专题1.21 有理数的乘方（专项练习1）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题1.21 有理数的乘方（专项练习1）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共20页。试卷主要包含了有理数的幂的概念的理解，有理数乘方的运算，有理数乘方的逆运算，有理数乘方运算的符号规律，有理数乘方的应用等内容，欢迎下载使用。

专题1.21 有理数的乘方（专项练习1）
一、 单选题
知识点一、有理数的幂的概念的理解
1．对于(－2)4与－24，下列说法正确的是(    )
A．它们的意义相同 B．它的结果相等
C．它的意义不同，结果相等 D．它的意义不同，结果不等
2．下列式子中表示“n的3次方”的是(　　)
A．n3 B．3n C．3n D．n＋3
3．若，，，，则它们的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
知识点二、有理数乘方的运算
4．下列各组数中，互为相反数的是( )
A．-（-1）与1 B．（－1）2与1 C．与1 D．－12与1
5．在、 、、 、 中，负数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．13世纪数学家斐波那契的《计算书》中有这样一个问题：“在罗马有7位老妇人，每人赶着7头毛驴，每头驴驮着7只口袋，每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘”，则刀鞘数为(　　)
A．42 B．49 C．76 D．77
知识点三、有理数乘方的逆运算
7．计算的结果是（　　）．
A． B． C． D．
8．计算所得结果（）
A． B． C．1 D．2
9．若，且，那么的值为（ ）
A．5或1 B．-5或-1 C．5或-5 D．1或-1
知识点四、有理数乘方运算的符号规律
10．下列说法中正确的是（ ）
A．一定是负数； B．一定是负数
C．一定不是负数 D．一定是负数
11．已知a，b为有理数，若a99•b100＜0，且a﹣b＞0．则下列推断正确的是（　　）
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
12．当取最小值时，=( )
A．0 B．-1 C．0或-1 D．以上答案都不对
知识点五、有理数乘方的应用
13．若时的值为6，则当时的值为( )
A．-6 B．0 C．6 D．26
14．某种细菌在培养过程中，每半个小时分裂一次，每次由一个分裂为两个．若这种细菌由个分裂到个，这个过程要经过（ ）
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
15．把足够大的一张厚度为 0.1mm 的纸连续折 6 次，则对折后的整叠纸总厚度为（ ）mm．
A．0.64 B．6.4 C．1.28 D．12.8

二、 填空题
知识点一、有理数的幂的概念的理解
16．把5×5×5写成乘方的形式__________
17．一个数的平方等于它本身的数是________；一个数的立方等于它本身的数是________．
18．已知m为有理数，则m²_________0，m²+1_________0，- m²-2_______0．（填“＞”、“＜”或“≥”＝）
知识点二、有理数乘方的运算
19．为了求1+2+22+23+…+2100的值，可令S=1+2+22+23+…+2100，则2S=2+22+23+24+…+2101，因此2S﹣S=2101﹣1，所以S=2101﹣1，即1+2+22+23+…+2100=2101﹣1，仿照以上推理计算1+3+32+33+…+32014的值是_____．
20．已知：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，则22019的个位数是____．
21．生物学指出：生态系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10%的能够流动到下一个营养级．在H1→H2→H3→H4→H5→H6（Hn表示第n个营养级，n=1，2…，6）要使H6获得10千焦的能量，那么需要H1提供的能量约为___________千焦.
知识点三、有理数乘方的逆运算
22．若x2=4，则x=_____；若|a﹣2|=3，则a=_____．
23．若正数的倒数等于其本身，负数的绝对值等于，且，，则代数式 的值为________．
24．________的平方等于16，平方等于1.69的数是________.
知识点四、有理数乘方运算的符号规律
25．现定义某种运算“”，对任意两个有理数、，有，如，计算：______．
26．若x，y为有理数，且，则＝________．
27．下列各数：、、、、、，其中负数有__________个.
知识点五、有理数乘方的应用
28．1米长的小棒，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此下去，那么第6次后剩下的小棒长为__________米．
29．已知|3m﹣12|+=0，则2m﹣n=_____．
30．如图，将一张长方形的纸对折（使宽边重合，然后再对折），第一次对折，得到一条折痕连同长方形的两条宽边共3条等宽线（如图（1），第二次对折（每次的折痕与上次的折痕保持平行），得到5条等宽线（如图（2）所示），连续对折三次后，可以得到9条等宽线（如图（3所示），对折四次可以得到17条等宽线，如果对折6次，那么可以得到的等宽线条数是______条．


