为：（﹣4，6）．
16．（4分）如图，四边形OABC是矩形，对角线OB在y轴正半轴上的图象上，点C在反比例函数y＝，且点A在第一象限．过点A、C分别作x轴的垂线段，垂足分别为点E、F1k2＝﹣1，②＝||，③阴影部分面积是1+k2），④若四边形OABC是正方形，则k1+k2＝0，正确的是 ②④ ．（填序号）
【解答】解：∵四边形OABC是矩形，
∴△OCB≌△BAO，
∵CF⊥x轴，AE⊥x轴，
∴∠CFO＝∠AEO＝90°，OF和OE分别对应△OCB和△BAC的高，
∴OE＝OF，
∵点A、C分别在反比例函数y＝的图象上，
∴OE•AE＝|k8|，OF•CF＝|k2|，
∴||＝＝；
∴|k1k2|＝OE•AE•OF•CF＝OE8•AE•CF，
∵OE，AE，
∴k1k2的大小也不确定，故①不符合题意；
由图象可知，k8＞0，k2＜8，
∴S阴影＝S△CFO+S△OEA＝（k4﹣k2），故③不符合题意；
若四边形OABC是正方形，则OC＝OA，
∵∠FCO+∠COF＝90°，∠COF+∠AOE＝90°，
∴∠AOE＝∠FCO，
又∵∠CFO＝∠AEO，OC＝OA，
∴△CFO≌△OEA（AAS），
∴CF＝OE＝OF＝AE，
∵OE•AE＝|k1|，OF•CF＝|k8|，
∴|k1|＝|k2|，
∵k8＞0，k2＜5，
∴k1＝﹣k2，
∴k6+k2＝0，故④符合题意；
故答案为：②④．
三、解答题：本题共9小题，共86分．
17．（8分）解方程：x2﹣2x﹣1＝0．
【解答】解：解法一：∵a＝1，b＝﹣2
∴b3﹣4ac＝4﹣3×1×（﹣1）＝3＞0
∴
∴，；
解法二：∵x2﹣7x﹣1＝0，
则x2﹣2x+1＝5
∴（x﹣1）2＝5，
开方得：，
∴，．
18．（8分）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的点，垂足为F．求证：△ABC∽△ECD．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BCD＝90°．
∴∠ACB+∠ACD＝90°．
又∵AC⊥DE，
∴∠CDE+∠ACD＝90°．
∴∠ACB＝∠CDE．
∴△ABC∽△ECD．
19．（8分）高尔夫球运动员将一个小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度y（m）（s）之间关系的部分数据如下表：
x（s）
…
0.5
1
1.5
2
…
y（m）
…
8.75
15
18.75
20
…
（1）根据表格信息，下列三个函数关系式：①y＝x+x，③y＝﹣5x2+20x中，刻画y与x的关系最准确的是 ③ ．（填序号）
（2）请利用（1）中选取的函数关系式分析，经过多少秒小球落回地面？
【解答】解：（1）根据表格信息，刻画y与x的关系最准确的是③，
故答案为：③；
（2）根据题意得，﹣5x2+20x＝3，
解得：x1＝4，x7＝0（不合题意，舍去），
答：经过4秒小球落回地面．
20．（8分）某商场在元旦期间举行“大酬宾”活动，在商场消费满168元的顾客有一次抽奖机会，抽奖规则为：
方案一：投掷一枚骰子，将所得的点数作为一个获奖号码，再由获奖号码对应圆盘上的数字得到相应奖品；
方案二：投掷两枚骰子，将所得的点数之和作为一个获奖号码，再由获奖号码对应圆盘上的数字得到相应奖品；
（1）利用表格写出方案二中投掷两枚骰子所有可能出现的结果；
（2）利用概率知识作出判断：选择哪一种方案更合算，请说明理由．
【解答】解：（1）根据题意列表如下：
（2）选择方案二更合算．
理由如下：选择方案一：掷一枚骰子，一共有6种等可能的结果，即点数为5时；
选择方案二：掷两枚骰子，由表格可知，其中有9种结果获得奖品，和为6的4种，所以＝．
∵＞，
∴选择方案二更合算．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边BC在x轴上（2，4），点M是AB的中点，反比例函数y＝，交CD于点N．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若反比例函数图象上的一个动点P（m，n）在正方形ABCD的内部（含边界），求△POC面积的最小值．
【解答】解：（1）∵点A坐标为（2，4），
∴OB＝6，AB＝4，
∵M是AB的中点，
∴点M的坐标是（2，8），
把点M（2，2）代入y＝，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）∵四边形ABCD是正方形，点A的坐标是（2，
∴点C的坐标是（6，6），
当x＝6时，y＝＝＝；
∴点N的坐标是（6，），
∵反比例函数y＝图象上的动点P（m，
∴n随m的增大而减少，且2≤m≤6，
∴当m＝6时，n有最小值，
∴△POC面积的最小值为×6×．
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6
