2021滨州高三下学期5月第二次模拟考试数学试题含答案

绝密★启用前

试卷类型：A

滨州市2021届高三下学期5月第二次模拟考试

数学试题

2021.5

本试卷共4页，共22小题，满分150分，考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后将答题卡交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设全集，，，则图中阴影部分所表示的集合为

A.   B.

C.    D.

2.设i为虚数单位，则复数的虚部为

A.   B.   C.   D.

3.在正方体中，M是棱的中点，P是底面ABCD内（包括边界）的一个动点，若平面，则异面直线MP与所成角的取值范围是

A.   B.   C.   D.

4.设曲线（e=2.718…为自然对数的底数）在点处的切线及直线和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，则

A.   B.   C.   D.1

5.已知，分别是双曲线的左、右焦点，点Р是双曲线C上在第一象限内的一点，若，则双曲线C的离心率的取值范围为

A.   B.   C.   D.

6.甲、乙两人做从装有14个玻璃球的盒子中抓取玻璃球的游戏，规定：甲、乙两人轮流抓取，每次至少抓取1个，最多抓取4个，最后一次取完者获胜.若甲先抓取，为确保甲一定获胜，则甲第一次应该抓取的玻璃球个数为

A.1   B.2   C.3   D.4

7.已知，（e=2.718…为自然对数的底数），，则a，b，c的大小关系为

A.   B.

C.   D.

8.2020年是实施脱贫攻坚的最后一年，某地区针对最后深度贫困的A，B，C，D，E五个自然村引入五个脱贫项目（其中林果，茶园，养殖，旅游，农业特色深加工各一个项目）进行对口帮扶，不同的村安排不同的项目，且每个村只安排一个项目.由于自然村条件限制，A，B两个村无法实施农业特色深加工项目，C村无法实施养殖项目，D，E两个村可以实施任何项目，则符合条件的不同安排方式共有

A.48种   B.54种   C.60种   D.72种

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得⒉分，有选错的得0分.

9.为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中（有3道选择题和⒉道填空题），不放回地依次随机抽取⒉道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第⒉次抽到选择题”，则下列结论中正确的是

A.    B.

C.   D.

10.已知一组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，若这组数据丢失了其中的一个，剩下的六个数据分别是2，2，4，2，5，10，则丢失的这个数据可能是

A.-11   B.3   C.9   D.17 

11.函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是

A.的最小正周期为

B.的最大值为2

C.在区间上单调递增

D.为偶函数

12.已知正方形的边长为2，将沿AC翻折到的位置，得到四面体，在翻折过程中，点始终位于所在平面的同一侧，且的最小值为，则下列结论正确的是

A.四面体的外接球的表面积为

B.四面体体积的最大值为

C.点D的运动轨迹的长度为

D.边AD旋转所形成的曲面的面积为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知等比数列的前项和为，，，则公比______________.

14.已知平面向量，，是单位向量，且，则的最大值为______________.

15.某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160cm及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190cm及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k应为1，请给出一个符合该同学想法、合理的成年男子高个子系数k关于身高的函数关系式_____________.

16.最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”.如图，树顶A离地面a米，树上另一点B离地面b米，在离地面米的C处看此树，离此树的水平距离为_____________米时看A，B的视角最大.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

问题：在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知__________.

（1）求角C；

（2若，，内角C的平分线CE交边AB于点E，求CE的长.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.已知各项均为正数的数列的前n项和为，，.

（1）求证；数列是等差数列，并求的通项公式；

（2）若表示不超过的最大整数，如，，求证：.

19.为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲、乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛，规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，首先获得5分者获胜，比赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率都是.

（1）求比赛结束时恰好打了6局的概率；

（2）若甲以3：1的比分领先时，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列及期望.

20.如图，在四棱锥中，O是BD的中点，平面ABCD，，，.

（1）求证：平面平面；

（2）设，若二面角的余弦值为，求的值.

21.已知圆，动圆M过点且与圆C相切.

（1）求动圆圆心M的轨迹E的方程；

（2）假设直线l与轨迹E相交于A，B两点，且在轨迹E上存在一点P，使四边形OAPB为平行四边形，试问平行四边形OAPB的面积是否为定值?若是，求出此定值；若不是，请说明理由.

22.已知函数.

（1）求的极值；

（2当时，若，且，求证：.