三、 解答题
知识点一、有理数的幂的概念的理解
31．（1）计算下面两组算式：
①与；②与；
（2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果）
（3）猜想与验证：当为正整数时， 等于什么? 请你利用乘方的意义说明理由．
（4）利用上述结论，求的值．



知识点二、有理数乘方的运算
32．把下列各数填在相应的大括号里：
－3，0.2，0，－|＋|，－5%，－，|－9|，－(－1)，－23，＋3.
(1)正整数集合：{ …}；
(2)负分数集合：{ …}；
(3)负数集合：{ …}；
(4)整数集合：{ …}；
(5)分数集合：{ …}；
(6)非负数集合：{ …}．




知识点三、有理数乘方的逆运算
33． 已知|x|=3，y2=9，且|x﹣y|=y﹣x，求x+y的值．


知识点四、有理数乘方运算的符号规律
34．在“数学晚会”上，七年级的10个同学藏在10个大盾牌后面，男同学盾牌前面的结果是一个正数，女同学盾牌前面的结果是一个负数，这10个盾牌如图所示，请你通过计算，求出盾牌后面男、女同学各有多少人．







知识点五、有理数乘方的应用
35．（1）已知(x+y+3)2+=0，试求多项式x2+y2-x-3的值．
（2）已知多项式，在时，其值为8，试求时，其多项式的值．

参考答案
1．D
【解析】
试题分析：的底数是﹣2，指数是4，结果是16；的底数是2，指数是4，它的意思是2的四次方的相反数，结果是﹣16．故选D．
考点：有理数的乘方．
2．A
【解析】
【分析】
利用幂的意义计算即可得到结果．
【详解】
表示“n的3次方”的式子是n3
故选：A
【点拨】
此题考查有理数的乘方，求n个相同因数a的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂.即a×a×……×a(n个a),记作an,其中a叫做底数,n叫做指数.
3．A
【分析】
先按法则把a，c，b，d计算结果，比较这些数的大小，再按从小到大的顺序，把a，c，b，d排序即可．
【详解】
=-0.04，，，=1，
-4<-0.04<1<4，
b 故选择：A．
【点拨】
本题考查乘方的运算，掌握乘方的性质，能根据运算的结果比较大小，并按要求排序是解决问题的关键．
4．D
【解析】
试题分析:选项A，-（-1）与1不是相反数，选项A错误；选项B，（－1）2与1不是互为相反数，选项B错误；选项C，｜-1｜与1不是相反数，选项C错误；选项D，－12与1是相反数，选项正确．故答案选D．
考点：相反数．
5．D
【分析】
根据相反数、乘方、绝对值的概念对各数进行化简,结合正负数的概念进行判断即可.
【详解】
因为=-9，=-2.5，=，=-9，=-27，所以负数的个数是4个,故选D.
【点拨】
本题考查了正数和负数的知识点,关键是理解负数的概念,而且要把这些数化为最后结果才能得出正确答案.
6．C
【解析】
试题分析：有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．依此即可求解．依题意有，刀鞘数为76．
考点：有理数的乘方
7．D
【分析】
根据有理数的乘方运算、乘方运算的逆用即可得．
【详解】
原式，
，
，
，
，
故选：D．
【点拨】
本题考查了有理数的乘方运算、乘方运算的逆用，熟记各运算法则是解题关键．
8．B
【解析】
【分析】
根据有理数的乘方，利用提公因式法即可解答．
【详解】
（-2）2015+（-2）2016=（-2）2015[1+（-2）]=-22015×（-1）=22015，
故选：B．
【点拨】
本题考查了有理数的乘方，解决本题的关键利用提公因式法解答．
9．D
【分析】
先根据题意确定a，b的所有可能取值，然后代入求值即可．
【详解】
解：∵
∴
∵
∴a、b异号
当a=3，b=-2时

