2021届山东省济宁市高三下学期5月第二次模拟考试数学试题

济宁市2021届高三下学期5月第二次模拟考试

数学试题

2021.5   

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号等填写在答题卡和试卷指定位置上．

2．回答选择题时．选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集，集合，，则（    ）．

A．   B．   C．   D．

2．已知，为虚数单位，则（    ）．

A．    B．1    C．2    D．

3．“直线垂直平面内的无数条直线”是“”的（    ）．

A．充分不必要条件      B．必要不充分条件

C．充分必要条件       D．既不充分也不必安条件

4．已知随机变量服从正态分布，若，则（    ）．

A．    B．    C．    D．

5．已知椭圆，过点的直线交椭圆于、两点，若为的中点，则直线的方程为（    ）．

A．      B．

C．      D．

6．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点和点．若点在的角平分线上，且，则（    ）．

A．    B．    C．2    D．6

7．已知函数，若，则的最小值是（    ）．

A．    B．    C．    D．

8，“曼哈顿距离”是由赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语．例如在平面直角坐标系中，点，的曼哈顿距离为：．若点，点为圆上一动点，则的最大值为（    ）．

A．    B．   C．   D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

9．已知，，下列不等式恒成立的有（    ）．

A．      B．

C．     D．

10．函数，则下列说法正确的是（    ）．

A．若，则

B．函数在上为增函数

C．函数的图象关于点对称

D．函数的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到

11．已知是定义在上的偶函数，，且当时，，则下列说法正确的是（    ）．

A．是以4为周期的周期函数

B．

C．函数的图象与函数的图象有且仅有3个交点

D．当时，

12．如图，直四棱柱中，底面为平行四边形，， ，点是半圆弧上的动点（不包括端点），点是半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法止确的是（    ）．

A．四面体的体积是定值

B．的取值范围是

C．若与平面所成的角为，则

D．若三棱锥的外接球表面积为，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知的展开式中各项的二项式系数的和为128，则这个展开式中项的系数是______．

14．已知，则______．

15．设双曲线的左、右焦点分别为、，过点的直线分别与双曲线的左、右支交于点、，若以为直径的圆过点，且，则该双曲线的离心率为______．

16．设函数，，若存在，使得成立，则，的最小值为1时，实数______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

在①；②；③；

三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．

问题：已知的内角，，所对应的边分别为，，，若，______．

（1）求的值；

（2）若，求的面积．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18．（12分）

已知数列是正项等比数列，满足是，的等差中项，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

19．（12分）

甲、乙两人进行“抗击新冠疫情”知识竞赛，比赛采取五局三胜制，约定先胜三局者获胜，比赛结束．假设在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立．

（1）求甲获胜的概率；

（2）设比赛结束时甲和乙共进行了局比赛，求随机变景的分布列及数学期望．

20．（12分）

如图，四边形是矩形，平面平面，为中点，，，．

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

21．（12分）

己知抛物线，过点作两条互相垂直的直线和，交抛物线于，两点，交抛物线于、两点，当点的横坐标为1时，抛物线在点处的切线斜率为．

（1）求抛物线的标准方程；

（2）已知为坐标原点，线段的中点为，线段的中点为，求面积的最小值．

22．（12分）

已知函数，，．

（1）当时，判断函数在定义域内的单调性；

（2）若恒成立，求实数的取值范围．

2021年高考模拟考试

数学试题参考答案及评分标准

2021.5  

说明：（1）此评分标准仅供参考；

（2）学生解法若与此评分标准中的解法不同，请酌情给分．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1-8：CABDBACD

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

9． AD  10．AC  11．ACD  12．BCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

l3．84  14．  15．   16．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．解：（1）若选①：因为，

所以由正弦定理得，整理得，

所以，

因为，所以．

若选②：因为，所以，

即，

因为，所以．

若选③：因为，所以，

即，

解得或，

因为，所以．

（2）因为，由正弦定理得，

因为，所以，

所以．

18．解：（1）设数列的公比为，

因为是，的等差中项，

所以，即，

因为，所以，解得或，

因为数列是正项等比数列，所以．

因为，即，解得，

所以．

（2）解法一：（分奇偶、并项求和）

由（1）可知，，

所以，，

①若为偶数，

②若为奇数，

当时，，

当时，适合上式，

综上得（或，）．

解法二：（错位相减法）

由（1）可知，，

所以，，

所以

所以

所以，．

19．解：（1）由已知得，比赛三局且甲获胜的概率，

比赛四局且甲获胜的概率为，

比赛五局且甲获胜的概率为，

所以甲获胜的概率为．

（2）随机变量的取值为3，4，5，

则，

，

，

所以随机变量的分布列为

所以．

20．解：（1）因为，为中点，所以，

因为是矩形，所以，

因为平面平面，平面平面，

平面，所以平面，

因为平面，所以，

又，平面，，

所以平面，

又平面，所以平面平面．

（2）由（1）知，平面，

故以点为坐标原点，分别以，的方向为轴、轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，

所以，，，，

由（1）知，为平面的一个法向量，

设平面的法向量为，

则，即，

令，则，，

所以，

所以，

因为二面角为锐角，则二面角的余弦值为．

21．解：（1）因为可化为，所以．

因为当点的横坐标为1时，抛物线在点处的切线斜率为，

所以，所以，

所以，抛物线的标准方程为．

（2）解法一：由（1）知点坐标为，

由题意可知，直线和斜率都存在且均不为0，

设直线方程为，

由联立消去并整理得，，

，

设，，则，，

所以，，

因为为中点，所以，

因为，为中点，所以，

所以，直线的方程为

整理得，

所以，直线恒过定点．

所以面积，

当且仅当即时，面积取得最小值为8．

（2）解法二：由（1）知点坐标为，

由题意可知，直线和斜率都存在且均不为0，

设直线方程为，

由联立消去并整理得，，

，

设，，则，，

所以，，

因为为中点，所以，

因为，为中点，所以，

所以，直线的方程为，

整理得．

所以，点到直线的距离为，

又，

所以面积

．

当且仅当，即时，面积取得最小值为8．

22．解：（1）当时，，

所以，

令，则，

若，则；若，则，

所以函数在上为增函数，在上为减函数，

则，即，仅在时，，

所以，函数在内为减函数．

（2）方法一：因为，，，

若恒成立，即对任意的，恒成立，

即对任意的，恒成立，

令，

所以，

令，则，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以，，

若，即时，，与矛盾，

若，即时，，

令得，为增函数，

令得，为减函数，

则，即对任意恒成立，

所以，若恒成立，则．

方法二：因为，，，

若恒成立，即对任意的，恒成立，

即对任意的，恒成立，

即，

令，则，

所以，当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以，，

若对任意恒成立，

则恒成立．

设，，则，

所以，当时，单调递增，

所以，，

所以，若恒成立，则．