人教版 (新课标)必修28.机械能守恒定律学案设计

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图7－6－15
（1）可使小球绕钉来回摆动；
（2）可使小球绕钉做圆周运动.
分析：小球摆动过程中，只有小球的重力做功.当不考虑细线碰钉时的能量损失时，无论小球绕钉来回摆动，或绕钉做圆周运动，小球的机械能都守恒.
解答：（1）小球绕钉来回摆动时，只能摆到跟开始位置A等高的地方，因此，钉子P的位置范围只能在过A点的水平线与竖直线OO′的交点上方（图7－6－16，即钉子离悬点O′的距离h应满足条件0≤h≤lcsθ.

图7－6－16 图7－6－17
（2）设钉子在位置时刚好使小球能绕钉做圆周运动，圆半径R=O，设小球在最高点C的速度为vC，并规定最低处O为重力势能的零位置（图7－6－17），由A、C两位置时的机械能守恒EA=EC，即
mgl（1－csθ）=mvC2+mg·2R①
又因为刚好能越过C点做圆周运动，此时绳中的张力为零，由重力提供向心力，即
mg=m②
联立①②两式得R=l（1－csθ）
所以钉子离悬点的距离=l－R=l+lcsθ
如果钉子位置从处继续下移，则小球将以更大的速度越过圆周的最高点，此时可由绳子的张力补充在最高点时所需的向心力，仍能绕钉子做圆周运动.所以，在绕钉子做圆周运动时，钉子离悬点的距离应满足条件
l+lcsθ≤＜l.
点拨：由本题的解答可知，位置P是小球能绕钉来回摆动的最低位置；位置P′是小球能绕钉子做圆周运动的最高位置.如钉子在PP′之间，则悬线碰到钉子后，先绕钉子做圆周运动，然后将在某一位置上转化为斜抛运动.
【例16】如图7－6－18所示是一同学荡秋千的示意图.人最初直立静止地站在B点，绳与竖直方向成θ角.人的重心到悬点O的距离为L1，从B点向最低点A摆动的过程中，人由直立状态自然下蹲，在最低点A人下蹲状态时的重心到悬点O的距离为L2，到最低点后人又由下蹲状态突然变成直立状态且保持直立状态不变，直到摆向另一方的最高点C（设人的质量为m，踏板质量不计，任何阻力不计）.求：
图7－6－18
（1）当人刚摆到最低点A且处于下蹲状态时，绳子中的拉力为多少?
（2）人保持直立状态到达另一方最高点C时，绳子与竖直方向的夹角为多大?（用反三角函数表示）
分析：由于不考虑任何阻力，人在摆动的过程中所受绳子的拉力又与运动速度方向垂直，只有重力做功，机械能守恒.但要注意人有直立和下蹲两种状态，重心的位置不断改变.
解答：（1）人由B摆到A的过程中机械能守恒.设在A点时人的速度为v，则
mg（L2－L1csθ）=mv2①
在最低点A时，设绳子的拉力为F，据牛顿第二定律F=ma得
F－mg=②
联立①②式解得F=mg（3－）.
（2）人保持直立状态由A摆到C的过程中机械能也守恒，则有
mv2=mg（L1－L2cs） ③
联立①③式解得=arccs ［（1+csθ）·－1］.
点拨：（1）在求解第二问时，学生易错解为取B点为初状态、C点为末状态，直接运用机械能守恒定律列方程求得绳子与竖直方向的夹角=θ，殊不知在这一过程中，人体中有一部分化学能转化成了系统的机械能.
（2）应用型习题信息量大，条件隐蔽，解答的关键是搜集有用信息，构建合理的物理模型.