（1）尺规作图：作菱形AECF，使点E，F分别落在BC；（保留作图痕迹，不写作法，不必证明）
（2）求菱形AECF的周长．
【解答】解：（1）作图如图所示：
∴菱形AECF就是所求作的图形．
（2）由（1）得四边形AECF是菱形，
∴AE＝CE，
设AE＝CE＝x，则BE＝8﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
在Rt△ABE中，AB2+BE6＝AE2，
即67+（8﹣x）2＝x3，
解得 x＝
∴菱形AECF的周长＝4×＝25．
23．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，BC＝CD．
（1）若BD＝13，AB＝10，求cos∠CBD的值；
（2）设△ABD的面积为S1，△BCD的面积为S2，求证：＝4cos2∠CBD．
【解答】解：（1）过点D作DE⊥AB于E，
∵∠AED＝∠ABC＝90°，
∴DE∥BC，
∴∠CBD＝∠BDE，
∵BD＝AD，DE⊥AB，
∴BE＝AE＝5，
在Rt△BED中，DE＝＝，
∴cos∠CBD＝cos∠BDE＝＝．
（2）过点C作CF⊥BD于点F，则∠BFC＝∠BED＝90°，
由（1）得∠CBD＝∠BDE，
∴△DEB∽△BFC，
∴＝＝（）2＝4×（）2＝4×（）6，
由（1）得cos∠BDE＝，
∴＝8cos2∠CED．
24．（13分）如图，在正方形ABCD中，点E是AD边上的一个动点，以BE为斜边在正方形ABCD内部构造等腰直角三角形BEF，连接CF．
（1）求证：∠DEF+∠CBF＝90°；
（2）若AB＝3，△BCF的面积为，求△BEF的面积；
（3）求证：DE＝CF．
【解答】证明：（1）过点F作MN⊥AD于点M，交BC于点N，
∴∠MEF+∠EFM＝90°，
∵∠EFB＝90°，
∴∠BFN+∠EFM＝90°，
∴∠MEF＝∠BFN，
在正方形ABCD中，AD∥BC．
∴MN⊥BC，
∴∠FBN+∠BFN＝90°，
∴∠FBN+∠MEF＝90°，
即∠DEF+∠CBF＝90°；
证法二：在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DEB+∠CBE＝180°，
即∠DEF+∠BEF+∠EBF+∠CBF＝180°，
∵∠EFB＝90°，
∴∠BEF+∠EBF＝90°，
∴∠DEF+∠CBF＝90°；
（2）由（1）得MN⊥AD，
∴正方形ABCD的性质得四边形MNCD是矩形，
∴MN＝CD＝AB＝3，
在△BFN与△FEM中，
由（1）得∠MEF＝∠BFN，∠EMF＝∠FNB＝90°，
∵△BEF为等腰直角三角形，
∴BF＝EF，
在△BFN与△FEM中，
，
∴△BFN≌△FEM（AAS），
∵BC＝AB＝3，
∴S△BCF＝，
∴FN＝6．
∴BN＝FM＝MN﹣FN＝2，
在Rt△BFN中，
EF＝＝＝，
∴BF2＝＝；
（3）在△BFN与△FEM中
由（2）△BFN≌△FEM，MD＝NC，
∴BN＝FM，EM＝FN，
∵MN＝AB＝BC，
∴FM+FN＝BN+NC，
∴FN＝NC＝MD＝EM，
∴∠FCN＝45°，DE＝7MD＝2CN，
在Rt△FNC中，CN＝，
∴DE＝2×＝．
25．（13分）已知抛物线y＝（x﹣n）（x+n）+c经过坐标原点O．
（1）请用含n的代数式表示c；
（2）若直线y＝kx+2与抛物线交于B、C两点，连接OB，OC．设直线OB为y＝k1x，直线OC为y＝k2x．
①当B，C两点关于抛物线的对称轴对称时，求k1•k2的值；
②求证：无论k为何值时，k1•k2的值不变．
【解答】解：（1）∵y＝（x﹣n）（x+n）+c经过坐标原点O，
∴4＝（3﹣n）（0+n）+c，
整理得c＝n2，
（2）①由（1）知抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为y轴，
设B（x1，kx1+7），点C（x2，kx2+4），
∵B，C两点关于y轴对称轴，
∴x1＝﹣x2，kx7+2＝kx2+7，
∴k＝0，
∴直线BC和x轴平行，
∴，
解得x＝﹣或x＝，
∴B（﹣2，7），2），
∴直线OB的解析式为y＝﹣x，直线OC的解析式为y＝x，
∴，，
∴，
②证明：联立抛物线和直线BC得：，
得：x2﹣4kx﹣4＝0，
∴x1+x6＝4k，x1x5＝﹣8，
∵点B在直线OB上，
∴kx1+8＝k1x1，即k6＝，
∵点C在直线OC上，
∴kx2+2＝k3x2，即k2＝，
∴k6k2＝•＝＝，
∴无论k为何值时，k1•k2的值不变．
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日期：2021/12/10 15:02:07；用户：初中数学3；邮箱：jse034@xyh.com；学号：39024124
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