当a=-3，b=2时

故选：D．
【点拨】
此题主要考查求代数式的值，解题的关键是正确根据题意确定a，b的值．
10．C
【解析】
A、不一定是负数，若为负数，则是正数；故错误；
B、一定不是负数，故错误；
C、一定不是负数 ，正确；
D、不一定是负数，可能是0，故错误；
故选C
11．D
【解析】
【分析】
根据a99•b100＜0，可求a＜0，再根据a﹣b＞0，可求b＜0.
【详解】
∵a99•b100＜0，
∴a99＜0，b100＞0，
∴a＜0，
∵a﹣b＞0，
∴b＜0，
故选：D．
【点拨】
本题考查了乘方的运算法则和有理数的减法法则，正数的任何次幂都是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数，0的任何正整数次幂都等于0.
12．A
【解析】
【分析】
根据平方数非负数的性质确定出m+n=0时取值最小，然后根据互为相反数的两个数的平方相等，绝对值相等解答．
【详解】
解：m+n=0时取最小值，
此时m2=n2，|m|=|n|，
所以，= =0．
故选A．
【点拨】
本题考查非负数的性质，根据平方数非负数确定出m+n=0是解题的关键．
13．C
【分析】
根据互为相反数的偶次方相等即可得出答案.
【详解】
∵代数式中关于x的指数是偶数，
∴当x=-2时的值与当x=2时的值相等，
∴时的值为6.
故选C.
【点拨】
本题考查了乘方的意义和求代数式的值，熟练掌握互为相反数的偶次方相等是解答本题的关键.
14．C
【分析】
每半小时分裂一次，一个变为2个，实际是21个，分製第二次时，2个就变为了22个，那么经过3小时，就要分製6次，根据有理数的乘方的定义可得.
【详解】
解:由题意可得:2n＝64＝26，
则这个过程要经过:3小时.
故选:C.
【点拨】
本题考查了有理数的乘方在实际生活中的应用，应注意观察问题得到规律.
15．B
【分析】
先找折叠的规律，折一次2 折二次4=22 折三次8=23 折四次24……把足够大的一张纸连续折 6 次，共26=64层，一张纸厚度为 0.1mm ，对折后的整叠纸总厚度为0.1×64即可．
【详解】
折一次， 折二次 ， 折三次， 折四次，…，
2， 4=22， 8=23 ， 24，…
把足够大的一张纸连续折 6 次，共26=64层，
把一张纸厚度为 0.1mm ，
对折后的整叠纸总厚度为0.1×64=6.4mm，
故选择：B．
【点拨】
本题考查折纸的厚度问题，掌握折纸的规律，按规律计算是解题关键．
16．
【分析】
根据有理数乘方的定义解答．
【详解】
5×5×5＝.
故答案是：.
【点拨】
考查了有理数的乘方的定义，注意指数是底数的个数．
17． 0、1 －1、0、1
【解析】试题解析：一个数的平方等于它本身的数是0，1；一个数的立方等于它本身的数是-1，0，1．
18．≥ > <
【解析】
因为一个数的平方具有非负性,所以因为所以,
因为,所以所以故答案为:,,.
19．
【详解】
解：设S=1+3+32+33+…+32014，两边同时乘以3，则有3S=3+32+33+…+32015，两式相减，则有2S=32015﹣1，所以S=
故答案为：．
【点拨】
本题考查有理数的乘方．
20．8
【分析】
通过观察发现：2n的个位数字是2，4，8，6四个一循环，所以根据2015÷4=503…3，得出22015的个位数字与23的个位数字相同，是8．
【详解】
解：2n的个位数字是2，4，8，6四个一循环，
所以2015÷4=503…3，
则22015的末位数字是8．
故答案为8．
【点拨】
题考查学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，要求学生有一定的解题技巧．解题关键是知道个位数字为2，4，8，6顺次循环．
21．106
【解析】
【分析】
设要使H6获得10千焦的能量，那么需要H1提供的能量约为x千焦，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【详解】
解：设H1提供的能量约为x千焦，
根据题意得x（10%）5=10，
解得x=106．
则要使H6获得10千焦的能量，那么需要H1提供的能量约为106千焦．
故答案为：106.
【点拨】
本题考查有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解题关键．
22．±2 5 或﹣1
【分析】
根据题目中的方程和绝对值，可以求得相应的x的值和a的值．
【详解】
解：∵x2=4，
∴x=±2，
∵|a-2|=3，
∴a-2=3或a-2=-3，
解得，a=5或a=-1，
故答案为±2，5或-1．
【点拨】
本题考查有理数的乘方、绝对值，解答本题的关键是明确有理数乘方和绝对值的意义．
23．
【解析】
【分析】
根据倒数、绝对值、平方根的概念先求出a、b、c的值，再把a、b、c的值代入所求代数式计算即可．
【详解】
解：∵正数a的倒数等于其本身，
∴a=1，
∵负数b的绝对值等于3，
∴b=-3，
∵c＜a，c2=36，
∴c=-6，
∴2(a-2b2)-5c=2(1-2×9)-5×(-6)=-34+30=-4．
故答案是-4．
【点拨】
本题考查了代数式求值，解题的关键是先求出a、b、c的值．
24．
【解析】
【分析】
根据开方的定义，进行解答即可.
【详解】
解：，
【点拨】
本题考查了开方的定义，即开方是乘方的逆运算，解答的关键是明确乘方和开方的互逆关系.
25．1
【分析】
理解“”，先算括号内的，再算括号外的．
【详解】