高三数学试题参考答案

2021.5

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.D  2.B  3.C  4.B  5.A  6.D  7.C  8.C

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得⒉分，有选错的得0分.

9.ABC  10.ABD  11.BD  12.ACD

三，填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.1或

14.

15.，（只要写出的函数满足在区间上单调递增，且过点和即可.答案不唯一）

16..

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.解：（1）若选条件①：因为，由正弦定理可得

，

所以.

因为，即，所以.

因为，所以.

又因为为锐角三角形，所以.

若选条件②：因为，所以，

即，

所以，

解得.

因为为锐角三角形，所以.

若选条件③：因为，又，所以.

由正弦定理可得，.

因为，所以，

即.

因为为锐角三角形，所以，

则有，所以，所以.

（2）因为，，由正弦定理得.

因为为锐角三角形，

所以，则.

因为CE是角C的平分线，所以，

故，所以，

则为等腰三角形，所以.

故CE的长为.

18.解：（1）因为，

所以当时，.

所以.

又因为，所以.

所以.

所以数列是以为首项，公差为1的等差数列.

所以，所以.

所以当时，.

又因为满足上式，

所以的通项公式为.

另解：

当时，，

当时，，满足上式，

所以的通项公式为.

（2）.

当时，，

故，

当时，，

所以对任意的，都有.

又.

所以.

所以.

19.（12分）

解：（1）比赛结束时恰好打了6局，甲获胜的概率为，

恰好打了6局，乙获胜的概率为，

所以比赛结束时恰好打了6局的概率为.

（2）X的可能取值为2，3，4，5，

，

，

，

.

所以X的分布列如下：

故.

20.解：（1）设，连接.

因为，O为BD的中点，

所以，即O为的中心.

又因为，所以.

由平面ABCD，可得.

又，所以平面PDB，

所以.

因为，，所以，，，，

所以，则.

又，所以平面APC.

因为平面ADP，所以平面平面APC.

（2）以N为坐标原点，NA，NB所在直线分别为x，y轴，过点N且与直线OP平行的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

由（1）得，，，，，.

所以，，.

.

设平面BDM的法向量为，则

即得.令，得.

所以平面BDM的一个法向量为.

由（1）知，平面APC，同理可得平面PDC，所以平面PDC的一个法向量为.

所以，

整理得，解得是或.

当时，二面角的平面角为钝角，不符合题意.

故.

21.解：（1）因为，所以点D在圆内.

又因为圆M过点D且与圆C相切，所以，

所以.

即点M的轨迹是以C，D为焦点的椭圆.

则，即.

又因为，所以.

故动圆圆心M的轨迹E的方程为：.

（2）当直线AB的斜率不存在时，可得直线AB的方程为，此时，所以四边形OAPB的面积.

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，

由整理得，.

因为直线l与轨迹E相交于A，B两点，

所以.

设，，则，.

所以.

设AB的中点为Q，

则Q的坐标为.

因为四边形OAPB为平行四边形，所以，

所以点P的坐标为.

又因为点Р在椭圆上，所以.

整理得，.

又因为，

原点О到直线AB的距离为，

所以平行四边形OAPB的面积.

综上可知，平行四边形OAPB的面积为定值.

22.解：（1）由题意得，.

①当时，恒成立，

所以函数为R上的增函数，没有极值.

②当时，令，得.

当时，，函数在上单调递减；

当时，，函数在上单调递增；

所以当时，函数取得极小值，极小值为，没有极大值.

综上所述，当时，函数没有极值；

当时，的极小值为，没有极大值.

（2）解法1：

首先证明：.设，则.

当时，在区间上是增函数；

当时，，在区间上是减函数；

所以，即，

即.

所以要证，只需证.

不妨设，由（1）知，.

要证，即证.

因为，所以.

又，函数在上单调递减，

故只需证明，

即证.

又，所以只需证明.

令.

则，

当且仅当，即时，等号成立.

所以在上单调递增.

所以.

因为，所以，即，问题得证.

故，

所以.

解法2：

首先证明：.

设，则.

当时，，在区间上是增函数；

当时，，在区间上是减函数；

所以，即，

即

所以要证，只需证.

不妨设，由（1）知，.

令

则，

当且仅当，即时，等号成立.

所以在上单调递增.

所以.

因为，所以，

即.

又，所以.

因为，所以.

又，函数在上单调递减，所以，

即.

所以.