故答案为：1．
【点拨】
此题是新定义运算题型，考查有理数的乘方．关键要理解新定义的运算含义和乘方的意义．
26．1
【分析】
根据非负数的性质可得关于x、y的方程，解方程即可求出x、y，再把x、y的值代入所求式子计算即可．
【详解】
解：因为，
所以5－x=0，y+5=0，
所以x=5，y=﹣5，
所以．
故答案为：1．
【点拨】
本题考查了非负数的性质和有理数的乘方运算，属于常见题型，熟练掌握非负数的性质和﹣1的偶次幂等于1是解题关键．
27．4
【分析】
先利用有理数的乘方符号法则及绝对值的意义进行化简，再根据负数的定义进行判断即可．
【详解】
解：∵、、、、，0既不是正数也不是负数.
其中是负数的为：、、、，共四个.
故选．
【点拨】
本题主要考查正负数的定义，掌握有理数的乘方符号规律及绝对值的化简是解题的关键．注意：0既不是正数也不是负数.
28．
【分析】
根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【详解】
根据题意可得
(米)，
答：第6次后剩下的木棒长为米．
【点拨】
本题考查了有理数的乘方，弄清题中的规律是解本题的关键．
29．10
【详解】
∵|3m﹣12|+=0，
∴|3m﹣12|=0，=0，
∴m=4，n=﹣2，
∴2m﹣n=8﹣（﹣2）=10.
点拨：本题考查了非负数的性质，几个非负数的和等于0，则每个数都等于0，初中范围内的非负数有：绝对值，算术平方根和偶次方.
30．65
【解析】
【分析】
先求出第一次对折的折痕，再求第二次对折的折痕，…，从而找出规律求出第n次即可．
【详解】
解：我们不难发现：
第一次对折：3=2+1；
第二次对折：5=22+1；
第三次对折：9=23+1；
第四次对折：17=24+1；
…．
依此类推，第n次对折，可以得到（2n+1）条．
∴对折6次，可以得到（26+1）=65条
故答案为：65．
【点拨】
此题考查了图形的变化类问题，有理数的乘方，主要培养学生的观察能力和空间想象能力，解题的关键是根据题意得出对折n+1次比对折n次折痕多2n条．
31．（1）
①225，225,=;②36，36，=，
（2）
（3）见详解
（4）．
【分析】
（1）①先算括号内的数，再算平方；先算平方，再计算乘法即可，比较计算结果，
②先算括号内的数，再算平方；先算平方，再计算乘法即可，比较计算结果，
（2）直接按（1）写结果即可，
（3）利用乘方的意义写成n个数相乘，利用交换律转化为与乘积即可．
（4）利用积的乘方的逆运算把，然后=，再简便运算即可．
【详解】
（1）①=152=225，
=9×25=225，
=，
②=(-6)2=36，
=4×9=36，
=，
（2）
（3）．
（4）=．
【点拨】
本题考查有理数乘法法则问题，先通过不同形式的计算，验证结果相同，达到初步认证，再次认证结果，通过证明先算计积再算乘法，与先算每个数的乘方再算积，验证结论成立，会逆用积的乘方运算来简便运算是解题关键．
32．（1）|－9|，－(－1) （2）－|＋|，－5%，－
（3）－3，－|＋|，－5%，－，－23 （4）－3，0，|－9|，－(－1)，－23
（5）0.2，－|＋|，－5%，－，＋3 （6）0.2，0，|－9|，－(－1)，＋3
【解析】
【分析】
先对各数进行化简，然后根据有理数的分类即可得出答案．
【详解】
解：－|＋|=－，|－9|=9，－(－1)=1，－23=－8，
（1）正整数集合：{|－9|，－(－1)…}；
（2）负分数集合：{－|＋|，－5%，－ …}；
（3）负数集合：{－3，－|＋|，－5%，－，－23…}；
（4）整数集合：{－3，0，|－9|，－(－1)，－23…}；
（5）分数集合：{0.2，－|＋|，－5%，－，＋3…}；
（6）非负数集合：{0.2，0，|－9|，－(－1)，＋3…}．
【点拨】
本题主要考查了有理数的分类，将各数进行化简是解决此题的关键．本题看似容易，但做题时出错较多，因此做题时应当格外细心．
33．6或0或-6
【分析】
根据绝对值和平方根的意义可知：x=±3,y=±3,且y﹣x≥0.
【详解】
解：∵|x|=3，y2=9，且|x﹣y|=y﹣x，
∴y≥x,
∴x=3，y=3，此时x+y=6；x=﹣3，y=3，
此时x+y=0；x=-3,y=-3时，x+y=-6
故答案为6或0或-6
【点拨】
本题考核知识点：绝对值和平方根.解题关键点：理解绝对值和平方根的意义.
34．盾牌后面有4个男同学，6个女同学
【分析】
各项计算得到结果，即可做出判断．
【详解】
解：（-15）16=1516>0；
5÷（-25）=<0；
因为任何数的平方是非负数，所以x2≥0，所以x2+1>0；
8÷（7-77）=8÷（-70）=<0；
1-2-3=-4<0；
-1×|-62|=-1×36=-36<0；
5×（-1）2015=5×（-1）=-5<0；
-[-（+8）]=-（-8）=8>0；
-23+（-32）=-8+（-9）=-17<0；
（-28）3×（-7）5=283×75>0．
则正数有4个，负数有6个，所以盾牌后面有4个男同学，6个女同学．
【点拨】
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
35．(1)24；(2)0.
【解析】
分析：（1）首先利用绝对值以及偶次方的性质得出x,y的值,进而代入原式求出即可.
（2）把x=2代入代数式求出a、b的关系，再把x=-2代入代数式进行计算即可得解．
详解：∵(x+y+3)2+=0，
∴
解得:
,
∴x2+y2-x-3
=22+(-5)2-2-3
=24;
（2）当x=2时
ax³ +bx+4
=2³×a+2b+4
=8a+2b+4
=8,
4a+b=2
当x=-2时
ax³+bx+4
= a(-2)³+b(-2)+4
=-8a-2b+4
=-2(4a+b)+4
=-2×2+4
=0.
点拨：此题主要考查了偶次方的性质,绝对值的性质,求代数式的值，根据题意得出x,y的值是解（1）关键, 整体思想的利用是解（2）的关键．